El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro

MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
1. División de polinomios por monomios
El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene:
• como coeficiente, el cociente de los coeficientes;
• como parte literal, las letras que aparecen en el dividendo,
• cada una con exponente igual a la diferencia del exponente
• del dividendo y del divisor.
El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un
polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término
del polinomio por el monomio.
no es un un polinomio
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2.1 División entera de polinomios
Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x)  0, didivir D(x) entre d(x)
es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales que
D(x) = d(x) . C(x) + R(x)
que se suele esquematizar de la siguiente manera:
D(x)
d(x)
R(x) C(x)
Si el resto R(x)= 0 la división se llama exacta, y se dice que
• el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que
• d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).
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2.2 Ejemplo de división entera
La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división
entera de números naturales.
Primer paso
Segundo paso
Tercer paso
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3)4
4x6x
+ 4x3 – 11x2 – 3x +
3x5 +68x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3) 4
4x6x
– 4x3 – 11x2 – 3x +
–6(6x4+ 4x3 –
8x2) – 3x2 – 3x +
6
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3)4
4x6x
– 4x3 – 11x2 – 3x +
–6 (6x4– 4x3 –
11x2) – 3x2 – 3x +
–(– 3x26– 2x +
– x +4)2
3x2+2x–
4
x
3
3x2+2x–
x +4
3
2x2
3x2+2x–
x3 + 4 –
2x2
1
cociente
resto
Cociente de
los términos
de mayor
grado
Cociente de
los términos
de mayor
grado
Cociente de
los términos
de mayor
grado
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3. División por x-a. Regla de Ruffini
Para dividir un polinomio P = 2x3 – 6x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede usar el siguiente
esquema llamado Regla de Ruffini
Coeficientes de P
a
Se opera:
2
–6
–4
12
2
2
–6
–4
12
–4
– 16
2
4
–2
–8
–4
se suma
2
se multiplica por a
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
r
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4.1 Teorema del resto
Al dividir P(x) entre x – a obtenemos:
P(x)
x–a
R
C(x)
Es decir: P(x) = (x – a) C(x) + R
Luego P(a) = (a – a) C(a) + R = R
El resto de dividir un polinomio P(x) por (x – a) es igual al valor numérico
del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a)
El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así:
P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = –
4
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4.2 Teorema del factor
Si al dividir P(x) entre x – a obtenemos:
P(x)
x–a
0
C(x)
Entonces: P(x) = (x – a) C(x) + 0 = (x – a) C(x)
que indica que x – a es un factor o divisor del polinomio P(x)
Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero.
a es raíz de P(x)  P(a) = 0
Teorema fundamental del álgebra.
Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales.
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5. Raíces de un polinomio. Número de raíces
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de
P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio
P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero.
a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ Resto de (P(x):(x-a)) = 0
Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este
enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.
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6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio
Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras,
éstas son divisores del término independiente.
Sea por ejemplo P(x) =
ax3+bx2+cx+d
Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar3+br2+cr+d = 0
Entonces: r(ar2+br+c) = – d
 ar 2  br  c  
d
r
De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar2+br+c es un número entero.
Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas
entre los divisores del término independiente.
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7.1 Factorización de polinomios
•
•
•
•
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios,
no constantes, tales que su producto sea el polinomio dado.
Si el polinomio P(x) = anxn + an–1xn–1+ ... + a1x + ao ;tiene
n raíces reales r1, r2, ... , rn se demuestra que la descomposición factorial es:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) ... (x – rn)
Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 –
3x
• Se iguala el polinomio a cero: x4 + 3x3 – x2 – 3x = 0
• Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3) = 0
• Una raíz es x = 0
• Se calculan las raíces de x3 + 3x2 – x – 3 = 0
• Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3
• Obtenemos que 1, –1 y –3 son raíces de x3 + 3x2 – x – 3 = 0.
– Por tanto las raíces de P son: 0, 1, –1 y –3
• La factorización de P es: (x – 0)(x – 1)(x + 1) (x + 4) = x(x – 1)(x + 1)(x + 4)
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7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios