Potencial eléctrico - Universidad de Sevilla

Potencial eléctrico
Física II
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2011-2012
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Índice
Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencial
Significado físico
Propiedades
Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales
Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial
Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Introducción (I)
La fuerza asociada a campos eléctricos
estáticos (o electrostáticos) es conservativa
El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en
una determinada trayectoria solamente depende
del punto inicial y final, no del camino recorrido.
El trabajo realizado en un camino cerrado es
nulo.
Puede definirse una función energía potencial.
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Introducción (II)
El trabajo realizado
por el campo
gravitatorio sobre una
masa m equivale a la
disminución de
energía potencial
gravitatoria
El trabajo realizado
por el campo
electrostático sobre la
carga +q es igual a la
disminución de
energía potencial
electrostática
Tierra
Carga
negativa
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Energía potencial
Sea una carga q0 en un campo externo
Trabajo realizado
por la fuerza
 
conservativa: dW  F  dl
Variación de energía
potencial

v
q0

E

 
dl F  q0 E
 
 
dU   F  dl  q0 E  dl
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Índice
Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencial
Significado físico
Propiedades
Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales
Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial
Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Diferencia de potencial (I)
La variación de U es proporcional a q0
Diferencia de potencial:
 
dU
dV 
  E  dl
q0
Incremento entre dos puntos: integral de línea
 
V  VB  VA    E  dl
A

Menos circulación de E
B
¡No depende del camino!
B
A
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Diferencia de potencial (II)
La diferencia de potencial (VB-VA) es el menos trabajo
realizado por el campo electrostático cuando
desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta
B
La diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe
realizarse para desplazar la unidad de carga positiva
desde A hasta B en el seno de un campo electrostático
El proceso tiene que ser cuasi-estático
Para que no aparezca un término de variación de energía cinética
Para que no exista pérdida de energía en forma de radiación
electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas
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Propiedades de V

Es un campo escalar: función de la posición V ( r )
La diferencia de potencial entre dos puntos tiene
significado físico, pero no el valor concreto de V en
cada punto
El “origen de potencial” es arbitrario
La función V es continua en todos los puntos,
excepto donde el campo eléctrico sea infinito
Demostración:
 
dV   E  dl   Edl cos 
Entonces si E es finito dV es infinitesimal
V disminuye en la dirección indicada por las líneas de
campo
Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C
 
dV   E  dl
dU  q0 dV
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Campo eléctrico uniforme:
superficies equipotenciales


E  Ei
y
 
dV   E  dl   Edx

x
B
A
B
dV  VB  VA    E dx
A
B
V1
V2
V3
V  VB  VA   E  dx   E x
A
Superficies equipotenciales: superficies tales que en todos sus
puntos V=cte.
En este ejemplo son todos los planos de x=cte
V1  V2  V3
El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una
superficie equipotencial es nulo
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Aplicación
¿Cuánto vale la diferencia de potencial
entre dos puntos cualesquiera de un
conductor en equilibrio electrostático?
V  VB  VA   
B
A
 
E  dl  0
Se puede hablar del potencial
de un conductor en equilibrio
electrostático. Su superficie es
una superficie equipotencial
B
A
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Índice
Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencial
Significado físico
Propiedades
Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales
Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial
Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Potencial de una carga
puntual
Sea una carga q
calculamos dV en r:

 
q
dV   E  dl  k 2 rˆ  dl

 r
Donde: rˆ  dl  dl cos   dr
q
dV   k 2 dr
r
Punto de
referencia
Punto
campo
Integrando:
rP
VP  Vref    k
rref
q
q
q
dr

k

k
r2
rP
rref
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Potencial de una carga
puntual
La referencia de potencial es
arbitraria
Tomamos:
Punto de
rref   y V ()  0
referencia
Punto
campo
Entonces:
0
0
q
q
V ( r )  V ( )  k  k
r

q
V (r )  k
r
POTENCIAL DE COULOMB:
Potencial de una carga puntual
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Potencial de una carga
puntual
Superficies
equipotenciales:
esferas centradas
en la carga
Vi  k
q
ri

r2

r3
V1
V2
V3

r1
V1  V2  V3
Relación con la energía potencial
Energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas
tomando U(∞)=0 :
Trabajo para llevar q
U (r )  q0V (r )  k
qq0
r
desde ∞ hasta r en
presencia de q
0
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Sistema de cargas puntuales
El potencial de un sistema de
cargas puntuales en un punto
P es la suma de los potenciales
de cada carga en ese punto
VP   k
i
qi
ri
q3

r3
q2
P

r2

r1
q1
Esto es una consecuencia del principio de superposición para
el campo eléctrico
La suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil
calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico
¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial?
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Determinación del campo
eléctrico a partir del potencial

dl
 

dV   E  dl   E cos dl   Et dl
E

dV
Et
Et  
dl
 
Si dl  E  cos   0  dV  0

Si dl  E  cos   1  dV es máximo
El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de
V
El módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada
direccional máxima
dV
E 
dl
max
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Determinación del campo
eléctrico a partir el potencial
El gradiente de una función escalar (ya visto
en Física I) es un vector cuya dirección es la
de máxima variación de esa función y cuyo
módulo es la derivada en esa dirección
Cálculo del gradiente:
En consecuencia: 

