Combinaciones lineales

Sergio Yansen Núñez
1.
Escriba, es caso de ser posible, el vector −4, 3, −10 como combinación lineal de
1, 3, −2 y 2, 1, 2.
Solución:
−4, 3, −10 será combinación lineal de los vectores 1, 3, −2 y 2, 1, 2 si existen escalares α y β
tales que −4, 3, −10 = α 1, 3, −2 + β2, 1, 2
−4, 3, −10 = α + 2β, 3α + β, −2α + 2β
α + 2β = −4
3α + β = 3
−2α + 2β = −10
A  b =
1
2
−4
3
1
3
donde A =
−2 2 −10
1
2
3
1
−4
, b=
−2 2
3
−10
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0
2
0 1 −3
0 0
0
1 0
rangoA  b = 2 , pues el número de filas no nulas de
2
0 1 −3
0 0
0
1 0
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
rangoA  b = rangoA
De la matriz se obtiene:
⇒
α=2
el sistema tiene solución.
,
β = −3
−4, 3, −10 = 2 1, 3, −2 − 32, 1, 2
Combinaciones Lineales
es 2
es 2
Sergio Yansen Núñez
2
Escriba, es caso de ser posible, el vector 2, 1, 4 como combinación lineal de 4, 1, −1 y
−1, 3, 1.
Solución:
2, 1, 4 será combinación lineal de los vectores 4, 1, −1 y −1, 3, 1 si existen escalares α y β
tales que
2, 1, 4 = α 4, 1, −1 + β−1, 3, 1
2, 1, 4 = 4α − β, α + 3β, −α + β
4α − β = 2
α + 3β = 1
−α + β = 4
A  b =
4
−1 2
1
3
1
−1
1
4
donde A =
4
−1
1
3
−1
1
2
, b=
1
4
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
rangoA  b = 3 , pues el número de filas no nulas de
0 1 0
0 0 1
1 0
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema no tiene solución
el vector 2, 1, 4 no es combinación lineal de 4, 1, −1 y −1, 3, 1.
Combinaciones Lineales
es 2
es 3
Sergio Yansen Núñez
3.
Escriba, es caso de ser posible, el vector 4, 5, −7, 7 como combinación lineal de
2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1.
Solución:
4, 5, −7, 7 será combinación lineal de los vectores 2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1 si existen escalares
α y β tales que 4, 5, −7, 7 = α 2, 1, −1, 3 + β1, −1, 2, 1
4, 5, −7, 7 = 2α + β, α − β, −α + 2β, 3α + β
2α + β = 4
α−β = 5
−α + 2β = −7
3α + β = 7
A  b =
2
1
4
1
−1
5
−1
2
−7
3
1
7
donde A =
2
1
1
−1
−1
2
3
1
4
, b=
5
−7
7
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0
3
0 1 −2
0 0
0
0 0
0
1 0
rangoA  b = 2 , pues el número de filas no nulas de
3
0 1 −2
0 0
0
0 0
0
1 0
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
0 0
rangoA  b = rangoA
De la matriz se obtiene:
⇒
α=3
el sistema tiene solución.
,
β = −2
4, 5, −7, 7 = 3 2, 1, −1, 3 − 21, −1, 2, 1
Combinaciones Lineales
es 2
es 2
Sergio Yansen Núñez
4.
Escriba, es caso de ser posible, el vector 1, −1, 0, 5 como combinación lineal de
1, −1, 2, −3 y −1, 1, −3, 2.
Solución:
1, −1, 0, 5 es combinación lineal de los vectores 1, −1, 2, −3 y −1, 1, −3, 2 si existen escalares
α y β tales que 1, −1, 0, 5 = α 1, −1, 2, −3 + β−1, 1, −3, 2
1, −1, 0, 5 = α − β, −α + β, 2α − 3β, −3α + 2β
α−β = 1
−α + β = −1
2α − 3β = 0
−3α + 2β = 5
A  b =
1
−1
1
−1
1
−1
2
−3
0
−3
2
5
donde A =
1
−1
−1
1
2
−3
−3
2
1
, b=
−1
0
5
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
rangoA  b = 3 , pues el número de filas no nulas de
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0
rangoA = 2 , pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
0 0
rangoA  b = 3
rangoA = 2
Combinaciones Lineales
es 2
es 3
Sergio Yansen Núñez
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema no tiene solución.
