leyes de potencia o escala : su aplicación al fenómeno deportivo

EISSN 1676-5133
LEYES
DE POTENCIA O ESCALA: SU APLICACIÓN AL
FENÓMENO DEPORTIVO
Juan Manuel García-Manso1 [email protected]
Juan Manuel Martín-González1 [email protected]
doi:10.3900/fpj.7.3.195.s
García-Manso JM, Martín-González JM. Leyes de potencia o escala: su aplicación al fenómeno deportivo. Fit Perf J. 2008 may-jun;7(3):195202.
RESUMEN
Los sistemas que encontramos en la naturaleza se organizan de forma jerárquica, es decir, se configuran en estratos
a los que corresponden escalas características de tiempo, longitud o energía. Por escala nos referimos a la dimensión
espacial o temporal de un fenómeno y hay tres aspectos a considerar: la escala característica, el efecto de escala y
el escalamiento. La ley de escala que sigue muchos fenómenos naturales, se describe por leyes de potencia, que son
expresiones matemáticas del tipo Y=cXb; donde X e Y son dos variables, observables, c es una constante y b el exponente de escala. Una expresión de este tipo tiene dos propiedades fundamentales: 1) su transformación logarítmica
se convierte en una recta [log(Y) = log(c) + b log(X)]; 2) es invariante a cambios de escala. Hay básicamente cuatro
ámbitos en los que estas funciones se utilizan: en el estudio de sistemas de tipo biológico (leyes alométricas); en la geometría fractal, donde se usan para la determinación de las dimensiones fractales; en ciertos tipos de redes complejas;
en el estudio de las distribuciones de probabilidad con comportamientos libres de escala. Su utilidad en el deporte es
reciente y abre una nueva línea metodológica en la investigación aplicada, permitiendo abordar, con herramientas
sencillas, una infinidad de temas relacionados con la estructura del deporte, su manifestación en la competición y la
forma de entrenarlo.
PALABRAS CLAVE
Carrera, Modelos Lineales, Evaluación.
1
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria - ULPGC - Departamento de Educación Física - Las Palmas de Gran Canaria - España
Copyright© 2008 por Colégio Brasileiro de Atividade Física, Saúde e Esporte
Fit Perf J | Rio de Janeiro | 7 | 3 | 195-202 | may/jun 2008
Fit Perf J. 2008 may-jun;7(3):195-202.
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G ARCÍA -M ANSO, M ARTIN -G ONZÁLEZ
LAWS
OF
POTENCY
OR SCALE: ITS APPLICATION TO THE SPORTIVE PHENOMENON
ABSTRACT
The systems that we find in nature are organized in a hierarchical way, which means that they are configured in
layers, to the ones that characteristic scales of time, longitude and energy are corresponded. When we refer to “scale”
we’re talking about the space or time dimension of a phenomenon and there are three aspects to consider: the characteristic scale, the scale effect and the scaling. The scales law, which follows many natural phenomenon, is described
by the laws of potency, which are mathematic expressions, such as Y=cXb; where X and Y are two observable variables,
c is a constant and b the scale exponent. Na expression like this has two fundamental properties: 1) its logarithmic
transformation is converted into a straight line [log(Y) = log(c) + b log(X)]; 2) it is invariable to scale changes. There
are, basically, four ambits in which these functions are used: in the biological type systems (allometric laws), of fractal
geometry, where it is used for the determination of fractal dimensions; in certain types of complex nets and in the study
of the distributions of probability with free scale behavior. Its utility in sports is recent and opens a new methodological
line in the applied research, allowing to approach, with simple tools, an infinity of subjects related to the structure of
sports, its manifestation in the competition and the way to train it.
KEYWORDS
Running, Linear Models, Evaluation.
