EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

[EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE] 25 de febrero de 2008
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
BIOGRAFIA
Heisenberg, Werner Kart. (Wurzburgo, Alemania, 1901-Munich, 1976) Físico alemán
Se formó en la Universidad de
Munich, donde asistió a las clases de
A. Sommerfeld y por la que se
doctoró en el año 1923. También
colaboró con M. Born, en la
Universidad de Gotinga. Durante su
formación fue compañero de W. Pauli
tanto en Munich como en Gotinga.
Más adelante trabajó con N. Bohr en
Copenhague
(1924-1927)
y
desempeñó,
sucesivamente,
los
cargos de profesor de la Universidad
de Leipzig (1927), director del
Instituto Káiser Wilhelm de Berlín
(1942) y del Max Planck de Gotinga
(1946), así como del de Munich
(1958).
Cuando comenzó la Primera Guerra Mundial, en 1914, el edificio del Gymnasium pasó a
convertirse en un cuartel del ejercito. Por ello, las clases tuvieron que ser impartidas en
distintos espacios acondicionados, lo que implicó un deterioro de la educación. Lo anterior,
Heisenberg lo asumió estudiando de manera independiente una serie de asignaturas que
probablemente tendrían un efecto beneficioso en su educación. Matemáticas, física y religión
fueron su elección prioritaria, aunque en general su rendimiento en todas las asignaturas
escolares fue excelente. Sus habilidades en matemáticas eran tales que pudo coadyuvar en
cálculo a amigos universitarios de la familia. Durante ese período de la guerra, Heisenberg
perteneció a una organización paramilitar que funcionaba en el Gymnasium, con el objetivo
de preparar a los hombres jóvenes para combatir en la guerra.
Sobre su período como estudiante universitario, Heisenberg escribió:
Aprendí optimismo de Sommerfeld , matemáticas en Göttingen, y física con Bohr.
En 1932, Heisenberg fue galardonado con el premio Nobel de física por: La creación de la
mecánica cuántica, cuyo uso ha conducido, entre otras cosas, al descubrimiento de las
formas alotrópicas del hidrógeno.
En 1935, los nazis promulgaron una ley en Alemania la cual establecía que los docentes
mayores de 65 años debían retirarse de sus actividades académicas. Sommerfeld tenía 66
años y había manifestado su deseo de ser substituido, en su cargo en la universidad, por
Heisenberg cuando concretara su retiro. Se trataba de una posición académica muy del
agrado de Heisenberg. Sin embargo, en esa época en Alemania, los nazis ya habían llegado
al extremo de calificar a la relatividad y a la mecánica cuántica como ciencia judía y, además,
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propugnaban que las «matemáticas alemanas» substituyeran a las «matemáticas judías» y la
«física alemana» a la «física judía». Lo anterior, le trajo como consecuencia a Heisenberg
que los nazis bloquearan su posibilidad de ocupar la vacante dejada por Sommerfeld en la
universidad de München. Aunque él no era de manera alguna judío, igualmente era atacado
por la prensa gubernamental alemana que señalaba que su modo de hacer ciencia era de
«estilo judío».
Heisenberg se había casado con Elisabeth Schumacher en 1937. La había conocido por su
afición a la música, ya que fueron
