x. efecto sobre los estimadores de la violación de las hipótesis o

Introducción a la Econometría
X. EFECTO S OBRE LOS ES TIMADORES DE LA VIOLACIÓN DE LAS HIPÓTES IS O
S UPUES TOS DEL MODELO DE REGRES IÓN LINEAL: MINIMOS CUADRADOS
ORDINARIOS .
Como se recordará, este modelo se usa para obtener estimadores contenidos en la ecuación de
regresión, considerando que se cumplen ciertos supuestos que sustentan sus propiedades de ser: a).insesgados; b).- eficientes, c).- suficientes y d).- consistentes.
Dicho modelo se apoya, entre otros, en las siguientes hipótesis o supuestos:
1.- la varianza de las Ui es constante y por ello se dice que hay homocedasticidad, que viene del
griego: homos ( igual ) y cedastitis ( dispersión ) entre los miembros de la serie estadística, razón por
la cual tienen la varianza mínima, que a su vez corresponde a los estimadores que hemos dado en
llamar eficientes.
2.- No existe autocorrelación entre las perturbaciones, µi , y
3.- No existe multicolinialidad entre las variables explicativas de la ecuación de regresión.
4.- El modelo de regresión esta perfectamente especificado, de manera que no existe ningún
Sesgo de especificación (Gujarati,1991:210).
Cuando se cumplen estos y otros supuestos ( en mi opinión menos importantes ) se tiene una buena
inferencia estadística y se está en condiciones de hacer una adecuada estimación y mejores pruebas de
hipótesis.
¿ Pero qué sucede cuando se violan estos supuestos ?
definitivamente se pierde calidad en los estimadores y disminuye el rigor técnico con que se maneja
la información ya que dejan de ser insesgados, eficientes, consistentes y suficientes, afectando la
estimación que se hace con la ecuación de regresión y orillando al investigador a la toma equivocada
de decisiones porque las t`s y las F´s cambian de valor, en la forma que se indica a continuación:
X.1 HETEROCEDAS TICIDAD
Uno de los principales análisis que se realizan sobre la violación de los supuestos en que se basa el
método de M CO para determinar el valor y por consiguiente la calidad de los estimadores, se refiere a
la verificación, Ho, de si las perturbaciones µi de la función de regresión poblacional, son o no
homocedásticas, ergo, que todas tienen la misma varianza; en otras palabras, es conveniente señalar
que hasta el momento hemos establecido el supuesto de homocedasticidad, es decir, que las
distorsiones o errores µi de la ecuación de regresión tienen la misma varianza. Ahora bien, cuando
dichos errores no observan una misma varianza se acepta la Ha y se dice que hay heterocedasticidad
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
129
Introducción a la Econometría
o que las µi son heterocedásticas. En otras palabras los µi
no tienen una varianza constante, que es
lo mismo que decir que la varianza del error no es constante para todas las observaciones de la serie
histórica a partir de la que se determinó la ecuación de regresión.
¿Qué efecto o consecuencia trae la heterocedasticidad?
• Las estimaciones a$ y b$ de mínimos cuadrados son insesgados pero no consistentes ni eficientes,
es decir, no poseen varianza mínima, algunos datos tienen una varianza más grande; además el
valor del estimador no tiende al del parámetro a medida que crece el tamaño de la muestra, se dice
que es inconsistente.
• Las varianzas estimadas var ( a$ ), var ( b$ ) no son insesgadas. Al ser sesgados los estimadores de las
varianzas, invalidan las pruebas de significación sobre las hipótesis que se establezcan.
¿Cómo se detecta?
Señala Gujarati (1991:275) que no es fácil detectarla, que “ no existen reglas fijas y seguras para
detectarlo, sino sólo unas cuantas reglas generales”.por ello se han creado algunos métodos
informales y de aproximación para detectar la presencia de heterocedásticidad, reglas a las que llama
algunos remedios ( o sea que ni siquiera califica o eleva al rango de métodos o técnicas), los cuales
generalmente examinan los residuos obtenidos de la aplicación de M CO para identificar en ellos
patrones sistemáticos. Lo anterior en palabras de Carrascal ( 2001:227): “ no existen reglas fijas
para saber si en un modelo existe heterocedasticidad; pues en todos los contrastes estadísticos se
plantea la hipótesis nula de homocedasticidad. Además, dado que las perturbaciones aleatorias no
son observables, las formas de detección se basan en los errores de la estimación por mínimos
cuadrados ordinarios. En concreto, la mayor parte de los contrastes van a utilizar el cuadrado de
dichos errores como indicativo de la varianza de cada perturbación o el valor absoluto de dicho error
para aproximar la desviación típica.”
Derivado de lo anterior podemos decir que en general se pueden realizar cualesquiera de las siguientes
pruebas:
1. M étodo gráfico
2.
Ramsey
3.
Glejser
4.
Breusch y Pagan
5.
White
6.
Goldfeld y Quant
7.
Razón de verosimilitades
130
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Al respecto sobre el método gráfico, G.S
M addala en su obra “Introducción a la Econometría;
Segunda Edición de la Editorial Prentice Hall, capítulo 5, hoja 229, pone un ejemplo sencillo pero
ilustrativo a través del cual se identifica la heterocedastidad con el método gráfico.
El autor hace función el consumo (y) del ingreso (x). Para ello presenta la información de 20 familias,
misma que aparece en la siguiente tabla, cuyo ingreso y consumo se expresa en miles de dólares.
FAMILIA
Y
Yc
X
Y-Yc =Ui
RES IDUO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
19.9
31.2
31.8
12.1
40.7
6.1
38.6
25.5
10.3
38.8
8.0
33.1
33.5
13.1
14.8
21.6
29.3
25.0
17.9
19.8
20.9019921708
29.8952390494
33.7623352071
11.7288803547
38.8884859279
6.42286469639
41.0468651788
24.3194259847
10.1100959166
36.9999040834
8.13158160331
31.8737533626
35.0213897701
13.5275297304
15.5959765125
22.520776609
27.9167247361
26.297940298
17.2147609506
18.9234778576
22.3
32.3
36.6
12.1
42.3
6.2
44.7
26.1
10.3
40.2
8.1
34.5
38.0
14.1
16.4
24.1
30.1
28.3
18.2
20.1
-1.00
1.30
-1.96
0.37
1.81
-0.32
-2.45
1.18
0.19
1.80
-0.13
1.23
-1.52
-0.43
-0.80
-0.92
1.38
-1.30
0.69
0.88
Con estos datos y trabajando con el Programa Eviews, se procede a crear la base de datos: vamos a
“File”, luego a New Workfile periodicidad: ponemos de inicio (start: 1) y de final (end:12) ok abre
nuevamente el workfile, hacemos doble clic y se abre el archivo en el que registramos los datos de Y e
X, en name le ponemos el nombre del grupo01. También podemos ir a Quick Empty Group (edit
series) y registramos los datos de Y e X, luego guardamos con Save. Ahora ya estamos listos para
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
131
Introducción a la Econometría
hacer análisis econométrico. Fijámos el cursor en Quick, aparece un cuadro o caja de diálogo, ahí se
pulsa Estimate equation, se especifica: y_c_x, oprimimos la palabra ok y se obtiene la siguiente
ecuación de regresión:
Y = 0.847 + 0.899X
R2 = 0.986
(0.703)
(0.0253)
RSS = 31.074
Para calcular Ui: en el cuadro de la ecuación, está la palabra view, ahí pulsamos el cursor y aparece,
entre otros, actual fitted residuals, pedimos actual fitted table, oprimimos el lado izquierdo del ratón
y parecen los valores originales de Y, los de cada una de las Y´s calculadas con la ecuación de
regresión anterior y Ui= Yi-Yc donde i=1,2,3,…….18,19,20
Con esos datos procedemos a identificar la heterocedasticidad:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 11/22/04 Time: 19:46
Sample: 1901 1920
Included observations: 20
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X
0.847052
0.899325
0.703355
0.025309
1.204302
35.53360
0.2441
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.985944
0.985164
1.313895
31.07377
-32.78509
2.582686
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
23.55500
10.78691
3.478509
3.578082
1262.637
0.000000
a). Método Gráfico
Estando en la pantalla de este archivo, vamos a view, ahí pedimos actual fitted residuals, luego,
actual fitted graph, decimos ok, y aparece la gráfica de residuos siguiente
132
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
50
40
30
20
10
2
0
1
0
-1
-2
-3
02
04
06
08
Residual
10
12
Actual
14
16
18
20
Fitted
Ahora vamos a Quick Estimate Equation; U- C X, ok y sale la ecuación. Ahora vamos a View
Actual, Fitted, Residual, Actual Fitted Table y sale:
obs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Actual
19.9
31.2
31.8
12.1
40.7
6.1
38.6
25.5
10.3
38.8
8
33.1
33.5
13.1
14.8
21.6
29.3
Fitted
20.9019921708
29.8952390494
33.7623352071
11.7288803547
38.8884859279
6.42286469639
41.0468651788
24.3194259847
10.1100959166
36.9999040834
8.13158160331
31.8737533626
35.0213897701
13.5275297304
15.5959765125
22.520776609
27.9167247361
Residual
-1.00199217083
1.30476095063
-1.96233520714
0.371119645276
1.8115140721
-0.322864696388
-2.44686517875
1.18057401532
0.189904083412
1.80009591659
-0.13158160331
1.22624663735
-1.52138977013
-0.427529730432
-0.795976512495
-0.920776608968
1.38327526391
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Residual
|
.* |
|
. |
| * . |
|
. |*
|
. |
|
. *|
|* . |
|
. |
|
. |*
|
. |
|
. *|
|
. |
| *. |
|
. *|
|
.* |
|
.* |
|
. |
Plot
.
*
.
.
. *
.
.
*
.
. *
.
*
.
.
.
.
.*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
Introducción a la Econometría
18
19
20
25
17.9
19.8
26.297940298
17.2147609506
18.9234778576
-1.29794029795
0.685239049368
0.876522142446
|
|
|
*
.
.
| .
| * .
| *.
|
|
|
Lo anterior ahora visto en términos de dispersión de las Ui con respecto a X’s:
Continuando con el análisis gráfico ahora sí representamos la relación Xi con Ui vamos a Quick ahí
pedimos Graph, aparece la pantalla Series List con Group01, lo borramos y en su lugar ponemos X
U, damos ok y aparece Line Graph: seleccionamos Scatter Diagram, ok aparece la siguiente gráfica.
2
1
U
0
-1
-2
-3
0
10
20
30
40
50
X
que es la figura típica que resulta al graficar los valores de los residuos versus los valores de X,
ingreso, obteniéndose el diagrama que indica o permite identificar que hay un problema de
heterocedastidad, puesto que hay una alta dispersión de Ui a medida que aumenta el valor de X,
mismo que debe resolverse para recuperar la bondad estadística de los estimadores.
Conviene reiterar, como se estableció antes, que los datos entre paréntesis que acompañan la ecuación
de regresión, corresponden a los errores estándar de los coeficientes. Así, a partir de la ecuación de
regresión se calcularon los residuos en la forma ya familiar en esta etapa del conocimiento
econométrico. Su análisis reveló que dichos residuos ( en valores absolutos ) eran más grandes a
medida que crecía el valor de X, ingreso, y pequeños a medida que X tomaba valores pequeños. Esta
evidencia le permitió señalar a M addala que las varianzas de los errores no son las mismas,
constantes, y por consiguiente hay heterocedasticidad, de tal manera que los estimadores â y bˆ ya no
son eficientes (pero si insesgados) y cuestionan seriamente los resultados a que se llega cuando se
hacen pruebas de significación sobre las hipótesis en materia de regresión y correlación.
134
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
b).- Con la prueba F, estableciendo la Ho: E(Ui2)= σ2 constante, que significa que hay
homocedasticidad, misma que contrasta con Ha: E(Ui2) ≠ de σ2 constante, que indica que hay
heterocedasticidad y donde i= 1,2,……19,20.
¿Cómo se corrige o resuelve la heterocedastidad?
Con:
• La aplicación de la técnica de mínimos cuadrados ponderados;
• La deflactación de los datos mediante alguna medida de “tamaño”;
• La transformación de los datos en la forma funcional denominada logarítmica.
X.1.1
Identificación numérica de la heterocedasticidad
Tomando como referencia los datos anteriores, se corren las regresiones y se establece la hipótesis
nula de homocedasticidad y se prueba que los coeficientes son o no significativos.
X.1.1.1
La prueba de Ramsey
Se hace la regresión de ût sobre y$t2 , y$t3 ... y la prueba de significación de los coeficientes. Así, dado
que existe una sola variable explicativa x, se puede utilizar en lugar de y$ para identificar la
heterocedasticidad. Se hace la regresión de ûi sobre x i2 , x i3 ... x in . Los resultados fueron:
u$ = − 0.379 + 0.236(10 −2 x 2 − 0549
.
)(10 −4 x 3 )
R 2 = 0.034
Como ninguno de los coeficientes tuvo una relación t>1, se toma la decisión de aceptar la hipótesis
nula, es decir, que no hay heterocedasticidad, además que al ser R2 pequeña indica que no es fuerte la
relación entre X, µi, i.e,, no hay heteroscedasticidad..
X.1.1.2
La prueba de White
Se hace la regresión de u$t sobre todas las variables explicativas, sus cuadrados y sus productos
cruzados. Así cuando 2 variables explicativas x 1 , x 2 , White establece la regresión u$t2 sobre
x 1 , x 2 , x12 , x 22 , x1 x 2 .
