Estudios Generales

DIRECCIÓN NACIONAL
GERENCIA ACADÉMICA
Estudios
Generales
Matemática T.O.
Parte 01
CÓDIGO: 89001292
SERVICIO NACIONAL DE ADIESTRAMIENTO EN TRABAJO INDUSTRIAL
MATEMÁTICA T.O.
AUTORIZACIÓN Y DIFUSIÓN
MATERIAL DIDÁCTICO ESCRITO
 CICLO :
ESTUDIOS GENERALES
 CURSO :
MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 01
Con la finalidad de uniformizar el desarrollo de la formación profesional en el Ciclo de
Estudios Generales a nivel nacional y dando la apertura de un mejoramiento continuo,
se autoriza la APLICACIÓN Y DIFUSIÓN del material didáctico escrito referido a
MATEMÁTICA BÁSICA T.O. PARTE 01
Los Directores Zonales y Jefes de Centros de Formación Profesional son los
responsables de su difusión y aplicación oportuna.
DOCUMENTO APROBADO POR EL
GERENTE ACADÉMICO DEL SENATI
N° de Páginas:….............
213.…...........…..
Firma: ………………………………….…..
Lic. Jorge Chávez Escobar
Fecha: …………………………...……….
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
2
MATEMÁTICA T.O.
INDICE
UNIDAD 01. Números Naturales .............................................................................. 4
UNIDAD 02. MCM y MCD ....................................................................................... 43
UNIDAD 03. NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES ................................................ 75
UNIDAD 04. FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN .......... 93
UNIDAD 05. Números Decimales .......................................................................... 123
UNIDAD 06. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ......................................................... 160
UNIDAD 07. TRIGONOMETRÍA BÁSICA ................................................................. 192
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
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MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 01
NÚMEROS NATURALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
4
MATEMÁTICA T.O.
1.1. Número Natural.
Definición.
Un número natural es
cualquiera de los números: 0, 1, 2, 3...
que se pueden usar para contar los
elementos de un conjunto. Reciben ese
nombre porque fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar
objetos de la naturaleza.
Numeral. Los numerales "1, 2, 3, 4, 5,..." son numerales arábicos, diferentes
de los numerales romanos "I, II, III, IV, V,..." pero ambos representan los
mismos números.
Incluso los mismos símbolos a veces pueden representar números distintos: 11
es el tres binario pero el once decimal.
1.2.
Lectura y escritura de números naturales.
En la escritura de un número natural se debe tener en cuenta que la cifra
forma un orden, cada tres órdenes forman una clase y por cada dos clases,
forman un período.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
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MATEMÁTICA T.O.
4° Período
8° Clase
7° Clase
3° Período
5° Clase
4° Clase
2° Período
ENTEROS
6° Clase
1° Período
3° Clase
2° Clase
1° Clase
24° Orden
Centenas de millar de trillón.
23° Orden
Decenas de millar de trillón.
22° Orden
Unidades de millar de trillón.
21° Orden
Centenas de trillón.
20° Orden
Decenas de trillón.
19° Orden
Unidades de trillón.
18° Orden
Centenas de millar de billón.
17° Orden
Decenas de millar de billón.
16° Orden
Unidades de millar de billón.
15° Orden
Centenas de billón.
14° Orden
Decenas de billón.
13° Orden
Unidades de billón.
12° Orden
Centenas de millar de millón.
11° Orden
Decenas de millar de millón.
10° Orden
Unidades de millar de millón.
9° Orden
Centenas de millón.
8° Orden
Decenas de millón.
7° Orden
Unidades de millón.
6° Orden
Centenas de millar.
5° Orden
Decenas de millar.
4° Orden
Unidades de millar.
3° Orden
Centenas simples.
2° Orden
Decenas simples.
1° Orden
Unidades simples.
Para facilitar la escritura y la lectura las cifras se agrupan de tres en tres a
partir de la derecha, separando dichos grupos por espacios en blanco y sin
usar ningún otro símbolo así el número de la tabla siguiente se escribe:
79 142 031 789 358.
TRILLONES
BILLONES
MILLONES
UNIDADES
MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD MILLAR UNIDAD
C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U C D U
24º 23º 22º 21º 20º 19º 18º 17º 16º 15º 14º 13º 12º 11º 10º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º 2º 1º
7 9 1 4 2 0 3 1 7 8 9 3 5 8
Y se lee: “Setenta y nueve billones, ciento cuarenta y dos mil treinta y un
millones, setecientos ochenta y nueve mil, trescientos cincuenta y ocho
unidades.”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
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MATEMÁTICA T.O.
Aplicaciones:
1: Aún recordando, se realizarán los ejercicios siguientes:
Escribir cómo se lee cada número:
a) 4 121
..................................................................................................................
b) 20 305
................................................................................................................
c) 2 000 000
...........................................................................................................
d) d) 5 001 008
......................................................................................................