presentados en un concierto que se Las ideas no son responsables de lo
efectuaba en la casa de un amigo común. que los hombres hacen de ellas.
Heisenberg era un excelente pianista. En
ese entonces, Elizabeth tenía solamente 22 años y Werner treinta y cinco. Se casaron tres
meses después de su primer encuentro, el 29 de abril de 1937. Fue justo en la época en que
los nazis bloquearon la posibilidad de Heisenberg de sustituir a Sommerfeld en la universidad
de München.
Durante la segunda guerra mundial Heisenberg dirigió el fracasado proyecto alemán de las
armas nucleares. En él, trabajó con Otto Hahn, uno de los descubridores de la fisión nuclear,
en la construcción de un reactor nuclear, pero no pudo desarrollar un programa eficaz para
armas nucleares. No se tiene claro si lo último se debió a una carencia de recursos o de
deseo de poner ese tipo de armas en manos de los nazis.
Después de la guerra lo internaron junto a otros destacados físicos del proyecto nuclear
alemán
en
Gran
Bretaña,
recluyéndolos
en
un
recinto
conocido
La realidad objetiva acaba de evaporarse.
como Farm Hall, un edificio en la
ciudad británica de Godmanchester, cerca de Cambridge, estrechamente vigilados y espiados
por los servicios de inteligencia militar aliados. Sus conversaciones fueron grabadas y
puntualmente comunicadas al general Groves, director del proyecto Manhattan. Fue durante
esta reclusión que Heisenberg se enteró de la explosión de las primeras bombas atómicas en
Hiroshima y Nagasaki. Exonerado de culpas, volvió a Alemania en 1946 y fue designado
director del Instituto Max Planck de Física y Astrofísica en Göttingen. Cuando el instituto se
trasladó a München, en 1958, Heisenberg continuó siendo su director. Desempeñó ese cargo
hasta su dimisión en 1970.
Heisenberg murió el 1 de febrero de 1976 en su casa de München, dejando una familia
compuesta por su viuda y siete hijos.
Bien, al mismo tiempo que luchaba intelectualmente con los cuánticos, Einstein propondría a
Heisenberg, Born y Jordan para el Premio Nobel en 1928 (que no recibirían ese año). ¡Los
mismos hombres con los que discutía sin cuartel! Muchos deberían aprender de estos
científicos, y no me refiero sólo a ciencia…
De hecho, algunos de los momentos más duros para él estaban empezando. Casi desde el
momento en el que el Partido Nazi empieza a gobernar Alemania, Heisenberg es acosado. Lo
llaman Judío blanco, porque enseña y defiende las teorías de Einstein (denostadas por los
Nazis por ser un físico judío). La relatividad es, para los Nazis, Jüdische Physik (Física Judía),
de modo que no es aceptable enseñarla - sólo puede enseñarse la Deutsche Physik (Física
Alemana, aunque Einstein no cuenta como “alemán”)
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Según la física clásica, por ejemplo :
Posición : x = 5  x
Momento : p = 10  p
No hay una barrera fundamental para un mejoramiento final de los aparatos o procedimientos
experimentales.
Es decir, es posible, en principio, hacer estas mediciones con una incertidumbre
arbitrariamente pequeña
La teoría cuantica ,predice, sin embargo que tal barrera existe .
En 1927, Werner Heisenberg(1901-1976),introdujo esta noción ,la cual ahora se conoce como
:

Principio de incertidumbre de Heisenberg.
x  p 
2
Es físicamente imposible medir en forma simultanea la posición exacta y el movimiento
exacto de una partícula:
Si x es pequeña
p es grande ( y viceversa)
Tales incertidumbres no surgen de imperfecciones en los materiales de medida, sino
provienen de la estructura cuántica de la materia
Otra relación: E  t 

2
Interpretación
Para comprender el principio de incertidumbre,
considere el siguiente experimento mental
introducido por Heisenberg., para analizar un
electrón con un potente microscopio óptico.(a)
el electrón se mueve hacia la derecha antes de
chocar con el foton.(b) El electrón retrocede(su
momento cambia) como resultado de la colisión
con el fogón.
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PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo 1 : ¿El modelo de Bohr es realista?
De acuerdo con el modelo de Bohr del atomo de H, el electrón en ele estado base se
mueve en orbita circular de 0,529  10-10 m de radio. En vista del principio de
incertidumbre de Heisenberg ¿Es realista este modelo?
Solución:

2
Cuando se señala el radion c 3 digitos significativos
Sea
r  p 
la incertidumbre radial es a lo sumo :
r = 0,0005  10-10m
6,626  10 34

m
2
Luego : p 

 1  10 21 kg.
10
2r 2(0,0005  10 )
s
VELOCIDAD
p  mv
p
1  10 21
m
Luego : v 

 1  10 9
31
m 9,11  10
s
( MAYOR QUE c)
¡El modelo de Bohr no es una descripción razonable del átomo de H!
Ejemplo 2 : Localización de un electrón
La rapidez de un electrón es de 5  103 m/s con una precisión de 0,003%.Encuentre la
incertidumbre mínima en la determinación de la posición de este electrón
Solución
Sabemos : x  p 

2
Donde : x  (0,003%p) 

2

(2)(0,003%)(p)

x 
1
(2)(0,003 
)(9,11  10 31 )(5  10 3 )
100
x  0,386mm
Luego : x 
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SERWAY – JEWET.
PROBLEMAS RESUELTOS
FISICA
Vol.II. 6º edicion.Thomson. Colombia.2005
48. Suponga que Fuzzy, un pato mecánico cuántico, vive en un mundo en el cual h = 2  J.s.
Fuzzy tiene una masa de 2 kg e inicialmente se sabe que esta en un estanque de 1 m de
ancho. (a)¿Cuál es la incertidumbre mínima en el componente de esta velocidad que es
paralelo al ancho del estanque? (b) Suponiendo que se mantiene esta incertidumbre en la
rapidez durante 5 s determine la incertidumbre en esa posición después de este intervalo de
tiempo
Solucion:
Datos
m= 2kg
h= 2  J.s
x  1 m
Parte (a)

x  p 
2
reemplazo

(1m)(2 kg)(v) 
2
h
h
, v  2
, v
4
8
Pero : h= 2  J.s

de donde : v 
4
Entonces : v  0,25
m
s
Parte (b)
T=5s
Sabemos : x  p 

2
E  t 

2
sumamos miembro a miembro :
x  p  E  t  
Reemplazo:
1
h
x  mv  mv 2 t 
2
2
2
1 1 1
x  (2)   (2)  (5) 
2
4 2 4
Simplifico :
2
x  1,375m
49. Un electrón (me = 9,11  10-31) y una bala ( m = 0,02 kg) tienen cada uno una velocidad de
magnitud 500 m/s, con una precisión dentro de 0,01 %.¿En que limites es posible
determinar la posición de los objetos a lo largo de la dirección de la velocidad?
Solución
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Electrón
Datos
m= 9,11  10-31 kg
m
v=500
s
Precisión: 0,01%
Formula
x  p 

2
despejo : x 


, luego : x 
reemplazo : x  1,16m
2mv
2m(0,01%)v
Bala
Datos
m= 0,02 kg
m
v=500
s
Precisión : 0,01%
reemplazo : x  5,27  10 32 m
50. Se utiliza un rifle de aire comprimido para disparar partículas de 1 g a una rapidez de 100
m/s a través de una apertura de 2 mm de diámetro.¿A que distancia del rifle debe colocarse
un observador para poder ver la dispersión del haz en 1 cm, debido al principio de
incertidumbre? Compare esta respuesta con el diámetro del universo visible ( 2  1026)
51. Use el principio de incertidumbre, a fin de demostrar que si un electrón estuviera confinado
en el interior de un núcleo atómico de 2  10-15m de diámetro, tendría que estar
desplazándose de manera relativista, en tanto que un protón confinado en el mismo núcleo
podría estarse desplazando de manera no relativista.
Solución
x  p 
Electrón

2
despejo : v 


,reemplazo : v 
2me x
2me (2  10 15 )
v  289  10 8


,reemplazo : v 
2m p x
2m p (2  10 15 )
v  0,158  10 8
m
s
Protón
x  p 

2
despejo : v 
m
s
52. (a) Demuestre que la energía cinética de una partícula no relativista se puede escribir en
función de su cantidad de movimiento de la forma k = p 2/2m (b)Utilice los resultados del
inciso (a) para determinar la energía cinética mínima de un protón confinado en el interior de
un núcleo de 1  10-15m de diámetro
Solución
1 2 1 m2v 2 1 p 2
p2
K  mv  
 

