Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad

Estadı́stica y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial.
Relación de problemas: Distribuciones de probabilidad
1. Un jugador de dardos da justo en la diana 2 de cada cinco veces que lanza. Si en una partida
dicho jugador lanza 10 veces,
(a) calcula la probabilidad de que acierte en la diana tres veces,
(b) calcula la probabilidad de que acierte en la diana por lo menos una vez.
(c) ¿Cuántas veces se espera que el jugador haga diana?
(d) Calcula la probabilidad de que el jugador haga más dianas de las esperadas en el
partido.
2. Se sabe que aproximadamente el 90% de los matriculados en cierta Ingenierı́a son hombres.
(a) Calcula la probabilidad de que en un grupo de cinco estudiantes escogidos al azar haya
alguna chica.
(b) Calcula la probabilidad de que en una clase de 30 estudiantes no haya ningún chico.
(c) Calcula la probabilidad de que en una clase de 40 personas, menos del 20% sean mujeres.
3. Un equipo de waterpolo ha ganado diecisiete partidos de los veinte disputados durante la
temporada. En la liga de ascenso se necesitan ganar al menos tres partidos, de cinco que
se disputan, para subir de categorı́a. Calcula la probabilidad de que dicho equipo consiga
competir en una categorı́a superior.
4. Utilizando las tablas necesarias, calcula las probabilidades indicadas en cada uno de los casos
siguientes:
(a) Para X ∼ B(8, 0.25), calcula p(X = 2); p(X ≥ 2) y p(X ≤ 7)
(b) Para X ∼ B(5, 0.8), calcula p(X = 4); p(X ≥ 4) y p(X ≤ 1)
(c) Para X ∼ B(60, 0.01), calcula p(X = 2); p(X ≥ 6) y p(X ≤ 4)
(d) Para X ∼ B(85, 0.98), calcula p(X = 82); p(X ≥ 83) y p(X ≤ 78)
5. Se ha observado que el número medio de erratas por página en cierto libro de texto es 0,2.
Suponiendo que el número de erratas por página sigue una distribución de Poisson,
¿cuál es la probabilidad de que una pagina elegida al azar no contenga errores? ¿Y de que
tenga más de 2?
6. En una floristerı́a se ha observado que cada dı́a, en la última hora antes del cierre, se atiende
a una media de 8 clientes.
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(a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que acuden sea superior a la media.
(b) Calcula la probabilidad de que se atiendan entre 2 y 7 clientes.
7. El número de vehı́culos que llegan a una intersección de caminos durante una hora sigue
una distribución de Poisson de parámetro λ = 10.
(a) Calcula la probabilidad de que sólo llegue un vehı́culo.
(b) ¿Cuál es el número medio de vehı́culos que se espera que lleguen al cruce en una hora?
(c) Calcula la probabilidad de que el número de vehı́culos que llegan al cruce diste de la
media menos del valor de la desviación tı́pica.
8. Se denomina variable uniforme discreta a una variable aleatoria que toma n valores enteros
con la misma probabilidad.
Si X es una variable aleatoria uniforme discreta que toma valores {1, 2, 3, . . . , n},
(a) describe la distribución de probabilidad de X,
(b) calcula la función de distribución,
(c) calcula media y varianza, sabiendo que
n
X
i=1
i=
n
n(n + 1) X
n(n + 1)(2n + 1)
y
i2 =
,
2
6
i=1
(d) busca un experimento aleatorio concreto al que le puedas asociar una variable uniforme
discreta.
9. La cantidad de agua consumida al mes en una vivienda, medida en m3 , sigue una distribución
uniforme continua en el intervalo (20, 40). Calcula la probabilidad de que se consuman:
(a) 28 m3 ,
(b) menos de 35 m3 ,
(c) entre 25 y 35 m3 ,
(d) más de 28 m3 .
Calcula la función de distribución, ası́ como el número esperado de m3 consumidos.
10. El tiempo transcurrido entre la llegada de dos lı́neas de metro en cierta estación, sigue una
distribución uniforme continua. Sabiendo que transcurren entre uno y siete minutos desde
que se marcha un tren hasta que llega el siguiente, calcula el tiempo medio de espera entre
un tren y otro.
11. Una máquina de lavado a presión está diseñada para suministrar 25 litros de limpiador por
minuto, pero se ha comprobado que la máquina suministra una cantidad aleatoria entre 24
y 26 litros, siguiendo una distribución uniforme.
(a) Calcula la probabilidad de suministrar más de la cantidad esperada por minuto.
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(b) Calcula la probabilidad de que la cantidad suministrada en un minuto sea menor de 25
litros y medio, sabiendo que ha sido superior a la cantidad esperada.
12. Para Z una variable normal estándar o tipificada, es decir Z ∼ N (0, 1), calcula las siguientes
probabilidades:
a) P (Z ≥ 1.75)
b) P (Z ≥ 0.03)
c) P (Z ≥ 0)
d) P (Z ≤ 0)
e) P (Z ≤ −2.25)
f) P (Z ≤ −1.645)
g) P (Z ≤ 1.96)
h) P (Z ≤ 2.44)
i) P (0.3 ≤ Z ≤ 1.3)
j) P (−2.1 ≤ Z ≤ −0.01)
k) P (−0.08 ≤ Z ≤ 1)
l) P (| Z |≤ 1.68)
Realiza ahora el proceso contrario, es decir, sabiendo α =
Z
∞
z2
e− 2 dz, calcula el valor de
zα
zα , para las siguientes probabilidades:
a) α = 0.025
b) α = 0.01
c) α = 0.05
d) α = 0.1
e) α = 0.815
f) α = 0.504
13. Calcula las probabilidades indicadas en cada uno de los casos siguientes:
(a) Para X ∼ N (30, 5), calcula P (25 ≤ X ≤ 35).
(b) Para X ∼ N (3, 2), calcula P (X ≤ 2.5).
(c) Para X ∼ N (25, 10), calcula P (28 ≤ X ≤ 30).
(d) Para X ∼ N (80, 10), calcula P (70 ≤ X ≤ 80).
14. En un colegio se realizan una serie de pruebas psicotécnicas para determinar el coeficiente
de inteligencia de los alumnos, quedando establecido que dicha medida se distribuye según
una distribución normal de parámetros 100 y 10.
(a) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga un coeficiente
intelectual por encima de 120.
(b) Calcula el porcentaje de alumnos cuyo coeficiente intelectual está comprendido entre
95 y 105.
(c) ¿Qué valor del coeficiente intelectual verifica que sólo el 10% de los alumnos tienen un
coeficiente superior?
(d) Se decide repetir las pruebas a aquellos alumnos con un coeficiente demasiado alto,
que resultan ser un 5% del total, y a aquellos con coeficiente demasiado bajo, que
representan un 2%. Calcula los valores del coeficiente de inteligencia a partir de los
cuales se repetirán las pruebas.
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15. Una compañı́a de suministro de electricidad ha deteminado que el consumo, medido en
Kw/h, de una vivienda familiar durante un mes, sigue una distribución normal de media
300 y desviación tı́pica 50.
(a) Calcula la probabilidad de que una familia consuma 245 kw/h en un mes.
(b) Calcula la probabilidad de que se consuman entre 200 y 300 Kw/h.
(c) ¿Qué porcentaje de viviendas cosnsumirán más de 300 kw/h?
(d) ¿Qué porcentaje de viviendas familiares consumirán menos de 250 Kw/h?¿Y más de
350?
16. La demanda de miles litros de combustible que ha de suministrar cierta compañı́a petrolı́fera
al mes sigue una distribución normal de media 10 y desviación tı́pica 4.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sobrepase los 16000 litros un mes?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda sea superior a 16000 litros sólo durante los
tres meses más frı́os del año?
17. Una compañı́a telefónica ha determinado que el tiempo total de duración de las llamadas
realizadas mensualmente por sus clientes menores de 35 años, medido en minutos, sigue una
distribución normal de media 100 y desviación tı́pica 25.
(a) Calcula la probabilidad de que un cliente facture menos de 2 horas en llamadas.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente facture entre 80 y 110 minutos?
(c) La empresa decide iniciar una campaña para premiar a aquellos clientes que acumulen
en llamadas más del doble de los minutos esperados. ¿Qué porcentaje de los usuarios
se beneficiaran en dicha campaña?
(d) Para los clientes que facturan poco, se piensa en incentivarlos por medio de un sistema
de retribuciones en especie. Si se quiere incluir en ese programa al 1% de los clientes,
¿cuál es la duración total en minutos que debe acumular como máximo un cliente para
ser incluido en la promoción?
18. Según las encuestas previas a las elecciones se supone que el 25% de los electores de Madrid
votan a un determinado partido. Se eligen al azar 50 votantes en un distrito electoral
madrileño. Calcula la probabilidad de que más de 20 voten a dicho partido.
19. Si se lanza un dado 150 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga 30 veces un seis?
20. Según estudios realizados por una compañı́a de seguros, se sabe que la probabilidad de que
una mujer mayor de sesenta años sufra un accidente de circulación es del 0.001% . Sabiendo
que la compañı́a tiene 40000 clientes de esas caracterı́sticas, calcula la probabilidad de que
tenga que soportar más de 4 siniestros de este tipo.
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Algunas soluciones
1) a) 0.215; b) 0.994; c) 4; d) 0.367
2) a) 0.4095; b) 10−30 ; c) 0.9489
3) 0.9734
4) a) 0.3115, 0.6329, 1.
b) 0.4096, 0.7373, 0.0067
c) 0.0988, 0, 0.9996
d) 0.1496, 0.7573, 0.0019
5) 0.8187 y 0.0012.
6) a) 0.4048; b) 0.2996.
7) a) 0.0005; b) 10 vehı́culos; c) 0.6627.
8) a) p(X = i) =
b) F (x) =



