Los valores que se obtuvieron considerando una sola variable explicativa, fueron:
u$ 2 = −1.370 + 0116
. x
(0.390) (0.0014)
u$ = 0.493 - 0.071x + 0.0037x2
R 2 = 0.7911
R 2 = 0878
.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
135
Introducción a la Econometría
(0.620) (0.055) (0.0011)
En los dos casos R2 es grande y por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y se concluye diciendo
que hay heterocedasticidad.
X.1.1.3.
La prueba de Goldfeld y Quandt
Cuando las muestras no son grandes, se recomienda utilizar esta prueba.
En este caso los errores obtenidos en el primer ejercicio, se clasifican en dos grupos; el primero
comprende los 10 valores pequeños de Ui obtenidos con respecto a x; el segundo, los valores más
grandes de Ui. Enseguida se corre la regresión para cada uno de los dos grupos y, con estos datos, se
hace la prueba F, mediante la cual se contrasta la hipótesis nula de la igualdad de las varianzas del
error.
Para hacer más firme la toma de decisiones para aceptar o rechazar la hipótesis de homocedasticidad,
Salvatore ( 1993:152) y Gujarati ( 1991:266) recomiendan sacar o quitar algunos datos centrales de la
distribución con objeto de “acentuar la diferencia entre el grupo de varianza pequeña y el grupo de
varianza grande”. Sin embargo, en este caso no omitiremos ningún dato porque como dice Gujarati
mismo: “ la habilidad de la prueba de Goldfeld-Quant para llevar a cabo lo anterior en forma exitosa
depende de la manera como se escoja c”, que es el número de datos a omitir. Así, tenemos tenemos
que obtener dos grupos de datos: el primero, con los residuos pequeños , el segundo, con los residuos
grandes; debemos clasificar esos residuos, para ello usando Eviews: Process Sort Series para Y e X y
sus valores aparecen en orden ascendente, ahí luego, sample, doble clic, 1 10 Estimate Equation
name: Group01; igual hacemos para Group02, donde sample: 11 20,
Primer Grupo
Número de
Y1
Valor de Residuo
ui
observación
X1
6
6.1
6.2
-0.32
11
8.0
8.1
-0.13
9
10.3
10.3
0.19
4
12.1
12.1
0.37
14
13.1
14.1
-0.43
15
14.8
16.4
-0.80
19
17.9
18.2
0.69
20
19.8
20.1
0.88
1
19.9
22.3
-1.00
16
21.6
24.1
-0.92
Se estiman estas dos regresiones Ŷ1 y Ŷ2
136
S egundoGrupo
Número de
Y2
Valor de
observación
X2
8
25.5
26.1
18
25.0
28.3
17
29.3
30.1
2
31.2
32.3
12
33.1
34.5
3
31.8
36.6
13
33.5
38.0
10
38.8
40.2
5
40.7
42.3
7
38.6
44.7
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Residuo
ui
1.18
-1.30
1.38
1.30
1.23
-1.96
-1.52
1.80
1.81
-2.45
Introducción a la Econometría
;
Ŷ1 = 1.0533 + 0.876x R2 = 0.985
Ŷ2 = 3.279 + 0.835x R2 = 0.904
(0.616) (0.038) σ=0.689519 σˆ 2 = 0.475
(3.443) (0.096) σ=1.775825 σ$ 2 = 3154
.
El desglose estadístico de estas dos regresiones es, empezando con Y1 , X1 :
Dependent Variable: Y1
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 13:37
Sample(adjusted): 1 10
Included observations: 10 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X1
1.053316
0.876016
0.616164
0.037939
1.709474
23.09013
0.1257
0.0000
0.985217
0.983369
0.689519
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
3.803487
-9.356051
1.745354
14.36000
5.346692
2.271210
2.331727
533.1539
0.000000
Significado S.E. of Regressión= σ YX que antes usamos; es distinto de Std. Error que suele ser menor
porque corresponde a cada parámetro muestral.
De igual manera para Y2, X2
Dependent Variable: Y2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 21:27
Sample(adjusted): 1 10
Included observations: 10 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X2
3.278963
0.834637
3.443383
0.096213
0.952250
8.674885
0.3689
0.0000
0.903908
0.891897
1.775825
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
25.22845
-18.81632
2.051248
32.75000
5.401080
4.163264
4.223781
75.25363
0.000024
Con los dos S .E. of regresión calculamos las dos varianzas y F:
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
137
Introducción a la Econometría
Se calcula F =
Varianza de residuos grandes
Varianza de residuos pequeñ os
=
3154
.
= 6.64
0.475
Para calcular los grados de libertad, gl, de la F téorica Salvatore( 1993:152) y Gujarati (1991:266)
señalan que los grados de libertad tanto para el numerador como para el denominador se calculan con
la fórmula: n-d- 2k/2, donde n= número de observaciones= 20, d= número de observaciones omitidas,
en este caso ninguna, luego d=0, k= número de parámetros= 2 en cada grupo, luego tanto para el
numerador como para el denominador gl= 20-0 -2(2)/2= 20-4/2= 8 gl
Así, la F teórica se obtiene en tablas para α = 1% con 8 y 8 grados de libertad, y es
Fα = 6.03 < F = 6.64, por lo que se rechaza la hipótesis de homocedasticidad y se acepta que hay un
problema de heterocedasticidad. Gráficamente
Zona de rechazo de Ho:
Zona de aceptación de Ho:
F α=6.03
X.1.2
S olución al problema de heterocedasticidad
X.1.2.1 Transformación de los datos en logaritmos, usando una forma funcional doble
logarítmica.
En ocasiones se resuelve haciendo la regresión en forma doble logarítmica lineal. Así usando los 20
datos originales y convirtiéndolos en logaritmos: usando Eviews vamos a Quick Generate Series
enter equation, ponemos lx=log(x); también ly=log(Y) y aparece la siguiente tabla:
obs
138
LX
LY
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3.10458667847
3.47506723023
3.60004824041
2.4932054526
3.74478708605
1.82454929205
3.79997350162
3.26193531433
2.33214389524
3.69386699562
2.09186406168
3.54095932404
3.63758615973
2.64617479738
2.79728133483
3.1822118405
3.40452517175
3.34286180465
2.90142159408
3.00071981507
2.99071973173
3.44041809482
3.45946628979
2.4932054526
3.70622809245
1.80828877118
3.65325227647
3.23867845216
2.33214389524
3.65842024663
2.07944154168
3.49953328238
3.51154543883
2.57261223021
2.69462718077
3.07269331469
3.37758751602
3.21887582487
2.88480071285
2.9856819377
Vamos a Quick: Estímate Equation: LY C LX, ok
Se corre la regresión y se obtiene:
Log y = 0.0757 + 0.9562 log x
R2 =0.9935
(0.0574) (0.0183)
RSS = 0.03757
Dependent Variable: LY
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 22:01
Sample: 1 20
Included observations: 20
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LX
0.075672
0.956186
0.057393
0.018255
1.318496
52.38022
0.2039
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.993482
0.993120
0.045689
Sum squared resid
0.037575
Log likelihood
Durbin-Watson stat
34.39278
2.166013
Mean dependent var 3.033911
S.D. dependent var
0.550836
Akaike info criterion
3.239278
Schwarz criterion
3.139705
F-statistic
2743.688
Prob(F-statistic)
0.000000
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
139
Introducción a la Econometría
Para calcular los residuos con Eviews se estima la regresión, en el menú de View, seleccionar Actual,
Fitted, Residual, después nos vamos a Actual Fitted, Table:
Observación: en la gráfica de la tabla, última columna, no aparecen unidos los puntos, pero
si en la pantalla del monitor.
Enseguida clasificamos las Ui en función de X, en los dos siguientes grupos:
Número de
observación
6
140
Log Y1
calculada
1.8
Log de x1
Residuo
ui
1.82
-0.12
Número de
observación
8
Log Y2
calculada
3.24
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Log de x2
Residuo
ui
3.26
0.44
Introducción a la Econometría
11
9
4
14
15
19
20
1
16
2.08
2.33
2.49
2.57
2.69
2.88
2.99
2.99
3.07
2.09
2.33
2.49
2.65
2.80
2.90
3.00
3.20
3.18
0.04
0.27
0.34
-0.33
-0.56
0.35
0.41
-0.54
-0.46
18
17
2
12
3
13
10
5
7
3.22
3.38
3.44
3.5
3.46
3.51
3.66
3.7
3.65
3.34
3.40
3.48
3.54
3.60
3.64
3.69
3.74
3.80
-0.53
0.47
0.42
0.38
-0.59
-0.42
0.51
0.50
-0.56
Una vez calculados los residuos de los dos grupos se corren sus dos regresiones y se obtiene, para el
primero: Quick, Estimate Equation: LY- C- LX1, ok
Dependent Variable: LY1
Method: Least Squares
Date: 11/22/04 Time: 20:33
Sample(adjusted): 1 10
Included observations: 10 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LX1
0.122770
0.935596
0.083001
0.031083
1.479135
30.09966
0.1774
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.991247
0.990153
0.041927
Sum squared resid
0.014063
Log likelihood
Durbin-Watson stat
18.64455
1.786700
Mean dependent var 2.589000
S.D. dependent var
0.422518
Akaike info criterion
3.328910
Schwarz criterion
3.268393
F-statistic
905.9898
Prob(F-statistic)
0.000000
Y para el segundo grupo: Quick Estimate Equation: LY2 –C- LX2, , ok
Dependent Variable: LY2
Method: Least Squares
Date: 11/22/04 Time: 20:58
Sample(adjusted): 1 10
Included observations: 10 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LX2
0.320335
0.889170
0.358071
0.100780
0.894614
8.822901
0.3971
0.0000
0.906807
0.895158
0.053754
Mean dependent var 3.476000
S.D. dependent var
0.166012
Akaike info criterion
2.831958
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
141
Introducción a la Econometría
Sum squared resid
0.023116
Schwarz criterion
Log likelihood
Durbin-Watson stat
16.15979
2.189455
F-statistic
Prob(F-statistic)
2.771441
77.84358
0.000021
Se dice que hay una solución porque se observa que no hay un aumento significativo en el valor de
los residuos ( ui ) a medida que crecen los valores de x, es decir, se reduce la heterocedasticidad en las
varianzas del error.
X.1.2.2
Aplicación de F
De las dos regresiones anteriores tenemos: con los cálculos de M addala:
Grupo 1
log y = 0.122 + 0.936x R2 = 0.991;
(0.083) (0.031) σ=0.041927
2
σ$ = 0.001596
Grupo 2
log y = 0.320 + 0.889x R2 = 0.907
(0.358) (0.100) σ=0.053754
σ$ 2 = 0.002789
0.002789
= 175
. ; Como Fα = 344
. para α = 5% y con α= 1% tenemos F téorica= 6.03
0.001596
con 8 y 8 grados de libertad. En los dos casos vemos que no se rechaza la hipótesis de
homocedasticidad; se dice que desapareció la heterocedasticidad, que los estimadores ahora son
insesgados y eficientes y ratifican los motivos por los cuales en el capítulo IX se prefirió esta forma
funcional.
Así, F =
En resumen, se debe señalar que es conveniente detectar si existe o no heterocedasticidad, ya que de
identificarse este problema, ello ocasiona que:
a) Los estimadores de mínimos cuadrados sean ineficientes, aun cuando siguen siendo insesgados; es
decir, cuando son ineficientes tienen una varianza más grande.
b) Los estimadores de las varianzas son sesgados. Ello nulifica (mejor dicho, altera los resultados de)
las pruebas de significación que se realizan para probar la bondad de los estimadores.
c) Se relaja el supuesto de que la varianza del término de error ( ui ) es constante.
X.2
AUTOCORRELACION
Si hablamos en términos de la hipótesis nula, ésta se establece diciendo que los términos de error ( ui )
en el modelo de regresión son independientes, es decir: Ho: r=0, no hay correlación.
142
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Lo contrario, es decir la hipótesis alternativa es el relajamiento de este supuesto (hipótesis nula), es
decir Ha: r distinto de cero, donde r es el coeficiente de correlación entre las µi, lo cual indica que
dichos términos de error, son dependientes unos de otros. Lo anterior significa que hay relación entre
ellos, que están correlacionadas, mismas que vistos en función de las SERIES DE TIEM PO, revelan
que hay AUTOCORRELACION entre ellas. Ejemplo, si analizamos el ingreso de las personas en
varios años, el ingreso del año uno influye en el ingreso del año dos, este en el del año tres, y así
sucesivamente, esto origina una autocorrelación en el tiempo.
X.2.1 Identificación de autocorrelación se hace con la r y la estadística de Durbin-Watson.
a). Aquí como en la heterocedasticidad se usa r, cuando su valor es alto: cercano a más uno o a
menos uno, se dice que hay autocorrelación.
b). Prueba de Durbin y Watson
Como el término de error ( ut ) de un año está autocorrelacionado con el del año inmediato anterior
( ut −1 ), Durbin y Watson elaboraron la estadística “d”, que sirve para detectar la autocorrelación y se
determina con la fórmula:
n
d=
∑ ( u$ − u$ )
2
n
∑ u$
1
en la que
u$
t
2
t −1
t
2
t
se define como el residuo estimado para el período o año t.
