cálculo - Universidad de La Frontera

UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA
Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración
Depto. Matemática y Estadística
PROGRAMA DE ASIGNATURA
I.- IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA
Asignatura
: CÁLCULO
: Plan común Ingeniería
Ing. Civil Telemática – Ing. Civil Ambiental – Ing. Civil
Industrial mención Mecánica – Ing. Civil Matemática, Ing.
Civil Eléctrica, Ing. Civ. Biotecnología, Plan común Ing.
Civiles.
Carrera
Código
Horas
Calidad
Tipo de formación
Carácter
Régimen
Curso
Año académico
Prerrequisitos
Departamento
Facultad
:
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IME - 005
4 ( 4 0 4)
Obligatoria
Básica
Teórico
Anual
Año 1
2011
NIVEL: 1er.
SEMESTRE: 1º
Ingreso
Matemática y Estadística
Ingeniería, Ciencias y Administración
II.- DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA
ASIGNATURA anual para alumnos de Ingeniería orientado a proporcionar elementos
conceptuales y teóricos del cálculo diferencial e integral en una variable. La herramienta
conceptual fundamental del Cálculo es el límite. La esencia del proceso de límite es el
análisis del comportamiento de una función cuando la variable independiente se acerca
a un valor finito o crece indefinidamente. El concepto de límite se usa para definir y
desarrollar dos herramientas poderosas: la derivada y la integral. La derivada de una
función es una función asociada que mide la razón de cambio de la función.
Geométricamente, el valor de la función derivada en un punto es la pendiente de la
línea tangente a la gráfica de la función en ese punto. Usando la derivada, se puede
identificar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, los valores
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máximos y mínimos de la función, y otras propiedades asociadas. Al proceso de hallar
la función derivada se le da el nombre de diferenciación, y a esta rama del Cálculo se
le llama Cálculo Diferencial.
Geométricamente, la integral definida de una función en un intervalo es el área de la
región determinada por la gráfica de la función y el eje de la variable independiente, en
el intervalo correspondiente. Esta área tiene varias interpretaciones, dependiendo de la
situación. Por ejemplo, la integral de velocidad es desplazamiento. El cociente de la
integral definida y la longitud del intervalo es el valor promedio de la función sobre el
intervalo. La integral de una densidad de masa o densidad poblacional es la masa total
o población total. Al proceso de hallar la integral definida se le da el nombre de
integración, y a esta rama del Cálculo se le llama Cálculo Integral. El gran aporte de
Newton y Leibnitz al Cálculo fue el descubrimiento de la conexión entre el Cálculo
Diferencial y el Cálculo Integral. Esta conexión está resumida en el Teorema
Fundamental del Cálculo, que establece lo siguiente: primero, la integral definida de la
derivada de una función en un intervalo es el cambio total en el valor de la función sobre
ese intervalo, y segundo, al otro lado de la misma moneda, la derivada de la integral
definida de una función es precisamente esa función. En términos informales, la
diferenciación y la integración son procesos inversos.
III.- OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS (cognitivos, procedimentales y
actitudinales)
a) Objetivos Generales:
En este curso los alumnos y alumnas:
1. Adquirirán los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral.
2. Aplicarán las técnicas básicas del cálculo diferencial e integral en la resolución
de problemas de ciencias e ingeniería.
3. Adquirirán la base conceptual necesaria para continuar el estudio del Cálculo en
varias variables.
4. Elaborarán estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la
identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e
instrumentos.
b) Objetivos Específicos:
1. Cognitivos:
Al finalizar el curso los alumnos y alumnas deberán:
1. Desarrollar su capacidad de razonamiento lógico, de abstracción y de
generalización, que forme y enriquezca su saber matemático.
2. Adquirir la habilidades básicas que le permitan plantear y resolver
situaciones problemáticas.
3. Adquirir elementos conceptuales básicos y esenciales para el desarrollo
posterior del cálculo.
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2. Procedimentales:
Al finalizar el curso los alumnos y alumnas deberán:
1. Enunciar y aplicar proposiciones y teoremas clásicos del cálculo.
2. Ser capaz de resolver inecuaciones
3. Realizar gráficos en el plano de funciones de variable real
4. Reconocer y graficar circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.
5. Reconocer características relevantes de las distintas funciones reales.
6. Analizar monotonía y acotamiento de sucesiones.
7. Calcular límites de sucesiones.
8. Calcular limites de funciones reales
9. Determinar continuidad de funciones en un punto y en un intervalo
10. Calcular la derivada de una función de una variable
11. Calcular la diferencial de una función de una variable.
12. Interpretar la integral definida de una función positiva como área debajo de
la curva.
13. Calcular integrales indefinidas.
14. Aplicar la integral definida en el cálculo de áreas, volúmenes, centros de