LEIS
DE POTÊNCIA OU ESCALA: SUA APLICAÇÃO AO FENÔMENO ESPORTIVO
RESUMO
Os sistemas que encontramos na natureza se organizam de forma hierárquica, ou seja, se configuram em estratos
que correspondem a escalas características de tempo, longitude ou energia. Por escala nos referimos à dimensão
espacial ou temporal de um fenômeno e há três aspectos a considerar: a escala característica, o efeito de escala e o
escalamento. A lei de escala, que segue muitos fenômenos naturais, é descrita por leis de potência, que são expressões
matemáticas do tipo Y=cXb; onde X e Y são duas variáveis, quantidades ou observações, c é uma constante e b é o
expoente de escala. Uma expressão deste tipo tem duas propriedades fundamentais: 1) sua transformação logarítmica
se transforma em uma reta [log(Y) = log(c) + b log(X)]; 2) é invariante a mudanças de escala. Há, basicamente, quatro
âmbitos nos quais estas funções se utilizam: no estudo de sistemas de tipo biológico (leis alométricas); na geometria
fractal, onde se usam para a determinação das dimensões fractais; em certos tipos de redes complexas; e no estudo
das distribuições de probabilidade com comportamentos livres de escala. Sua utilidade no esporte é recente e abre
uma nova linha metodológica na pesquisa aplicada, permitindo abordar, com ferramentas simples, uma infinidade de
temas relacionados com a estrutura do esporte, sua manifestação na competição e a forma de treiná-lo.
PALAVRAS-CHAVE
Corrida, Modelos Lineares, Avaliação.
INTRODUCCIÓN
Por escala nos referimos generalmente a la dimensión espacial o temporal de un fenómeno. La gama de
magnitudes en el universo es inmensa, desde tamaños
microscópicos a años luz; desde sucesos que duran microsegundos hasta sucesos cuya evolución se mide en miles
de millones de años; velocidades; energías liberadas;
etc. Algo similar ocurre con las diferentes escalas con
las que se rige siendo una realidad que cada elemento
o nivel de la estructura se rige con escalas diferentes y
no siempre fijas. Tanto los animales, como los sistemas
que lo componen o, incluso, las organizaciones sociales
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no pueden hacerse mucho más grandes o mucho más
pequeños sin experimentar cambios fundamentales en
su estructura o conducta. Esto lo podemos ver en la
construcción de un edificio, donde su tamaño sin duda
viene afectado tanto por los materiales de construcción
como por todo lo que lo rodea: vecinos, climatología,
normas municipales, etc. Una ciudad no es un pueblo
grande, los servicios, industrias, patrones de convivencia,
barrios, circulación, etc., requiere métodos de gobierno
muy distintos. Piénsese, por ejemplo, en las diferencias
entre organizar una competición deportiva a nivel local o
a nivel internacional, o entrenar para mejorar la condición
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física de un sedentario frente al entrenamiento al más
alto nivel de rendimiento. Algo similar también ocurre
con el rendimiento y las características morfológicas de
los practicantes.
En la misma geometría elemental, a medida que un
objeto aumenta de tamaño, su volumen se incrementa
más rápido que su superficie, y las propiedades que
dependen del volumen, como la capacidad y el peso,
cambian de proporción con las propiedades que dependen del área, como la fuerza de los soportes o la
actividad de superficie (pensemos en fuerza muscular y
sección transversal o volumen muscular). Sistemas como
los pulmones, los vasos sanguíneos o las raíces de los
árboles intercambian sustancias con su entorno a través
de superficies, altamente ramificadas, y cuya geometría
tiene características fractales.
En las escalas hay tres aspectos a considerar: la escala característica; el efecto de escala; y el escalamiento.
Por escala característica entendemos la escala distintiva
o el rango de escala de un fenómeno que, de alguna
forma, caracteriza su comportamiento. El tamaño de
una persona, de un animal o de una casa, son ejemplos.
También la frecuencia de un fenómeno, como el ciclo
anual de las estaciones, la duración del día, las revoluciones por minuto de un motor, el ritmo cardiaco basal
de una persona, o los pulsos de una hormona, etc. Las
escalas características son intrínsecas a los fenómenos
que conciernen, aunque detectarlas puede ser subjetivo,
y pueden también percibirse como niveles en jerarquías.
La escala intrínseca se refiere a la escala a la cual un
patrón o proceso opera. En general es mejor considerar
la escala observada de un fenómeno como el resultado
de la interacción entre el observador y la escala inherente
del fenómeno. El efecto de escala tiene que ver con el
cambio en el resultado de un estudio debido a cambios
en la escala a la cual conduce dicho estudio. Así, no
es correcto extrapolar resultados obtenidos en estudios
cuya muestra son sujetos sedentarios o moderadamente
activos al entrenamiento de deportistas con un nivel de
rendimiento muy elevado. Los efectos del cambio de escala, por tanto, puede ser muy importante en el muestreo
de datos o en diseños experimentales. Mientras que el
escalamiento, de forma muy general, tiene que ver con
las consecuencias de cambiar de tamaño.