Si desarrollamos el cuadrado de la fórmula de d, obtenemos
d=
∑ uˆt2 + Σu t2−1− 2Σ uˆt uˆt −1
∑uˆ
2
t
Tomando en cuanta que cuando la muestra es grande se observa que
∑ u$
2
t
y
∑ u$
2
t −1
son casi iguales
ya que difieren en una observación, tal que podemos decir 1+1= 2; en otras palabras
ambas
sumatorias son iguales, y si factorizamos tenemos que d= 2( 1- la segunda parte del desarrollo),
dividida entre el denominador que ahí aparece; luego, si decimos que r representa la autocorrelación
entre ellos, es decir que r representa la segunda y última parte de la ecuación, entonces podemos
establecer que la fórmula se puede expresar como:
d ≅ 2( 1 - r )
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
143
Introducción a la Econometría
Ahora bien, puesto que sabemos que r oscila entre –1 y +1, con desigualdades podemos decir lo
siguiente: -1 ≤ r ≤ + 1
Derivado de lo anterior, podemos establecer las siguientes igualdades:
cuando r = + 1, se dice que d = 0; hay autocorrelación positiva;
cuando r = -1, se dice que d = 4; hay autocorrelación negativa; y
cuando r = 0, se dice que d = 2; no hay autocorrelación.
Por consiguiente cuando d tenga valores cercanos a 0 o 4, diremos que los residuos están altamente
correlacionados.
Es importante decir que la distribución muestral de d depende del valor de las variables explicativas.
Durbin y Watson calcularon los valores de los limites superior ( d u ) e inferior ( d L ) para diferentes
niveles de significación de d. Estos valores están en tablas mediante las cuales se prueban hipótesis
nulas: autocorrelación cero versus las hipótesis alternativas: autocorrelación positiva de primer orden
( entre ut y ut −1 ); cuando la autocorrelación es negativa se intercambian d u y d L . Luego si:
d < d L , se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación, hay autocorrelación, debe
corregirse.
d > d u , no se rechaza la hipótesis nula de independencia, no se hace nada.
d L < d < d u , la prueba no es concluyente, es decir no sabemos si los términos de error
u
i
están autocorrelacionados o son independientes.
Lo anterior dicho en palabras de Dominick Salvatore(9): (“Econometría” Editorial M c Graw Hill,
página 153).
S i d < d L , se acepta la hipótesis de autocorrelación, Ha: r ≠ 0 y se rechaza Ho: r=0
d > d u , se rechaza la hipótesis de autocorrelación, Ha: r ≠ 0 y se acepta Ho: r=0
Para probar la Ho se compara la d calculada con la d en tablas partiendo de que está demostrado que
la esperanza matemática de d, cuando r = 0, está dada por la fórmula:
E(d) = 2 +
2(k − 1)
n−k
K es igual al número de parámetros de regresión estimados (se incluye el término constante).
Dominick Salvatore(9) dice que k = número de variables explicativas + 1 ( término constante ), ver
Anexo.5 en el anexo de todas las tablas estadísticas, y si n es el tamaño de la muestra, vamos a A.5 y
´1
encontramos k , que necesitamos para obtener diferentes valores de d. Con estos datos se buscan
144
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
en la tabla de Durbin Watson los valores d L y d u y se comparan con la d calculada para identificar si
hay o no autocorrelación entre los residuos.
Ejemplo del uso de la prueba de Durbin, Watson: G. S. M addala corre la ecuación logarítmica
lineal para explicar la producción (x) en función de los insumos de capital K y trabajo (L) en Estados
Unidos. (página 114 de obra citada) y halla:
Log X = -3.938 – 1.451 log L1 + 0.384 log K1
(0.237) (0.083)
(0.048)
R2 = 0.9946 ; DW = 0.88
r=0.559= coeficiente de autocorelación, que
enseguida usamos para eliminar la autocorrelación.
Con K1 = k-1 = 3 – 1= 2 y n = 39 con α = 5% se halla en tablas d L = 1.38. Puesto que la d = 0.88 <
d L = 1.38, se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación, en otras palabras se rechaza la
hipótesis nula de r = 0 con α = 5%. Ello significa que hay autocorrelación positiva de primer orden
entre los residuos de mínimos cuadrados, ergo no son independientes u t y u t−1 entre si.
La existencia de autocorrelación también se ratifica con el alto valor que toma R2 = 0.9946
X.2.2
Consecuencia de la autocorrelación
Como indica Dominick Salvatore(9) , la presencia de autocorrelación es común en “Series de Tiempo
y lleva a errores estándar sesgados hacia abajo (y así a pruebas estadísticas e intervalos de confianza
incorrectos)”. Gujarati (1991: 298) por su parte dice que “ aun cuando los estimadores M CO
continuan siendo lineales, insesgados y consistentes, pero dejan de ser eficientes”, situación que
provoca las mismas consecuencias que Salvatore señaló.
X.2.3
Corrección de autocorrelación
a) Dominick Salvatore (*) dice que para corregir la autocorrelación se debe estimar r, por ser
el indicador de la autocorrelación serial. Así se determina a partir de d= 2(1-r);
despejando obtenemos r=2-d/2, de manera que cuando d=0.88,vemos que r= 20.88/2=1.12/2=0.56, valor a utilizar para reducir o eliminar la autocorelación.
Así, según el valor que tome r será la reducción o eliminación de la autocorrelación
(Gujarati,1991:323).
b) El mismo autor Gujarati ( 1991: 330) comenta que Theil y Nagar sugieren que en muestras
pequeñas r se debe estimar con la fórmula:
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
145
Introducción a la Econometría
N 2 (1 − d / 2) + k 2
r=
N 2 − k2
En que:
N: Número total de observaciones
d=d de Durbin Watson
K= Número de coeficientes a estimar
Luego, en el ejemplo anterior calculamos r con las dos fórmulas y obtenemos el mismo resultado:
r = 0.56,
0.88
d
= 1−
= 1 − 0.44 = 0.56 , valor igual al mostrado inicialmente por
2
2
M addala.
•
r =1 −
N 2 (1 − d / 2) + k 2
r=
=
N 2 − k2
(39)2 (0.56) + (3)2 1521(0.56) + 9 851 + 9 860
=
=
=
=
= 0.5665
(39) 2 − 32
1521 − 9
1512
1512
•
Una vez conocido r se puede corregir la autocorrelación partiendo del siguiente razonamiento:
De acuerdo con Gujarati ( 1991:317) si, denominamos como ecuación #1, Yt = β 1 + β 2 X t + µt
Si #1 se cumple en el periodo t, se cumple también en el período t-1, por tanto La ecuación #2:
Yt −1 = β 1 + β 2 X t −1 + µ t −1 ahora multiplicando la ecuación #2 por ρ (nuestra r) en ambos lados de
la ecuación, obtenemos la ecuación #3: ρ Yt −1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t −1 + ρµ t −1 .
Ahora restando la ecuación #3 de la
(Yt − ρ Yt −1 ) = β 1 (1 − ρ ) + β 2 X t − ρβ 2 X t −1 + ( µt − ρµt −1 )
= β 1 (1 − ρ ) + β 2 ( X t − ρX t −1 ) + ε t
#1
obtenemos:
la
ecuación
#4:
donde se usó un esquema autorregresivo de primer orden µi = ρµt −1 + ε t Yt* = β 1* + β 2* X t* + ε t ,
de manera que ahora podemos expresar la ecuación anterior como la siguiente ecuación #5
Y1* = β 1* + β 2* X t* + ε t donde β 1* = β1 (1 − ρ ),Yt * = (Yt − ρYt −1 ) y X t* = ( X t − ρX t −1 ) , que nos da la
pauta para los cálculos que se muestran a continuación.
Señala Gujarati que para no perder la primera observación en el proceso de diferenciación, se
utilizan
y
1
1− rˆ
respectivamente.
2
y
x
1
1− rˆ
2
para la primera observación transformada de Y y X,
Así, en el caso de que
rˆ
≈ 1 , la autocorrelación puede corregirse volviendo a
calcular la regresión en forma de diferencia y omitiendo el término de la ordenada en el origen.
LogX * = log X − 0.5665 log X t −1
146
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
LogL* = log L − 0.5665 log Lt −1
logY (con asterisco)=logY-0.5665logY del año anterior
logB del presente año(con asterisco)=logB del presente año-logB del año anterior
Así, también:
LogK * = log K − 0.5665 log K t −1
En seguida se estimará la nueva ecuación de regresión y es seguro que se obtendrá una d con valor
distinto a 0.88, que al compararse con du y dL (valores teóricos) se aceptará Ho: es decir que ya no
hay autocorrelación.
X.2.3.1 Ejemplo numérico para corregir la autocorrelación
a) D. Salvatore.
D. Salvatore presenta el nivel de inventarios, Y, y ventas X, los dos en miles de millones de dólares
para la industria de manufacturas de los E.E. U.U., del año 1959 al de 1978. Hace la regresión de Y
con X con los siguientes datos:
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
Y
52.9
53.8
54.9
58.2
60.0
63.4
68.2
78.0
84.7
90.6
98.2
101.7
102.7
108.3
124.7
157.9
158.2
170.2
180.0
198.0
X
30.3
30.9
30.9
33.4
35.1
37.3
41.0
44.9
46.5
50.3
53.5
52.8
55.9
63.0
73.0
84.8
86.6
98.8
110.8
124.7
Año
1959
Obtiene
1960
1961
1962
1963
y = 6.61 + 1.63 x
t
(1.98) (32.0)
(3.33) (0.05)
1964
1965
1966
1967
1968
1969
R2 = 0.98
t
d = 0.69
hecho con Eviews
Que en detalle es :
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 11/22/04 Time: 21:13
Sample(adjusted): 1959 1978
Included observations: 20 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
X
6.608085
1.631438
3.329150
0.050975
1.984917
32.00487
0.0626
0.0000
0.982731
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.981771
6.275390
708.8494
-64.05788
0.696772
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
103.2300
46.47964
6.605788
6.705361
1024.312
0.000000
147
Introducción a la Econometría
Dado que con n = 20 y K1 =2-1= 1 y α = 5%
d
L
= 1.20 tenemos que d = 0.70 <
d
L
= 1.20 se
acepta la hipótesis de autocorrelación. Así, para corregir la autocorrelación, se dice que una
estimación de r esta dada por r= 2-d/2 = 2-0.70/2= 1.30/2=0.65
Con la otra fórmula se obtiene r= 0.67
Si usamos r=0.67 para transformar las variables originales y utilizando el dato del año de 1959 :
52.9
1 − ( 0 . 67 )
2
=
39.27
y
del
mismo
año
el
valor
de
las
ventas,
2
30.3 1 − (0.67) = 22.49 para la primera observación transformado de Y y X, respectivamente.
Para el resto de los valores transformados de Y e X se calcula de la siguiente manera:
Puesto que con r= 0.67 obtenemos r cuadrada= 0.4489, entonces
usamos y
1
1− rˆ
2
para el primer dato de Y, que corresponde a 1959, y para no desecharlo
Y1* = Y1 1 − r 2 = 52.9 .5511 = 52.9(74) = 39.27 para el primer término de Y
Y2* = Y2 − rY1 = 53.8 − 0.67(52.9) = 53.8 − 35.44 = 18.36 para el segundo y subsecuentes Y´s, ver
ecuaciones
Y3* = Y3 − rY2 = 54.9 − 0.67(53.8) = 18.85
Y4* = Y4 − rY3 = 58.2 − 0.67(54.9) = 21.41
Y5* = Y5 − rY4 = 60.0 − 0.67 (58.2) = 21.01
Y6* = Y6 − rY5 = 63.4 − 0.67( 60.0) = 23.20
Y7* = Y7 − rY6 = 68.2 − 0.67(63.4) = 25.72
Y8* = Y8 − rY7 = 78.0 − 0.67( 68.2) = 32.31
Y9* = Y9 − rY8 = 84.7 − 0.67(78.0) = 32.44
Y10* = Y10 − rY9 = 90.6 − 0.67(84.7) = 33.85
Y11* = Y11 − rY10 = 98.2 − 0.67(90.6) = 37.50
Y12* = Y12 − rY11 = 101.7 − 0.67(98.2) = 35.91
Y13* = Y13 − rY12 = 102.7 − 0.67(101.7) = 34.56
Y14* = Y14 − rY13 = 108.3 − 0.67 (102.7) = 39.49
Y15* = Y15 − rY14 = 124.7 − 0.67(108.3) = 52.14
Y16* = Y16 − rY15 = 157.9 − 0.67(124.7) = 74.35
Y17* = Y17 − rY16 = 158.2 − 0.67(157.9) = 52.41
Y18* = Y18 − rY17 = 170.2 − 0.67(158.2) = 64.21
Y19* = Y19 − rY18 = 180.0 − 0.67(170.2) = 65.97
Y20* = Y20 − rY19 = 198.0 − 0.67(180.0) = 77.40
148
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Hacemos lo mismo para la transformación de las X´s con r=0.67 y r cuadrada=0.4489
usamos
x
1
2
1− rˆ para el primer dato de X, que corresponde a 1959, y para no desecharlo
X 1* = X 1 1 − r 2 = 30.3 1 − 0.4489 = 30.3 0.5511 = 30.3(0.74) = 22.49 para el primer término de X
X 2* = X 2 − rX 1 = 30.9 − 0.67(30.3) = 10.60 ;para el segundo y subsecuentes X´s, seguir ecuaciones
X 3* = X 3 − rX 2 = 30.9 − 0.67(30.9) = 10.20
X 4* = X 4 − rX 3 = 33.4 − 0.67(30.9) = 12.70
X 5* = X 5 − rX 4 = 35.1 − 0.67(33.4) = 12.72
X 6* = X 6 − rX 5 = 37.3 − 0.67 (35.1) = 13.78
X 7* = X 7 − rX 6 = 41.0 − 0.67(37.3) = 16.00
X 8* = X 8 − rX 7 = 44.9 − 0.67( 41.0) = 17.43
X 9* = X 9 − rX 8 = 46.5 − 0.67(44.9) = 16.42
X 10* = X 10 − rX 9 = 50.3 − 0.67(46.5) = 19.15
X 11* = X11 − rX 10 = 53.5 − 0.67(50.3) = 19.80
X 12* = X 12 − rX 11 = 52.8 − 0.67 (53.5) = 16.96
X 13* = X 13 − rX 12 = 55.9 − 0.67(52.8) = 20.52
X 14* = X 14 − rX 13 = 63.0 − 0.67(55.9) = 25.55
X 15* = X 15 − rX 14 = 73.0 − 0.67(63.0) = 30.79
X 16* = X 16 − rX 15 = 84.0 − 0.67(73.0) = 35.89
X 17* = X 17 − rX16 = 86.6 − 0.67(84.8) = 29.78
X 18* = X 18 − rX 17 = 98.8 − 0.67(86.6) = 40.78
X 19* = X 19 − rX 18 = 110.8 − 0.67(98.8) = 44.60
X 20* = X 20 − rX 19 = 124.7 − 0.67(110.8) = 50.46
Con los datos nuevos, transformados de Y e X, a partir de r, ahora corremos nuevamente la regresión
sobre las variables transformadas (que identificaremos con *), sin omitir los datos de 1959, y se
obtienen:
y
*
t
*
R2 = 0.94
= 4.65 + 1.52 x t
(2.42) (0.08)
d = 1.32
De manera detallada:
Dependent Variable: YCALC
Method: Least Squares
Date: 11/20/04 Time: 14:32
Sample: 1959 1978
Included observations: 20
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Prob.
