conjuntos numéricos

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
1. UN REPASO DE LOS
NÚMEROS REALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números naturales (también llamados enteros positivos)
IN = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
La suma a + b y el producto a × b de dos números naturales
cualesquiera también es un número natural.
El conjunto IN de los números naturales es cerrado para las
operaciones suma y producto de números.
Sin embargo en el conjunto de los números naturales IN:
No puedo quitarle (restar) 5 a 2
No puedo dividir 2 en 5 partes
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los enteros negativos y el cero surgen para resolver
ecuaciones tales como x + 5 = 2 no resolubles para números
naturales.
El conjunto de los enteros positivos, los enteros negativos y
el cero forman el conjunto de los números enteros.
Z = {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}.
El conjunto Z es cerrado para la suma, para la resta y para
el producto.
N ⊂ Z.
Sin embargo, en el conjunto de los números enteros Z:
No puedo dividir 2 en 5 partes
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números racionales surgen para permitir resolver
ecuaciones como 5x = 2; o ,en general, bx = a con b ≠ 0 que no
se pueden resolver en el conjunto de los números enteros.
Podemos definir el conjunto de los números racionales como:
⎧a
⎫
Q = ⎨ : a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 ⎬
⎩b
⎭
Q ⇔ conjunto de los números decimales periódicos.
2
= 0,4;
5
3
0,3 =
10
2
= 0,6666...;
3
12
0,121212.. . =
;
99
16
= 1,230769230769230769...
13
13
1,857142857142... =
7
El conjunto Q es cerrado para la
suma, para la resta, para el producto
y para la división.
N ⊂ Z ⊂ Q.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los números irracionales tales como:
2, π, 3 5, e,L
son números que NO pueden expresarse como a/b para a ∈ Z,
b∈ Z, b ≠ 0.
Escribiremos este conjunto de números como II:
II ⇔ conjunto de los números decimales no periódicos.
Por ejemplo:
2 = 1,41421356237309504880168872420L;
π = 3,1415926535897932384626433832795...;
e = 2,7182818284590452353602874713527...; ...
CONJUNTOS NUMÉRICOS
La unión disjunta del conjunto de los números racionales y del
conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los
números reales
IR = Q ∪ II
Reales = Racionales ∪ Irracionales
Los números reales se pueden representar en una recta sin
dejar agujeros, que llamaremos la recta real.
Hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los
números reales y el conjunto de los puntos de la recta
geométrica. A cada número real le corresponde un punto de
la recta geométrica y a cada punto de la recta geométrica un
número real.
DEFINICIÓN DE IR
En IR hay dos operaciones internas la suma y el producto.
(una operación interna hace corresponder a cada par de
números reales otro número real)
IR con dichas operaciones presenta estructura de cuerpo
conmutativo puesto que verifica las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma:
1) Conmutativ a ∀α , β ∈ IR; α + β = β + α
2) Asociativa ∀α , β , γ ∈ IR ; (α + β ) + γ = α + ( β + γ )
3) Existencia de un elemento neutro :
∃0 ∈ IR, ∀α ∈ IR; α + 0 = 0 + α = α
4) Para cada número real existe un opuesto :
∀α ∈ IR, ∃ − α ∈ IR; α + ( −α ) = ( −α ) + α = 0
DEFINICIÓN DE IR
Propiedades de la multiplicación:
5) Conmutativa ∀α , β ∈ IR; αβ = βα
6) Asociativa ∀α , β , γ ∈ IR; (αβ )γ = α ( βγ )
7) Existencia de un elemento unidad :
∃1∈ IR, ∀α ∈ IR; α 1 = 1α = α
8) Todo número real distinto de 0 tiene inverso :
∀α ∈ IR, α ≠ 0, ∃
1
α
∈ IR; α
1
α
=
1
α
α =1
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
∀α , β , γ ∈ IR; α ( β + γ ) = αβ + αγ
ORDEN EN IR
El conjunto de números reales a la derecha de 0 son los
números positivos (P). El conjunto de números a la izquierda de
0 son los números negativos. El número 0 no es ni positivo ni
negativo (o es ambas cosas).