Sin embargo, también se encuentran fenómenos libres
de escala o que carecen de escala característica. Un
geólogo, por ejemplo, cuando fotografía una roca o un
paisaje, usa una moneda, un lápiz o el martillo para definir
la escala, debido a que un hecho geológico permanece, a
simple vista, más o menos igual tanto si lo miramos a una
escala grande como pequeña. Es decir, no hay patrones
que el ojo pueda identificar como teniendo un tamaño
típico. También hay fenómenos que parecen repetirse, o
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DE POTENCIA
ser el mismo, sobre un amplio rango de escalas, como
una coliflor; los alvéolos pulmonares; etc. A tales objetos
a veces se les llama autoimilares o fractales. Así paisajes, líneas de costas o partes de la corteza terrestre son
invariantes a escala, es decir, parecen los mismos a casi
cualquier escala pero, curiosamente, también lo son los
procesos que les van dando forma, como la erosión o la
sedimentación. Más adelante ampliaremos estos temas.
Leyes de potencia (LP) o de escala
La ley o el comportamiento a escala que siguen muchos fenómenos naturales, se describen por LP. Las LP se
manifiestan en numerosos fenómenos, frecuentemente
fractales, donde una gran cantidad de elementos interaccionan entre sí para producir una estructura a nivel
superior. Estos sistemas evolucionan lejos del equilibrio
y, con frecuencia, son altamente disipativos. Se describen
mediante expresiones matemáticas del tipo:
Y=cXb
(1)
Donde X e Y son dos variables, cantidades u observables, c es una constante (también puede entenderse
como una constante de normalización), y b el exponente
de escala. No debemos confundir esta expresión con la
función exponencial, que tiene la forma:
Y=caX
En todo caso conviene tener en cuenta que una ley
exponencial tiende a cero o a algún otro valor de forma
asintótica y de manera mucho más rápida que una ley
de potencia, que también se escribe como:
Y~Xb
donde ~ se lee como “proporcional a” o “escala
como”
Una expresión de este tipo tiene dos propiedades
claves:
1ª Propiedad
Si tomamos el logaritmo en la ecuación (1) nos
queda,
log (Y) = log (c) + b log (X)
(2)
que es la ecuación de una recta de pendiente b. Es
decir, si en lugar de representar los valores de X contra los
de Y en un gráfico, representamos sus logaritmos, log(X)
contra log(Y), lo que vemos es una línea recta.
Por lo tanto tenemos una forma rápida de rastrear si
una serie de datos sigue una ley de potencia: representamos sus logaritmos y estimamos hasta que punto el re-
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Figura 1 - Ajuste de una Power Law a una serie de datos
sultado se puede considerar o ajustar por una línea recta.
Otra ventaja es la cantidad de resultados estadísticos (por
ejemplo: análisis de regresión) que se han desarrollado
para ajustar y modelizar comportamientos lineales. Por
ello, en casi todos los trabajos, artículos, etc., se muestran
los resultados en gráficos logarítmicos, con los correspondientes parámetros estadísticos que caracterizan el ajuste
(desviación cuadrática media, R2, etc.).
En las Figuras 1 y 2 se muestra el ajuste de una ley de
potencia a una serie de datos. La siguiente es un gráfico
“doblemente logarítmico” (el logaritmo de una magnitud
frente al logaritmo de la otra) de los datos anteriores. Las
dos representaciones son equivalentes.
2ª Propiedad
La LP es invariante a cambios de escala. Supongamos
que en la expresión de la LP (1) cambiamos la escala (reescalamos) de la variable multiplicándola por un factor z,
como sucede al cambiar la escala de un mapa, o al pasar
de metros a kilómetros, etc. La variable X se convierte en
zX, y el nuevo valor de la variable Y será:
Y’ = c (z X) b
Que es lo mismo, después de un poco de algebra,
que:
Figura 2 - Representación doblemente logarítmica (loglog) de la misma serie de la Figura 1
los fenómenos con este tipo de comportamiento se denominan libres de escala (scale free). Una serie de datos
que se distribuyan de esta manera, o que se expresen
siguiendo una ley de este tipo, no tienen longitudes (magnitudes) características. Savaglio & Carbone1 utilizan este
principio para analizar el punto de corte en las pruebas
atléticas de carrera o la forma en que se comportan los
rendimientos en estas especialidades del atletismo.