2: Leer y escribir con cifras cada número:
a) Tres mil cinco ..................................................................................................
b) Cien mil cuarenta y dos................................................................................
c) Un millón trescientos mil ...............................................................................
d) Dieciocho millones tres mil uno .......................................................................
e) Seis millones quince mil ..................................................................................
f) Doscientos tres millones cuatro mil uno …….................................................
3: ¿Qué número está formado por 14D, 134UM, 14DM, 19CM?
a) 2480014 b) 2040814 c) 2174140 d) 2304014
e) 2048014
4: Se tiene 2C, 3UM, 7DM, 4U, 6D., dicho número es:
a) 73 264 b) 74 326 c) 72 364 d) 76 324 e) 24 763
5: ¿Cuántas Centenas hay en 75 CM; 4 DM; 16 UM?
a) 75 560
b) 75 326 c) 72 364 d) 76 560
e) 74 560
6: ¿Cuántas Decenas forman Dos Millares?
a) 20
b) 200
c) 2000
d) 2
e) 0,2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
7
MATEMÁTICA T.O.
7:¿Cómo se puede escribir el producto de: 345x11?
a) 30CM 79D 5U b) 31C 69D 5U c) 37D 95U d) 30C 71D 5U e) NA
1.3. Operaciones en el conjunto de números naturales.
1.3.1.
Adición.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama suma de a y b la cual
se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S.
Se denomina “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
de números naturales (a ; b) su suma a + b.
Ejemplo 1:
15
+
17
=
32
7
+
8
+
13
Ejemplo 2:
=
Sumandos
Aplicación 1:
Si:
a + b + c = 15,
28
Suma
hallar:
abc + bca + cab
Rpta: 1665
Aplicación 2:
Hallar la suma de todos los números de tres cifras del sistema decimal.
Rpta: 494550
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
8
MATEMÁTICA T.O.
Suma notables:
I)
Suma de los “n” primeros números naturales.
S
S = 1+2+3+4+ ....+n
Ejemplo:
n = 25
S
1 + 2 + 3 + 4 + …..…. + 25
II)
n (n  1)
2
2525  1
 325
2
Suma de los “n“ primeros impares.
 n 1
S

 2 
S = 1 + 3 + 5 + …….... + n
Ejemplo:
2
n = 39
 39  1 
S
  400
 2 
2
1 + 3 + 5+ 7 + …..…. + 39
III)
Suma de los “n” primeros pares.
S  nn  1
S = 2 + 4 + 6 + …... + 2n
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + 8 + …..…. + 20
1.3.2.
n = 10
S  1010  1  110
Sustracción.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama diferencia de a y b la
cual se denota (a - b) al número natural D, tal que a - b = D.
Se denomina “sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su diferencia a - b.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
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MATEMÁTICA T.O.
DIFERENCIA ( D )
Ejemplo 1:
235
-
140
=
95
SUSTRAENDO ( S )
MINUENDO ( M )
Aplicación 1: Si, a4b - 3c5 = 418; Hallar:
a+b–c
Rpta: 6
Propiedades de la sustracción:
1. Si se suma o resta un mismo número natural al MINUENDO y al
SUSTRAENDO, la diferencia NO SE ALTERA.
2. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL MINUENDO, la
DIFERENCIA queda aumentada o disminuida en esa misma cantidad.
3. Si se suma o resta un mismo número natural SÓLO AL SUSTRAENDO, la
DIFERENCIA queda disminuida o aumentada en esa misma cantidad.
4. La suma del SUSTRAENDO y la DIFERENCIA es igual al MINUENDO.
S
+
D
=
M
5. la suma de los TRES TÉRMINOS de la sustracción es igual al DOBLE DEL
MINUENDO.
M
+
S
+
D
=
2M
Aplicación 1:
La diferencia de dos números es 305, si al menor se le quita 20 y al mayor se le
aumenta 85 ¿Cuál es la nueva diferencia?
Rpta.: 410
Aplicación 2:
La diferencia de dos números es 157, si al menor se le aumenta 48 y al mayor
se le quita 31 ¿Cuál es la nueva diferencia? Rpta.: 78
Aplicación 3:
La suma de términos de una sustracción es 478 ¿Cuánto es el minuendo?
Rpta. : 239
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
10
MATEMÁTICA T.O.
1.3.3.
Multiplicación.
Definición. Dados dos números naturales a y b, se llama producto de a y b la
cual se denota a.b al número natural P, tal que a.b = P.
Se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales (a ; b) su producto a.b.