Luego, 4, 5, −7, 7 no es combinación lineal de los vectores 2, 1, −1, 3 y 1, −1, 2, 1.
Determine, en caso de existir, el valor de k ∈ IR tal que el vector −4, 1, k, −7 sea
combinación lineal de 1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3.
5.
Solución:
−4, 1, k, −7 será combinación lineal de los vectores 1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3 si existen escalares
α y β tales que −4, 1, k, −7 = α 1, 2, 1, 1 + β2, 1, −1, 3
−4, 1, k, −7 = α + 2β, 2α + β, α − β, α + 3β
α + 2β = −4
2α + β = 1
α−β = k
α + 3β = −7
A  b =
1
2
−4
2
1
1
1 −1
k
1
3
donde A =
1
2
2
1
1 −1
−7
1
−4
, b=
1
k
−7
3
Aplicando operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalonada:
1
2
−4
2
1
1
1 −1
k
−7
1
3
1
2
−4
0
1
−3
0 −3 k + 4
0
1
−3
f 21 −2
f 31 −1
f 41 −1
2
−4
0 −3
9
1
0 −3 k + 4
0
1
−3
1 2
−4
f 32 3
0 1
−3
f 42 −1
0 0 k−5
0 0
0
Combinaciones Lineales
f 2 − 13
Sergio Yansen Núñez
Si k ≠ 5
rangoA  b = 3 , pues el número de filas no nulas de
1 2
−4
0 1
−3
0 0 k−5
0 0
es 3
0
1 2
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
es 2
0 0
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema no tiene solución.
Si k = 5
1 2 −4
rangoA  b = 2 , pues el número de filas no nulas de
0 1 −3
0 0
0
0 0
0
es 2
1 2
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
es 2
0 0
rangoA = rangoA  b
⇒
el sistema tiene solución
Por lo tanto, para k = 5 , el vector −4, 1, k, −7 es combinación lineal de los vectores
1, 2, 1, 1 y 2, 1, −1, 3.
Combinaciones Lineales
Sergio Yansen Núñez
Determine, en caso de existir, el valor de k ∈ IR tal que el vector −4, 3k, k, −10
6.
sea combinación lineal de 1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2.
Solución:
−4, 3k, k, −10 será combinación lineal de los vectores 1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2 si existen
escalares α y β tales que
−4, 3k, k, −10 = α 1, −1, 2, 3 + β−1, 2, 3, −2
−4, 3k, k, −10 = α − β, −α + 2β, 2α + 3β, 3α − 2β
α − β = −4
−α + 2β = 3k
2α + 3β = k
3α − 2β = −10
A  b =
1
−1
−4
−1
2
3k
2
3
k
3
−2 −10
donde A =
1
−1
−1
2
2
3
3
−2
−4
3k
, b=
k
−10
Aplicando operaciones elementales fila, para obtener una matriz escalonada:
1
−1
−4
−1
2
3k
2
3
k
3
−2 −10
1 2
−4
0 1
3k − 4
f 21 1
f 31 −2
f 41 −3
1 2
−4
0 1 3k − 4
f 32 −5
0 5
k+8
f 42 −1
0 1
2
0 0 −14k + 28
0 0
−3k + 6
Si − 14k + 28 ≠ 0
∨
− 3k + 6 ≠ 0 , es decir para k ≠ 2
rangoA  b = 4 , pues el número de filas no nulas de
1 2
−4
0 1
3k − 4
0 0 −14k + 28
0 0
Combinaciones Lineales
−3k + 6
es 4
Sergio Yansen Núñez
1 2
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
es 2
0 0
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema no tiene solución.
