apuntes

Capı́tulo 2.
Cinemática en una dimensión
La meánica, la más antigüa de las ciencias fı́sicas es el estudio del movimiento de
los cuerpos.
1.
Distinción entre cinemática y dinámica
Cuando describimos el mvimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que
llamamos cinemática.
Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él y con
las propiedades de los cuerposen movimiento, nos ocupamos de la dinámica.
2.
Concepto de partı́cula
Matemáticamente una partı́cula se considera como un punto, como un objeto sin
tamaño de manera que no hay que hacer consideraciones de rotación o vibración.
En realidad no existe en la naturaleza nada que pueda llamarse un objeto
sin extensión. Sin embargo, los objetos reales a menudo se comportan, con gran
aproximación como partı́culas. Un cuerpo no necesita ser realmente pequeño para
poder ser tratado como partı́cula. Por ejemplo, con respecto a la distancia tierra
sol, el sol y la tierra pueden ser tratados ordinariamente como partı́culas:
106
RT
∼ 11 = 10−5
D
10
3.
Espacio y tiempo
Vamos a tratar estos dos conceptos no desde un punto de vista filosófico (¿ Qué
son?) sino en su relación con el movimiento de los cuerpos.
17
18
3..1
Capı́tulo 2
Movimiento
A un cuerpo le asignaremos una posición en el espacio en un instante de tiempo.
Como varie una en función del otro nos proporcionará su movimiento.
3..2
Medida
Intuitivamente estamos introduciendo la observación cuantitativa, es decir la medición.
Con un patrón de longitud podemos medir la distacia recorrida y con un patrón
de tiempo el tiempo empleado. El hecho de que Galileo se plantease tales medidas
dió lugar al nacimieto de la Fı́sica como ciencia, separándose ası́ de la filosofı́a para
la cual los razonamientos sobre los hechos naturales eran suficiente prueba de los
mismos.
3..3
Homogeneidad del tiempo
En lo que hemos dicho hasta ahora es imprescindible hacer una suposición de partida: el patrón de tiempo no varı́a con el transcurso del mismo. Como no podemos
contrastarlo experimentalmente consideramos la homogeneidad del tiempo como
una hipótesis necesaria.
4.
4..1
Movimiento en una dimensión
Posición
Puesto que el movimiento se realiza en una recta, llamaremos ~i al vector unitario
en la dirección positiva, de manera que la posición de la partı́cula e un instante
dado será:
~ = x(t)~i
r(t)
(4.1)
Podemos representar la curva x(t) que denominaremos trayectoria de la partı́cula
4..2
Velocidad
Da cuenta de la rapidez con que varı́a la posición con el tiempo y se define como:
~
~˙ = dr(t) = ẋ~i
~ = r(t)
v(t)
dt
(4.2)
Cinemática en una dimensión
19
t
1
Figura 2..1: Posición,velocidad y tiempo
4..3
Aceleración
Da cuenta de la rapidez con que varı́a la velocidad con el tiempo y se define como:
2 ~
~ = v(t)
~˙ = d r(t) = ẍ~i
a(t)
dt2
4..4
(4.3)
Ejemplos
Ejemplo 1
¿Es posible que una persona camine a través de una habitación con velocidad
negativa y aceleración positiva?. Poner un ejemplo y hacer un gráfico.
Supongamos que inicialmente su velocidad es ~v = −v0~i donde v0 > 0 y que
acelera con una aceleración constante ~a = a0~i con a0 > 0.
El movimiento será:
~x = (−v0 t + a0 t2 /2)~i
de forma que
~v = (−v0 + a0 t)~i
que está dirigida en la dirección negativa del eje x en el intervalo temporal
0 < t < v0 /g
mientras que la aceleración está siempre dirigida en la dirección positiva del
eje x
20
5.
Capı́tulo 2
Condiciones iniciales
Conocida la aceleración que tiene una partı́cula en una dimensión
~a = a(t)~i
(5.4)
podemos determinar su velocidad y posición mediante dos integraciones sucesivas.
