PDF (Sección 10. Funciones)

37 -
SECCIÓN
10
FUNCIONES.
10. 1 Concepto de Función.
Definición 1.
Sea G un conjunto, se dice que G e s un gráfico si todos sus e l e m e n t o s son
p a r e s o r d e n a d o s . E n t o n c e s , si G e s un gráfico y z € G, e x i s t e n dos objet o s X, y t a l e s que z = (x, y ) .
z € G = ^ z = (x, y)
E s c l a r o que A x B e s un gráfico, siendo A, B conjuntos.
quier subconjunto de A x B es un g r á f i c o .
Notas;
Adennás c u a l -
(1) Una r e l a c i ó n R e s un g r á f i c o , si se define R como p a r t e de
E X E.
(2) 0 es un gráfico.
' •«T^**
'
.
Definición 2.
Si G es un gráfico se l l a m a p r i m e r a p r o y e c c i ó n de G al conjunto de las
p r i m e r a s componentes de l a s p a r e j a s d e G y segunda p r o y e c c i ó n de G al
conjunto de l a s segundas c o m p o n e n t e s de l a s p a r e j a s de G.
Notación:
Al conjunto de l a s p r i m e r a s c o m p o n e n t e s ó s e a la p r i m e r a p r o y e c c i ó n de G
se l e denota P t l G; a n á l o g a m e n t e a la segunda p r o y e c c i ó n se l e designa
Pi.2 G. E n t o n c e s :
Pj.j G = { x / ( x , y ) € G >
, p a r a algún y C G J
Pr2 G = / y / ( x , y ) e G ,
Ejemplos:
p a r a algún x € G *l
(1)
G = <^(x, y)G 1^1 xlM / y = x^ ^ e s \in g r á f i c o .
(2)
L = ( ( x , y ) e I R . x t f l / y = x + 1 0 ^ e s un g r á f i c o .
(3)
M =1^(0. 1 ) ,
(4)
R ={(9, 15),
(1.2),
(2, 3 ) } e s un g r á f i c o .
3 , (10, 2 0 ) ^ no e s g r á f i c o .
S
J
38
Definición 3,
.
,-
•-
^
^
•
'" ^
Sea F un gráfico. Se dice que F e s vm gráfico funcional si no e x i s t e n en
F dos p a r e j a s d i s t i n t a s con la p r i m e r a componente igual. Condición que
se e x p r e s a asf; Si p a r a todo x, y, z se cumple que:
(x, y) € F A (x. z) e F = » (y = z)
Ejemplos:
1)
M ={(x. y ) e ExlP^c/y = x^}
V e a m o s que M es un gráfico funcional.
Sean (x, y) € M y (x, z) G M y p r o b e m o s que y = z.
Si (x, y) £ M A (x, z) S M entonces y = x^ A z = x^ luego
Se concluye que M e s un gráfico funcional.
2)
l^ ^^
y = z.
P = ^{x. y)e ie X E / x = y2 ]
P r o b e m o s que P no e s un gráfico funcional.
. •.
P a r a ello b a s t a e n c o n t r a r dos p a r e j a s (x, y) € P y (x, z ) € P t a l e s
que y 5¿ z.
En efecto las p a r e j a s (4, 2) S P y {4, -2) G P cumplen la condición
a n t e r i o r . P o r lo tanto P no es un gráfico funcional. En g e n e r a l l a s
p a r e j a s (x^, x) € P A (x , x) € P m u e s t r a n que P no e s funcional.
EJERCICIOS.
Connpruebe si los siguientes gráficos son o no funcionales.
1)
R =[(0. 0).
2)
C = {(x. y)e O^xll^/xZ + y2 = r 2 ]
3)
L ={(0, 2),
Definición 4.
(1, 1 ) .
(2. 2 ) .
(3, 3 ) }
(O, 3 ) ]
.^..^ ^ , j ^ ^
.^^^
. '
Sean A, B conjuntos, F C A x B, se dice que la t e r n a f: ( F , A, B) es
una aplicación de A en B, ó que f e s una función definida en A y con v a l o r e s en B .
Si:
1)
2)
P a r a todo x € A e x i s t e un y e B t a l que (x, y) G F .