c) E(X) =
1
n
0
1/n
2/n
...
(n − 1)/n
1
si x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
...
si n − 1 ≤ x < n
si x ≥ n
n+1
n2 − 1
y V (X) =
2
12
9) a)0; b) 0.75; c) 0.5; d) 0.6.



0
F (x) = (x − 20)/20


1
si x < 20
si 20 ≤ x ≤ 40
si x > 40
E(X) = 30.
10) 4 minutos.
11) a) 0.5; b) 0.5
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5
12) a) 0.0401; b) 0.488; c) 0.5; d) 0.5;
e) 0.0122; f) 0.05; g) 0.975; h) 0.9927;
i) 0.2853; j) 0.4781; k) 0.3732; l) 0.907.
Segunda parte:
a) z0.025 = 1.96; b) z0.01 = 2.3266; c) z0.05 = 1.645; d) z0.1 = 1.2816; e) z0.815 = −0.8965;
f) z0.504 = −0.01.
13) a) 0.6826; b) 0.4013; c) 0.0736; d) 0.3413
14) a) 0.0228; b) 0.383; c) 112.816; d) Por encima de 116.45 y por debajo 79.46.
15) a) 0; b) 0.4772; c) 0.5; d) 0.1587 y 0.1587.
16) a) 0.0668; b) 0.0383.
17) a) 0.7881; b) 0.4435; c) 0.00317%; d) 41.835 minutos
18) 0.0045
19) 0.048
20) 0.0001
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