En cada integración hay que introducir una constante arbitraria. Ello significa
que hay infinitas trayectorias posibles con la misma aceleración, tantas como los
diferentes valosres de las constantes arbitrarias. El movimiento concreto de una
partı́cula dada dependerá de los valores particulares que tomen estas constantes.
Para fijarlas hay que conocer la posición y la velocidad inicial
5..1
Posición inicial
5..2
Velocidad inicial
6.
6..1
Movimiento uniformemente acelerado
Caı́da libre
(Resnick 3-10, 3-11)
Cinemática en una dimensión
21
Problemas el Tema II (5-10-2008)
1.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje de las x depende
del tiempo de acuerdo con la ecuación
x = a0 t2 − b0 t3
en donde x está en cm y t en segundos
a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0 ?
b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respectivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partı́cula en recorrer la máxima
distancia posible hacia la derecha?
c) ¿En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Con
que velocidad?. ¿Con que aceleración?.
2.) Una partı́cula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleración
que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración
k = 1, 5 m/sg 3
a) Hacer una gráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10sg
b) Hacer la gráfica de v en función de t en el mismo perı́odo y calcular la
velocidad a los 5sg de empezar el movimiento
c) Hacer la gráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha
avanzado la partı́cula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5
3.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje x varı́a con el
tiempo según la ecuación
v0
x = (1 − e−kt )
k
en la cual v0 y k son constantes
a) Hacer una gráfica de x en función de t
b) Determinar la distancia total que recorre la partı́cula
c) Demostrar que la aceleración está dirigida en sentido contrario a la velocidad
d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita
4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale
del mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzar
al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre?
5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale
de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,
determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido
6.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo dado por ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt).
En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en
cualquier instante
22
Capı́tulo 2
7.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo con una velocidad dada por
v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,
determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo
8.) Una partı́cula se mueve en en el seno de un lı́quido con una aceleración opuesta
a la velocidad en forma a = −kv 2 . Determinar la velocidad en función del tiempo
y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.
9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el
último segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura
desde la cual cae.
10.) Un globo va subiendo a razón de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 m
sobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar al
suelo?
11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta
que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/sg 2 . LLega al suelo con una
velocidad de 3 m/sg
a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire?
b) ¿Desde que altura saltó?
12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . Demostrar que la altura que
alcanza es la mitad de la que alcanzarı́a en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.
13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . En cada rebote pierde 2/3
de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido
durante ese tiempo. Determinar cual serı́a la velocidad equivalente a la que se
hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la
misma distancia en el mismo tiempo.
14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Con
qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo después para que alcance a la
moneda a 15 m del suelo?
Cinemática en una dimensión
7.
23
Problemas
1.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje de las x depende
del tiempo de acuerdo con la ecuación
x = a0 t2 − b0 t3
en donde x está en cm y t en segundos
a) ¿Que dimensiones y unidades deben tener a0 y b0 ?
b) Supongamos que en dichas unidades los valores de a0 y b0 son 3 y 1 respectivamente.Si parte del arigen, ¿Cuanto tarda la partı́cula en recorrer la máxima
distancia posible hacia la derecha?
c) ¿En que posición se encuentra al cabo de los primeros 4 segundos?. ¿Con
que velocidad?. ¿Con que aceleración?.