F e s un gráfico funcional.
39 -
La p r i m e r a condición nos g a r a n t i z a que p a r a todo e l e m e n t o x de A existe
por lo m e n o s un y elemento de B t a l que la p a r e j a (x, y ) € E (condición
de e x i s t e n c i a ) . E s d e c i r : Pj.^ F = A .
La segunda condición nos g a r a n t i z a que el e l e m e n t o y es único, puesto que
en F no e x i s t e n p a r e j a s diferentes con l a p r i m e r a connponente igual (condición de unicidad).
E n t o n c e s , en o t r a s p a l a b r a s , se dice que f = ( F , A, B) e s una función si:
1) F C A x B
2)
P a r a todo x e A e x i s t e un y g B uno solo t a l que (x, y) S F .
Ejemplos:
1)
2)
3)
A = [a, b, c J
B = {d, e)
f = ( F , A, B) es una función si F = \ ( a , d) , (b, e) , {c, e )\ p o r q u e :
1) F C A X B (compruébelo)
2) P a r a todo e l e m e n t o de A, e x i s t e uno y solo un e l e m e n t o de B t a l
que l a s p a r e j a s f o r m a d a s e s t á n en F .
Observe que p a r a e^ que es un e l e m e n t o de B e x i s t e n b , c e l e m e n t o s
de A y (b, e) , (c, e) e s t á n en F .
.
Sean A, B los conjuntos a n t e r i o r e s y F ' = | ( a , d) , (b, e ) j . La t e r na (F!, A, B) no es una función ya^que p a r a c G A no e x i s t e un e l e mento en B que haga p a r e j a con é l .
Sean A., E los conjuntos a n t e r i o r e s , G - } (a, d) , (t>, d) , (c, e), (?., e)>
La t e r n a (G. A, B) no es función pues G no e s gráfico funcional,
EJERCICIO.
Notación;
C o n s t r u y a o t r a s fimciones con e s t o s dos conjuntos A, B .
•' •'
Sean A, B conjuntos. Si f = ( F , A, B) e s una función se e s c r i b e :
f: A — > B ó A —-—>B, queriendo d e c i r con ello que f es una función de
A en B ó que f e s una función definida en A con v a l o r e s en B ,
Definición:
Sea f: ( F , A, B) una función,
1)
Al conjunto A se le l l a m a "Conjunto de Definición" de f (ó de p a r t i d a ,
o Dominio).
2)
Al conjunto B se le l l a m a "Conjunto de llegada de f"
(ó Codominio).
ii
40 -
3)
Al ú n i c o e l e m e n t o y e B t a l q u e (x, y) e F s e le l l a m a " i m a g e n de x
p o r f" y se le e s c r i b e f(x). D e t a l m a n e r a q u e : (x, y) € F q u i e r e d e c i r que y = f(x) ( (x, y) G F ^
> y = f(x) ). A f(x) s e l e d i c e , v a l o r
t o m a d o por f en x.
>, • ^
Nota;
Si f : ( F , A , B) e s u n a f u n c i ó n s e e s c r i b e asf:
f;
1)
A
>B
definida a s i
x|
>y = f(x) ,
p a r a todo x G A.
F r e c u e n t e m e n t e se r e p r e s e n t a u n a función asf:
'•'.,. / •
•_, • í «..-•'.> V Ari • • m í t ' J í
rir,;
e.". JTáCsiJ' ^ "5
.-^ < - :
^l % ófi^lí
y
••50.^írírTr.o3 tp.I <I ..(ñ,
Queriendo expresar;
1)
2)
A ( D o m i n i o ) , t o d o s s u s e l e m e n t o s t i e n e n i m a g e n (ó Donninio
cgotado).
.: y..
f e s una a p l i c a c i ó n de A en B .
.i'
3)
i,.
A X le c o r r e s p o n d e un s o l o y = f(x).
:*:;wir>;..ri. 'A.
2)
C u a n d o f e s u n a f u n c i ó n , t a m b i é n &e d i c e q u e f e s u n a a p l i c a c i ó n b i e n
definida.
P a r a d e m o s t r a r que una a p l i c a c i ó n f e s t á b i e n definida e s n e c e s a r i o
., p r o b a r q u e :
'
•... ..
