Año 2008. - IES Ramón Olleros

Selectividad
Junio 2008
JUNIO 2008
PRUEBA A
a x + a y = 1
1.- Sea el sistema: 
2
 x+a y =0
a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del
parámetro a.
b) Resuélvelo para a = 2.
2
3
2.- Sea C (t) el dinero en miles de euros que hay depositado en un día en una sucursal bancaria, en
función del tiempo t, en horas, desde que la sucursal está abierta. Sabiendo que C ‘ (t) = t2 – 7t + 10
y que la sucursal permaneció abierta un total de 8 horas:
a) Obtén los máximos y los mínimos locales de la función C (t).
b) Obtén la expresión de C (t) sabiendo que a las 6 horas de estar abierta la sucursal disponía
de 20000 euros.
3.- Se juntan 3 clases A, B y C con el mismo número de alumnos en el salón de actos de un instituto.
Se sabe que el 10 % de los alumnos de la clase A son zurdos, en la clase B el 8 % son zurdos y en la
clase C el 88% de los alumnos no son zurdos.
a) Si elegimos al azar un alumno del salón de actos, ¿con qué probabilidad el alumno no será
zurdo?
b) Sabiendo que un alumno elegido al azar del salón de actos es zurdo, ¿cuál es la probabilidad
de que no pertenezca a la clase C?
4.- Calcula la probabilidad del suceso A ∩ B sabiendo que la probabilidad de que ocurra al menos
uno de los sucesos A ó B es 0,8 y que P (A) = 0,3.
PRUEBA B
1.- Una fábrica de papel tiene almacenados 4000 Kg de pasta de papel normal y 3000 Kg de pasta
de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan
0,2 Kg de pasta de papel normal y 0,1 Kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja del
segundo tipo se utilizan 0,2 Kg de pasta de papel normal y 0,3 Kg de pasta de papel reciclado. Los
beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente 5 € para el primer
tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas
cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio
máximo obtenido?
ax 2 + bx + c si x ≤ 3
2.- Sea f (x) = 
si x > 3
 mx + n
La representación gráfica de la función f (x) es la siguiente:
Calcula la expresión de la función f (x) sabiendo que el punto A es el vértice de la parábola.
Dpto. Matemáticas
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3.- El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una
distribución normal de media µ y varianza igual a 81.
a) ¿Cuánto vale µ si sabemos que sólo un 10 % de las personas en la sala sobrepasa un
coeficiente intelectual de 105?
En los dos siguientes apartados supondremos que µ = 95:
b) Elegida una persona al azar de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que su coeficiente
intelectual esté entre 86 y 107?
c) Elegimos 9 personas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficientes
intelectuales, ¿cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107?
4.- Un cartero reparte al azar 3 cartas entre 3 destinatarios. Calcula la probabilidad de que al menos
una de las 3 cartas llegue a su destino correcto.
Dpto. Matemáticas
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JUNIO 2008
PRUEBA A
a x + a y = 1
1.- Sea el sistema: 
2
 x+a y =0
a) En función del número de soluciones, clasifica el sistema para los distintos valores del
parámetro a.
b) Resuélvelo para a = 2.
2
3
Solución:
a) Consideremos la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, A :
 a2 a3 1 
 a 2 a3 
A= 
A =
2
 1 a 2 0 
1 a 