Parte (a)
2
2
m
2 m 2m
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Parte (b)
Proton
p2

m
En K 
reemplazo ; x  p 
p  5,27  10 20 kg.
2m
2
s
K = 5,2 MeV
53. Una mujer de pie sobre una escalera deja caer píldoras pequeñas hacia un blanco puntual
en el piso.(a) Demuestre que, según el principio de incertidumbre , la distancia promedio de
error debe ser por lo menos :
1/ 4
 2H 
 2 

x f     
m
 g 
Donde H es la altura inicial de cada píldora desde el piso y m es la masa de cada píldora.
Suponga que la dispersión en los puntos de impacto esta dada por x f  xi  (v x )t . (b) SI
1/ 2
H = 2 m y , m = 0,5 g . ¿ cual es valor de x f ?
Solución
x  p 
Sabemos :

2

2
x 
x  m 

t
2

2
x    t
2m
Luego : x  mv 
x 2 
Arreglo : x 
2
Raiz :

2H

2m
g
1 2  2 H 

 

4 m  g 
1  2 
x    
2 m
1/ 2
1/ 2
 2H 

 
 g 
1/ 4
…………………….(*)
Pero : x f  xi  (v x )t .
x f  xi  (v x )t
x 
x f  xi
2
Luego : x 

x f
(v x )t
2
2
Reemplazo en (*)
 2 
, obtengo x f   
m
1/ 2
 2H 

 
 g 
1/ 4
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Parte (b)
Datos
H= 2m
m= 0,5 g = 0,5  10-3kg
 2 
Reemplazo en : x f   
m
1/ 2
 2H 

 
 g 
1/ 4
Se obtiene : x f  519  10 18 m
PROBLEMAS ADICIONALES
66. El truco favoritote Jhonny Jumper es salir por la ventana de un edificio y dejarse caer 50 m
en una piscina desde elpiso 16. Un reportero de noticias toma una fotografía de Jhonny
que pesa de 75 kg , justo antes de que llegue alagua, utilizando un tiempo de exposición
de 5 ms. Determine (a) la longitud de onda de De Broglie correspondiente a Jonny en ese
momento. (b) la incertidumbre de la medición de su energía cinética durante ese periodo
de tiempo , y (c) el porcentaje de error causado por dicha incertidumbre.
Solución
v 2f  2 gH
v f  100 g
Parte (a)
v f  vi  gt
Reemplazo :
v f  100 g  g 5  10 3

v f  31,37

m
s
Luego :  
h
mv
reemplazo :  
h
7531,37
  2,82  10 37 m
Parte (b)
E  t 
E 

2

2 5  10 3


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E  1,06  10 32 J
Parte ©
Aplicamos regla de tres simple
1 2
mv _______________ 100%
Si 2
E _________________ x
Obtenemos : 2, 87  10 35%
67. Un mesón  o es una partícula inestable producto de las colisiones entre particulas de alta
energia.Su energía en reposo es de aproximadamente 135 MeV, y tiene una existencia
con un tiempo de vida promedio de solo 8,70  10-17s antes de decaer, formado dos rayos
gamma. Utilizando el principio de incertidumbre, estime la incertidumbre fraccionaria
m / m en su determinación de la masa.
Solución
Datos
E = 135 MeV
t= 8,7  10 17 s
m
?
m
Formula:


También : x  p 
2
2
Pero : E = mc2,
E  t 
Arreglo : E  t 

2
en :
x  mv 

2
E

E
 t  2 pero de : E = mc2 obtengo : 2  m
2
c
2c
c

2c 2
m

Arreglo:
 2
m
2c mt
Reemplazo: m  t 
Sabemos mesón  o = 135 MeV/c2
Reemplazo:
Simplifico:
m

m

MeV 

2c 2 135 2  8,7  10 17 s
c 



m
 2,8  10 8
m
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