"..
P a r a todo x,
.(«
f(x) /
v € A,
f(v) ^ = ^ x
si x = v
f(x) = f(v)
X
- : rt
/1 • • .
y^v
•'-'r:x/:no3 ÍA
•íi
- 41
E s t o nos g a r a n t i z a que el Dominio e s t á agotado y que p a r a xin elemento del Dominio no e x i s t e n dos i m á g e n e s .
f-
-
I
f bien definida
f m a l definida
Nota;
Una
del
dos
a f
que
I
aplicación e s t á m a l definida cuando ó bien o c u r r e que h a y u n e l e m e n t o
Donninio que no tiene imagen ó bien p a r a un e l e m e n t o del Dominio hay
i m á g e n e s (esto c o r r e s p o n d e a la negación de l a s condiciones exigidas
p a r a que sea una función bien definida). E s t o s dos c r i t e r i o s son los
se m a n e j a n habitualmente en e l t r a b a j o de funciones.
Ejemplo:
f: IK.
X\
^ ^
definida a s i:
> y = f (x) = X + 5
e s una aplicación bien definida puesto que;
Sean
x j , x^ e ^
pero
X, -h 5 = f(xi)
luego;
^1 = ^2
o también;
.
Xj
y
= x^
+ 5
=»Xj + 5
= x, + 5
£(X2)
;.iü>' t •
fíxj) = f(x2)
f(xj) ^ f(X2) — - > x^ + 5 7^ X2 + 5
E s t a función y = x + 5 s e r e p r e s e n t a en HÍ x IK» a s i :
•1 r
^2
íiyU •
EJERCICIOS.
1)
D e m u e s t r e que en g e n e r a l la t e r n a ( A x B , A, B) no es una función.
D e s c r i b a el c a s o p a r t i c u l a r en que s i l o e s ,
2)
D e m u e s t r e que;
f: 1^
>1fe definida asf:
X I
^y = x^
es una aplicación bien definida.
3)
D e m u e s t r e que:
f: iB»
X I
^flo definida a s f
>y = l/x
e s una a p l i c a c i ó n m a l definida.
4)
D e m u e s t r e que:
f; 2
^{^'^J
f(x) = O, s i X e s j>ar
3C I
>y
{
f(x) = 1.
es una a p l i c a c i ó n bien definida.
^
•...••..
. ^ j
si X es impar
- 43
Todo el mundo t i e n e alguna idea s o b r e lo que es "valor a b s o l u t o " .
gor se t r a t a de una función, que se define a s í :
E
En r i -
->íía
x
si
X * o
-X
si
X < o
Í
P o r ejemplo
f (4) = 4 ,
y f (-4) = 4, Todos los v a l o r e s de e s t a función r e s u l t a n positivos (ó 0). A t a l función se le l l a m a valor absoluto y
se le designa \x\ . Gráficamente se t r a t a de lo siguiente:
P a r a un
XQ >• O
U o l = l-^^ol = ^o
.-•'
10.2
-
- y-
^
^ % ^^ '•: , - y '-' •" i
Funciones i n y e c t i v a s , e p i y e c t i v a s , b i y e c t i v a s .
. . .
.,
-
:;7 r -
Funciones I n y e c t i v a s .
Definición:
Sea f: A
> B , una :5iplicación bien definida de A en B. Se dice que
f CG inyectiva (ó uno - a - u n o ) si:
P a r a todo x, y e l e m e n t o s del Dominio x ^ y .• y f (x) ^ f(y) es d e c i r s i
dos e l e m e n t o s c u a l e s q u i e r a del Dominio son d i f e r e n t e s , se t i e n e entonces
que sus i m á g e n e s por f son d i f e r e n t e s . T a m b i é n puede e n u n c i a r s e e s t a
condición asf:
( V x, y € A) (f (x) = f (yl
^ x = y)
Gráficamente se " v e r f a " a s í
44 -
Ejemplos:
1)
'
'
.
La función "valor a b s o l u t o " no es inyectiva.