149
Introducción a la Econometría
C
XCALC
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
4.656444
1.526495
2.423902
0.089229
1.921053
17.10764
0.942061
0.938842
4.746834
405.5838
-58.47472
1.327927
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.0707
0.0000
41.93650
19.19455
6.047472
6.147046
292.6714
0.000000
Vemos en la tabla de Durbin y Watson que con α = 5%, n = 20 y K1 = 1 se obtiene dU = 1.41 y
dL=1.20. Por consiguiente decimos que d = 1.32, esta entre estos dos valores anteriores, lo cual
significa que la autocorrelación esta indefinida.
Por otra parte, es interesante señalar que cuando omitimos los datos de Y e X del primer año, 1959,
al correr la ecuación de regresión se obtiene el siguiente valor de d cuyas “estadísticas” no difieren
sustancialmente de la anterior.
Dependent Variable: YTRNSF
Method: Least Squares
Date: 11/21/04 Time: 09:21
Sample(adjusted): 1960 1978
Included observations: 19 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
XTRNSF
4.526473
1.519796
2.479092
0.094774
1.825859
16.03594
0.0855
0.0000
0.937990
0.934343
4.849969
399.8774
-55.90366
1.335496
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
40.05211
18.92771
6.095122
6.194537
257.1515
0.000000
b) Ejemplo de Gujarati.
A manera de comparación y de ilustración de los diversos métodos recién analizados, adicionalmente
considérese el ejemplo siguiente elaborado por Gujarati ( 1990:323). (Véase la siguiente tabla )
Tabla con los datos originales
Relación entre el índice de vacantes (IV) y la tasa de desempleo (U)
150
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Año y trimestre IV 1957-1959=100
1962 1
104.66
1962 2
103.53
1962 3
97.30
1962 4
95.96
1963 1
98.83
1963 2
97.23
1963 3
99.06
1963 4
113.66
1964 1
117.00
1964 2
119.66
1964 3
124.33
1964 4
133.00
1965 1
143.33
2
144.66
1965
1965 3
152.33
178.33
1965 4
1966 1
192.00
186.00
1966 2
1966 3
188.00
193.33
1966 4
1967 1
187.66
175.33
1967 2
1967 3
178.00
187.66
1967 4
U%
5.63
5.46
5.63
.5.60
5.83
5.76
5.56
5.63
5.46
5.26
5.06
5.06
4.83
4.73
4.46
4.20
3.83
3.90
3.86
3.70
3.66
3.83
3.93
3.96
Fuente: Damodar Gujarati, « fhe Relation between Help-Wanted Index and the Unemploy ment Rate: A Statistical Analy sis, 1962-1967» , The
Quarterly Review of Economics and Business, vol. 8,1968, pp. 67-73.
El modelo de regresión seleccionado para la investigación empírica fue
ln IVt = β 1 + β 2ln Ut + υt
donde IV es el índice de vacantes y U la tasa de desempleo1. A priori, se espera que β 2 sea negativo.
(¿Por qué?) Suponiendo que se cumplen todos los supuestos M CO, se puede escribir la regresión
estimada como:
lnVI =
7.3084 - 1.537510 lnUt
(0.1110) (0.0711)
N = 24
t = (65.825) (-21.612)
r2 = 0.9550
d = 0.9021
De la regresión estimada, se observa que el d de Durbin-Watson indica la presencia de correlación
serial positiva, Para 24 observaciones y 1 variable explicativa, la tabla Durbin-Watson al 5% muestra
que dL = 1.27 Y du = 1.45 Y el d estimado es de 0.9021 y está por debajo del límite crítico.'
Puesto que la regresión arriba citada está contaminada de correlación serial, no se puede confiar en los
errores estándar estimados y en las razones t por los argumentos ya anotados. Por consiguiente, es
necesario aplicar medidas remediales. El remedio, por supuesto, depende de que p (coeficiente de
1
Por el momento, no debe preocupar el problema de simultaneidad, es decir si U ocasiona el IV o viceversa.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
151
Introducción a la Econometría
correlación) pueda ser estimado mediante uno o más de los métodos ya analizados. Para nuestro
ejemplo ilustrativo el p estimado a partir de los diversos métodos es el siguiente:
Método utilizado
d de Durban-Watson
d de Theil-Nagar Cochrane-Orcutt
Iteración I
Iteración II
Iteración III
Iteración IV
Iteración V
Dos etapas, de Durban
P
0.5490
0.5598
0.54571
0.57223
0.57836
0.57999
0.58040
0.7952
Comentario
Véase (12.6.12)
Véase ejercicio 12.6
Como puede ver el lector, el d de Durbin-Watson, el d modificado de Theil-Nagar, el paso l del
procedimiento de dos etapas de Cochrane-Orcutt y el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt
todos producen estimaciones de p que son bastante similares; pero la obtenida de Durbin, dos etapas,
es bastante diferente2.
La pregunta práctica es entonces: ¿Cuál método de estimación de p se debe seleccionar en la práctica?
Se dará respuesta a esta pregunta en breve. Por el momento, se continuará con nuestro ejemplo y se
ilustrará la forma de estimar la ecuación en diferencia generalizada (o estimación M CG factible)
utilizando uno de estos P.
Se utiliza la aproximación de d en muestras pequeñas de Theil-Nagar. Utilizando la fórmula dada en el
ejercicio dos hojas atrás, se obtiene ρ̂ = 0.5598. Con esta estimación, se transforma la información
de la siguiente manera:
InIVt * = ln IVt − 0.5554 ln IVt −1
InU t* = InU t − 0.5554inU t −1
Es decir, se resta 0.5554 veces el valor anterior de la variable de su valor actual. Puesto que la primera
observación no tiene un valor precedente, se tienen dos opciones: (1) eliminarla del análisis, o (2)
incluirla mediante la transformación de Prais-Winsten, la cual, en el presente caso, se convierte en
2
Puede haber una razón técnica para esta diferencia. Si se examina (12.6.19) cuidadosamente, se verá que hay dos estimaciones de p, una
obtenida directamente del valor rezagado de Y y otra obtenida al dividir el coeficiente del valor rezagado de X por el coeficiente de X. No hay
garantía de que las dos estimaciones sean idénticas. El problema real aquí es que (12.6.19) es intrínsecamente un modelo de regresión no lIneal
(en parámetros) y debe ser estimado mediante procedimientos de estimación de regresión no lIneal, que están por fuera del alcance de este lIbro.
152
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
[ 1 − (0.5554 )
2
] [ 1 − (0.5554 )
• InIV1 y
2
]
• InU1 . Se presentan los resultados en las dos formas.
Omitiendo la primera observación
ln IV t* = 3.1284- 1.4672 In U *t
N = 23
r2 = 0.9685
ee = (0.0886) (0.1328)
t = (35.326) (-11.045)
d=1.77
donde las variables con asterisco son las transformadas. como se indicó anteriormente. Obsérvese que
3.1284 = βˆ1 (1 − ρˆ ) = βˆ1 (1 − 0.5554) de donde se obtiene β̂ 1 = 7.3084. que es comparable con el β̂ 1 de
la regresión original (12.7.1).
Incluyendo la primera observación (transformación Prais- Winsten)339
ln IV t* = 3.1361 - 1.4800 In U *t
ee = (0.0813) (0.1198)
t = (38.583) (-12.351)
N = 24
r2 = 0.9684
d = 1.83
(12.7.3)
Comparando la regresión original (contaminada de autocorrelación) con la regresión transformada y
la regresión Prais-Winsten se observa que los resultados son generalmente comparables4. La pregunta
práctica es: ¿se ha resuelto el problema de autocorrelación? Si se toman los valores Durbin-Watson
estimados reportados por sus valores observados, parecería que ya no hay autocorrelación de
(primer orden) (¿Por qué?) Sin embargo, como lo anota Kenneth White en su SHAZAM (p.86).las
tablas de Durbin-Watson pueden no ser apropiadas para probar la presencia de correlación serial en
la información, que ya ha sido ajustada por autocorrelación. Por consiguiente, se puede utilizar una de
las pruebas no paramétricas analizada anteriormente. Para la regresión original puede demostrarse que
con base en la prueba de rachas, no se puede rechazar la hipótesis de que no hay correlación serial en
los residuales de esa regresión. (Véase ejercicio 12.20).
Para la regresión Prais-Winsten (12.7.3) puede también demostrarse que los residuales estimados de
esa regresión están libres del problema de correlación serial. (Verífiquese esto explícitamente. Como
información. hay 11 residuales positivos. 13 residuales negativos y el número de rachas es 12.
Si se desea probar hipótesis sobre los parámetros. se puede proceder en la forma usual. Pero
3
Un punto técnico: El término de intercepto en la regresión Prais-Winsten es algo complicado. Como resultado, se debe efectuar esta regresión
a través del origen. El término de intercepto reportado en (12.7.3) no ha sido mezclado. Para mayores detalles, véase Kenneth J. White y Linda
T.M. Bui, Computer Handhook Using SHAZAM, McGraw-Hill, New York, 1985, p. 86. Para detalles teóricos, véase Jan Kmenta. Elements o/
Econometrics, 2a. ed., Macmillan, New York, 1986. pp. 303-305.
4
Pero recuérdese que en muestras pequeñas. los resultados podrían ser sensibles a la inclusión o exclusión de la primera observación.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
153
Introducción a la Econometría
obsérvese que como se está estimando p. las pruebas usuales de significancia serán estrictamente
válidas solamente en muestras grandes. En muestras pequeñas, los resultados de las pruebas serán
solo aproximados. Por ejemplo, de (12.7.2) se puede concluir que el verdadero coeficiente de
pendiente es estadísticamente diferente de cero. Pero se debe tener cautela aquí puesto que nuestra
muestra de 23 observaciones no es demasiado grande.
Comparación de los métodos. Retornando a la pregunta planteada anteriormente: ¿Cuál método de
estimación de p se debe utilizar en la práctica para efectuar la regresión en diferencia generalizada o
M CG factible? Si se está tratando con muestras grandes (digamos, por encima de 60-70
observaciones). no hay gran diferencia en cuál método sea seleccionado. ya que todos producen más o
menos resultados similares. Pero generalmente este no es el caso en muestras finitas o pequeñas ya
que los resultados pueden depender de cuál método se seleccione. En muestras pequeñas, entonces,
¿cuál método es preferible? Desafortunadamente, no hay una respuesta definitiva a esta pregunta
porque los estudios de muestras pequeñas realizados mediante los diversos métodos, a través de las
simulaciones de M onte Carlo, no favorecen consistentemente ninguno de los métodos.
En la práctica, sin embargo, el método frecuentemente utilizado es el método iterativo de CochraneOrcutt, que ya ha sido incorporado a diversos programas de computado tales como ET; SHAZAM ,
TSP Y SAS. A medida que el software de computador se hace más sofisticado, se pueden utilizar
métodos de estimación de p orientados específicamente para tratar con tales muestras pequeñas. De
hecho, en la actualidad, paquetes como SAS contienen M V y algunos procedimientos no lineales de
estimación de p (Véase el procedimiento AUTOREG de SAS).
Por otra parte es conveniente señalar que para llegar a estos resultados transformando las
variables originales, al igual que en el ejemplo anterior, se utilizó el algoritmo que se expresa en la
siguiente tabulación.