a > b ⇔ a – b ∈ P (a está situado a la derecha de b)
a < b ⇔ b > a (b está situado a la derecha de a)
a≥b⇔ a >bóa =b
a≤b⇔ a<bóa =b
Propiedades:
ORDEN EN IR
1) a > b ó a = b ó a < b
2) a > b y b > c ⇔ a > c
3) a > b ⇔ a ± c > b ± c para cualquier c ∈ IR
4 α) a > b y c > 0 ⇔ a ⋅ c > b ⋅ c
4β) a > b y c < 0 ⇔ a ⋅ c < b ⋅ c
a b
a >b yc > 0 ⇔ >
c c
a b
a >b yc < 0 ⇔ <
c c
INTERVALOS EN IR
Sean a, b ∈ IR con a < b
Intervalo ABIERTO de extremos a y b ∈ IR:
(a, b) = {x ∈ IR : a < x < b}
a
b
Intervalo CERRADO de extremos a y b ∈ IR:
[a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}
a
b
a
b
a
b
Intervalo CERRADO en a y ABIERTO en b:
[a, b) = {x ∈ IR : a ≤ x < b}
Intervalo ABIERTO en a y CERRADO en b:
(a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b}
INTERVALOS DE LONGITUD INFINITA EN IR
(a,+∞ ) = {x ∈ IR : a < x}
a
[a,+∞ ) = {x ∈ IR : a ≤ x}
a
(- ∞, a ) = {x ∈ IR : x < a}
a
(- ∞, a] = {x ∈ IR : x ≤ a}
a
(− ∞,+∞ ) = IR
EJEMPLO: RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES
¿Para qué valores de x es x +3 (2 - x) ≥ 4 – x?
x + 6 - 3x ≥ 4 - x
x - 3x + x ≥ 4 - 6
- x ≥ -2
x≤2
Solución: (-∞,2]
¿Para qué valores de x es x2 -3x -2 < 10 – 2x?
x2 - 3x + 2x - 2 - 10 < 0
x2 - x - 12 < 0
(x + 3)(x - 4 ) < 0
+
Solución: (-3,4)
-3
+
4
a) (x + 3) > 0 y (x - 4 ) < 0 ⇔ x > -3 y x < 4 ⇔ - 3 < x < 4
b) (x + 3) < 0 y (x - 4 ) > 0 ⇔ x < - 3 y x > 4 ⇔ Imposible
VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES
Sea a ∈ IR, definimos :
⎧- a si a < 0
a = máximo{− a, a} = ⎨
⎩ a si a ≥ 0
Propiedades:
1) a ≥ 0 y a = 0 ⇔ a = 0
2) - a ≤ a ≤ a
3) a + b ≤ a + b
EJEMPLOS
Entorno de
centro 0 y
radio 3
1) x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [− 3,3]
-3
0
3
2) x - 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x - 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [1,3]
1
2
Entorno de
centro 2 y
radio 1
3
⎧ x +3≥2
⎧ x ≥ -1
⎪
⎪
⇔ ⎨ ó ⇔ x ∈ (− ∞,−5] ∪ [− 1,+∞ )
3) x + 3 ≥ 2 ⇔ ⎨
ó
⎪− (x + 3) ≥ 2 ⎪x ≤ −5
⎩
⎩
-5
-1
VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES
4) ab = a b
a a
5) = si b ≠ 0
b b
6) a = a 2
7) a = a
n
n
DISTANCIA ENTRE NÚMEROS REALES
Distancia entre los números reales a y b:
0
a
b
d(a, b) = b - a = a − b
Longitud del intervalo de extremos a y b = d(a,b)
Distancia entre a y el origen 0:
d(a,0) = a = a − 0
Interpretación geométrica del valor absoluto de un número
CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES
Sea S ⊆ IR, S ≠ ∅
K ∈ IR es cota superior de S si x ≤ K para todo x ∈ S.
-2
-1
0
1
2
k ∈ IR es cota inferior de S si x ≥ k para todo x ∈ S.
-2
-1
0
1
2
S está acotado superiormente si existe una cota superior de S.
S está acotado inferiormente si existe una cota inferior de S.
S está acotado si está acotado superior e inferiormente.
CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES
Llamamos supremo del conjunto S, acotado superiormente, a la
menor cota superior de S.