Veamos cuándo se anula | A |:
a2 a3
|A|=0
⇒
= a4 – a3 = 0
⇒ a3 (a – 1) = 0
⇒ a = 0 (triple) y a = 1
2
1 a
Por tanto, se tiene que:
• Si a ≠ 0 y a ≠ 1 ⇒ rango (A) = rango ( A ) = 2 = nº incógnitas. El sistema es compatible
determinado, esto es, tiene solución única.
• Si a = 0 ⇒ rango (A) = 1 ≠ rango ( A ) = 2, ya que podemos encontrar un menor de orden
0 1
dos no nulo en la matriz A :
= –1 ≠ 0. Por tanto el sistema es incompatible.
1 0
•
Si a = 1 ⇒ rango (A) = 1 ≠ rango ( A ) = 2, ya que podemos encontrar un menor de orden
1 1
= –1 ≠ 0. Por tanto el sistema es incompatible.
dos no nulo en la matriz A :
1 0
4 x + 8 y = 1
b) Para a = 2, el sistema es: 
. Podemos resolver este sistema de dos ecuaciones con dos
 x + 4y = 0
1
1
incógnitas (compatible determinado) fácilmente, obteniéndose como solución: x =
y= − .
2
8
2.- Sea C (t) el dinero en miles de euros que hay depositado en un día en una sucursal bancaria, en
función del tiempo t, en horas, desde que la sucursal está abierta. Sabiendo que C ‘ (t) = t2 – 7t + 10
y que la sucursal permaneció abierta un total de 8 horas:
a) Obtén los máximos y los mínimos locales de la función C (t).
b) Obtén la expresión de C (t) sabiendo que a las 6 horas de estar abierta la sucursal disponía
de 20000 euros.
Solución:
a) Para estudiar los máximos y mínimos, calculemos los puntos singulares, que son las soluciones
de la ecuación C ‘ (t) = 0:
C ‘ (t) = 0
⇒ t2 – 7t + 10 = 0
⇒ t=2 y t=5
Para ver si estos puntos son máximos o mínimos, estudiemos el signo en ellos de C ‘’ (t):
C ‘’ (t) = 2t – 7
⇒
C ‘’ (2) = 2 · 2 – 7 = –3 < 0
;
C ‘’ (5) = 2 · 5 – 7 = 3 > 0
Por tanto, el máximo se presenta para t = 2 y el mínimo para t = 5.
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b) Para calcular C (t), tengamos en cuenta que:
C (t) = ∫ C '(t ) dt + K
y
C (6) = 20
Con estos datos calculemos C (t):
2
∫ C '(t ) dt = ∫ (t − 7t + 10) dt =
Calculemos K haciendo uso del otro dato (C (6) = 20):
63 7·62
C (6) =
−
+ 10·6 + K = 20
⇒
3
2
t 3 7t 2
Por tanto, C (t) = −
+ 10t + 14
3
2
t 3 7t 2
−
+ 10t + K
3
2
⇒
6 + K = 20
K = 14
3.- Se juntan 3 clases A, B y C con el mismo número de alumnos en el salón de actos de un instituto.
Se sabe que el 10 % de los alumnos de la clase A son zurdos, en la clase B el 8 % son zurdos y en la
clase C el 88% de los alumnos no son zurdos.
a) Si elegimos al azar un alumno del salón de actos, ¿con qué probabilidad el alumno no será
zurdo?
b) Sabiendo que un alumno elegido al azar del salón de actos es zurdo, ¿cuál es la probabilidad
de que no pertenezca a la clase C?
Solución:
Para resolver los dos apartados del ejercicio, hagamos el siguiente diagrama de árbol (Z: “ser zurdo”
y Z : “no ser zurdo”):
0,1
Z
A
Z
0,9
1/3
0,08
1/3
Z
B
0,92
Z
1/3
0,12
Z
C
0,88
Z
a) La probabilidad de no ser zurdo viene dada por (teorema de la probabilidad total):
1
1
1
P ( Z ) = P (A) · P ( Z / A) + P (B) · P ( Z / B) + P (C) · P ( Z / C) = ·0,9 + ·0, 92 + ·0,88 = 0,9
3
3
3
b) ) La probabilidad de que el alumno no pertenezca a la clase C, cabiendo que es zurdo viene dada
por (teorema de Bayes):
P( Z / C )· P(C )