Si k = 2
1 2 −4
rangoA  b = 2 , pues el número de filas no nulas de
0 1
2
0 0
0
0 0
0
es 2
1 2
rangoA = 2
, pues el número de filas no nulas de
0 1
0 0
es 2
0 0
rangoA = rangoA  b
⇒
el sistema tiene solución
Por lo tanto, para k = 2 , el vector −4, 3k, k, −10 es combinación lineal de los vectores
1, −1, 2, 3 y −1, 2, 3, −2.
Combinaciones Lineales
Sergio Yansen Núñez
7.
¿Es posible escribir el vector 3, 7, 0, 3 como combinación lineal de 1, 1, 2, 1,
2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3?
Solución:
3, 7, 0, 3 será combinación lineal de los vectores 1, 1, 2, 1, 2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3 si
existen escalares α , β y γ tales que
3, 7, 0, 3 = α1, 1, 2, 1 + β2, 5, 3, 4 + γ1, 2, 4, 3
3, 7, 0, 3 = α + 2β + γ, α + 5β + 2γ, 2α + 3β + 4γ, α + 4β + 3γ
α + 2β + γ = 3
α + 5β + 2γ = 7
2α + 3β + 4γ = 0
α + 4β + 3γ = 3
1 2 1 3
A  b =
1 5 2 7
2 3 4 0
1 2 1
donde A =
1 4 3 3
3
1 5 2
7
, b=
2 3 4
0
1 4 3
3
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0
1
0 1 0
2
0 0 1 −2
0 0 0
0
rangoA  b = 3 , pues el número de filas no nulas de
1 0 0
1
0 1 0
2
0 0 1 −2
0 0 0
es 3
0
1 0 0
rangoA = 3
, pues el número de filas no nulas de
0 1 0
0 0 1
es 3
0 0 0
rangoA  b = rangoA
⇒
el sistema tiene solución.
Por lo tanto, el vector 3, 7, 0, 3 es combinación lineal de los vectores 1, 1, 2, 1,
Combinaciones Lineales
Sergio Yansen Núñez
2, 5, 3, 4 y 1, 2, 4, 3
De la matriz escalonada reducida, se obtiene: α = 1 , β = 2 , γ = −2
Luego, 3, 7, 0, 3 = 1, 1, 2, 1 + 22, 5, 3, 4 − 21, 2, 4, 3
8.
¿Es posible escribir el vector 4, 6, 2, 14 como combinación lineal de 1, 3, 1, 2,
3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1?
Solución:
4, 6, 2, 14 será combinación lineal de los vectores 1, 3, 1, 2, 3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1 si existen
escalares α , β y γ tales que 4, 6, 2, 14 = α1, 3, 1, 2 + β3, 4, 3, 5 + γ2, 3, 4, 1
4, 6, 2, 14 = α + 3β + 2γ, 3α + 4β + 3γ, α + 3β + 4γ, 2α + 5β + γ
α + 3β + 2γ = 4
3α + 4β + 3γ = 6
α + 3β + 4γ = 2
2α + 5β + γ = 14
A  b =
1 3 2
4
3 4 3
6
1 3 4
2
2 5 1 14
1 3 2
donde A =
3 4 3
1 3 4
4
, b=
2 5 1
6
2
14
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
rangoA  b = 4 , pues el número de filas no nulas de
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Combinaciones Lineales
es 4
Sergio Yansen Núñez
1 0 0
rangoA = 3
0 1 0
, pues el número de filas no nulas de
0 0 1
es 3
0 0 0
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema no tiene solución.
Por lo tanto, el vector 4, 6, 2, 14 no es combinación lineal de los vectores 1, 3, 1, 2,
3, 4, 3, 5 y 2, 3, 4, 1
9.
Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4  un conjunto L.I de un espacio vectorial V.
Considere los vectores w 1 = v 1 + 2v 2 + 3v 3 − v 4 ,
w 2 = v 1 + v 2 − v 3 + 2v 4 ,
w 3 = v 1 + 3v 2 − v 3 − v 4
¿Es posible escribir el vector v = 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 como combinación lineal
de w 1 , w 2 y w 3 ?