Hay básicamente cuatro ámbitos en los que estas
funciones se utilizan: en el estudio de las leyes de escala
en sistemas de tipo biológico, donde se denominan leyes
alométricas; dentro de la geometría fractal, donde se usan
para la determinación de las dimensiones fractales; al
analizar ciertos tipos de redes complejas; y en el estudio de
las distribuciones de probabilidad con comportamientos
libres de escala.
Ejemplos de aplicación de LP en el campo de
la actividad física y el deporte
En el estudio del rendimiento deportivo, las LP no han
sido muy utilizadas en el pasado. Pero como señalan Katz
& Katz2, los record mundiales son medidas bien establecidas y bastante bien estandarizadas, y las LP pueden
ser muy útiles para investigar el rendimiento humano.
Por ejemplo en las modalidades de carreras atléticas, la
distancia recorrida d y el tiempo de carrera t, siguen una
ley de escala
t(d) = c d b
b
b
b
Y’ = c (z ) X = (c z ) Y
Como vemos el resultado es una función del mismo
tipo, solo que la constante es ahora czb. En este caso se
suele decir que cualquier cambio de escala es “absorbido”
por o en la constante de normalización, y la forma de
la función permanece invariante. A esta propiedad se la
conoce como invarianza en escala (scaling invariance) y
198
Donde b es el exponente escala2, que parece ser el
mismo desde la carrera de 100m hasta la de 10.000m
o la maratón. Así el exponente b medido en 1925 dio
un valor de 1,141, y en 1995 fue de 1,123. Un resultado parecido se encontró para nadadores, tanto para
hombres como para mujeres. Esto significa que existe
invarianza en escala para el rendimiento humano, es
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decir, si cambiamos la distancia d a otro valor cd, la
ecuación queda
t(cd) = c b t(d)
o, lo que es lo mismo, el cociente entre los tiempos
para dos distancias diferentes
t(cd) / t(d) = c b
depende sólo del índice de escala b.
Como la invarianza de escala implica invarianza de
las propiedades estadísticas del sistema sobre todas las
escalas, no es posible definir una escala característica.
Este comportamiento es típico en la rama de la Física
que estudia los sistemas estadísticos en puntos críticos,
como las transiciones de fase. Como señalan Savagli &
DE POTENCIA
Carbone1 el comportamiento de los deportistas durante
las carreras atléticas o durante las pruebas de natación
puede considerarse un fenómeno crítico. Para entenderlo,
fijémonos en la Figura 3, en la que se representan en el eje
X los logaritmos de los valores de las distancias recorridas
en cada prueba desde los 200m hasta la maratón, y en
el eje Y los logaritmos de los mejores tiempos obtenidos
en competiciones oficiales.
Aunque los datos a primera vista parecen seguir,
en conjunto, una línea recta, en la curva que vemos en
la gráfica se observa un cambio, una “rodilla o codo”,
cerca de los 1.000m que define el punto de corte de dos
rectas con exponentes de escala distintos. Se ha de tener
presente que los datos de distancia representado en las
abscisas de la gráfica son logarítmicos. La transición entre
los dos exponentes de escala, como observan Savaglio
y Carbone1, define un punto cerca de los 1.150m (ver
Figura 3 - Logaritmo del tiempo frente a la distancia en
las mejores marcas de las carreras entre los 200m y la
maratón. Se incluye el punto de corte y el valor de las
pendientes de ambas rectas
Figura 4 - Velocidad vs. Puesto que ocupa un corredor en el
ranking de las 1633 mejores marcas all-time de la distancia
de 1500m. En el recuadro se muestra el gráfico doblemente
logarítmico de los valores de la misma serie de datos. Nótese el punto de corte en el puesto 170 del ranking.
Figura 5 - Representación gráfica de la Velocidad vs.
Puesto ocupado por el corredor en el ranking de 1500m
realizada en forma invertida a como se hizo en Figura 4.