P ( C / Z) =
P(Z )
Tenemos que:
1
1
2
P (Z / C ) = ·0,1 + ·0, 08 = 0,06
;
P (C ) =
;
P (Z) = 1 – P ( Z ) = 0,1
3
3
3
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Por tanto:
P ( C / Z) =
P( Z / C )· P(C )
0, 06·2 / 3
=
= 0,4
P(Z )
0,1
4.- Calcula la probabilidad del suceso A ∩ B sabiendo que la probabilidad de que ocurra al menos
uno de los sucesos A ó B es 0,8 y que P (A) = 0,3.
Solución:
Con los datos del problema sabemos que:
P (A ∪ B) = 0,8
y
P (A) = 0,3
Por otra parte, el suceso A ∩ B es igual al suceso B – A. Por tanto:
P ( A ∪ B) = P (B – A) = P (B) – P (A ∩ B)
Si tenemos en cuenta que:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∪ B) ⇒ P (B) – P (A ∪ B) = P (A ∪ B) – P (A)
Llegamos fácilmente a que:
P ( A ∪ B) = P (B – A) = P (B) – P (A ∩ B) = P (A ∪ B) – P (A) = 0,8 – 0,3 = 0,5
PRUEBA B
1.- Una fábrica de papel tiene almacenados 4000 Kg de pasta de papel normal y 3000 Kg de pasta
de papel reciclado. La fábrica produce dos tipos de cajas de cartón. Para el primer tipo se utilizan
0,2 Kg de pasta de papel normal y 0,1 Kg de pasta de papel reciclado, mientras que para la caja del
segundo tipo se utilizan 0,2 Kg de pasta de papel normal y 0,3 Kg de pasta de papel reciclado. Los
beneficios que la fábrica obtiene por la venta de cada caja son, respectivamente 5 € para el primer
tipo y 6 € para el segundo tipo de cajas. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula cuántas
cajas de cada tipo deben fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto asciende el beneficio
máximo obtenido?
Solución:
Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y el número de cajas de cartón del primer
y segundo tipo que se fabrican, respectivamente. A partir de los datos del problema podemos
plantear las siguientes restricciones:
0,2x + 0,2y ≤ 4000
0,1x + 0,3y ≤ 3000
x≥0
y≥0
La función que nos da los beneficios viene
dada por F (x, y) = 5x + 6y.
Representemos la región factible:
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Los vértices de esta región son:
O = (0, 0) A = (20000, 0) B = (15000, 5000)
C = (0, 10000)
Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios:
F (0, 0) = 5 · 0 + 6 · 0 = 0
F (20000, 0) = 5 · 20000 + 6 · 0 = 100000
F (15000, 5000) = 5 · 15000 + 6 · 5000 = 105000
F (0, 10000) = 5 · 0 + 6 · 10000 = 60000
Por tanto, el máximo se presenta cuando se fabrican 15000 cajas del primer tipo y 5000 cajas del
segundo tipo. El beneficio máximo obtenido es de 105000 €.
ax 2 + bx + c si x ≤ 3
2.- Sea f (x) = 
si x > 3
 mx + n
La representación gráfica de la función f (x) es la siguiente:
Calcula la expresión de la función f (x) sabiendo que el punto A es el vértice de la parábola.
Solución:
En el trozo x ≤ 3, tenemos una parábola que pasa por los puntos A = (2, 1) y B = (3, 2). Con esto,
obtenemos las siguientes ecuaciones:
a · 22 + b · 2 + c = 1
⇒ 4a + 2b + c = 1
2
a·3 +b·3+c=2
⇒ 9a + 3b + c = 2
Además su vértice está en el punto A, y por tanto:
b
xv = −
=2
⇒ b = –4a
2a
Obtenemos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que debemos resolver para calcular
a, b y c.
 4a + 2b + c = 1

9a + 3b + c = 2
 b = −4 a

Una manera fácil de resolverlo es sustituir la última ecuación en las dos anteriores y resolver el
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se obtiene. Se llega a la solución:
a=1
b = –4
c=5
Por otra parte, para x > 3, tenemos una recta que pasa por los punto B = (3, 2) y C = (6, 1). Por
tanto, obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
3m + n = 2

 6m + n = 1
Resolviéndolo se llega a que:
1
n=3
m= −
3
Por tanto la función f (x) es:
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 x2 − 4 x + 5
si

f (x) =  1
 − x + 3 si
 3
x≤3
x>3
3.- El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una
distribución normal de media µ y varianza igual a 81.
a) ¿Cuánto vale µ si sabemos que sólo un 10 % de las personas en la sala sobrepasa un
coeficiente intelectual de 105?
En los dos siguientes apartados supondremos que µ = 95:
b) Elegida una persona al azar de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que su coeficiente
intelectual esté entre 86 y 107?
c) Elegimos 9 personas al azar de la sala y calculamos la media de sus coeficientes
intelectuales, ¿cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107?
Solución:
El coeficiente intelectual de los individuos es una variable aleatoria X, que sigue una distribución
normal N (µ, 9)
a) Como el 10 % de los individuos sobrepasa un coeficiente intelectual de 105, el 90 % estarán por
debajo de ese coeficiente, es decir:
P (X ≤ 105) = 0,9
X −µ
Tipificando, Z =
, tenemos que:
σ
105 − µ 

P Z ≤
 = 0,9
9 

Buscando en la tabla de la distribución normal tipificada la probabilidad 0,9, se encuentra que:
105 − µ
= 1,28
⇒
µ = 93,48
9
b) Si µ = 95, el coeficiente intelectual de los individuos es una variable aleatoria X, que sigue una
distribución normal N (95, 9). Entonces:
107 − 95 
 86 − 95
P (86 ≤ X ≤ 107) = P 
≤Z≤
 = P (–1 ≤ Z ≤ 1,33) = P (Z ≤ 1,33) – P (Z ≤ –1) =
9
 9

= P (Z ≤ 1,33) – (1 – P (Z < 1)) = 0,9082 – (1 – 0,8413) = 0,9082 – 0,1587 = 0,7495
c) Ahora, tenemos una muestra de 9 personas. El coeficiente intelectual de las personas de la
muestra es una variable aleatoria, X ’, que se distribuirá según una normal:
9 
 σ 

X ’ ~ N  µ,
 = N  95,
 = N (95, 3)
n
9


Por tanto:
107 − 95 
 86 − 95
P (86 ≤ X ’ ≤ 107) = P 
≤Z≤
 = P (–3 ≤ Z ≤ 4) = P (Z ≤ 4) – P (Z ≤ –3) =
3
 3

= P (Z ≤ 4) – (1 – P (Z < 3)) = 1 – (1 – 0,9987) = 0,9987
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4.- Un cartero reparte al azar 3 cartas entre 3 destinatarios. Calcula la probabilidad de que al menos
una de las 3 cartas llegue a su destino correcto.
Solución:
Consideremos que al primer destinatario el cartero le debe entregar la carta 1, al segundo la carta 2
y al tercero la carta 3. Las distintas formas de repartirlas vienen dadas por el diagrama de árbol:
¿Entregas
Reparto
correctas?
1/2
1
Sí
2
3
⇒ 123
1
1
3
2
Sí
⇒ 132
1/2
1/3
1/2
1
1
3
Sí
⇒ 213
1/3
2
1
3
1
No
⇒ 231
1/2
1/3
1/2
1
1
2
No
⇒ 312
3
1
2
1
Sí
⇒ 312
1/2
Por tanto, si utilizamos el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que al menos una
entrega sea correcta viene dada por:
P (Al menos una entrega es correcta) =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
4 2
· ·1 + · ·1 + · ·1 + · ·1 = 4· · ·1 = =
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
6 3
Otra forma de hacer el problema, sin hacer el diagrama de árbol, sería:
Hay seis formas de hacer el reparto: 123, 132, 213, 231, 312, 321, donde por ejemplo, xyz indica
que al primer destinatario se le ha entregado la carta del destinatario x, al segundo la del destinatario
y y al tercero la del destinatario z. El número de cartas que llegan al destinatario correcto es,
respectivamente, 3; 1; 1; 0; 0; 1. Vemos que en 4 de los seis casos posibles hay al menos una carta
que llega a su destino correcto. Por tanto:
4 2
P (Al menos una entrega es correcta) = =
6 3
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