E s t a función no e s inyectiva,
p u e s XQ ^
- XQ , sin e m b a r g o
\^o\ = |-Xo|-
2)
La función
f; tSb
>ÍB definida asf:
xl
3)
h:
íx^U
^ x + m = y = f(x),
/ O ^ x ^ r l
-y-t
me^It
es inyectiva.
^íy e t^ / O é y < r)
X I
definida a s i :
^ \ / r 2 - x2 = h(x)
Veamos que h e s una función inyectiva.
Sean
Xj , X2 e l e m e n t o s del dominio .de h t a l que . Xj 7¿_ x^ -v.
P r o b e m o s que
h(xj) ^
En efecto:
h(xi)
=
h (X2) =
Luego:
h(x2) ^
h(x2).
i
V r 2 - Xj
/- '
-
y
. . . - . „ ...j^.. 1.
-2'
i- i
^.ix^)
Gráficamente se t r•a1
a t a de;
3 4
' • •
i
V- '
- 45 -
y-i
Nota:
P a r a d e m o s t r a r que una función f no es inyectiva b a s t a exhibir dos ele mentos diferentes del dominio t a l e s que sUs i m á g e n e s por f sean iguales
(3 xe A)(3ye A) (f(x) = f(y)).
Ejemplo;
f:
(NI x Osi —— > ^
(x, y) I
> f ( x , y) = X-I-y = z
existen (4, 4), (5, 3) en | J x ¡^i t a l e s que f(4, 4) = f ( 5 . 3) = 8
Definición.
Sea f: A
5>B y X C A. Al conjunto f o r m a d o por l a s i m á g e n e s por f,
de e l e m e n t o s x e X se l l a m a " i m a g e n de X p o r f" y se le e s c r i b e f <X> ,
es d e c i r ;
f <x> =[f(x)G B/(3x)(xex)j= h / i 3 x)(xex Ay = f(x) )].
Gráficamente:
c .' r.",-
Nota:
i,
i.L. •
'
Cuando X = A, al conjunto f ^A'^
función f, ó s e a :
f <A>
Ejemplo;
i)
ii)
5
'i''y-, y
se le l l a m a r a n g o ó r e c o r r i d o de la
:_^. ^ ; / " . .
\,
= Í y 6 B / ( 3 x ) ( y = f(x) A x e A ^
f: í i •
XI
y sea
• k
C =|xeíRf
>fi
definida asf:
;
i
>.y = f(x) = x2 -j- 8
/ - I S x ( 1 \.
f < C > = [ y e K; / 8 é y ;é
f K^f^y = | y 6 íUí / y ? s l ,
Entonces:
9Í
e s t e r a n g o se obtuvo a s í
46
y = X + 8 (por definición) entonces x = y - 8, y,
para que xgi^J;., y - S " ^ O es decir y l ^ S .
=± Vy-8
Situación gráfica
IBxIU.
3cx\8
Kn^>
(x5:i'.&-¿.tViít r.-3f'í::i-t.j
a^.
Definición.
-^•B
y , y C B al conjunto f x £ A / y = f(x), para alSea
f: Agún y 6 Y > se le llama "imagen inversa de Y por f y se le escribe
f-l < Y > .'
/
^
Nota;
1)
f*l < Y >
2)
f-l < Y ) C
= 0
A,
si y solo si
Y Í l f <A>
= 0
47
/
Ejemplo:
f: PQ
•fii
X I
entonces
f" ^ \ Y /
f-l < Y >
= IR;.
definida asf:
>.x2 -f 6 = y = f(x).
= 0
y si
Si Y = I y e IH* / y <
Y = íyeTO» / y - ^ 6 1
6^
entonces
Función E p i y e c t i v a ,
Definición;
Sea
f; A
> B , Se dice que f e s epiyectiva s i f ^ A S = B, en
o t r a s p a l a b r a s f es epiyectiva si e l codominio e s igual al r a n g o de la función,
i'
Nota 1;
P a r a d e m o s t r a r que f es epiyectiva e s n e c e s a r i o d e m o s t r a r que;
B C f 4. A ^ . E s decir p a r a todo y € B, existe un x G A, t a l que
y = f(x).