Figura 6 - Diagrama de barras del ranking mundial de
1500m para un número de intervalos n = 30
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Figura 7 - Histograma que muestra como se distribuyen
todos los jugadores del mundo con un ELO superior a
2200. En el recuadro se muestran los logaritmos de los
parámetros representados en el histograma (eje X: valor
del ELO; eje Y: frecuencia).
Figura 8 - Secuencia de los jugadores de ajedrez (n =
800) con un ELO superior a 2500. En el recuadro los
logaritmos de estos valores. El punto de corte indica el
puesto que marca la diferencia entre los buenos jugadores y los que pueden ser considerados como super-élites.
Figura 3), que corresponde, para los autores, al cambio
entre carreras de corta distancia donde predomina el
metabolismo aeróbico (fuerza) y las carrera de resistencia
con el característico comportamiento aeróbico necesario
para correr largas distancias.
A veces es mejor el uso de la velocidad media de
carrera, es decir, el tiempo empleado dividido por la distancia, ya que esta magnitud está más relacionada con la
energía consumida, o la potencia, a través del cuadrado
de la velocidad. La ley de escala es
mejor marca (en este caso corresponde a El Guerrouj),
con rango 2 la segunda mejor marca (en poder, hasta ese
momento, de B. Lagat), y así sucesivamente.
En la Figura 4 se muestran los resultados. En el recuadro damos el correspondiente gráfico doblemente
logarítmico, apareciendo el patrón en línea recta típico
de las LP, así como el valor del exponente b. Se observa
como la gráfica muestra un punto de corte en el puesto
170, señalado con flechas, que separa claramente dos
comportamientos. Es decir, parece que el sistema viene
determinado, al menos, por dos leyes de escala. Una
refleja el comportamiento de los primeros 170 corredores,
es decir la “élite”, y otra para el resto de corredores de
nivel internacional.
Si aplicamos una LP a los 170 primeros
v = c’ d b’
siendo b’ = 1-1/b.
Con objeto de ilustrar el uso de las LP y como
trabajar con ellas, nos centraremos en un ejemplo
obtenido del deporte: la carrera de 1.500m (datos
propios no publicados). La elección se debe a varias
razones. Esta es una de las pruebas atléticas más
populares, está bien documentada y hay muy buenos
corredores, incluso españoles. Además, no es una
carrera de resistencia pura, aunque se encuentra más
allá del valor señalado antes, 1.150m, que separa
ambas pruebas.
Aquí analizaremos sólo algunos aspectos competitivos,
basándonos en el estudio de las mejores marcas obtenidas
por los mejores corredores en todos los tiempos. Para
ello hemos buscado los mejores resultados de los 1.633
corredores que han obtenido marcas por encima de cierto
valor, transformados a velocidad, es decir, el mejor tiempo
en segundos dividido por 1.500m.
Estos valores, en m⋅s-1, son ordenados por puestos
de mayor a menor; así el de rango (o puesto) 1 tiene la
200
v(i) = c1 i -b
siendo i el rango i = 1, 2,…, 170, v(i) la velocidad
media del corredor que ocupa el puesto número i en
el ranking, y c1 es una constante de normalización en
m⋅s-1.
Veámoslo de otra manera. En la Figura 5 se muestran
los valores de la velocidad en el eje X y los puestos de
los corredores en el eje Y, es decir, invertimos la gráfica
anterior.
Si nos fijamos en la gráfica, dos flechas señalan un
valor concreto: el puesto 200, el cual corresponde a un
valor de la velocidad de 7,1m⋅s-1. Este tipo de curva se
puede interpretar de la siguiente manera: por encima del
valor de la velocidad 7,1m⋅s-1 hay 200 corredores de un
total de 1.633; o bien decir que 12,24% de los corredores
superan la velocidad de 7,1 m⋅s-1. También lo podemos
ver como probabilidades. Para ello, dividimos todos los
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rangos por el total, quedando como se ve en el recuadro
(a) de la gráfica. Como 200/1663 = 0,122 podremos
decir que la probabilidad de que un corredor obtenga un
valor superior a 7,1 m⋅s-1 es de 0,122. De esta manera
la curva de la gráfica se interpreta como una distribución
de probabilidad acumulada, es decir:
P( > vc) = c2 v –b
Que podemos leer como “la probabilidad de que
un corredor alcance un valor por encima de uno fijo vc
o que ocupe un puesto por encima de uno determinado
(como el 200) decae inversamente como una potencia
de la velocidad”.