Solución
• a)
[a0 ] = LT −2
[b0 ] = LT −3
• b)
dx
2a0
= 0 =⇒ 2a0 t − 3b0 t2 = 0 =⇒ t =
= 2sg
dt
3b0
x(t = 2sg) = 4cm
• c)
x(t = 4sg) = −16cm
v = 2a0 t − 3b0 t2 =⇒ v(t = 4sg) = −24cm/sg
a = 2a0 − 6b0 t =⇒ a(t = 4sg) = −18cm/sg 2
24
Capı́tulo 2
5
1
t
2
3
0
–5
–10
–15
–20
Problema 1: Posición, velocidad y aceleración
4
Cinemática en una dimensión
25
2.) Una partı́cula que parte del reposo desde el origen, tiene una aceleración
que aumenta linealmente con el tiempo a = kt siendo el cambio de la aceleración
k = 1, 5 m/sg 3
a) Hacer una gráfica de a en función de t durante el primer intervalo de 10sg
b) Hacer la gráfica de v en función de t en el mismo perı́odo y calcular la
velocidad a los 5sg de empezar el movimiento
c) Hacer la gráfica correspondiente de x en función de t y determinar lo que ha
avanzado la partı́cula en los primeros 5 sg y en los siguientes 5
Solución
100
50
0
5
t
Problema 2: Posición, velocidad y aceleración
26
Capı́tulo 2
3.) La posición de una partı́cula que se mueve a lo largo del eje x varı́a con el
tiempo según la ecuación
v0
x = (1 − e−kt )
k
en la cual v0 y k son constantes
a) Hacer una gráfica de x en función de t
b) Determinar la distancia total que recorre la partı́cula
c) Demostrar que la aceleración está dirigida en sentido contrario a la velocidad
d) Razonar como se puede requerir un tiempo infinito para recorrer una distancia finita
Solución
a)
1
0
5
t
–1
Problema 3: Posición, velocidad y aceleración
b) el máximo de x se alcanza cuando
dx
= 0 =⇒ 0 = v0 e−kt =⇒ t = ∞
dt
luego
xm = x(t = ∞) =
v0
k
Cinemática en una dimensión
27
c)
v=
a=
dx
= v0 e−kt
dt
dv
= −kv0 e−kt = −kv
dt
d) Igual que Aquiles y la tortuga
28
Capı́tulo 2
4.) Un coche sale de una ciudad a 70km/h. Al cabo de 15 minutos otro coche sale
del mismo lugar a 80Km/H. ¿Cuanto tiempo tarda el segundo coche en alcanzar
al primero y a qué distancia de la ciudad ocurre?
Solución
Sea
v1 = 70km/h = 70.103 /3600m/sg = 700m/36/sg
v2 = 80km/h = 800m/36sg
t0 = 15s
200
150
100
50
0
1
1.5
2
t
Problema 4: Posición de los dos coches
• El movimiento del primer coche será
x1 = v 1 t
• el del segundo
x2 = v2 (t − t0 )
• Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer
coche tal que
v1 T = v2 (T − t0 )
1
v2
t0 =
T =
t0
v2 − v1
1 − vv12
T = 15sg1 − 7/8 = 120sg = 2h.
• En este periodo han recorrido un espacio
x1 (T ) = 70km/h.2h = 140Km
Cinemática en una dimensión
29
5.) Una ciudad A se encuentra 54Km al norte de otra ciudad B. Si un coche sale
de A hacia el sur a 60Km/h y al mismo tiempo otro sale de B hacia A a 75Km/h,
determinar a que distancia de A se cruzan y cuanto tiempo después de haber salido
Solución
Sea
v1 = 60km/h = 60.103 /3600m/sg = 600m/36/sg
v2 = 75km/h = 7500m/36sg
x0 = 54km
40
20
0
0.2
t
0.4
Problema 5: Posición de los dos coches
• Tomando el origen en A El movimiento del primer coche será
x1 = v 1 t
• el del segundo
x2 = x0 − v2 t
• Por tanto coinciden al cabo de un tiempo T despues de la salida del primer
coche tal que
v1 T = x0 − v2 T
54km
x0
=
= 0.4h
T =
v2 + v1
135km/h
• En este periodo han recorrido un espacio
x1 (T ) = 60km/h.(0.4h) = 24Km
30
Capı́tulo 2
6.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo dado por ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt).