⎧ 1) x ≤ K para todo x ∈ S
⎪⎪
K es supremo de S ⇔ ⎨ 2) Para cualquier ε > 0
⎪
⎪⎩∃x0 ∈ S tal que K − ε < x0
Llamamos ínfimo del conjunto S, acotado inferiormente, a la
mayor cota inferior de S.
⎧ 1) x ≥ k para todo x ∈ S
⎪⎪
K es ínfimo de S ⇔ ⎨ 2) Para cualquier ε > 0
⎪
⎪⎩∃x0 ∈ S tal que x0 < k + ε
CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES
K es un máximo del conjunto S, acotado superiormente, ⇔ K es
un supremo de S y K ∈ S.
k es un mínimo del conjunto S, acotado inferiormente, ⇔ k es un
ínfimo de S y k ∈ S.
⎧ 1 1 1 1 ⎫
S = ⎨1, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
2 es una cota superior de S.
Ejemplo 1:
-1 es una cota inferior de S.
S es acotado.
1 es la menor cota superior de S, es el supremo de S, y es el
máximo de S.
0 es la mayor cota inferior de S, es el ínfimo de S.
0 no es el mínimo de S, porque 0 ∉ S.
CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES
Ejemplo 2:
⎧ 1 2 3 4 ⎫
T = ⎨0, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
2 es una cota superior de T.
-1 es una cota inferior de T.
T es acotado.
1 es la menor cota superior de T, 1 es el supremo de T; pero
1 no es el máximo de T.
0 es la mayor cota inferior de T, es el ínfimo de T y es el
mínimo de T.
AXIOMA: Todo conjunto no vacío de IR, acotado
superiormente, tiene extremo superior.
Consecuencia: Todo conjunto no vacío de IR,
acotado inferiormente, tiene extremo inferior.
2. SUCESIONES. PROGRESIONES
SUCESIONES
Como acabamos de ver es frecuente encontrar conjuntos
numéricos finitos o infinitos ordenados.
Ejemplos:
⎧ 1 1 1 1 ⎫
S = ⎨1, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
A = {1, - 1, 1, - 1, 1, - 1,...};
⎧ 1 2 3 4 ⎫
T = ⎨0, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
B = {6, 9, 12, 15, 18, ...};
C = {4, 1, - 2, - 5, - 8, ...};
D = {1, 2, 4, 8, 16, ...};
⎫
⎧ 1 1 1 1
E = ⎨1, , , , , ...⎬;
⎩ 2 4 8 16 ⎭
F = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...};
Una sucesión es una regla que a cada número natural n de IN
le asigna un único número real s(n) = sn.
s : IN → IR
n a s(n) = sn
EJEMPLOS DE SUCESIONES
⎧ 1 1 1 1 ⎫
S = ⎨1, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
s(1) = s1 = 1
1
s(2) = s2 =
2
1
s(3) = s3 =
3
⎧ 1 2 3 4 ⎫
T = ⎨0, , , , ,...⎬
⎩ 2 3 4 5 ⎭
t(1) = t1 = 0
1
2
2
t(3) = t3 =
3
t(2) = t2 =
.......... .......
.......... .......
1
s(n ) = sn =
n
t(n ) = tn =
n −1
n
A = {1, - 1, 1, - 1, 1, - 1,...};
B = {6, 9, 12, 15, 18, ...};
a(1) = a1 = 1
b(1) = b1 = 6
a(2) = a2 = −1
b(2) = b2 = 9
a(3) = a3 = 1
b(3) = b3 = 12
.......... .......
a(n ) = an = (- 1)
n +1
.......... .......
b(n ) = bn = 3n + 3
Término general
de una sucesión
SUCESIONES
Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice creciente si
xn ≤ xn+1, para todo n∈IN
Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice
estrictamente creciente si xn < xn+1, para todo n∈IN
Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice decreciente
si xn ≥ xn+1, para todo n∈IN
Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice
estrictamente decreciente si xn > xn+1, para todo n∈IN
En cualquiera de los casos anteriores decimos que la sucesión
es monótona.
.