Una tercera forma de verlo es a través del histograma
o de la distribución de probabilidades. Para ello dividimos la diferencia entre el máximo y mínimo valor de la
velocidad en un número de intervalos n. A continuación
contamos cuantos corredores tienen marcas en cada intervalo, es decir, las frecuencias de cada intervalo. En la
Figura 6 se muestran con un diagrama de barras dichas
frecuencias para un número de intervalos n=30.
Es notable la aparición de intervalos más poblados
que sus vecinos y de los que destacamos dos: uno en
torno al valor 7,1 que corresponde a lo puestos entre el
166 y el 210, y otro que representa a los puestos en torno
al 40. García-Manso et al.3 señalan que estos valores
corresponden a las barreras, es decir, aquellos valores
que un deportista tiende a alcanzar a medida que mejora
su rendimiento. En otras palabras, hay unas metas fijas o
marcas determinadas que funcionan, de alguna manera,
como atractores y a la vez como filtros. De hecho, cuando
un deportista bate un record importante está abriendo
el camino de los demás hacia una nueva barrera. En el
recuadro se representan los logaritmos de las velocidades
frente a las frecuencias, apareciendo la conocida rodilla,
y los valores de los exponentes de escala obtenidos para
las dos rectas.
El deporte es, por tanto, un ámbito donde podemos encontrar este tipo de distribuciones. Hay algunos
trabajos en deportes individuales como es el caso del
atletismo2,3,4,5,6. En deportes de equipo también parece
que se dan las LP. Malacarne & Mendes7 consideran los
mayores goleadores de campeonatos de liga de diferentes países donde el fútbol es un fenómeno de masas.
Así cuentan el número de jugadores que han marcado n
goles, luego los que han marcado n-1, etc., y encuentra
una ley de potencia. La distribución de goles por jugador sigue, según estos autores, un proceso de “difusión
anómala” o LP Zipf-Mandelbrot. También Greenhough
et al.8 destacan la relación existente entre la distribución
de los goles que se consiguen en fútbol con estadísticas
de fenómenos extremos (colas largas).
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DE POTENCIA
En este tipo de competiciones también se han encontrado resultados parecidos al analizar el tiempo medio que
dura un entrenador en un equipo de cierta categoría en
varios deportes. Creemos interesante comentar el artículo
de Aidt et al.9, en el que muestran como el tiempo que un
entrenador permanece al mando de equipos de fútbol,
baseball y fútbol americano de muchos países sigue una
ley de potencia con valores de los exponentes entre 2 y
3. Para ello trabajan sobre una base de datos con un
total de 7.183 entrenadores donde, en algunos casos, los
datos tienen 130 años de antigüedad, y se centran en el
tiempo, en años, que cada entrenador permanece en un
equipo. Analizan diferentes periodos: entre 1874-1900,
1874-1920, 1874-1966, 1874-1980 y 1874-2005, y
encuentran que a medida que el sistema evoluciona la
distribución se va ajustando cada vez mejor a una LP, por lo
que deducen que las LP en este contexto es un fenómeno
emergente, es decir emergen como consecuencia de la
evolución del sistema; un resultado ya obtenido para otros
sistemas complejos. De todas maneras conviene señalar
que los autores no consideran a aquellos entrenadores
despedidos en su primer año o temporada, pues no
parece haber muchas razones para este proceder, salvo
por alguna casualidad. Por otra parte, en su primer año
de trabajo suele haber una especie de “luna de miel”
dentro de la cual los entrenadores forman un equipo y,
en opinión de los autores, no suelen ser juzgados hasta
la segunda temporada.
Por países, salvo en Francia, los datos siguen una
distribución LP. Veamos los resultados obtenidos para
los exponentes de escala en el artículo citado. En Fútbol
(desde 1874 hasta 2005 aunque no en todos los países,
por ejemplo en España desde 1910): Inglaterra -2,23;
Suiza -2,93; Francia ---; España -2,75; Alemania -2,51.