En t = 0 su velocidad y posición son cero. Determinar la posición y velocidad en
cualquier instante
Solución
• Integrando ẍ = 6at − bω 3 sen(ωt)
ẋ = 3at2 + bω 2 cos(ωt) + c1
con las condiciones iniciales dadas c1 = −bω 2
v = 3at2 + bω 2 cos(ωt) − bω 2
• Integrando la velocidad
x = at3 + bω sin(ωt) + c2
donde c2 = 0 de acuerdo con las condiciones iniciales
Cinemática en una dimensión
31
7.) Una partı́cula sigue un movimiento rectilı́neo con una velocidad dada por
v = k/x donde k es una constante positiva. Si para t = 0 se encuentra en x = 2,
determinar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo
Solución
Problema 7: Posición, velocidad y aceleración
• Integrando
= k/x
1/2x2 − kt + c1 = 0
dx
dt
con las condiciones iniciales dadas c1 = −2
√
x = 2kt + 4
• derivando
v=√
k
2kt + 4
k2
a= √
( 2kt + 4)3
32
Capı́tulo 2
8.) Una partı́cula se mueve en en el seno de un lı́quido con una aceleración opuesta
a la velocidad en forma a = −kv 2 . Determinar la velocidad en función del tiempo
y de la posición si las condiciones iniciales son x = 0 y v = v0 cuando t = 0.
Solución
Problema 8: Gráfica de v en función de x
a = −kv 2
dv
= −kdt
v2
integrando
1
1
v0
= kt +
=⇒ v =
v
v0
1 + v0 kt
integrando de nuevo
x=
1 v0
ln
k
v
o bien, eliminando el tiempo
v = v0 e−kx
Cinemática en una dimensión
33
9.) Si un cuerpo recorre la mitad de su distancia total de caida libre durante el
último segundo de su movimiento a partir del reposo, calcular el tiempo y la altura
desde la cual cae.
Solución
Las condiciones iniciales son
z(0) = h
ż(0) = 0
y por tanto
1
z = h − gt2
2
v = −gt
El tiempo total T de caida corresponde a
s
1
z(T ) = 0 = h − gT 2 =⇒ T = +
2
Sea t0 = 1sg, entonces en T − t0 recorre
2h
g
(1)
h
2
s
z(T − t0 ) =
h
1
= h − g(T − t0 )2 =⇒ T − t0 = +
2
2
Combinando (1) y (2)
s
s
s
s
√
2h
h
h
1
h
−
= ( 2 − 1)
= √
= t0
g
g
g
( 2 + 1) g
Despejando h:
√
h = g( 2 + 1)2 t20 = 57.1 m
√
T = (2 + 2)t0 = 3.4 sg
h
g
(2)
34
Capı́tulo 2
10.) Un globo va subiendo a razón de 12 m/seg. Cuando se encuentra a 80 m
sobre el suelo suelta un paquete. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar al
suelo?
Solución
La altura inicial es:
h = 80 m
Su velocidad inicial es
v0 = 12 m/sg
luego
1
z = h + v0 t − gt2
2
El tiempo que tarda en llegar al suelo es:
1
z(T ) = 0 =⇒ h + v0 T − gT 2 = 0
2
s
"
#
2gh
v0
1 + 1 + 2 = 5.4 sg
T =
g
v0
Cinemática en una dimensión
35
11.) Un paracaidista después de saltar, cae sin rozamiento durante 50 m hasta
que se abre el paracaidas que le frena a razón de 2 m/sg 2 . LLega al suelo con una
velocidad de 3 m/sg
a) ¿Cuanto tiempo ha estado en el aire?
b) ¿Desde que altura saltó?