⎧ 1 1 1 1 ⎫
S = ⎨1, , , , ,...⎬ es estrictamente decreciente
⎩ 2 3 4 5 ⎭
⎧ 1 2 3 4 ⎫
T = ⎨0, , , , ,...⎬ es estrictamente creciente
⎩ 2 3 4 5 ⎭
EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e
El número e desempeña en finanzas y economía el mismo papel
fundamental que π en geometría.
Problema: Crecimiento de la inversión en una cuenta de ahorro.
A principio de año, depositamos 1€ a un tipo de interés
compuesto anual r.
1) Después de una año la cuenta tendrá: (1 + r) €.
2) Al final del segundo año habrá el capital del año anterior
más los intereses que habrá generado ese capital:
(1 + r) + r (1 + r) = (1 + r) (1 + r) = (1 + r)2 €.
2) Al final del tercer año habrá el capital del segundo año más
los intereses que habrá generado ese capital:
(1 + r)2 + r (1 + r)2 =(1 + r) (1 + r)2 = (1 + r)3 €.
3) Después de t años, habrá (1 + r)t € en la cuenta.
EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e
Supongamos que el banco abona intereses cuatro veces al
año (capitaliza trimestralmente). Al final de cada trimestre,
pagará el r/4 del principal actual.
1) Después de un trimestre,
la cuenta tendrá
2) Después de medio año, dos
trimestres, dos acumulaciones,
la cuenta tendrá.
⎛1 + r ⎞ €
⎜
⎟
4⎠
⎝
2
⎛1 + r ⎞ + r ⎛1 + r ⎞ = ⎛1 + r ⎞ €
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟
4⎠ 4⎝
4⎠ ⎝
4⎠
⎝
4
3) Después de un año, cuatro
⎛1 + r ⎞ €
⎟
acumulaciones, la cuenta tendrá. ⎜⎝
4⎠
4) Después de t años, la
cuenta crecerá hasta
4t
⎛1 + r ⎞ €
⎜
⎟
4⎠
⎝
EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e
Supongamos ahora que el banco abona intereses n veces al año.
1) Después del primer
⎛1 + r ⎞ €
⎜
⎟
período, la cuenta tendrá:
n⎠
⎝
n
2) Después de un año, n
⎛1 + r ⎞ €
⎜
⎟
acumulaciones, la cuenta tendrá:
n⎠
⎝
3) Después de t años, la
cuenta crecerá hasta:
nt
⎛1 + r ⎞ €
⎜
⎟
n⎠
⎝
Muchos bancos dicen que abonan intereses diariamente.
Teóricamente se podría pedir que lo hiciesen continuamente.
¿Por qué factor hay que multiplicar el dinero en el banco a la
tasa de interés r si el interés se compone muy
frecuentemente, esto es, si n es muy grande?
EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e
Para simplificar el cálculo comenzamos suponemos una tasa
de interés anual del 100 por 100; esto es r = 1.
Entonces se forma la sucesión:
1⎞
⎛
sn = ⎜ 1 + ⎟
n⎠
⎝
n
Como vemos la tabla se va
estabilizando en torno a
un número irracional que
llamamos e.
e = 2.7182818… con siete
decimales exactos.
n
(1+1/n)n
1
2.0
2
2.25
4
2.4414
10
2.59374
100
2.704814
1000
2.7169239
10000
2.7181459
100000
2.71826824
1000000
2.718281693
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada
término se obtiene sumando al anterior un número constante,
la diferencia d de la progresión.
B = {6, 9, 12, 15, 18, ...};
a ; a ; a ; ...; a ; ...
1
2
3
a1 ;
a2 = a1 + d;
n
a3 = a2 + d = a1 + 2d;
.......... .......... .......... .......
an = an −1 + d = a1 + (n − 1)d;
b1 = 6;
d = 3;
bn = 6 + (n − 1)3;
bn = 3n + 3;
C = {4, 1, - 2, - 5, - 8, ...};
c1 = 4;
d = −3;
cn = 4 + (n − 1)(- 3);
cn = −3n + 7;
SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Observar que:
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an − d) = a1 + an ;
a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 − d) = a2 + an-1 = a1 + an ;
.......... .......... .......... .......
a1+k + an-k = a1 + an ; para todo k = 1, 2, …, n-1
Entonces:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1
2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an-1 ) + ... + (an −1 + a2 ) + (an + a1 )
2Sn = n(a1 + an )
a1 + an
Sn =
n
2
SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Hallar la suma de los 14 primeros términos de la progresión
aritmética B = {6, 9, 12, 15, 18, …}
b1 = 6;
b14 = b1 + (n − 1)d = 6 + (14 - 1)3 = 45;
6 + 45
b1 + b14
14 = 357
S14 =
14 =
2
2
Hallar la suma desde el término 10 al 20 de la progresión
aritmética C = {4, 1, -2, -5, -8, …}
c1 = 4;
S10..20
c10 = c1 + (10 − 1)d = 4 + (10 - 1)(- 3) = -23;
c20 = c1 + (20 − 1)d = 4 + (20 - 1)(- 3) = -53;
c10 + c20
− 23 + (− 53)
=
11 =
11 = −418
2
2
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es una sucesión tal que cada
término se obtiene del anterior multiplicándolo por un número
constante, la razón r de la progresión.
a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ; ...
a1 ;
a2 = a1 ⋅ r;
a3 = a2 ⋅ r = a1 ⋅ r2 ;
.......... .......... .......... .......
an = an −1 ⋅ r = a1 ⋅ rn −1 ;
D = {1, 2, 4, 8, 16, ...};
d1 = 1; r = 2;
dn = d1 ⋅ rn −1 = 1 ⋅ 2n −1 = 2n −1
⎫
⎧ 1 1 1 1
E = ⎨1, , , , , ...⎬;
⎩ 2 4 8 16 ⎭
e1 = 1;
1
r= ;
2
en = e1 ⋅ r
n −1
1
⎛
= 1 ⋅ ⎜ ⎞⎟
⎝2⎠
n −1
= 21−n
SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + a3 ⋅ r + ... + an-1 ⋅ r + an ⋅ r
Restamos a la segunda igualdad la primera teniendo en cuenta
que an r = an+1:
⎧Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + a3 ⋅ r + ... + an-1 ⋅ r + an ⋅ r
⎨
⎩ - Sn = − a1 − a2 − a3 − ... − an-1 − an
Sn ⋅ r − Sn = an ⋅ r − a1
Sn ⋅ (r − 1) = an ⋅ r − a1
an ⋅ r − a1 a1 - an ⋅ r a1 - a1 ⋅ rn
=
=
Sn =
1−r
1−r
r −1
SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión
geométrica D = {1, 2, 4, 8, 16, …}
d1 = 1;
S20
a1 - a1 ⋅ rn
a1 ⋅ rn − a1 1 ⋅ 220 − 1
=
=
=
= 1048576
1−r
r −1
2 −1
Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión
geométrica E = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …}
e1 = 1;
⎛1⎞
1 -1⋅⎜ ⎟
n
a1 - a1 ⋅ r
2⎠
⎝
S10 =
=
1
1−r
1−
2
10
=
⎛1⎞
1 -1⋅⎜ ⎟
⎝2⎠
1
1−
2
10
= 1,998046876
3. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
FUNCIONES EN IR
Es muy frecuente en geometría, física, economía, …, hablar
de ciertas magnitudes que dependen del valor de otras.
Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de la longitud del
lado; el espacio recorrido por un ciclista depende del tiempo
que lleva pedaleando; el consumo de una economía depende del
PIB de la misma; …
Sea D ⊆ IR1 = IR. Una función es una regla que a cada número
real x de D le asigna un único número real f(x), que llamamos
la imagen de x por f.
f : D ⊆ IR → IR
x a f(x)
x es la “variable independiente”
y = f(x) es la “variable dependiente” (depende del valor
que se asigne a x)
FUNCIONES EN IR
Ejemplo 1: Sea una función que asigna a cada número el
cuadrado del mismo. Por ejemplo, al número 2 le asignamos el 4;
y a -3/2 el número 9/4. Escribimos f(2) = 4 y f(-3/2) = 9/4. En
general, representamos la función por la fórmula f(x) = x2.
Ejemplo 2: La función que asigna a cada número su inverso.
Escribiremos g(4) = ¼ y g(-2) = -1/2. Representamos, en este
caso la función por la fórmula g(x) = 1/x .
D es el dominio de f: D ⊆ IR → IR.
Dom(f) = D = {x ∈ IR : ∃f(x) ∈ IR} ⊆ IR
Dom(f) = IR
Dom(g) = IR − {0}
f(D) es la imagen o recorrido de f: D ⊆ IR → IR.
Im(f) = f(D) = {y ∈ IR : ∃x ∈ D tal que f(x) = y } ⊆ IR
Im(f) = IR+ ; Im(g) = IR − {0}
La gráfica de una función f: D ⊆ IR → IR es:
Graf(f) = {(x, f(x) )∈ IR × IR : x ∈ D}
f(x )
Dom(f) = IR
Im(f) = IR+
x
La gráfica de una función f: D ⊆ IR → IR es:
Graf(f) = {(x, f(x) )∈ IR × IR : x ∈ D}
f(x )
x
Dom(f) = IR − {0}
Im(f) = IR − {0}
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Hay dos tipos de razones por las que el dominio de una
función puede estar restringido:
1) De índole matemática: Las más comunes son que no se puede
dividir por cero, que no se puede hallar la raíz cuadrada de un
número negativo y que sólo los positivos tienen logaritmo.
1
es IR \ {- 1,1}.
Dominio de h1 (x) = 2
x −1
Dominio de h2 (x) = x − 7 es [7,+∞ ).
Dominio de h3 (x) = ln(x − 3) es (3,+∞ )
2) De índole económica: El dominio de una función puede estar
restringido por la aplicación económica en la cual surge la
función. Por ejemplo, si C(x) es el coste de producir x coches, x
es naturalmente un entero positivo. Para las funciones que
surgen en aplicaciones económicas IR+, el conjunto de los
números reales positivos, es un dominio muy frecuente.
FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES
Las funciones más sencillas posibles son los polinomios de
grado 0: las funciones constantes f(x) = b. Son demasiado
simples para ser interesantes.
Las funciones interesantes más simples son los polinomios de
grado 1: f(x) = mx + b. Se llaman funciones lineales porque
sus gráficas son líneas rectas.
y=mx+b
Pendiente de
la recta
Ordenada
en el origen
Observar que:
x0
y0
1
m
m y0
m= =
= pendiente de la recta
1 x0
FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES
y=4
y = -3x + 1
y = x +1
y = (1 2)x - 1
FUNCIONES LINEALES: ECUACIÓN DE LA RECTA
1) la recta cuya pendiente es m y cuya intersección con el eje de
ordenadas es (0, b) tiene la ecuación y = m x + b.
2) la recta que tiene como pendiente m y que pasa por el punto (x0, y0)
cumple que su pendiente es:
y − y0
m=
x − x0
y − y0 = m(x - x0 )
3) la recta que pasa por
(x0, y0) y (x1, y1), tiene como
pendiente:
y1 − y 0
m=
x1 − x0
y − y0 y1 − y0
=
x − x0 x1 − x0
y1 − y0
(x − x0 )
y − y0 =
x1 − x0
FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA
Sea C = C(q) = m q + b la función de coste lineal que da el coste total C
resultado de manufacturar q unidades de output.
La gráfica es:
La pendiente mide el aumento
en el coste total debido a la
producción de una unidad más.
Coste marginal = Coste de
hacer una unidad más.
FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA
El consumo C es proporcional a la Renta Nacional Y. Podemos, suponer que la
relación Consumo/Renta Nacional es lineal: C = C0 + b Y siendo 0 < b < 1, y C0
constantes positivas
La gráfica es:
b: propensión
marginal al consumo
La pendiente es > 0; es decir el
consumo aumenta con la renta.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO
funciones parabólicas f(x) = ax2 + bx + c.
Vértice de la
Parábola
V =(-b/2a , _)
V = (2, -1)
FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO
funciones parabólicas f(x) = ax2 + bx + c.
Vértice de la
Parábola
V =(-b/2a , _)
V = (2, 1)
FUNCIONES RADICALES
y= x
Dom f = [0,+∞ )
FUNCIONES RADICALES
y = 2x − 0.5
Dom f = [0.25,+∞ )
FUNCIONES RADICALES
y = 4x − 4
Dom f = [1,+∞ )
FUNCIONES POLINÓMICAS
FUNCIONES RACIONALES
x2 + 1
y=
x −1
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y = tg(x )
3π
−
2
π
−
2
π
2
3π
2
FUNCIONES EN ECONOMÍA
El modelo que describe la oferta y demanda del mercado para
un bien determinado relaciona el precio (p) por unidad del bien
con la cantidad (q) de dicho bien existente en el mercado.
Conjunto de demanda D = {(q, p) ∈ IR+ × IR+ : q + 5p = 40}
Función de demanda q = qD (p) = 40 − 5p
40 − q
Función inversa de demanda p = p (q) =
5
Conjunto de oferta S = {(q, p) ∈ IR+ × IR+ : 2q − 15p = −20}
D
15p - 20
Función de oferta q = q (p) =
2
S
2q + 20
Función inversa de oferta p = p (q) =
15
S
FUNCIONES LINEALES DE OFERTA Y DEMANDA
FUNCIONE INVERSAS DE OFERTA Y DE DEMANDA
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
f es creciente si su gráfica se desplaza hacia arriba cuando nos
movemos de izquierda a derecha.
f creciente ⇔
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≤ f(x2 )
f estrictamente creciente ⇔
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 )
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
f es decreciente si su gráfica se desplaza hacia abajo cuando
nos movemos de izquierda a derecha.
f decreciente ⇔
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≥ f(x2 )
f estrictamente decreciente ⇔
x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 )
FUNCIONES ACOTADAS
Sea f : D ⊆ IR → IR
f está acotada superiormente ⇔ el conjunto f(D) está acotado
superiormente ⇔ ∃ K ∈ IR tal que ∀x ∈ D, f(x) ≤ K.
K es una cota superior de f(D).
La menor de las cotas superiores es el supremo de f(D).
Cuando hay un x0 tal que f(x0) ∈ f(D) es el supremo de f(D)
decimos que f alcanza un máximo global o absoluto en x0.
f(x0) es el valor máximo global o absoluto de f.
FUNCIONES ACOTADAS
Sea f : D ⊆ IR → IR
f está acotada inferiormente ⇔ el conjunto f(D) está acotado
inferiormente ⇔ ∃ k ∈ IR tal que ∀x ∈ D, f(x) ≥ k.
k es una cota inferior de f(D).
La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo de f(D).
Cuando hay un x0 tal que f(x0) ∈ f(D) es el ínfimo de f(D)
decimos que f alcanza un mínimo global o absoluto en x0.
f(x0) es el valor mínimo global o absoluto de f.
f está acotada ⇔ el conjunto f(D) está acotado superior e
inferiormente. ⇔ ∃K ∈ IR : f(x ) ≤ K para todo x ∈ D
FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE
FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE
FUNCIÓN ACOTADA
MÁXIMOS LOCALES
Si una función f
cambia de creciente
a decreciente en un
punto (x0, f(x0)) se
dice que f alcanza un
máximo local en el
punto x0.
∀ x en un entorno
de x0 la función f
verifica que:
f(x) ≤ f(x0).
MÍNIMOS LOCALES
Si una función f
cambia de decreciente
a creciente en un
punto (x0, f(x0)) se
dice que f alcanza un
mínimo local en el
punto x0.
∀x en un entorno
de x0 la función f
verifica que:
f(x) ≥ f(x0).
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = f (x-c) es una traslación horizontal de la gráfica de f (x)
en c unidades a la derecha
y=x
2
y = (x - 2)
2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = f (x+c) es una traslación horizontal de la gráfica de f (x)
en c unidades a la izquierda
y = (x + 2)
2
y = x2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = f (x)+c es una traslación vertical de la gráfica de f (x) en
c unidades hacia arriba.
y = x2 + 2
y = x2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = f (x)-c es una traslación vertical de la gráfica de f (x) en
c unidades hacia abajo.
y = x2
y = x2 − 2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = -f(x) es una reflexión de f(x) respecto del eje OX.
y = x2
y = −x 2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = f(-x) es una reflexión de f(x) respecto del eje OY.
y = x + 2x + 2
2
y = x2 − 2x + 2
TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES
y = -f(-x) es una reflexión de f(x) respecto del origen.