Solución:
v será combinación lineal de los vectores w 1 , w 2 y w 3 si existen escalares α , β y γ tales que
v = α w 1 + βw 2 + γw 3
2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 = α v 1 + 2v 2 + 3v 3 − v 4  + βv 1 + v 2 − v 3 + 2v 4  + γv 1 + 3v 2 − v 3 − v 4 
2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 = α + β + γv 1 + 2α + β + 3γv 2 + 3α − β − γv 3 + −α + 2β − γv 4
Por igualación de vectores:
α+β+γ = 2
2α + β + 3γ = 1
3α − β − γ = 2
−α + 2β − γ = 4
A  b =
1
1
1
2
2
1
3
1
3
−1 −1 2
−1
2
−1 4
donde A =
1
1
1
2
1
3
3
−1 −1
−1
2
Combinaciones Lineales
−1
2
, b=
1
2
4
Sergio Yansen Núñez
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0
1
0 1 0
2
0 0 1 −1
0 0 0
0
rangoA  b = 3 , pues el número de filas no nulas de
1 0 0
1
0 1 0
2
0 0 1 −1
0 0 0
es 3
0
1 0 0
rangoA = 3
, pues el número de filas no nulas de
0 1 0
0 0 1
es 3
0 0 0
rangoA  b = rangoA
⇒
el sistema tiene solución.
Por lo tanto, el vector v = 2v 1 + v 2 + 2v 3 + 4v 4 como combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 .
De la matriz escalonada reducida, se obtiene: α = 1 , β = 2 , γ = −1
Luego, v = w 1 + 2w 2 − w 3
Combinaciones Lineales
Sergio Yansen Núñez
10.
Sea v 1 , v 2 , v 3 , v 4  un conjunto L.I de un espacio vectorial V.
Considere los vectores w 1 = v 1 + 2v 2 + 2v 3 + v 4 ,
w 2 = v 1 + 3v 2 + v 3 + 3v 4 ,
w 3 = v 1 + 4v 2 + v 3 + 2v 4
¿Es posible escribir el vector v = 4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4 como combinación lineal
de w 1 , w 2 y w 3 ?
Solución:
v será combinación lineal de los vectores w 1 , w 2 y w 3 si existen escalares α , β y γ tales que
v = α w 1 + βw 2 + γw 3
4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4
= α v 1 + 2v 2 + 2v 3 + v 4  + βv 1 + 3v 2 + v 3 + 3v 4  + γv 1 + 4v 2 + v 3 + 2v 4 
4v 1 + 12v 2 + 5v 3 + 8v 4 =
α + β + γv 1 + 2α + 3β + 4γv 2 + 2α + β + γv 3 + α + 3β + 2γv 4
Por igualación de vectores:
α+β+γ = 4
2α + 3β + 4γ = 12
2α + β + γ = 5
α + 3β + 2γ = 8
1 1 1
A  b =
4
2 3 4 12
2 1 1
5
1 3 2
8
1 1 1
donde A =
2 3 4
2 1 1
4
, b=
1 3 2
12
5
8
Mediante operaciones elementales fila, se obtiene la siguiente escalonada reducida:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
rangoA  b = 4 , pues el número de filas no nulas de
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Combinaciones Lineales
es 4
Sergio Yansen Núñez
1 0 0
rangoA = 3
, pues el número de filas no nulas de
0 1 0
0 0 1
es 3
0 0 0
rangoA < rangoA  b
⇒
el sistema tiene solución.
Por lo tanto, el vector v no es combinación lineal de w 1 , w 2 y w 3 .
11.
Sea 1, cos 2 x , sen 2 x , senx
⊂ CIR.
Escriba cos 2 x como combinación lineal de los vectores de
1 , sen 2 x , senx .
Solución:
Se sabe que cos 2 x + sen 2 x = 1

cos 2 x = 1 − sen 2 x.
Luego, cos 2 x = 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ sen 2 x + 0 ⋅ senx
12.
Sea 1, cosx , sen 2 x , cos2x
⊂ CIR.
Escriba sen 2 x como combinación lineal de los vectores de
1, cosx , cos2x .
Solución:
Se sabe que sen 2 x =
1 − cos2x
2
Luego, sen 2 x = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ cosx − 1 ⋅ cos2x
2
2
Combinaciones Lineales