Solución
Sea h1 = 50m
Es la composición de dos movimientos acelerados
• Hasta que se abre el paracaidas h > z > h2 = h − h1 , 0 < t < T1
Caı́da con acelración −g, posición inicial h y velocidad inicial cero
1
z = h − gt2
2
v = −gt
Este movimiento termina en el momento que se abre el paracaidas, lo que ocurrirá
en el instante t = T1 tal que z = h − h1 = h2 . Por lo tanto:
s
1
2h1
h1 = gT12 =⇒ T1 =
= 3.2 sg
2
g
La velocidad en ese instante será
v1 = v(T1 ) = −
p
2gh1 = −31.3 m/sg
• Al abrirse al paracaidas h2 > z > 0, T1 < t < T2
Caı́da con aceleración a, posición inicial h2 = h(T1 ) y velocidad inicial v1 =
v(T1 )
1
z = h2 + v1 (t − T1 ) + a(t − T1 )2
2
v = v1 + a(t − T1 )
Llegará al suelo en el instante t = T2 tal que z(T2 ) = 0 yv2 = v(T2 ) donde
v2 = −3m/sg. Por tanto
1
0 = z(T2 ) = h2 + v1 (T2 − T1 ) + a(T2 − T1 )2
2
v2 = v(T2 ) = v1 + a(T2 − T1 )
Por tanto
T2 − T1 =
v2 − v1
= 14.15 sg =⇒ T2 = 17.34 sg
a
v 2 − v22
= 242.6 m
h2 = 1
2a
36
Capı́tulo 2
12.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . Demostrar que la altura que
alcanza es la mitad de la que alcanzarı́a en el mismo tiempo si no hubiese gravedad.
Solución
La ecuación del ovimiento es
1
z = v0 t − gt2
2
v = v0 − gt
La altura que alcanza corresponde al instante T en que v = 0. Por tanto:
T =
v0
g
h = z(T ) =
luego
h = v0
T
2
v02
2g
Cinemática en una dimensión
37
13.) Una pelota se lanza al aire con velocidad v0 . En cada rebote pierde 2/3
de la velocidad. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio recorrido
durante ese tiempo. Determinar cual serı́a la velocidad equivalente a la que se
hubiera tenido que mover un cuerpo con movimiento uniforme para recorrer la
misma distancia en el mismo tiempo.
Solución
Como hemos visto en el problema anterior
• En el primer rebote (subida y bajada) emplearı́a un tiempo
T1 =
2v0
g
h1 =
v02
g
y recorrerı́a una distancia
• En el segundo la velocidad inicial es v0 q donde q = 13 : Por tanto:
T2 =
2v0 q
g
h1 =
v02 q 2
g
Tn =
2v0 q n
g
hn =
v02 q 2n
g
y recorrerı́a una distancia
• En el rebote n−ésimo:
y recorrerı́a una distancia
Luego el tiempo total será
T =
∞
X
n=0
= limk→∞
k
X
2v0
n=0
Como q < 1, q k → 0 y por tanto
Tn =
∞
X
2v0
n=0
g
qn
2v0
q = limk→∞
g
g
n
µ
1 − q k+1
1−q
¶
38
Capı́tulo 2
2v0
T =
g
En cuanto a h
∞
X
h=
µ
hn =
n=0
= limk→∞
k
X
v2
n=0
Es decir
=
∞
X
v2
µ
0 2n
1
1 − q2
y por tanto
h=
g
¶
=
v0
T
1+q
luego la velocidad equivalente es
V =
3v0
g
q
v2
= limk→∞ 0
g
q
v2
h= 0
g
¶
n=0
0 2n
g
1
1−q
3v0
v0
=
1+q
4
µ
9v02
8g
1 − q 2k+2
1 − q2
¶
Cinemática en una dimensión
39
14.) Se suelta una moneda al borde de un acantilado de 105 m de altura. ¿ Con
qué velocidad debe lanzarse una piedra 1 segundo después para que alcance a la
moneda a 15 m del suelo?
Solución
xm = h − 1/2gt2
xp = h − v0 (t − t0 ) − 1/2g(t − t0 )2
luego
t=
p
2(h − h0 )/g = 4.3sg
v0 (t− t0 ) = 1/2g(t)2 − 1/2g(t − t0 )2
v=
gt0 2t − t0
= 11.3m/sg
2 t − t0