En baseball: USA -2,63; Japón -2,41. En Fútbol americano -2,08. Los autores piensan que el rendimiento de los
entrenadores se mide por el de los equipos que lideran;
trabajan en un ambiente muy competitivo, son generalmente despedidos cuando su crédito cae bajo cierto
valor umbral o, por el contrario, son comprados por otros
equipos si su éxito es suficientemente alto. Una pregunta
queda en el aire ¿qué pasa en el fútbol francés?
El ajedrez también responde a este tipo de comportamiento. En un reciente artículo, Blasius & Toenjes10 encuentran que las aperturas de ajedrez más utilizadas, tanto
por jugadores aficionados como por grandes maestros, se
distribuyen de acuerdo a una LP que tiene un exponente
que aumenta a medida que el juego avanza. Tras leer este
trabajo, nosotros nos preguntamos si los rankings en este
deporte también siguen una LP. Recordemos que el nivel
de rendimiento del jugador de ajedrez se mide mediante
un procedimiento que asigna un valor denominado ELO
a cada deportista. Para responder a esta cuestión selec-
201
G ARCÍA -M ANSO, M ARTIN -G ONZÁLEZ
cionamos un listado de 20.600 jugadores con un valor de
ELO superior a 2200. El ELO es un sistema matemático,
elaborado por el profesor Arpad Elo (Profesor de Física
de la Universidad de Milwaukee), para la evaluación del
rendimiento de los jugadores de ajedrez. Con él se puede
saber sin conocer a un jugador cual es su nivel de juego y
permite realizar clasificaciones de los jugadores. El ELO,
se evalúa en cada competición y se tiene en cuenta el ELO
previo de cada rival para aumentar o disminuir el propio
según el resultado en función del rival y el resultado de
la partida. Para obtener un valor alto valor de ELO se ha
de competir con jugadores que a su vez tienen ELO alto.
Esto implica, por tanto, que se ha competir a alto nivel,
en torneos internacionales y con muchas interacciones
entre jugadores de gran nivel, lo cual limita el número
de jugadores de élite.
Observamos, en la Figura 7, como el ELO parece
seguir una LP. Para comprobarlo, representamos en el
recuadro los logaritmos de los parámetros del histograma
(eje X: valor del ELO; eje Y: frecuencia).
Observemos como, aparentemente, hay tres líneas
(tendencias) diferenciadas que presentan puntos de corte
entorno a valores de ELO cercanos a 2400 y 2500. Estos
cortes responden a niveles de competición diferentes. Así,
por encima de los 2400 hay una élite de jugadores que
incluye, aproximadamente, a los 800 mejores jugadores
mundiales. Si nos centramos sólo en los de valor superior
a 2500 (Figura 8) y los representamos por orden de rango:
el primero es el de valor más alto, el segundo el siguiente, etc., obtenemos la gráfica anterior. En el recuadro se
muestra la representación doblemente logarítmica, que
también sigue un doble comportamiento lineal, con una
“super-élite” que abarca a los 40 primeros, con valores
de ELO por encima de los 2650, donde se debe dar la
máxima rivalidad.
una perspectiva diferente a la que proponen los modelos
tradicionales (óptica reduccionsta). Afrontar el deporte
desde una óptica diferente permite enriquecer nuestro
cuerpo de conocimiento y, a la vez, incrementar el pool
de instrumentos de medición, evaluación y caracterización
que nos sirven comprender el proceso desde la óptica de
los sistemas complejos no-lineales.
Esto es lo que tratamos de demostrar con la aplicación
de las leyes de escala o potencia al estudio del fenómeno
deportivo en uno de sus aspectos (sino el más importante): el rendimiento. Sin duda no es la única metodología
útil, ni siquiera la más potente, pero a luz de los datos se
comprueba como un instrumento útil y fiable para abordar
el fenómeno aportando aspectos diferentes a los que nos
aporta el modelo biofísico.
REFERENCIAS
1. Savaglio S, Carbone V. Scaling in athletic worlds records. Nature.
2000;404:244.
2. Katz JS, Katz L. Power laws and athletic performance. J Sports Sci.
1999;17:467-76.
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2006;21(1):17-25.
4. García-Manso JM, Martín-González JM, Dávila N, Arriaza E. Middle and
long distance athletics races viewed from the perspective of complexity. J
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DISCUSIÓN
A la luz de los ejemplos mostrados se demuestra que
también es posible abordar el fenómeno deportivo desde
202
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