IVt
Ut
104.66
103.53
..
..
187.66
5.63
5.46
.
.
3.96
LnIVt
LnUt
InIVt* = ln IVt − 0.5598 ln IVt −1
InU t* = InU t − 0.5598 ln U t −1
..
..
..
..
..
..
..
..
M ediante estas transformaciones se obtuvieron las ecuaciones de regresión que permitieron, primero,
identificar la autocorrelación y segundo, eliminarla.
Así, para verificar la eliminación de autocorrelación, hacemos lo siguiente:
a)Con N=23 y k-1=1 α =5% tenemos que dL=1.257 y du=1.437, comparamos y vemos que: d=1.77
154
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
>du=1.437, luego como d>du no hay correlación y aceptamos Ho: r=0.
b)Con N=24, y k-1=1 α =5% obtenemos en tablas dL=1.273 y du=1.446, comparamos d=1.8342
>du=1.446, como d>du , decimos que no hay correlación y aceptamos Ho: r=0.
X.3
MULTICOLINEALIDAD
Se dice que existe multicolinealidad cuando dos o más variables explicativas están altamente
correlacionadas en el modelo de regresión; esta alta correlación impide conocer el efecto individual de
cada una de estas variables explicativas sobre la variable dependiente.
X.3.1
Consecuencias de la correlación entre variables explicativas.
Los coeficientes estimados con el método de mínimos cuadrados ordinarios, en opinión de D.
Salvatore (misma obra citada anteriormente, página 151), “pueden ser estadísticamente
insignificantes”, aun cuando se vea que R2 tenga valores muy altos y, lo que es más importante, los
coeficientes estimados aun siguen siendo INSESGADOS. Es más, Salvatore menciona que si el
propósito principal de la regresión es el PRONOS TICO “la multicolinealidad no es un problema si
el mismo patrón de multicolinealidad persiste durante el período pronosticado”.
X.3.2
¿Cómo se identifica la multicolinealidad?
1. Cuando se observa que alguno o ninguno de los coeficientes de las variables explicativas es
estadísticamente significativo, además de que R2 resulta alto y F muestra que en conjunto si son
significativos estadísticamente. Carrascal (2001:162).
2. También se detecta la multicolinealidad cuando se obtienen elevados coeficientes de correlación
simple o parciales, entre las variables explicatorias; sin embargo, esto no es muy seguro porque
puede presentarse multicolinealidad “suficiente aun si los coeficientes de correlación simple o
parciales son relativamente bajos (menores que 0.5)”. Derivado de lo anterior es que Carrascal
(2001:174) propone calcular la matriz de correlaciones entre cada par de regresores, es decir hacer
análisis de correlación simple; si la correlación es elevada (próxima a ± 1) es indicativo de que hay
multicolinealidad.
X.3.3 Métodos para reducir o eliminar la multicolinealidad
a) Se amplia el tamaño de los datos muestrales;
b) Utilizar información a priori;
c) Se transforma la relación funcional: incrementando o deflactando las variables del modelo.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
155
Introducción a la Econometría
d) Se omite una de las variables altamente colineales. En este caso puede surgir un problema de
especificación o error si la teoría señala que dicha variable omitida se debe incluir en el modelo,
por ello no es recomendable.
NOTA: La transformación de variables incluidas en el modelo para que la nuevas variables
transformadas presenten correlaciones lineales más bajas se hace incrementando las variables, como
ya se indicó y, en el caso de la deflactación de las mismas, se hace con INPC u otro apropiado, de
modo que el modelo ahora se expresa a precios constantes y con ello se elimina la multicolinealidad.
X.3.4 Ejemplos numéricos para identificar y resolver la multicolinealidad.
D. Salvatore en la página 155 de la obra citada plantea el siguiente caso:
La producción en toneladas, Q, los insumos de trabajo en horas-hombre, L, así como los insumos de
capital en horas-máquina, K, así como sus logaritmos naturales, lnQ, InL. lnK, respectivamente, de
15 empresas norteamericanas.
Empresa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Q
2,350
2,470
2,110
2,560
2,650
2,240
2,430
2,530
2,550
2,450
2,290
2,160
2,400
2,490
2,590
L
2,334
2,425
2,230
2,463
2,565
2,278
2,380
2,437
2,446
2,403
2,301
2,253
2,367
2,430
2,470
K
1,570
1,850
1,150
1,940
2,450
1,340
1,700
1,860
1,880
1,790
1,480
1,240
1,660
1,850
2,000
LnQ
7.76217
7.81197
7.65444
7.84776
7.88231
7.71423
7.79565
7.83597
7.84385
7.80384
7.73631
7.67786
7.78322
7.72004
7.85941
Lnl
7.75534
7.79359
7.70976
7.80914
7.84971
7.73105
7.77486
7.79852
7.80221
7.78447
7.74110
7.72002
7.76938
7.79565
7.81197
LnK
7.35883
7.52294
7.04752
7.57044
7.80384
7.20042
7.43838
7.52833
7.53903
7.48997
7.29980
7.12287
7.41457
7.52294
7.60090
b1
a) Con esos datos ajustó una función de producción Cobb – Douglas de la forma Q = b0 L
y encontró
R
2
u
así como el coeficiente de correlación simple entre lnL y lnK; para ello transformó
los datos en forma de logaritmo natural y obtuvo:
R2 = 0.969
lnQ = 0.50 + 0.76 lnL + 0.19 lnK
(1.07)
156
b2
K e
( 1.36)
R
2
= 0.964
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
r
ln L ln K
= 0.992
Detalladamente:
Dependent Variable: LQ
Method: Least Squares
Date: 11/22/04 Time: 21:29
Sample: 1 15
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LL
LK
0.500430
0.757561
0.188009
4.480020
0.707327
0.138676
0.111703
1.071019
1.355744
0.9129
0.3052
0.2001
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.968882
0.963696
0.012849
Sum squared resid
0.001981
Log likelihood
Durbin-Watson stat
45.70710
2.087142
Mean dependent var 7.788604
S.D. dependent var
0.067435
Akaike info criterion
5.694280
Schwarz criterion
5.552670
F-statistic
186.8147
Prob(F-statistic)
0.000000
b) Relacionó lnQ con lnL solamente y halló:
LnQ = -5.50 + 1.71 lnL
(0.71) (0.09)
R2 =0.964
Dependent Variable: LQ
Method: Least Squares
Date: 11/21/04 Time: 18:48
Sample: 1 15
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LL
-5.501022
1.708958
0.711105
0.091442
-7.735877
18.68891
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.964116
0.961355
0.013256
Sum squared resid
0.002285
Log likelihood
Durbin-Watson stat
44.63824
2.072943
Mean dependent var 7.788604
S.D. dependent var
0.067435
Akaike info criterion
5.685099
Schwarz criterion
5.590692
F-statistic
349.2753
Prob(F-statistic)
0.000000
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
157
Introducción a la Econometría
c) Relaciono lnQ con lnK solamente
lnQ = 5.33 + 0.33 lnK
(0.13) (0.01)
R2 = 0.966
Dependent Variable: LQ
Method: Least Squares
Date: 11/21/04 Time: 18:49
Sample(adjusted): 1 15
Included observations: 15 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
LK
5.331671
0.330505
0.131934
0.017778
40.41163
18.59031
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.966443
0.963646
0.012767
Sum squared resid
0.001956
Log likelihood
Durbin-Watson stat
42.26587
2.067412
Mean dependent var 7.783546
S.D. dependent var
0.066963
Akaike info criterion
5.752267
Schwarz criterion
5.660973
F-statistic
345.5995
Prob(F-statistic)
0.000000
d) Analizó los resultados anteriores en relación con la multicolinealidad y señaló:
Que en a) ni
b̂
1
ni
b̂
2
eran estadísticamente significativas con α = 5% y como R2 = 0.97, concluyó
que había multicolinealidad, es decir, las empresas más grandes eran propensas a usar más trabajo y
más capital que las empresas pequeñas. Esta situación se confirmó por el valor muy alto de 0.992
para el coeficiente de correlación simple entre lnL y lnK.
En b) y c) al reestimarse la regresiones simples con lnL ó lnK como la única variable explicatoria, se
vio que tanto los coeficientes de lnL como lnK ahora eran estadísticamente significativas con α = 1%
y con R2 superior a 0.96. Estos mejores resultados usando una sola variable explicativa podrían
inducir a usar una sola de ellas en la regresión. Ello no es aconsejable, ya que omitirla en la regresión
múltiple genera una estimación de pendiente con mínimos cuadrados ordinarios sesgada para la
variable explicativa utilizada, debido a que la teoría de la empresa establece que el trabajo como el
capital deben incluirse en la función de producción.
e) ¿Cómo superar lo anterior, cómo eliminar la multicolinialidad trabajando con las dos variables
independientes ?, para ello supone que en esta industria no existen economías de escala (es decir, b1
+ b2=1); ahora bien en palabras de Gujaratí (1991:234): “si se espera obtener retornos a escala
constante, entonces b1+b2=1”.
158
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Se recurre a la transformación de las variables sabiendo que sin economías de escala, la función de
producción Cobb – Douglas se puede plantear como
Q =b L K e
b1
1 −b1
u
0
, ecuación en la que se
observa al compararla con la ecuación inicial, que b2 ahora se obtiene a partir de b1. Al expresar la
nueva ecuación en forma doble – Log y reordenándola, se tiene:
ln Q = ln b0 + b1 ln L + (1 − b1) ln K + u
ln Q − ln K = ln b0 + b1 (ln L − ln K ) + u
Enseguida se establece lnQ* = lnQ – lnK y lnL* = lnL – lnK y luego relacionando y corriendo en la
computadora lnQ* con lnL*, para calcular b1, se obtiene la siguiente ecuación de regresión:
LnQ* = 0.07 + 0.83 lnL*
(0.008)
R2 0.990
(0.022)
Dependent Variable: Q1
Method: Least Squares
Date: 11/21/04 Time: 20:13
Sample: 1 15
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
L1
0.071856
0.830859
0.008354
0.022073
8.601163
37.64117
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
0.990908
0.990209
0.013114
Sum squared resid
0.002236
Log likelihood
Durbin-Watson stat
44.80058
1.960016
Mean dependent var 0.359333
S.D. dependent var
0.132529
Akaike info criterion
5.706745
Schwarz criterion
5.612338
F-statistic
1416.857
Prob(F-statistic)
0.000000
luego
bˆ
2
= 1 − bˆ1 = 1 − 0.83 = 0.17 , de manera que b1+b2=1 es decir 0.83 +
0.17=1
Por consiguiente al hacer la prueba de significación, se recurre a la columna de probabilidad que indica
un valor de cero, indicativo de que son estadísticamente significativas ambas variables, esto es debido
a la probabilidad de α=0.05 que maneja el programa, y por ello ya no existe multicolinealidad.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
159
Introducción a la Econometría
La solución al problema de la multicolinealidad que se presenta podemos decir que es de manera
parcial, ya que es necesario contar con más información (datos) para estimar nuevamente y llegar a la
solución del problema, en donde se puedan usar las dos variables explicativas, ya que como se
recordará el problema de la multicolnealidad “es una cuestión de grado y no de clase. La distinción
significativa no es entre la presencia o ausencia de este fenómeno en un modelo, sino entre sus varios
grados.
Como la multicolinealidad se refiere a una condición sobre las variables explicativas o independientes
que se supone no estocásticas, entonces es una característica de la muestra y no de la población bajo
estudio”.[Luis O, 1992]
Cabe señalar que la detección de multicolinealidad es la mitad de la batalla (Gujarati, 1991:241). La
otra mitad esta relacionada con hallar como deshacerse del problema. Nuevamente, no existen método
seguro, solamente unas pocas reglas generales. Algunas de estas son las ya mencionadas en el punto
XI.3.3. Naturalmente, para saber cual de estar regla utilizar en la practica tenemos que conocer la
naturaleza de los datos y la severidad del problema de multicolinealidad.
El archivo maestro o nuestra base de datos para llegar a estos resultados es.
obs
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
Q
2350
2470
2110
2560
2650
2240
2430
2530
2550
2450
2290
2160
2400
2490
2590
L
2334
2425
2230
2463
2565
2278
2380
2437
2446
2403
2301
2253
2367
2430
2470
K
1570
1850
1150
1940
2450
1340
1700
1860
1880
1790
1480
1240
1660
1850
2000
LQ
7.76217060714
7.81197342962
7.65444322647
7.84776253747
7.88231491898
7.71423114485
7.79564653633
7.83597458172
7.84384863815
7.80384330354
7.73630709655
7.67786350068
7.78322401634
7.82003798946
7.85941315469
LL
7.75533881285
7.79358680337
7.70975686445
7.80913539812
7.8497137576
7.73105314401
7.77485576667
7.79852305363
7.80220931625
7.78447323574
7.74109909004
7.72001794043
7.76937860951
7.79564653633
7.81197342962
LK
7.35883089834
7.52294091807
7.04751722136
7.57044325206
7.80384330354
7.20042489294
7.43838353004
7.52833176671
7.53902705582
7.48997089883
7.29979736676
7.1228666586
7.41457288135
7.52294091807
7.6009
LQ*1
0.41
0.29
0.61
0.28
0.08
0.51
0.36
0.31
0.3
0.31
0.44
0.56
0.37
0.3
0.26
L*1
0.4
0.27
0.66
0.24
0.05
0.53
0.33
0.27
0.26
0.29
0.44
0.6
0.36
0.28
0.21
XI . M O D ELO D E ECU ACI O N ES S I M U LTAN EAS :
APLI CACI O N ES ECO N Ó M I CAS A ECU ACI O N ES D E EQ U I LI BRI O 2 .