E  V
Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x
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Índice
Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencial
Significado físico
Propiedades
Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales
Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial
Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Potencial de distribuciones
continuas de carga (I)
q
Para una carga puntual: V  k
r
Entonces, dV creado por dq
en P:
dV  k
dq
r
Potencial en P:
z
x
dq
d 
 k
 r
 r
V  k

dq  d 
 P
r
y
Integro en el
volumen 
Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para
distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito.
En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico,
obtenido a su vez mediante Ley de Gauss
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Potencial de distribuciones
continuas de carga (II)
Distribución superficial de carga:
z
dq  dS
dS
s r
V  k

r
x
P
y
Distribución lineal de carga:
z
x
P r
dl
dq  dl
y
dl
l r
V  k
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Cálculo del potencial (I)
Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del
eje de un anillo con carga uniforme
Q
V k
l
Q
dq k
  dq  k
r l
r
x2  a2
r  x2  a2


dV 
E  V  
i
dx
Ex  
Es el mismo ∀dq
dV
Qx
k 2
3
dx
( x  a2 ) 2
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Cálculo del potencial (II)
Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del
eje de un anillo con carga uniforme
Q
Q
V k


E  Ex i
Si x>>a (puntos alejados del anillo):
En el centro del anillo (x=0):
x2  a2
Qx
Ex  k 2
3
( x  a2 ) 2
V k
Q
x
Ex  0 V (0)  k
Potencial de una
carga puntual
Q
a
Máximo en el
eje x
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Cálculo del potencial (III)
Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
Q
S r1
En principio se puede calcular V por
integración directa
R
Sr 2
rR
rR
Alta simetría: es más fácil calcular primero el
campo eléctrico mediante Ley de Gauss
 
2
E

dA

E
4

r
 4kQ
r
 sr1
 
2
E

dA

E
4

r
 4kQint  0
r

sr 2
Er  k
Q
r2
Er  0
El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo
creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro
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Cálculo del potencial (IV)
Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
Q
R
r
rR
Q
R
r
rR
0
r 
r dr

Q
V (r )  V ()    E  dr  kQ  2  k

 r
r
Q
V (r )  k
r

r 
R dr
r 0

V (r )    E  dr  kQ  2   Edr
R

 r
Q
V
r
k
(
)


R
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Cálculo del potencial (V)
Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica
El potencial y el campo
fuera de la esfera son iguales
que los que crearía una
carga puntual Q en su centro
El potencial es continuo al
atravesar la corteza esférica
En el interior de la esfera el
campo eléctrico es nulo y
el potencial es constante
Si E=0 en una región, no
implica V=0 sino V
constante
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Índice
Introducción: energía potencial electrostática
Diferencia de potencial
Significado físico
Propiedades
Superficies equipotenciales
Potencial de un sistema de cargas puntuales
Determinación del campo eléctrico a partir del
potencial
Potencial de distribuciones continuas de carga
Energía potencial electrostática
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Energía potencial
electrostática
Para traer una carga q2 desde el infinito a las
proximidades de otra q1 necesitamos realizar un
trabajo:
qq
q2
q1
d
Wext  U  q2V1 (d )  k 1 2
+
+
d
Donde hemos tomadoU ()  q2V1 ()  0
En general, para un sistema de n cargas puntuales:
1 n
U   qiVi
2 i 1
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE
UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES
La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA de un sistema de cargas
puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una
distancia infinita hasta sus posiciones finales
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Energía potencial de
conductores en equilibrio
q
Para un conductor esférico con carga q: V  k
R
+ +
Trabajo para añadir una carga dq:
+
R
+
+
q
dU  Vdq  k dq
+
+
R
+
La energía potencial electrostática del conductor
en equilibrio electrostático se obtiene integrando:
Válida aunque el
k Q
kQ 2 1
U   qdq 
 QV
conductor no sea esférico
R 0
2R 2
Si se tiene un sistema de n conductores:
1 n
U   QV
i i
2 i 1
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE
UN SISTEMA DE CONDUCTORES
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Energía potencial de
conductores (visión alternativa)
El conductor puede considerarse un sistema de
cargas puntuales infinitesimales dq situadas todas al
mismo potencial V :
1 n
U   qiVi
2 i 1
U
1
1
dQ
V

QV
2
2
La “suma” de todas las cargas infinitesimales es una integral
No es necesario asumir que el conductor es esférico
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Resumen
Las fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede
definirse una función energía potencial como el menos trabajo
realizado por la fuerza conservativa
La variación del potencial electrostático es el incremento de energía
potencial electrostática por unidad de carga
Se calcula como una integral de línea del campo eléctrico.
Significado físico de V: trabajo que hay que realizar para desplazar
la unidad de carga positiva entre dos puntos
El origen de potencial es arbitrario
Representación gráfica: superficies equipotenciales


Conocido V es posible calcular el campo:
E


V
Cálculo del potencial:
Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones
continuas) o sumatorio (distribuciones discretas)
Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo
calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de Gauss
Distribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico
La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el
trabajo que hay que realizar para crear la distribución
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