sumatorias

Josué Raúl García Soria Mondragón
Método para encontrar la sumatoria de potencias de los primeros
números naturales
Para la suma de los primeros n números naturales
El método que a continuación presento es un grato recuerdo de mi maestro Mendieta quien me diera
clases en la Normal Rural “Lázaro Cárdenas del Río”
Considérese que se desconoce cuál es la suma de los primeros n números naturales. La notación sigma
n
∑i
asociada sería la siguiente:
i=1
con i∈ℕ
Empecemos con la siguiente expresión: k12−k 2 que al ser desarrollada queda como:
k12−k 2=k 22k1−k 2
k12−k 2=2k1
Procedamos a realizar los siguientes cálculos en una tabla donde k adquiera valores desde 1 hasta n
k
k12−k 2 =
2k1
1
22−12
2
32−22
3
4 −3
2
2⋅31
4
52−42
2⋅41
...
...
...
n−1
n²−n−1 ²
2⋅n−11
n
n1 ²−n²
2⋅n1
SUMA DE LOS
RENGLONES
n1 ²−1²
2
n²2n1−1
2⋅21
n
n
i=1
n
i=1
2⋅∑ i∑ i
2⋅∑ in
i=1
n² 2n
Como AMBAS SUMAS deben dar lo mismo ocurre que
n
n²2n=2⋅∑ in
i=1
n
n²n=2⋅∑ i
i=1
por lo tanto :
n
∑ i= n² 2n
i=1
Josué Raúl García Soria Mondragón
Para la suma de cuadrados de los primeros n números naturales
Lo interesante del anterior método es que se puede generalizar para obtener la suma de los cuadrados de
n
∑ i²
los primeros números naturales
i=1
con i∈ℕ
A continuación se muestra el procedimiento sin mayores explicaciones:
3
3
3
k1 −k =k 3k²3k1−k
k13−k 3=3k²3k1
k
3
Aplicando ahora sobre la tabla la expresión anterior tenemos:
3k²3k1
k13−k 3 =
1
2
3
4
⋮
n−1
n
2³−1³
3³−2³
4³−3³
5³−4³
⋮
n³−n−1³
n1 ³−n³
SUMA DE LOS
RENGLONES
n1 ³−1³
3⋅1²3⋅11
3⋅2²3⋅21
3⋅3²3⋅31
3⋅4²3⋅41
⋮
3⋅n−1 ²3⋅ n−11
3⋅n² 3⋅n1
n
n
n
i=1
i=1
i=1
3⋅∑ i² 3⋅∑ i∑ i
n³3n²3n1−1
pero recordando la fórmula de la suma de los
primeros números naturales tenemos:
n
3⋅nn1
3⋅∑ i² 
n
n³ 3n²3n
2
i=1
Igualando los resultados de ambas sumas y haciendo las simplificaciones correspondientes tenemos que:
n
∑ i² =
i=1
nn12n1
6
¿Se puede generalizar?
p
p −i
i
Sabemos que contamos con el binomio de Newton que establece que: ab =∑ pC i⋅a ⋅b
p
i=0
Ahora cabe preguntarse ¿cómo podríamos desarrollar, con base en la anterior fórmula, la siguiente
n
diferencia k1 −k
n
n
n
n−i
? Obsérvese que: k1 =k ∑ nC i⋅k ⋅1 =k ∑ nCi⋅k
n
n
i=1
n−i
i
n
i=1
n
k1n−k n=k n∑ nC i⋅k n −i −k n
De aquí que entonces:
i=1
n
k1n−k n=∑ nC i⋅k n −i
i=1
Introducir esta información es bastante compleja así que hasta aquí le dejo, si quieres puedes intentarlo
con un programa de cómputo ¿no crees?