Nota 2;
P a r a d e m o s t r a r que f no e s epiyectiva b a s t a e n c o n t r a r (exhibir) un e l e m e n t o de B t a l que dicho e l e m e n t o no s e a i m a g e n por f de ningún e l e m e n t o de A.
Ejemplo:
1)
f:
A
, ñ . - i J i r i - . - M •v^ V
' \
x I
2)
f:
lü
x I
^'j^'V definida asf:
• f(x) = b
es epiyectiva,
•*•-•• I
>%
—>x
definida asf:
+ 8 = y
no e s e p i y e c t i v a .
ya que O e s un e l e m e n t o del codonninio, p e r o x2 + 8 = O "^ P' x ^ fB
EJERCICIO.
I n v e s t i g a r s i la función
g :
IB — — » í ^ definida asf:
XI
es epiyectiva.
> x 2 -J- 5 x + 6 = y
^=m^
Función
Biyectiva.
Definición:
.
S e a f; A
>B , Se d i c e q u e f e s b i y e c t i v a (ó que f e s u n a b i y e c c i ó n )
si f es inyectiva y epiyectiva,
. .
_
Ejemplo;
1)
2)
f:
-, •
íí^-
^ÍB
X I
^x + 1 =
g ; jj^-^
y
f es biyectiva,
-«'X
•'
no es
h: [ x eíU / x :> o}
''^ l j '
•
definida a s f
X
4)
• t
Í
^[J^ d e f i n i d a a s f
X I
3)
•
r ^ V e í a / y ^ oJ
\
-AxB
biyectiva,
^
^ BxA
X
IT
h es biyectiva
£• .' " ''•^•' ^ ' ' ^ ^ Í : y o ' ^ h a a
.- <.-. "> : y.)^!
..::)•
(a, b)
5)
|:
'""
6)
> i (a, b)
A
= (b, a)
-
••
^r.
i es biyectiva
>Ax{b}.
X
IdAí
I
*.r
1^
^ (x, b ) =
A •'
j (x)
j es biyectiva.
> A
;. ñ b y ; i ' , L . ' S r ^ - i - . — ^ A-'^-1
X I
^x -
.:r.íqrr.
IdAÍx)
E s t a función s e l l a m a "función i d é n t i c a de A "
Compruebe los ejemplos.
• -r-z u -:.-:. y - y . y 1 y L
Igualdad de F u n c i o n e s :
ÍÍ
-•
Y ~- ^ -^ "'itiE-——4 r
y es biyectiva.
^
V
'I
• •
='^'? .oiri::;:7*scv ÍT.:.» ot^rjcnníi» O Í ^M £ • - í p .i^-
S e a n f: ( F , A, B) y g = (G, C , D) d o s f u n c i o n e s . Se d i c e q u e f = g
s i y solo s i F = Gyy^A = C A B = D . E n o t r a s p a l a b r a s : Dos funciones
f, g s o n i g u a l e s s i s u s d o m i n i o s s o n i g u a l e s (A = C ) , s u s c o d o m i n i o s
s o n i g u a l e s (B = D) y s i p a r a t o d o x € A , f(x) = g ( x ) . ( E s t a ú l t i m a c o n dición s e e x p r e s a diciendo que f y g coinciden en A)
- 49
10.3
Composición de F u n c i o n e s .
Sean f; A = > B , g; B
->C, la función de A en C definida asf; a
todo X A le hace c o r r e s p o n d e r "la imagen por g de la i m a g e n por f de
X (x >
> g (f (x) ), Se l l a m a c o m p u e s t a de f y g y se e s c r i b e "g o f".
Entonces;
gof:
Gráficamente:
A
^C
X \
>g (f(x))
A
J
"gof"
se lee g por f
C
'^)?
Ejemplo;
1) Una p i e d r a se a r r o j a a un e s t a n q u e , f o r m á n d o s e cfrculos cuyo r a d i o
. " s e i n c r e m e n t a en función del tiernpo según r = k t .
Qué r e l a c i ó n existe e n t r e el á r e a de uno de e s o s cfrculos y el tiennpo?
E x i s t e n dos funciones:
,
1) r = f(t) = k t
2)
A = g (r) = i r r '
la c o m p u e s t a de f y g e s la r e l a c i ó n pedida,
g o f ( t ) = g ( f ( t ) ) = g ( k t ) = k 2 t 2 = A.
