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Prácticas de laboratorio de Fı́sica I
Estática y dinámica de un muelle vertical
Curso 2010/11
1.
Objetivos
Determinación de la constante del muelle.
Estudio de un muelle oscilante como ejemplo de movimiento armónico simple.
2.
Material
Trı́pode con barra soporte.
Juego de muelles.
Bolas de diferentes materiales.
Juego de pesas y soporte.
Sensor de movimiento y ordenador.
3.
Fundamento teórico y realización práctica
El movimiento armónico simple es consecuencia de una fuerza recuperadora lineal.
Esto es, una fuerza directamente proporcional (lineal ) al desplazamiento con respecto
a una posición de equilibrio. Se dice que la fuerza es recuperadora en el sentido de
que siempre tiende a que el cuerpo recupere la posición de equilibrio. En esta práctica
estudiaremos la fuerza recuperadora lineal experimentada por una masa colgada de un
muelle espiral con la ayuda de un sensor de movimiento.
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Si la masa se aleja de la posición de equilibrio inicia un movimiento oscilatorio de
tipo armónico simple. El desplazamiento o elongación, z(t), del movimiento viene dado
por la distancia desde la posición de equilibrio a la posición que ocupa la masa en un
instante determinado. La amplitud, A, es la distancia entre las máximas elongaciones
en un sentido y otro del movimiento. El periodo, T , del movimiento armónico simple
viene dado por el tiempo que tarda la masa en realizar una oscilación completa, por
ejemplo, el tiempo que tarda en pasar desde una posición de máxima elongación hasta
la siguiente. La frecuencia, f , es el inverso del periodo y la frecuencia angular, ω = 2πf .
3.1.
La ley de Hooke. Cálculo de la constante del muelle
Si se desplaza del equilibrio un objeto conectado a un muelle, éste ejerce una fuerza
sobre el objeto opuesta al desplazamiento y viene dada por la ley de Hooke:
F = −kz
(1)
Es decir, se trata de una fuerza proporcional y opuesta al desplazamiento con una
constante de proporcionalidad, k, que se denomina constante del muelle. Como esta
constante es una fuerza dividida por un desplazamiento, sus unidades en el S.I. son N/m.
Esta constante es una medida de la rigidez del muelle. Nos ocuparemos en particular de
una masa colgada de un muelle vertical.
Si una masa m se cuelga de un muelle vertical, sobre ella actúan dos fuerzas, la
recuperadora del muelle y el peso, F = −mg. Cuando la masa está en equilibrio, ambas
son iguales y, por lo tanto,
m=
k
z
g
(2)
Esta ecuación es poco útil porque no es sencillo determinar cuál es el punto inicial de
masa m = 0 porque el muelle también tiene masa. Como es una ecuación lineal, es
más práctico considerar incrementos de posición y de masa con respecto a unos valores
iniciales z0 y m0 , que también verifican
m0 =
2
k
z0 .
g
(3)
Si de la ecuación (3) restamos la (4) se obtiene:
∆m =
k
∆z
g
(4)
con ∆m = m − m0 y ∆z = z − z0 .
Por tanto, vamos a medir la posición inicial, z0 , para el caso en el que sólo está el
soporte y a partir de ahı́ consideraremos los desplazamientos, z, para los casos en que
se van añadiendo las pesas disponibles. Para medir las posiciones se coloca el sensor de
movimiento debajo del muelle y en su vertical. Utilizando el programa de ordenador
para medir distancias se obtiene directamente el valor de la posición en metros. A partir
de aquı́ se representa gráficamente ∆m frente a ∆z y se realiza un ajuste lineal. La
pendiente del ajuste se corresponde con k/g y tomando como dato conocido g = 9,8
m/s2 se despeja k (¡cuidado con las unidades!).
3.2.
El periodo de un muelle oscilante.
Si suponemos que la masa del muelle es despreciable, cuando colgamos de él una
masa m, y hacemos que ésta oscile, se puede demostrar que el periodo de la oscilación
T viene dado por
r
T = 2π
m
.
k
(5)
T tiene unidades de segundos, la constante del muelle k viene dada en N/m y la masa
m en kilos. Si elevamos esta ecuación al cuadrado,
T2 =
4π 2
m,
k
(6)
la masa aparece proporcional al cuadrado del periodo y por consiguiente podemos reescribir esta ecuación en términos de incrementos de masa. En efecto, como ∆m =
m − m0 , se tiene que m = ∆m + m0 y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:
T2 =
4π 2
4π 2
4π 2 m0
(∆m + m0 ) =
∆m +
k
k
k
(7)
El procedimiento experimental consiste en medir el periodo de oscilación para varias
masas. Para calcular el periodo simplemente mediremos el tiempo total, t, empleado
3
para realizar 50 oscilaciones completas, dividiendo t por 50 obtendremos una buena
estimación del periodo. El tiempo se medirá con el cronómetro del ordenador.
De la representación de los periodos al cuadrado, T 2 , frente a los incrementos de
masa, ∆m, en kg se obtiene una recta y = ax + b cuya pendiente, a, nos permite
calcular la constante del muelle.
3.3.
Dinámica del muelle
Despreciando el rozamiento con el aire, el movimiento oscilatorio del muelle cuando
se le somete a una pequeña perturbación es de tipo armónico simple. Matemáticamente,
la elongación del muelle en función del tiempo viene dada por una función senoidal:
z(t) = A cos(ωt + δ)
(8)
donde δ es el desfase inicial, dependiente de la posición y velocidad de la masa conectada
al muelle en el instante inicial. Derivando esta ecuación se pueden obtener la velocidad
y la aceleración como funciones del tiempo.
En la práctica construiremos las ecuaciones del movimiento de dos muelles conectados
a la misma masa (esfera de madera). Para ello utilizaremos el sensor de movimiento y el
programa de ordenador que permite obtener las gráficas de z(t), v(t) y a(t). Haciendo
un ajuste senoidal a las tres obtendremos los parámetros que aparecen en las ecuaciones
de movimiento.
4.
Resultados a obtener
a) Represéntese gráficamente ∆m frente a ∆z. Ajústense los datos a una recta. Calcúlese
k/g a partir de la pendiente de la recta (ecuación (4)).
b) Estı́mese el valor de la constante del muelle multiplicando por el valor conocido de
g = 9,8 m/s2 .
c) Represéntese gráficamente T 2 frente a ∆m y ajústense los datos a una recta. Calcúlese
la constante del muelle a partir de la pendiente de la recta.
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d) Calcúlense la frecuencia, frecuencia angular y periodo de los dos muelles disponibles
conectados a la masa de madera.
e) Calcula la amplitud de las tres funciones: z(t), v(t) y a(t) y comprueba que las
relaciones entre ellas son las que indican los cálculos teóricos.
f) Finalmente, escribe las ecuaciones de movimiento z(t), v(t) y a(t) para los dos muelles.
5.
Cuestiones
1. ¿En qué unidades se miden en el S.I. las siguientes magnitudes: elongación, amplitud, periodo y frecuencia? ¿Cuáles son sus dimensiones?
2. Demuestra la ecuación (5).
3. Comprueba que la ecuación (7) es dimensionalmente correcta.
4. Contesta razonadamente a los siguientes enunciados:
a) El periodo de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es independiente de que el muelle esté situado vertical u horizontalmente.
b) La velocidad máxima de un objeto que oscila con amplitud A es independiente
de que el muelle que lo sujeta esté situado horizontal o verticalmente.
c) ¿Es realmente el movimiento del muelle del laboratorio armónico simple?
¿Por qué? ¿Qué hipótesis simplificadoras estamos asumiendo?
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