y = −x2 − 2x − 2
y = x2 − 2x + 2
FUNCIÓN PAR
f es PAR si f(-x) = f(x) para todo x∈D.(hay un eje de simetría)
f(x)=x4-3x2+2
f(-x)=(-x)4-3(-x)2 +2
= x4-3x2+2 = f(x)
FUNCIÓN IMPAR
f es IMPAR si f(-x) = -f(x) para todo x ∈ D. (hay un centro
de simetría)
f(x)=x3-3x
f(-x)=(-x)3-3(-x)
= -x3+3x = -f(x)
OPERACIONES CON FUNCIONES
Sea F(D, IR) = {f : D ⊆ IR → IR}
Definimos en F(D,IR):
1) La suma de funciones:
Si f, g ∈ F(D, IR) entonces f + g ∈ F(D, IR)
(f + g)(x ) = f(x ) + g(x )
2) El producto de un número por una función:
Si α ∈ IR y f ∈ F(D, IR) entonces αf ∈ F(D, IR)
(αf)(x ) = αf(x )
3) El producto de funciones:
Si f, g ∈ F(D, IR) entonces fg ∈ F(D, IR)
(fg )(x ) = f(x )g(x )
VISUALIZACIÓN GRÁFICA
Suma de funciones
Producto de un número
por una función
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
g
f : D1 ⊆ IR → IR
g : D2 ⊆ IR → IR con f(D1 ) ⊆ D2
D1 →
Definimos la composición de f y g
(que se escribe g ° f) como:
(g ° f) (x) = g(f(x))
f
D2
→ IR
x a f(x) a g(f(x))
Ejemplo
Sean f(x) = x2 + 2;
g(x) = 1/(x-2)
(g ° f)(x) = g(f(x)) = g(x2+2) = 1/x2
Aunque pueda calcularse la composición al revés, f °g
el resultado no tiene por qué ser el mismo:
(f ° g)(x) = f(g(x)) = f(1/(x-2)) = 1/(x-2)2 +2
FUNCIONES INVERSAS
La función inversa de una función dada tiene el efecto de
‘deshacer’ lo hecho por la otra.
f
x
y
f-1
Dominio de f = Recorrido de f-1.
Recorrido de f = Dominio de f-1.
Dada una función f: A → B estamos interesados en encontrar
una función f-1: B → A tal que para cada y ∈ B el valor f-1 (y) =
x es el único número de A tal que f(x) = y.
f-1 (y ) = x ⇔ y = f(x )
(x ∈ A, y ∈ B)
f tiene inversa si y sólo si f es inyectiva
FUNCIONES INVERSAS
La gráfica de f contiene
al punto (a, b) si y sólo si
la gráfica de f-1 contiene
al punto (b, a).
FUNCIONES INVERSAS
Una función g es la inversa de la función f si:
(f o g)(x ) = f (g(x )) = x
(g o f)(x ) = g (f(x )) = x
(∀x ∈ D( g ) )
(∀x ∈ D( f ) )
La función g se escribe f-1 y se denomina función inversa de f.
Ejemplo:
Función de demanda q = qD (p) = 40 − 5p
40 − q
Función inversa de demanda p = p (q) =
5
qD o pD (q) = qD pD (q) = qD ⎛⎜ 40 - q ⎞⎟ = 40 - 5 40 - q = q
5
⎝ 5 ⎠
D
(
)
(
)
40 − (40 − 5p )
=p
(p o q )(p) = p q (p) = p (40 - 5p) =
5
D
D
D
(
D
)
D
FUNCIONES INVERSAS
FUNCIONES INVERSAS
FUNCIONES INVERSAS: EJEMPLOS
f(x ) = x2 + 1; f-1 (x) = x − 1
(f
-1
o f)(x ) = f-1 (f(x )) = f −1 (x2 + 1) = x2 + 1 − 1 = x
(f o f )(x ) = f(f (x )) = f(
-1
-1
) (
x -1 =
x −1 +1
g(x ) = e x ; g-1 (x) = ln(x)
(g
-1
o g)(x ) = g-1 (g(x )) = g−1 (e x ) = ln(e x ) = x
(g o g )(x ) = g(g (x )) = g(lnx ) = e
-1
-1
lnx
)
2
=x
EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO SENO
π
2
π
−
2
EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO TANGENTE