2)
Sean
f: "Z.
m I-
^- nol
• lt
- > ( m - 1, 1)
í-i Y i
rn-
g: : 2 x 2 - — > 2 .
( m , n)
entonces
gof:
f
Ahora:
gof(m)
...^ ^-y,.;.- ••-•^yy -^cV^-'
> (m+n)
^T
m
"
>
I
2
>.g(f(m)
= gof(m)
= g ( m - 1, 1) = m
= m.
g o f e s p o r l o t a n t o i g u a l a Id^;.
Veamos en este ejemplo
fog:
^
x 2^
> "^ X 2-
( m . n)
\
9 f ( g ; ( m , n ) ) = f (m + n) = (m + n - 1. 1)
° Z ^ 2 ^-Í—^X
'f
3)
Sean
f:
E s c l a r o que f o g
7^ g o f
en e s t e
caso..
lü *
X I
>fB d e f i n i d a a s f
^ x + 2 = f(x)
g; n^ — > \ \ ¿
X
gof;
> x 2 = g{x)
5,1^
^ .
X I
» ( g o f ) X = (x + 2)2
f o g : 1^
> (^
X I
>.(fog)
£o£; lii
X
\
X
-
x^ + 2
^ ^
I
^(f o f)
X = X+ 4
í^ •
g o g ; tfc — > ' n ^
X
^
>.{gog)
X
= x"^
- 51 -
Aunque en e s t e c a s o se definieron g o f , f o g , fof, g o g , o b s é r v e s e que
hay c a s o s en que definida g o f no puede d e f i n i r s e f o g , (¿Puede el l e c t o r
nnostrar uno'? )br.;/ 'íi'«.í'.T Í?.
EJERCICIOS,
1)
Sean
f:
A
>B
Demostrar
y
gof:
'
Á
g:
B
>C
>C
definida a s i
.'-Kb—->g(f{x))
e s una a p l i c a c i ó n bien definida.
2)
Sean f; A {y>.B:; y
mo.strar que • g o f : A
3)
f: rl^
g:
B
>• C
^ C dos funciones b i y e c t i v a s ,
tannbién e s b i y e c t i v a .
> ífc
.
X
I
g: t&
X
>
\
.
,"!::•€•*.'.-
i—i
<;•
^
> 2x2 + 7
H a l l a r g'óf "^^^ Ri^ (el r a n g o de la función g o f )
Si.'. J^ = \ ^ % : M - / y . S- é X $ 0"J h a l l a r g o f
<A>
Si B = | _ x e n?., / O é X ^ 9 } h a l l a r ( g o f ) " ! < B >
I n v e s t i g a r s e . - í o g^ e s inyectiva, b i y e c t i v a .
- '
y
10.4
^ i ,4^
> X + 2
-.
a)
b)
c)
d)
De-
•
'
\
.jftL. ...... . . . . . .
Función I n v e r s a .
Proposición;
Si f: A
>B e s b i y e c t i v a , p a r a todo y Q B e x i s t e un único
x e A t a l que y = f(x)'.\ *'
D e m o s t r a c i ó n ; ;l^
y. ~ {:(} ""OÍT^F. -.T
f Y
elemento
C o m o f e s biyectiva p a r a todo y G B e x i s t e p o r lo m e n o s un x fi A t a l
que y = f(x) (se u t i l i z ó el hecho d e que f e s e p i y e c t i v a ) .
V e a m o s que x e A es único. Supóngannos que e x i s t e n x j , X2 S A, y
x j ^ X2 t a l e s que y = f (xj) = f (x2) . E s t a s u p o s i c i ó n c o n t r a d i c e el h e UNIVERSIDAD N A C l ^ ^ , .
BIBLIOTECA ¿ t ' í ^ ^ t
-52
cho de que f e s inyectiva.
Luego x j = X2.
•.•'.".".'•
E s t a proposición equivale a a f i r m a r la e x i s t e n c i a de
en A.
*•
—
Definición;
Sean f:
•
.-
A
, '
.
'
.'
