Probabilidad condicionada I

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14/11/15
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Probabilidad condicionada I
(para sucesos de probabilidad positiva)
1) Estudiamos un Experimento Aleatorio .
(, , p)
Le asociamos un Espacio Probabilístico
En todo lo que sigue los sucesos mencionados deben ser -medibles.
2) Recibimos una Información Parcial acerca del resultado que se ha obtenido:
“Ha ocurrido A”
Ejemplos:
Hemos lanzado un dado y sabemos que el resultado
“ha sido par”
Hemos lanzado 10 veces una moneda y sabemos que
“han salido al menos 3 caras”
Estudiamos la fiabilidad de un sistema y para ello medimos el tiempo de
funcionamiento hasta el primer fallo. Llevamos ya 100 horas con el sistema en marcha
y el fallo aún no se ha producido.
“tiempo de fallo > 100 horas”
3) Incorporamos la Información Parcial recibida modificando p:
Asociamos al experimento un nuevo Espacio Probabilístico
(, , p*)
4) ¿Cómo debe ser p*?
Sabemos que el resultado del experimento es uno de los de A, por lo cuál,
a) los sucesos de Ac deben tener ahora probabilidad 0:
p*(A )= 1
p*(Ac )= 0
y por tanto, B  Ac, p*(B )= 0
En consecuencia, B se tiene
p*(B )= p*(AB )+ p*(AcB )= p*(AB )
b) dentro de A no tengo ninguna información,
luego mantengo probabilidades proporcionales a las originales:
B  A
p*(B )= k. p(B )
Por ejemplo, si p es uniforme en , p* será uniforme en A;
si p tiene densidad kxy en , p* tendrá densidad k’xy en A;
c) valor de k:
p* debe cumplir 1= p*( )= p*(A )= k p(A), luego k = 1/p(A)
p(AB)
d) y llegamos a que p*(B)= p*(AB)= = k. p(AB ) =
p(A)
5) Definición de probabilidad condicionada.
p*(B) se denomina probabilidad de B condicionada a que ha ocurrido A
y se nota como p(B/A):
p(AB)
p(B/A) =
p(A)
Ejemplo 1: La duración en horas (T) de un componente electrónico tiene una
densidad e-x. a) Calcula la probabilidad de que dure más de t horas. b) Han transcurrido t0
horas y no ha fallado. Calcular la probabilidad de que funcione al menos t horas más.
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6) Regla de la Cadena. De la relación anterior se deduce que
p(AB) = p(A) p(B/A)
Esta expresión se conoce como regla de la cadena y tiene gran utilidad para
construir probabilidades en experimentos por etapas. Se trata de experimentos que se
componen de dos o más fases y las probabilidades en cada etapa dependen de los resultados
anteriores. Es decir, que conocemos p(A) y p(B/A) directamente y a partir de ellas calculamos
p(AB)= p(A) p(B/A).
Ejemplo 1: Se lanza una moneda equilibrada. Si sale cara, lanzo un dado
equilibrado y si sale cruz, lanzo un dado cargado con probabilidades de 1, 2 y 3 dobles que las
de 2, 4 y 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el 2? ¿Cuál es la probabilidad de cara sabiendo
que el dado ha mostrado el 2?
Ejemplo 2: Se lanza una moneda equilibrada. Se elige después un punto del
intervalo [0,1], con probabilidad uniforme si la moneda muestra cara y con densidad f(x)= kx
si sale cruz.
Ejemplo 3: Se tira un dado y a continuación se lanza una moneda tantas veces
como indique el resultado del dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
¿Cuál es la distribución del número de caras?
Ejemplo 4: Se tira un dado y a continuación se lanza de nuevo tantas veces
como indique el resultado del lanzamiento inicial. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca al
menos un 1 en las tiradas extra?
7) Independencia
En ocasiones, el saber que ha ocurrido A no modifica la probabilidad de B
p(B/A)= p(B)
Cuando esto ocurre, se tiene también el recíproco y B no informa sobre A, pues:
p(AB)
p(AB)
p(B/A)= p(B)
= p(B) p(AB)= p(A) p(B)
= p(A)  p(A/B)= p(B)
p(A)
p(B)
Tenemos entonces tres condiciones equivalentes:
p(AB)
p(AB)
= p(B)  p(AB)= p(A) p(B) 
= p(A)
p(A)
p(B)
En tal caso, se dice que A y B son sucesos Estocásticamente Independientes.
p(AB)= p(A) p(B)
Ejemplo 1: Lanzamos dos veces un dado. Nos informan de que la suma es par.
La probabilidad de que el primer resultado sea 3 vale 1/6 originalmente y también después de
recibir la información. Son sucesos independientes. Sin embargo, la probabilidad de que
coincida el resultado de los lanzamientos se modifica: Originalmente vale 1/6 y al recibir la
información pasa a 1/3. Son sucesos estocásticamente dependientes.
Ejemplo 2: Elijo al azar un punto (x,y) en [0,2]x[0,2] y considero los sucesos
siguientes (b, c y d son constantes reales entre 0 y 1):
A  (x ≥ y ), B  (x< b-y ), C  ( |x-y| < c ), D  ( | x+y-2 | > d ) y E  (x< e).
Estudiar las diferentes parejas que podemos formar con A B C D y E, viendo cuáles de
ellas están formadas por sucesos independientes: A y B, A y C, …. D y E.