Con los uniecuacionales se establece una relación unidireccional, de causa a efecto; donde X es la
causa y Y el efecto: No obstante hay situaciones en que Y influye también X, en este caso es preciso
considerar dos ecuaciones : a un modelo de ecuaciones simultaneas, en el que hay más de dos
ecuaciones , una para cada variable dependiente se le llama modelo de ecuaciones simultaneas.
160
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
En este caso el método M CO, es generalmente inaplicable para estimar los parámetros de cada una
de las ecuaciones en el modelo.
Por otra parte si en este modelo existen dos o más ecuaciones no es posible obtener valores
numéricos de cada parámetro en cada ecuación porque las ecuaciones no son observacionalmente
distinguibles, es decir se parecen mucho entre si , entonces se tiene el problema de
IDENTIFICACIÓN; por ejemplo en la regresión de la cantidad Q sobre el precio P ¿es la ecuación
resultante una función de oferta o de demanda¿ ya que Q y P son parte de las dos funciones. Luego
es importante resolver el problema de identificación antes de proceder ala estimación . para ello hay
diversos métodos, como también los hay para estimar los modelos de ecuaciones simultaneas.
El metodo de M CO no es aplicale porque uno de sus supuestos es que X no es estocàstica, y si lo es,
esta distribuida independientemente del termino de perturbación (Ui) estocàstico . si no se cumple lo
anterior, entonces los estimadores de M CO son sesgados e inconsistentes: cuando n tiende a N, el
valor del estimador no converge con el valor del parámetro poblacional, dado que hay correlación
entre X y U i.
Métodos para la Estimación
Para estimar los parámetros de los modelos existen diversos métodos, destacan: a) Uniecuacionales o
de información limitada; b) M étodos de sistemas conocidos como M étodos de información
completa.ç
En los uniecuacionales cada ecuación ( en el sistema de ecuaciones simultáneas) se estima
individualmente considerando las restricciones impuestas sobre ella ( tales como la exclusión de
algunas variables ) sin preocuparse de las restricciones sobre las otras ecuaciones en el modelo, de
ahí el nombre de métodos de información limitada .
En el segundo grupo de métodos , se estiman todas las ecuaciones en el modelo de manera simultanea,
teniendo en cuenta ,las restricciones ocasionadas por la omisión o ausencia de algunas variables sobre
dichas ecuaciones, por eso se llaman métodos de información completa.
Idealmente se deberían usar los métodos de sistemas, dentro de los que destaca el método de máxima
verosimilitud con información completa, pero en la pràctica no se usan por: a) El gran numero o
volumen de datos, b) Conducen a soluciones que son altamente no lineales en los parámetros y por
ende, difíciles de determinar y c) Si hay un héroe de especificación, este se trasmite al resto del
sistema. En consecuencia estos métodos se vuelven muy sensibles a los errores de especificación.
Por consiguiente, en la practica, se usan los métodos uniecuacionales con mucha frecuencia, los cuales
son:
1. M ínimos cuadrados ordinarios, M CO;
2. M ínimos cuadrados indirectos, M CI; y
3. M ínimos cuadrados de dos etapas .
Sobre uno, antes se hablò de sus limitaciones, sin embargo hay una situación en que puede aplicarse
apropiadamente: En los modelos recursivos, triangulares o causales, donde las perturbaciones de
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
161
Introducción a la Econometría
diferentes ecuaciones no están correlacionadas, es decir existe cero correlación contemporánea ( el
mismo periodo.
Con el dos, se usa cuando la ecuación estructural esta exactamente identificada; donde las
estimaciones de los parámetros se conocen como estimaciones de mínimos cuadrados indirectos,
cuyos parámetros son consistentes y, bajo los supuestos apropiados, eficientes.
El método numero tres se usa cuando una variable”representante” de la variable explicativa
estocàstica Y t, tal que aunque se parece a ella ( ambas están altamente correlacionadas), no esta
correlacionada con U-i. Tal variable también se le conoce como estructural, ¿Còmo se obtiene esta
variable? Con el método de mínimos cuadrados en dos etapas, M C2E.
ROSARIO AQUÍ VAN LAS 3 HOJAS DE SALVATORE
162
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
163
Introducción a la Econometría
164
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
165
Introducción a la Econometría
A manera de reit eración, como s e indicó, el s is t ema de ecuaciones s imult áneas es el
fundament o de los mode l os mu l ti e cu aci on al e s , que a diferencia de los modelos
uniecuacionales vis t os has t a el moment o, s e caract eriz an p or lo s iguient e:
a) Exis t e más de una variable dep endient e;
b) Exis t e más de una ecuación;
c) U na variable dep endient e de una ecuación p uede ap arecer como variable
exp licat iva en ot ra ecuación del s is t ema de ecuaciones s imult áneas . P or ello, en
op inión de G ujarat i (1990,275), dicha variable dependiente explicativ a s e conviert e
en es t ocás t ica, es t ando p or lo general correlacionada con el t érmino de p ert urbación
de la ecuación en la que ap arece como exp licat iva. En es t a s it uación el mét odo M CO
no debe ap licars e p orque los es t imadores obt enidos no s on cons is t ent es , lo que
imp lica que no t ienden a s u valor cerdadero, cualquiera que s ea el t amaño de la
mues t ra.
A cont inuación s e exp one la cons t rucción de un modelo mult iecuacional con
ap licaciones a la economía.
XI .1 Teoría de l os Preci os
XI .1.1 I n trodu cci ón : Fu n ci on es y M odel os
La may oría de las p rop os iciones bás icas de la t eoría económica t ienen que ver con
relaciones funcionales y s e p ueden rep res ent ar o formular mat emát icament e. En la
t eoría de los p recios p odemos emp ez ar con dos s up ues t os s imp les :
i ) La cant idad (Q o ) de un bien ofrecido p ara venders e en un moment o dado dep ende
del p recio (p ). En lenguaje mat emát ico, la cant idad ofrecida es función del p recio.
Q 0 = f 1 (p )
A demás , s e s up one que la cant idad ofrecida aument ará s i el p recio aument a y
dis minuirá s i és t e des ciende.
i i ) La cant idad Q d de un bien que los cons umidores demandarán dep ende del p recio
(p ), luego Q d = f 2 (p ). Se s up one que la cant idad demandada aument ará s i el p recio
dis minuy e y dis minuy e s i el p recio aument a.
El p roblema es encont rar funciones mat emát icas que rep res ent en la funciones de
ofert a (Q 0 ) y de demanda (Q d ). Si el p recio s e mide en el eje vert ical y la cant idad
demandada en el eje horiz ont al; s abemos que la curva normal de la ofert a t endrá
p endient e p os it iva y la curva de demanda s erá negat iva.
166
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
d
70
60
q
50
40
30
20
10
0
d
q
0
20
40
60
Las funciones s erán :
Q 0 = 3p
Q d = 40-2p
Es t as dos ecuaciones p roducen líneas rect as de la ofert a y la demanda. D os
ecuaciones de s egundo grado s erán, p ara la mis ma relación económica:
Q 0=p 2+2
Qd =
12
p
La p rimera es una p arábola y la s egunda es una hip érbola rect angular.
En ambas , p art e de la curva es irrelevant e. P recios y cant idades negat ivos no s on de
int erés p ara el economis t a, p or ello los gráficos y diagramas en economía
generalment e mues t ra las s ecciones p os it ivas de las funciones ilus t radas , el res t o es
s imp lement e ignorado en las funciones ant eriores P y Q .
Las cons t ant es que det erminan la relación exact a de P y Q s e conocen como
p arámet ros de las funciones .
En la función lineal de demanda ant erior 40 y -2 s on los dos p arámet ros .
XI .1.2 El aboraci ón de u n M odel o.
U na vez que es cogimos
de la ofert a y demanda,
s imp lement e un s is t ema
la vida económica. P ara
las dos funciones adecuadas p ara rep res ent ar las relaciones
ens eguida p rocedemos a elaborar un modelo. U n modelo es
de ecuaciones s imult áneas des cribiendo algunos as p ect os de
encont rar los valores de las diferent es variables cont enidas
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
167
Introducción a la Econometría
en el modelo es neces ario que el número de incógnit as en el modelo s ea exact ament e
igual al número de ecuaciones .
T omemos el s egundo p ar de ecuaciones de demanda y ofert a
Q 0=p 2+2
Qd =
12
p
El modelo no es t á comp let o y a que t enemos dos ecuaciones p ero t res incógnit as :
Q 0 , Q d , y p . Como nos ot ros bus camos una s it uación de equilibrio, es decir, los
valores de P y Q p ara los cuales la cant idad ofrecida en vent a es exact ament e igual a
la cant idad que los cons umidores comp raran. Lo ant erior nos da la t ercera ecuación,
la de equilibrio.
Q 0=Q d
A hora el modelo es t á comp let o y graficando las funciones p odemos encont rar los
valores de P y Q , y hallar que el p recio y la cant idad s on 2 y 6 res p ect ivament e.
Es t e enfoque que requiere es t ablecer un s is t ema de ecuaciones s imult áneas cuy a
s olución es p ara encont rar los valores de equilibrio de las variables es una de las
herramient as bás icas de los economis t as . N at uralment e los modelos s erán más
comp lejos que el ut iliz ado, p ero los p rincip ios s on los mis mos .
1. Ejercicio: D e las s iguient es ecuaciones indique cuales rep res ent an adecuadament e
a las ecuaciones de demanda y ofert a.
Q = 155-25p
Q = 50p
P = 0.10Q 2
P Q = 20
5Q -50-200P = 0
Q = 1200-p 2
¿Q ue s up ues t os hiz o s obre las caract erís t icas de la forma de las funciones de ofert a
y demanda?
2.- Comp let e los 2 modelos y encuent re el p recio y cant idad de equilibrio, dadas las
s iguient es ecuaciones .
168
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
a) Q d = 100-20p
Q 0 = -5+ 15p
b) Q d = 1000-p 2
Q 0 = 30 p
SO LU CIÓ N :
Q = 155-25p
Q = 50p
P = 0.10Q 2
P Q = 20
es
es
es
es
ecuación
ecuación
ecuación
ecuación
de
de
de
de
demanda
ofert a
ofert a
demanda
es ecuación de ofert a
5Q -50-200P = 0
es ecuación de demanda Q = 1200-p 2
Sup ues t os p ara la demanda: A medida que el p recio aument a, la cant idad demandada
baja.
Sup ues t os p ara la ofert a: A medida que el p recio aument a, la cant idad ofrecida
aument a.
F unción de O fert a
P
Q
2
F unción de demanda
P Q
Si P = 0.10Q
1
.31
2
Si
Q = 155-25p
1 130
Q = P /0.10
2
.44
Q -155+ 25p = 0
2
105
Q=
P
10
3
.54
25p = -Q + 155
P = − Q + 155
25
F unción de demanda
P
P Q = 20
1
Q = 20/P
2
3
Q
20
10
6
Cuando Q = 1200-P 2
F unción de D emanda
P
Q
1
1999
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
169
Introducción a la Econometría
2
3
a)
1996
1961
Q d = 100-20P
Q 0 = -5+ 15P
Q 0=Q d
P = 3; Q = 40
Q d = 1000-P 2
Q 0 = 30P
Q 0=Q d
P = 20; Q = 600
XI .1.3 Con stru cci ón de u n M odel o de Equ i l i bri o
Preci o-D eman da-O ferta 2
Sup onga que s abíamos que a un p recio de 10 p es os la cant idad demandada de un
bien det erminado es de 250 unidades , y que la cant idad demandada aument ará en 50
unidades p or la reducción de cada p es o p or abajo de 10 p es os , y dis minuirá en 50
unidades la cant idad p or el aument o de cada p es o p or arriba de 10 p es os .
La demanda es una línea rect a como s e mues t ra en el s iguient e diagrama, donde la
relación es t e la cant idad demandada (Q d ) y el p recio (p ) p uede des cribirs e as í:
Q d = a-bP
p
25
20
15
D
10
5
0
-5 0
Q
200
400
600
800
Si la demanda s e ext iende al eje de las equis (línea p unt eada), ello imp licaría que una
cant idad finit a hip ot ét ica s ería demandada s i s e t rat ara de un bien librement e
comerciable en el mercado. N o nos int eres a dicha s it uación s ino la p orción
rep res ent ada p or la línea cont inua. La ext ens ión al p unt o en que P = 0 nos
p rop orciona el valor de la cons t ant e “ a” en la ecuación ant erior; s i P = 0; Q d = a.
A demás s abemos que (-b)es la p endient e dela rect a. Emp ez ando en el p unt o P = 0,
s abemos que p or cada aument o de un p es o en el p recio, la cant idad demandada
dis minuirá en 50 unidades , es decir, b= 50, luego p odemos es cribir Q d = a-50p
170
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Y como s abemos p or la información que recibimos que cuando P = 10, Q d = 250,
p odemos hallar el valor de “ a” s us t it uy endo es t os valores .
250 = a-50(10)
a = 750
luego la ecuación de demanda es :
Q d = 750-50p .