masa.
15. Determinar convergencia o divergencia de integrales impropias
16. Determinar convergencia o divergencia de series numéricas y de
funciones.
17. Representar funciones en series de potencia
3. Actitudinales:
Al finalizar el curso los alumnos y alumnas deberán:
1. Percibir la matemática como una disciplina que evoluciona y que continúa
desarrollándose, y que responde en algunas ocasiones a la necesidad de
resolver problemas prácticos, pero que también se plantea problemas
propios.
2. Valorar el desempeño grupal y la distribución de tareas para conseguir los
objetivos de: seguridad y confianza en si mismo, inventiva y creatividad,
capacidad de liderazgo, responsabilidad, tolerancia, autoestima, hábitos y
valores de trabajo y estudio.
IV.- CONTENIDOS
Unidad 1.- EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES.
1.1
1.2
1.3
1.4
Axiomas de cuerpo.
Axiomas de Orden, valor absoluto, intervalos
Axiomas de Completitud. Conjuntos acotados.
Nociones topológicas de los reales: vecindad, punto interior, punto de
acumulación, adherencia, frontera, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados.
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Unidad 2. ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Medidas de ángulo. Círculo trigonométrico.
Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas.
Teorema del seno y del coseno. Aplicaciones.
Coordenadas rectangulares. Distancia entre dos puntos.
Ecuaciones de la recta y circunferencia. Forma general y forma canónica.
Secciones cónicas: parábola, elipse e hipérbola. Forma general y forma
canónica
Unidad 3.- FUNCIONES REALES.
Funciones: dominio, codominio, conjunto imagen, gráfico
Propiedades de funciones reales: pares e impares – periodicidad –
monotonía y acotamiento
Tipos especiales de funciones reales: función constante, función lineal,
función cuadrática, función valor absoluto, función potencia., función raíz nésima, función polinomial, función racional, función exponencial, función
logarítimica.
Funciones trigonométricas: definición, propiedades, acotamiento,
monotonía, periodicidad, amplitud, periodo, ángulo de fase. Gráficas
Unidad 4.- LIMITE Y CONTINUIDAD
Sucesiones: definición. Sucesiones acotadas, crecientes y decrecientes
Subsucesiones y punto de acumulación. Criterios de convergencia
Límites notables, Teorema de Stolz. Teorema del Sándwich.
Límite de funciones: Definiciones por sucesiones, vecindades y delta – epsilon.
Límites laterales. Cálculo de límites. Límites infinitos.
Continuidad: Definición. Propiedades. Continuidad lateral. Continuidad uniforme.
Continuidad en intervalos. Teoremas de Bolzano y del Valor intermedio.
Unidad 5- DERIVADAS Y DIFERENCIALES
5.1 Noción de derivada, interpretación física y geométrica (velocidad y recta
tangente)
5.2 Definición de derivada. Derivadas laterales. Derivada y continuidad.
5.3 Función derivada. reglas de derivación. Derivada de funciones compuestas.
Derivada de la función inversa. Derivación de funciones implícitas.
5.4 Estudio de las funciones derivables. Concepto de diferencial. La diferencial
como aproximación lineal. Derivadas y diferenciales sucesivas. teoremas
clásicos sobre funciones derivables: de Rolle, de Lagrange y de Cauchy.
Interpretación geométrica.
5.5 Aplicaciones de la derivada y la diferencial: Variación de las funciones.
Funciones crecientes y decrecientes en un punto y en un intervalo.
5.6 Extremos de funciones de una sola variable. Máximos y mínimos relativos o
locales. Máximos y mínimos absolutos.
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5.7 Aplicación de máximos y mínimos: trazado de curvas y problemas de
optimización.
5.8 El polinomio de Taylor de una función: Aplicaciones a cálculos aproximados y al
cálculo de límites.
5.9 Las reglas de L’Hopital y su aplicación en el cálculo de límites.
Unidad 6 .- INTEGRACION
6.1 La Integral definida: La estimación de un área. Sumas de Riemann.
6.2 Significado geométrico de la integral. Cálculo de límites utilizando el concepto de
integral.
6.3 Propiedades de la integral definida. Criterios de integración. El teorema
fundamental del Cálculo. Regla de Barrow: La integral como una primitiva.
6.4 La integral indefinida: Integración inmediata. Propiedades de la integral indefinida.
Integración mediante cambio de variable. Sustituciones trigonométricas.
Integración por partes. Integración de funciones racionales. Integración mediante
desarrollo en fracciones simples.
6.5 Integración de expresiones trigonométricas. Integración de potencias de funciones
trigonométricas. Integración de funciones racionales de seno y coseno. Integración
de funciones irracionales.
6.6 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas, volúmenes, centros y
momentos.
6.7 Integración sobre conjuntos no acotados: Integrales impropias. criterios de
convergencia. Funciones Beta y Gamma, propiedades y aplicaciones.
Unidad 7 .- SERIES NUMERICAS Y DE FUNCIONES
7.1 Series: definición de serie numérica., convergencia o divergencia. Series notables.
7.2 Series de funciones, series de potencias. Criterios de convergencia.
7.3 Representaciones en series de Taylor y Maclaurin.
V.- RECURSOS METODOLÓGICOS
En el desarrollo del curso se emplearán diversos medios, tales como:

Clases expositivas: El profesor de la asignatura presentará las ideas centrales
del tópico o tópicos en estudio, tratando al mismo tiempo de provocar la reflexión
en los estudiantes sobre los aspectos cruciales de la temática desarrollada.

Sesiones de discusión: Los estudiantes trabajarán en grupos, tratando de
construir soluciones para los problemas propuestos. Los problemas y ejercicios
propuestos podrán ser de naturaleza aplicada o teórica.

Tareas extraula: Permite la realización de un trabajo tangible de cara a la
aplicación y desarrollo de conocimiento. Estos se realizarán tanto dentro como
fuera de los recintos universitarios.

Laboratorio de computación: Recurso que le permite al estudiante desarrollar
su dominio del soporte informático para optimizar la obtención de resultados.
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VI.- EVALUACIÓN
2 pruebas de cátedra por semestre con ponderaciones de 30% y 40%
respectivamente y 30% restantes conformado por pruebas de taller, presentaciones,
trabajos grupales o individuales, uso y manejo de software.
Para aprobar la asignatura el estudiante deberá tener un porcentaje mínimo de
asistencia del 80%.
VII.- BIBLIOGRAFÍA
Básica:
1. SPIVAK, Michael. “Cálculo infinitesimal. España, Editorial Reverté, 1992. 9260
pág.
2. STEWART, James. “Cálculo diferencial e integral. México, Thomson Editores,
2001. 680 pág.
3. VALENZUELA, Pedro H. Fundamentos de matemática Universitaria, Editorial
Pearson, 2006, 594 pág.
Complementaria :
1.- PURCELL-VARBERG-RIGDON. Cálculo. Pearson Education, 2001, 800 pág.
2.- De BURGOS, Juan. Cálculo Infinitesimal de una variable. McGraw-Hill, 1996, 612 pág..
3.- BRADLEY - SMITH. Cálculo de una variable. Prentice Hall. 1998. 560pág
4.- ABELLANAS – GALINDO. Métodos de Cálculo. McGraw-Hill. 1990.450 pág
5.- LARSON, R. HOSTETTER.Cálculo Diferencial e integral. Méx, Mc Graw Hill, 1998, 700
pág.
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