-
••.*.-"•
. '. '
USJ»
'•.':*
^
función de B
•
•:•..-)•"
- v -
' "••V;-.'•!:>'.:.-•-
^B biyectiva.
La aplicación f* l B • ' » A definida asf:
P a r a todo y e B le hace c o r r e s p o n d e r x = f**(y), sitfndo y = f(x).
l l a m a la aplicación i n v e r s a de f y s e e s c r i b e f'^»
Entonces:
f" ^ ;
, .
B
Se
>A
y \—^f"i(y)
= X
(y = f{x))
Ejemplo:
'VU, .
1)
Seno : 15»
> 1Í¿
X I
• ' . A :•',..'.'Ji'.. .yr •
.
^.sen (x) = y
• • •'
. •.
. '. •
. - ? v • % ^ y - - - •': •
.•• •i^'f'.-y&.' • > ' ; • "
no e s una función biyectiva
• •. ' J y ' J J ' :.,• '
•
.
.J%,JJ'y
yeíR»/- 1 ^ y ¿ 1y^
b)
Tt/G ^ 5 ^ / 6
Pero:
..-..}
|[V. (no e s epiyectiva)
= : ^ Seno (TT'/Ó) ^ Beíio {^7f/(>) •*.;0.;5-ín^ inyectiva)
Seno; í x ^ fB / - ' T T / z ^ x
X
es tina función biyectiva
^^/zY
\
(compruébelo).
* - { / € 1 2 / / - 1 ^ y Í: l ]
j ^
y s
..'.¿....
• ' '
Entonces e x i s t e :
Seno-1 .
Sea
f
f;
íx H
ÍL
C- 1. l ]
> [-^/2. ^ / 2 j
1^
> s e n o - 1 (y) « g
-— ^> ^ ^
V-y . .y. .. •.: x H
• •.•2'"'" '-. i
Seno" ^ (la a p l i c a c i ó n i n v e r » * de Seno)
• y
2)
seno (x)
>
2x + 7
A O .^
• <f = s e n (x) )
/i:^'k^?f:^>^.-.v^: - i
= f(x)
7
-^
- 53 -
f e s una función biyectiva
f(lO)
f-l:
= 9 ,
f(-5)
5> ^
VJ
^V-^
y »-
f-l (9) = 10,
y
= - 1 .
entonces
.
y por ejemplo
= f-l (y) == x
f-l (- 1) = - 5 .
Veamos a h o r a :
Sea
f:
A
?B biyectiva.
Cuál ea la función f o f - ^1,
f"f - l of
i)
f-lof
= IdA
-.^c
ii)
fof-1
Demuestre
i)
= IdB
ii).
EJERCICIOS:
1)
D e m o s t r a r que f" 1 e s b i y e c t i v a ,
2)
Sea
f:
íh •
Xf
>^
siendo f:
A
«•B
biyectiva.
definida a s i
->2x2 + 12 = f(x)
a)
H a l l a r e l dominio y el r a n g o de una función fj t a l que fj sea b i yectiva y fj (x) = 2x + 1 2 .
b)
E n e a t a s condiciones d e t e r m i n e
f j'~
(la i n v e r s a de fj)
54
10.5
c)
Hallar
fj (0),
d)
Grafique*
f,
fj (10),
fj,
f j ' ! (7),
ffl
(TT).
f,"
Conjunto Infinito,
Definición,
Sea A un conjunto. Sea B un subconjunto propio de A,
Es d e c i r B C A
y B ^ A. Si existe una biyección f: A
" B se dice que A es infinito.
Ejemplo;
Sea
A = jN
B
Sea:
f;
A
=JXGJN
/xes
par^
>B
•^i
X 1
• 2x
c o m o f es una biyección,
A e s infinito.
Definicióni
Se dice que un conjunto A es finito si A no es infinito.
Definición,
Se dice que un conjunto A es n u m e r a b l e si e s finito o si puede e s t a b l e c e r s e una biyección de A en el conjunto ffM ,
Ejemplo:
Enefecto;
^
e s infinito n u m e r a b l e .
L a función
f;
2.
X I
**• N
2x
si
>
• 2x - 1
e s una biyección
(pruébelo).
X ;^ O
si
'"•*?-' i-
X^ O