A hora analicemos el lado de la ofert a en el mercado. Sup onga que s abemos que s i el
p recio fuera t an bajo como cinco p es os nadie ofrecería nada de la mercancía p ara la
vent a, y que p or cada p es o de aument o arriba de es e nivel ($5.00), s e ofrecerán 20
unidades del bien p ara vent a en el mercado.
La ecuación de la ofert a p uede es cribirs e as í: Q 0 = c+ dp
p
12
O
10
8
6
4
2
Q
0
0
50
100
150
luego d= 20. Como s abemos que Q 0 = 0 cuando P = 5, det erminamos el valor de “ C”
haciendo: 0= C+ (20)(5) C= -100
A s í la ecuación de ofert a es : Q 0 = -100+ 20p
A hora det erminemos los valores de equilibrio de P , Q d , Q o , es decir encont rar el
p recio al cual la cant idad demandada es igual a la cant idad ofrecida en el mercado.
P ara ello s e debe encont rar el p unt o de int ers ección de las dos rect as , con Q d = Q 0
A s í 750-50p
= -100+ 20p
= 70P = 850
P = 12.14
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
171
Introducción a la Econometría
Int erp ret ación: El p recio de equilibrio en es t e mercado es de 12.14. La cant idad
comp rada y vendida a es e p recio s e det ermina s us t it uy endo el valor de P = 12.14 en
cualquiera de las ecuaciones de ofert a y demanda.
Q 0 = -100+ (20)(12.14)
Q 0 = -100+ 242.80
Q 0 = Q d = 142.80
XI .1.4 Vari abl es En dógen as y Exógen as2
T omemos como referencia el modelo lineal ant erior t rabajando con las lit erales de
las ecuaciones :
Q d = a-bP
Q 0 = c+ dP
Q d=Q 0
Las variables en el modelo P y Q es t án int errelacionadas y el valor de una dep ende
del valor de la ot ra, y a que cuando res olvimos el s is t ema de ecuaciones s imult áneas
p udimos encont rar el valor de P y luego el de Q p or s us t it ución.
A hora s up óngas e que s e t rat a de un p roduct o agrícola y des eamos aument ar el
realis mo del modelo incluy endo la p recip it ación p luvial mens ual (R) en la ecuación
de la ofert a, la cual s e conviert e en:
Q 0 = c+ dP + eR
Es t a nueva variable es de diferent e nat uralez a de las variables
P y Q.
Los valores de P y Q s e det erminan dent ro del modelo y p or ello s e denominan
como VARI ABLES EN D O G EN AS . La lluvia mens ual s in embargo, no s e det ermina
p or ninguna variable dent ro del s is t ema, los cambios en P o Q no afect aron el valor
de R.
P ues t o que el valor de R s e det ermina p or fuerz as ext rañas al modelo, s e conoce
como VARI ABLE EXO G EN A.
172
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Es int eres ant e la int erp ret ación gráfica de un cambio en el valor de las variables
exógenas . P ara ello s up onga que la ecuación de ofert a Q 0 = C+ dP + eR t iene los
s iguient es p arámet ros :
Q 0 = 4+ 3p + 2R
En ciert o mes la p recip it ación p luvial fue de 2 p ulgadas , t al que la función de ofert a
fue:
Q 0 = 4+ 3p + 2(2) = 8+ 3p
Q1
En el mis mo mes del s iguient e año la p recip it ación fue 3.5 p ulgadas , la función de
ofert a fue:
Q 0 = 4+ 3p + 2(3.5)
Q 0 = 11+ 3p
Q2
graficando las dos ecuaciones t enemos :
120
p
O2
100
80
O1
60
40
20
Q
0
0
20
40
60
El cambio en el valor de la variable exógena p rodujo un cambio en la función de
ofert a. Si, s in embargo le damos diferent es valores a las variables endógenas P y Q ,
ent onces s up oniendo que no cambie los valores de los p arámet ros , la rect a de la
ofert a no cambia.
D iferent es valores de P y Q s imp lement e rep res ent an diferent es p unt os en la
ecuación de ofert a act ual. P ara Q 1 , t enemos Q 0 = 8+ 3p cuando p = 2, Q = 14; cuando p
aument a a 3, Q aument a a 17, ot ro p unt o en la rect a.
Similarment e p ara cualquier rect a de demanda de la forma Q d = f(p ), los cambios en
cualquier variable exógena: ingres o, gas t o, et c., cambiarán la rect a de la demanda; los
cambios en los p recios no la modificarán.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
173
Introducción a la Econometría
XI .2 Teoría del I n greso 2
XI .2.1
El M odel o S i mpl e Keyn esi an o.
La t eoría de ingres o nacional p uede dis eñars e p ens ando en dos ident idades . La
p rimera es t ablece que p ara una economía cerrada (s in comercio ext erior) el gas t o
t ot al (E) es la s uma de los gas t os de cons umo, (C), gas t o de invers ión (I) y el gas t o
del gobierno (G ).
E= C+ 1+ G
La s egunda ident idad des cribe el des glos e del ingres o nacional en la forma en que s e
recibe en la economía; el ingres o (Y) s e us a p ara comp rar bienes de cons umo (C),
p ara el ahorro (A ), y p ara p agar imp ues t os al gobierno (T ):Y= C+ A + T
P ara un det erminado p eriodo de t iemp o, el gas t o t ot al debe s er exact ament e igual al
ingres o nacional recibido.E= Y y p or cons iguient e : C+ I+ G = C+ A + T
Si s up onemos que el gobierno gas t a exact ament e lo que recibe como ingres o p or los
imp ues t os que cobra, t enemos que (G = T ), luego como (C) ap arece en los dos lados
de la economía, t enemos las ident idades : I= A y C= C.
Es t as ident idades mues t ran que p ara cualquier p eriodo p as ado de t iemp o el t ot al de
gas t o debió s er igual al ingres o recibido, y p or cons iguient e que la invers ión fue
igual al ahorro. Sin embargo no hay raz ón alguna p ara s up oner que al p rincip io del
p eriodo, la cant idad de dinero que los hombres de negocios des ean invert ir s ea igual
a la cant idad que des ean ahorrar las p ers onas . Es t as últ imas p ueden des ear ahorrar
más de lo que p iens an invert ir los hombres de negocios , es t os p ueden p lanear
invert ir más de que las p ers onas p iens an ahorrar.
En el p rimer cas o la p res ión deflacionaria dis minuirá el ingres o nacional has t a que
alcance el p unt o de equilibrio; en el s egundo cas o, la p res ión inflacionaria aument ará
el ingres o nacional has t a un nivel de equilibrio en que el ahorro s ea igual a la
invers ión. La economía s ólo es t ará en equilibrio cuando, a ciert o nivel de ingres o,
cuando la invers ión p laneada s ea igual al ahorro p laneado; en es t e cas o, el gas t o
t ot al p laneado s erá igual al ingres o t ot al es p erado.
El p rofes or K ey nes ilus t ra s u t eoría con el s iguient e modelo mat emát ico.
Ejemp lo: Si la p rop ens ión p romedio a ahorrar en un p aís es t á dada p or la exp res ión:
A = .2Y-50 y el nivel de invers ión es t á dado p or I= .1Y, encuent re el nivel de
equilibrio del ingres o.
174
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
H as t a el moment o el modelo es t á incomp let o, t enemos t res incógnit as (A , I, Y) y
s olo dos ecuaciones . La t ercera ecuación es la de equilibrio: A = I, res olviendo p ara Y
0.2Y-50= .1Y
0.1Y= 50
Y= 500
Sup onga que la p rop ens ión p romedio a ahorrar aument a y que la función de ahorro
cambia a: A = .2y -35.
Si la función de invers ión p ermanece cons t ant e, debemos es p erar p res iones
deflacionarias p ara reducir el nivel de ingres os . D igamos que A ′= I
0.2Y-35= .1Y
0.1Y= 35
Y= 350.
Es t as dos s it uaciones diferent es s e p ueden mos t rar gráficament e:
A, I
400
A'
A
350
300
250
200
150
I
100
50
0
-50
0
500
1000
1500
2000
y
-100
Si A=. 2 y - 5 0
Y
A
o
-50
500
50
Si A’ =. 2 y - 3 5
Y
A’
0
-35
350
35
Si I =. 1 y
y
I
0
0
350
35
500
50
A=I
O t ro diagrama us ado frecuent ement e en la t eoría del ingres o mide el gas t o nacional
(E) en el eje vert ical y el ingres o (Y) en el eje horiz ont al. H emos vis t o que en
equilibrio E= Y
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
175
Introducción a la Econometría
Los p unt os de equilibrio s e encuent ran a lo largo de la línea con ángulo de 45 0 que
es equidis t ant e de los dos ejes . A medida que el gas t o nacional aument a p or un
aument o en el gas t o de cons umo, en la invers ión o en el gas t o del gobierno, el p unt o
de equilibrio s e moverá hacia arriba y el ingres o nacional (medido en el eje
horiz ont al) aument ará.
E
(C+I+G)'
C+I+G
C+I
C
45 00
Y0
Y1
Y
U n hecho imp ort ant e que des t aca la t eoría del ingres o y que s e ve clarament e en
es t e diagrama, es que un aument o en uno de los comp onent es del gas t o p úblico
p rovocará un cambio más que p rop orcional en el ingres o (Y), que s e denomina
EF ECT O M U LT IP LICA D O R.
XI .3 U n M odel o de Creci mi en to Equ i l i brado 2 .
Los modelos cons t ruidos has t a el moment o s e refiere a condiciones es t át icas , s in
embargo es p os ible us ar un conjunt o de ecuaciones s imult áneas p ara es t ablecer las
condiciones p ara el crecimient o equilibrado de la economía. U s emos los s iguient es
s ímbolos :
Y=
C=
A=
c, a=
Ingres o nacional= p roduct o= gas t o
Cons umo
A horro
p rop ens ión a cons umir y ahorrar des p ués de cap t ar el ingres o.
As í tenem os :
C= cY; A = aY; c+ a= 1
I=
invers ión
K=
dis p onibilidad de cap it al
176
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
v=
raz ón cap it al/p roduct o (p or ejemp lo s i v= 4, ello s ignifica que p or
cada
unidad adicional de p roduct o (Y) s e requieren 4 unidades
adicionales de cap it al.
Si s up onemos que el valor de v es cons t ant e de t al manera que t oman el mis mo
valor las raz ones marginal y p romedio
p roduct o/cap it al,
ent onces
p ara
la
economía como un t odo Y= K /v
Ello imp lica que la dis p onibilidad de cap it al es un fact or limit ant e de la cap acidad
de la economía p ara generar el p roduct o, y no la dis p onibilidad de mano de obra ni
de recurs os nat urales . N ues t ro conocimient o de la t eoría del ingres o nacional nos
cap acit a p ara decir que el gas t o t ot al es :
Y= C+ I
Y= cY+ I
Y-cY= I
Y(1-c)= I
Y= I/1-c
Como a= 1-c t enemos que
Y= I/a.
(1)
La ecuación (1) es la ecuación del mult ip licador que mues t ra como el nivel de
invers ión y la p rop ens ión a ahorrar ent re ellos det erminen el nivel de ingres o.
P ara el p roduct o hemos es t ablecido que con una raz ón (cap it al/p roduct o) cons t ant e
k
Y= .
(2)
v
Combinando las ecuaciones (1) y (2) p odemos mos t rar que el gas t o conduce a la
ut iliz ación p lena de la cap acidad de la economía s i y s ólo s i:
I=K
a v
.(3)
Cons t it uy endo el fundament o concis o de las condiciones p ara el us o p leno de los
recurs os dis p onibles . La s uma del t ot al de gas t os generados  I  debe comp rar el
 a
p roduct o generado cuando la cap acidad de la economía es t ot alment e ut iliz ada  Kv  .
Si la raz ón
I 
 
 a
es demas iado p equeña t al que
I
a
⟨
K
v
la demanda es ins uficient e y la
economía op era s in ut iliz ar t oda s u cap acidad ins t alada. En es t as circuns t ancias los
remedios key nes ianos recomiendan aument ar el p roduct o has t a el límit e es t ablecido
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
177
Introducción a la Econometría
p or la cap acidad de la economía. Las dos p os ibilidades s on: A ument ar la invers ión o
aument ar el cons umo lo que s ignifica dis minuir el ahorro.
Cuales quiera de es t os dos p as os t endería a increment ar la raz ón
I 
 
 a
y en s u
moment o la cap acidad, el ingres o y el gas t o.
D es afort unadament e el p roblema p ara los p aís es p obres como M éxico es mucho más
s erio. A menudo la dificult ad no es t rabajar p or abajo de la cap acidad p lena, s ino
que aún a cap acidad p lena, el p roduct o p or p ers ona es demas iado p equeño.
El remedio s imp le de ahorrar menos (y gas t ar más ) no es s uficient e; p ara aument ar
el p roduct o s e debe aument ar la cap acidad de p roducir. En t érminos del modelo (k)
debe crecer.
D e la ecuación (3) s i s up onemos que (a) y (v) s on cons t ant es , es claro que I
t ambién debe crecer. Reordenando la ecuación (3) t endremos :
I =aK
v
.(3a)
Q ue es el nivel de invers ión que us a p lenament e los ahorros generados p or el
ingres o obt enido a cap acidad t ot al de la economía. D ividiendo los dos lados de la
ecuación p or K ,
I
K
=
a
v
.
