MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
1. División de polinomios por monomios
El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene:
• como coeficiente, el cociente de los coeficientes;
• como parte literal, las letras que aparecen en el dividendo,
• cada una con exponente igual a la diferencia del exponente
• del dividendo y del divisor.
El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un
polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término
del polinomio por el monomio.
no es un un polinomio
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
2.1 División entera de polinomios
Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x) 0, didivir D(x) entre d(x)
es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales que
D(x) = d(x) . C(x) + R(x)
que se suele esquematizar de la siguiente manera:
D(x)
d(x)
R(x) C(x)
Si el resto R(x)= 0 la división se llama exacta, y se dice que
• el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que
• d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x).
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
2.2 Ejemplo de división entera
La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división
entera de números naturales.
Primer paso
Segundo paso
Tercer paso
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3)4
4x6x
+ 4x3 – 11x2 – 3x +
3x5 +68x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3) 4
4x6x
– 4x3 – 11x2 – 3x +
–6(6x4+ 4x3 –
8x2) – 3x2 – 3x +
6
3x5 + 8x4
– 11x2 – 3x + 6
– (3x5 + 2x4 –
3)4
4x6x
– 4x3 – 11x2 – 3x +
–6 (6x4– 4x3 –
11x2) – 3x2 – 3x +
–(– 3x26– 2x +
– x +4)2
3x2+2x–
4
x
3
3x2+2x–
x +4
3
2x2
3x2+2x–
x3 + 4 –
2x2
1
cociente
resto
Cociente de
los términos
de mayor
grado
Cociente de
los términos
de mayor
grado
Cociente de
los términos
de mayor
grado
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
3. División por x-a. Regla de Ruffini
Para dividir un polinomio P = 2x3 – 6x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede usar el siguiente
esquema llamado Regla de Ruffini
Coeficientes de P
a
Se opera:
2
–6
–4
12
2
2
–6
–4
12
–4
– 16
2
4
–2
–8
–4
se suma
2
se multiplica por a
Hemos obtenido que: P = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 = (2x2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4)
r
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
4.1 Teorema del resto
Al dividir P(x) entre x – a obtenemos:
P(x)
x–a
R
C(x)
Es decir: P(x) = (x – a) C(x) + R
Luego P(a) = (a – a) C(a) + R = R
El resto de dividir un polinomio P(x) por (x – a) es igual al valor numérico
del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a)
El resto de dividir P(x) = 2x3 – 7x2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así:
P(2) = 2 . 23 – 7 . 22 – 4 . 2 + 12 = –
4
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
4.2 Teorema del factor
Si al dividir P(x) entre x – a obtenemos:
P(x)
x–a
0
C(x)
Entonces: P(x) = (x – a) C(x) + 0 = (x – a) C(x)
que indica que x – a es un factor o divisor del polinomio P(x)
Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero.
a es raíz de P(x) P(a) = 0
Teorema fundamental del álgebra.
Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales.
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
5. Raíces de un polinomio. Número de raíces
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de
P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio
P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero.
a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ Resto de (P(x):(x-a)) = 0
Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este
enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio
Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras,
éstas son divisores del término independiente.
Sea por ejemplo P(x) =
ax3+bx2+cx+d
Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar3+br2+cr+d = 0
Entonces: r(ar2+br+c) = – d
ar 2 br c
d
r
De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar2+br+c es un número entero.
Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas
entre los divisores del término independiente.
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
7.1 Factorización de polinomios
•
•
•
•
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios,
no constantes, tales que su producto sea el polinomio dado.
Si el polinomio P(x) = anxn + an–1xn–1+ ... + a1x + ao ;tiene
n raíces reales r1, r2, ... , rn se demuestra que la descomposición factorial es:
P(x) = an(x – r1) (x – r2) ... (x – rn)
Factorizar el polinomio P = x4 + 3x3 – x2 –
3x
• Se iguala el polinomio a cero: x4 + 3x3 – x2 – 3x = 0
• Se saca factor común x: x(x3 + 3x2 – x – 3) = 0
• Una raíz es x = 0
• Se calculan las raíces de x3 + 3x2 – x – 3 = 0
• Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3
• Obtenemos que 1, –1 y –3 son raíces de x3 + 3x2 – x – 3 = 0.
– Por tanto las raíces de P son: 0, 1, –1 y –3
• La factorización de P es: (x – 0)(x – 1)(x + 1) (x + 4) = x(x – 1)(x + 1)(x + 4)
MATEMÁTICAS 3 ESO
TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES
Javier Fernández
7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios
0