(3b)
Es t a ecuación es más ilus t rat iva p ues t o que I rep res ent a la adición net a al cap it al en
un p eriodo de t iemp o dado y K rep res ent a el cap it al exis t ent e en es e mis mo
p eriodo, I es la t as a de crecimient o de la dis p onibilidad de cap it al. Es t a t as a debe
K
s er
a
v
anualment e.
Con lo ant erior hemos es t ablecido las condiciones p ara una t as a de crecimient o de la
economía. Si la dis p onibilidad de cap it al crece a una t as a de a ent onces el p roduct o
v
ext ra generado s erá abs orbido p or el increment o en el gas t o t ot al. D e hecho p uede
mos t rars e que no s olament e la dis p onibilidad de cap it al, p ero la invers ión y el
ingres o t ambién deben crecer a una t as a de
a
v
anualment e p ara que s e mant enga el
equilibrio en la economía.
178
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
XI .4 Ejerci ci os
1.-
La economía de un p aís p uede des cribirs e con las s iguient es ecuaciones :
C= 15+ 0.9Y
I= 20+ 0.05Y
G = 25
(a)
Comp let e el modelo y encuent re los valores de equilibrio
Y, C, I y G .
(b)
D ibuje la gráfica de las t res funciones C, C+ I y C+ I+ G y de los
equilibrio del ingres o con y s in el gas t o del
gobierno.
2.El ingres o nacional de A rcadia p uede des cribirs e con las
ecuaciones :
A = 0.25Y-100
niveles
de
s iguient es
I= 250
a) Comp let e el modelo y encuent re los niveles de equilibrio del ingres o y el ahorro.
b) G rafíque la información ant erior en un diagrama.
c) D emues t re algebraicament e que s ucede con la función de ahorro y el nivel de
equilibrio del ingres o cuando:
i ) La gent e decide ahorrar 75 unidades adicionales en t odos los niveles
ingres o.
de
i i ) La gent e decide ahorrar 50 unidades menos en t odos los niveles de
ingres o.
Solución del pr im er pr oblem a
a)
Y = C+ I+ G
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
179
Introducción a la Econometría
Y = [15+ 0.9Y]+ [20+ 0.05Y]+ 25
Y= 35+ 0.95Y+ 25
Y= 0.95Y+ 60
Y-0.95Y= 60
Y(1-0.95)= 60
Y =
60
0.05
Y= 1200
C= 15+ .9(1200)
C= 15+ 1080 = 1095
I= 20+ .05(1200)
I= 20+ 60
I= 80
G = 25
b) P ara dibujar las gráficas de las 3 funciones , les damos valores y t enemos :
Y= C
Y= 15+ 0.9Y
Y-0.9Y= 15
0.1Y= 15
Y =
15
0.1
Y= C+ I
35+ 0.95Y= Y
35= Y-0.95Y
= 150
Y
=
35
0 . 05
= 700
Y= C+ I+ G
60
Y=
= 1200
.05
Y= 1, 200
Los niveles de equilibrio s on: con gas t o del gobierno Y= 1200; s in gas t o Y= 700.
S ol u ci ón del S egu n do Probl ema
a)
Comp let e el modelo: I= A en condiciones de equilibrio, los niveles de
equilibrio del ingres o (Y) y del ahorro (A ) s on:
0.25Y-100= 250
0.25Y= 250+ 100
180
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Y = 350
025
.
Y= 1400
P ara el ahorro t enemos
A = 0.25Y-100
A = 0.25(1400)-100
A = 350-100
A = 250
b)
G rafíque la información ant erior
decimos :
Y
A
1400
250
0
-100
300
A, I
A=0.25Y-100
250
200
150
100
50
y
0
-50
0
500
1000
1500
-100
-150
C) D emues t re algebraicament e que s ucede con la función de ahorro (A ) y (Y)
cuando:
i)
La gent e decide ahorrar 75 unidades más .
0.25Y-25= 250
0.25Y= 275
Y = 275
025
.
ii)
Y= 1, 100
La gent e decide ahorrar 50 unidades menos ent onces
0.25Y-150= 250
0.25Y= 400
Y = 400
025
.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
181
Introducción a la Econometría
Y= 1, 600
Probl ema Tres:
U n t rabajador del D is t rit o federal es t á obligado a gas t ar 110 p es os como cons umo
neces ario fijo p ara p oder vivir. Las encues t as de ingres o y gas t o del Banco de
M éxico indican que p or cada 10 p es os ext ra de ingres o (Y) el t rabajador ahorra 1.50
p es os al mes (A ).
Con es t os dat os ¿Cuál es la ecuación de la función cons umo del t rabajador? R. Es
C= 110+ 0.85Y
Probl ema Cu atro:
a)Exp lique clarament e la relación ent re la función cons umo y la función ahorro en
una economía, s i la función cons umo es C= 30+ 0.8Y
Exp licación como C+ A = Y, t enemos que a medida que aument e C dis minuy e A y
vicevers a, p or cons iguient e A = 0.2Y-30; grafiquelos .
b)A hora s up onga que la invers ión es igual a 20, mues t re gráficament e que el nivel de
equilibrio de C+ I es t á en el p unt o donde A = I.
D emos t ración s i A = 0.2 y -30;
con A = I
0.2y -30= 20
Y= 50/.2
I = 20
Y= 250
Comp robación con:
0.2y -30= 20
0.2(250)-30= 20
20= 20
A=I
X1.4.1 Aplicaciones de Eviews en la obtención de los coeficientes de un modelo
multiecuacional
En la actualidad la estimación de los coeficientes de las variables que integran un modelo
multiecuacional se realiza fácilmente con la aplicación del software llamado Econometric Views,
Eviews, como se demuestra enseguida.
182
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
Se empieza con el encendido de la PC, enseguida se busca y accede al software Eviews, dentro del
cual nos vamos en forma secuenciada a File,new, workfile,data: Start (primer año), end( último
año),ok. Con esas especificaciones vamos a quick,empty group (edit series) en la que aparece una
pantalla con los años arriba enunciados y con celdas que llenamos con los datos de la demanda, la
oferta y el precio, ahí mismo, una vez que capturamos los datos, vamos a name para darle un
nombre al archivo, puede ser el que aparece por default:
obs
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
OFERTA
11
15
17
20
25
28
28
PRECIO
5
6
6
7
8
8
8
DEMANDA
12
13
14
15
16
17
18
Con esas referencias nos vamos a la barra principal al comando objects , pulsamos new object, luego
system, ok y aparece una pantalla en la que escribimos para cada una de las dos ecuaciones así:
Demanda=c(1)-c(2)*precio
Oferta=c(3)+c(4)*precio
En esa misma pantalla está el comando “estimate”,pulsamos el cursor una vez y nos preguntan que
método de estimación queremos usar, seleccionamos entre varios de ellos a LS, ok y aparecen los
valores de los cuatro coeficientes: el de c1,c2,c3 y c4, como se muestra en la siguiente tabla. Con esos
datos enseguida podemos encontrar el precio de equilibrio que iguala la oferta con la demanda.
System: MINCUADRADOS
Estimation Method: Least Squares
Date: 11/07/04 Time: 00:18
Sample: 1999 2005
Included observations: 7
Total system (balanced) observations 14
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
3.387097
-1.693548
-16.25806
5.370968
1.682653
0.242150
3.336441
0.480147
2.012950
6.993786
-4.872876
11.18609
0.0718
0.0000
0.0006
0.0000
Determinant residual covariance
0.139566
C(1)
C(2)
C(3)
C(4)
Equation: DEMANDA=C(1)+C(2)*PRECIO
Observations: 7
R-squared
0.907258
Mean dependent var 15.00000
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
183
Introducción a la Econometría
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
0.888710
0.720663
1.710980
S.D. dependent var
Sum squared resid
2.160247
2.596774
Equation: OFERTA=C(3)+C(4)*PRECIO
Observations: 7
R-squared
0.961576
Mean dependent var 20.57143
Adjusted R-squared
0.953892
S.D. dependent var
6.654751
S.E. of regression
1.428963
Sum squared resid
10.20968
Durbin-Watson stat
2.021480
30
25
20
15
10
5
0
1999
2000
2001
OFERTA
2002
2003
PRECIO
2004
DEMANDA
System: UNTITLED
Estimation Method: Weighted Least Squares
Sample: 1999 2005
Included observations: 7
Total system (balanced) observations 14
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
3.387097
1.693548
-16.25806
5.370968
1.422101
0.204654
2.819808
0.405798
2.381755
8.275159
-5.765664
13.23556
0.0385
0.0000
0.0002
0.0000
Determinant residual covariance
0.139566
C(1)
C(2)
C(3)
C(4)
Equation: DEMANDA = C(1) + C(2)*PRECIO
Observations: 7
184
2005
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
0.907258
0.888710
0.720663
1.710980
Mean dependent var 15.00000
S.D. dependent var
2.160247
Sum squared resid
2.596774
Equation: OFERTA =C(3)+C(4)*PRECIO
Observations: 7
R-squared
0.961576
Mean dependent var 20.57143
Adjusted R-squared
0.953892
S.D. dependent var
6.654751
S.E. of regression
1.428963
Sum squared resid
10.20968
Durbin-Watson stat
2.021480
System: UNTITLED
Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression
Sample: 1999 2005
Included observations: 7
Total system (balanced) observations 14
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
3.387097
1.693548
-16.25806
5.370968
1.422101
0.204654
2.819808
0.405798
2.381755
8.275159
-5.765664
13.23556
0.0385
0.0000
0.0002
0.0000
Determinant residual covariance
0.139566
C(1)
C(2)
C(3)
C(4)
Equation: DEMANDA
Observations: 7
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat
= C(1) + C(2)*PRECIO
0.907258
0.888710
0.720663
1.710980
Mean dependent var 15.00000
S.D. dependent var
2.160247
Sum squared resid
2.596774
Equation: OFERTA =C(3)+C(4)*PRECIO
Observations: 7
R-squared
0.961576
Mean dependent var 20.57143
Adjusted R-squared
0.953892
S.D. dependent var
6.654751
S.E. of regression
1.428963
Sum squared resid
10.20968
Durbin-Watson stat
2.021480
Comentarios finales: Puesto al final de cada libro es conveniente poner un epílogo que cierre la
descripción de su contenido, yo aprovecho para reiterar que esta obra fue escrita para que los
alumnos a manera de autodidactas aprendan econometría, ya que hice mi mejor esfuerzo por
simplificar los procedimientos matemáticos, por explicar casi en palabras llanas los conceptos y
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
185
Introducción a la Econometría
métodos que esta disciplina utiliza para hacer estimaciones con M CO. M i mayor deseo es que así
sea.
Curso de introducción a la econometría: Facultad de Economía de la UNAM
Dr. Genaro Sánchez Barajas :
Q uinto examen parcial.
Nombre del alumno………………………………………………………calif_______
Tema: Modelos multiecuacionales basados en el sistema de ecuaciones simultáneas.
A.-Conteste con una “ X” en SI cuando la afirmación sea verdadera y también con una “ X” en NO cuando la afirmación
sea falsa:
1.-Los modelos uniecuacionales sonn unidireccionales porque sólo la variable regresora, X, influye en la
regresada,Y:
Si___; No____.
2.-En un modelo multiecuacional, por el contrario, existe la situación en que la variable regresada, Y,
influye en la regresada: SI_____;NO_____.
3.-Derivado de 2, es necesario considerar sólo una ecuación para estimar los parámetros de la población :
Si_____; No________
4.-En un modelo multieccuacional el método de MCO es apropiado para estimar los parámetros de cada
una de las ecuaciones del modelo, porque sus estimadores son insesgados y consistentes: SI:_______;
NO:___________
5.-Para estimar los parámetros consistentes, se deben obtener primero los estimadores de las ecuaciones
de forma reducida del modelo : SI:__; NO__.
6.-La IDENT IFICACION se refiere a la posibilidad de calcular los parámetros de una ecuación estructural
a partir de los coeficientes de una ecuación de forma reducida : SI___; NO____.
7.-Una ecuación de un sistema de ecuaciones simultáneas está exactamente identificada si el número de
variables exógenas excluidas de la ecuación es igual al número de variables endógenas en la ecuación
menos 1, Está sobreidentificada o subidentificada si el número de variables exógenas excluidas en la
ecuación excede o es menor que el número de variables endógenas incluidas en la ecuación menos 1 ::
SI____; NO______:
8.-El método de mínimos cuadrados indirectos, MCI, no se usa para calcular los valores de los parámetros
consistentes de ecuaciones exactamente identificadas : SI____;NO_____.
9.-Los MCI suponen el uso de MCO para obtener las ecuaciones de forma reducida: del sistema, para
luego usar sus coeficientes en el cálculo de los parámetros estructurales:SI_____; NO____.
:
10.-El método de mínimos cuadrados en dos etapas,MC2E, se usa para estimar parámetros estructurales
consistentes en ecuaciones sobreidentificadas. Cuando están exactamente identificadas con este método
se obtienen los mismos resultados que con el MCI: SI____; NO______.
186
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
Introducción a la Econometría
B. O bse rvacione s: Cada una de las respuestas correctas vale 10 puntos en escala de 0 a 100. No se
puede usar la calculadora, ni las tablas estadísticas ni la bibliografía correspondiente a cada tema.
Pro fesor Genaro Sá nchez Barajas
187