Ejemplo 1:
18
x
Multiplicando
Ejemplo 2:
15
=
Multiplicador
270
Producto
7
Multiplicando
Multiplicador
Productos
3
4
4
6
4
4
4
0
parciales
2
9
3
6
Producto final
3
3
7
6
x
734 x 6
734 x 4
4
Aplicación 1:
El producto de dos factores es 29016, si se aumenta 112 unidades al
multiplicando, el producto total aumenta en 13888 unidades ¿Hallar la suma de
cifras del multiplicador? Rpta. 7.
Aplicación 2:
El producto de dos factores es 74495, si se aumenta en 23 unidades al
multiplicador, el producto total aumenta en 5405 ¿Hallar la suma de cifras del
multiplicador?
Rpta. 11.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
11
MATEMÁTICA T.O.
Potenciación.
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí
mismo varias veces.
an = a x a x a x .………a = P
“n” veces a
Elementos de la potenciación,
donde:
a: es la base
n: es el exponente
Potencia de exponente cero:
P: es la potencia perfecta de
a0 = 1 siempre que a ≠ 0
Nota:
00 = no está definido.
Ejercicio mental: Resolver las siguientes operaciones mentalmente.
23
= …..
34
= …..
112
= …..
162
= …..
33
= …..
54
= …..
122
= …..
172
= …..
43
= …..
25
= …..
132
= …..
182
= …..
53
= …..
(14+17)0 = …..
142
= …..
192
= …..
24
= …..
(2X3 – 6)0 = ….
152
= …..
202
= …..
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
12
MATEMÁTICA T.O.
1.3.4.
División.
Definición. Dados dos números naturales a y b ≠ 0, se llama cociente de a y b,
se denota
a
, al número natural c, si existe, tal que a = b.c.
b
Se denomina “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares
a
.
b
de números naturales (a; b) su cociente
Elementos de una división:
Divisor (d)
Dividendo (D)
Dividir 104 entre 11
104
11
99
9
Cociente (q)
5
Residuo (r)
Además:
104
=
11. (9)
+
5
Algoritmo de la división
Clases de división:
 Exacta (residuo = 0).
28
0
7
4
D
0
28 = 7. (4)
d
q
D = d.q
 Inexacta (residuo ≠ 0).
Defecto:
Residuo por defecto
75
9
75 = 11.(6) +

En donde :
9
+
r(defecto)
Exceso:
11
6
Residuo por exceso
9
75
2
11
7
75 = 11.(7) -
2
=
11
+
r(exceso)
=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
divisor
13
2
MATEMÁTICA T.O.
En general:
Defecto:
Exceso:
D
r
d
q
D = d.(q) +
D
r*
r
d
q+1
D = d.(q + 1) -
r*
Propiedades de la división:
 Si: r = 0, la división es exacta.
 Algoritmo de la división:
 Residuo máximo :
D
r(máx)
 Residuo mínimo :
 r(defecto)
=
= d. (q) +
r
(d - 1)
r(min)
=
1
+ r(exceso) = divisor
 residuo < divisor
 Si se multiplica o divide el DIVIDENDO (D) y el DIVISOR (d) por un mismo
número natural distinto de cero, el COCIENTE NO SE ALTERA, pero el
RESIDUO queda MULTIPLICADO o DIVIDIDO por dicho número natural.
D
r
d
q
D.k
r.k
d.k
q
Aplicación 1:
El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior y sin alterar el
residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
Rpta.: 16
Aplicación 2:
El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al dividendo
y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y el residuo
disminuye en 42. ¿Hallar la suma de las cifras del divisor?
Rpta: 6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
14
MATEMÁTICA T.O.
1.3.5. Radicación.
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que
dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número
llamado raíz, donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así
se tiene:
n
n
K RR K
TÉRMINOS
DE LA
RADICACIÓN
Resolver los siguientes ejercicios:
64 
3
8
4
16 
81 
3
64 
4
81 
3
27000 
144 
3
125 
4
625 
4
810000 
169 
3
1000 
4
1012 
3
8  27 
1.3.6.
1600 
OPERACIONES COMBINADAS.
 Para resolver operaciones combinadas, se resuelven teniendo en cuenta los
signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)
Ejemplo:
8  3  3  3  6
= 5  3  3  6
= 15  3  6
=
=
18  6
3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
15
MATEMÁTICA T.O.
 Si una operación combinada no tiene signos de agrupación se resolverá en
el siguiente orden :
o Primero:
o Segundo:
“de
o Tercero:
La potenciación o radicación.
La multiplicación o división (en el orden en que aparecen)
izquierda a derecha”
Adición o Sustracción.
Ejemplo:
32 : 8 + 6 x 5
4
+
Observar, con atención, las operaciones indicadas.
Fueron
efectuados: la división
(32:8)
y
multiplicación (6 x 5).
Finalmente, fue efectuada la suma (4 + 30).
=
30
=
34
=
la
Resolver la expresión:
45 x 5 + 36 ÷ 6 - 8 x 0 =
La respuesta debe haber sido 231; sino, corregir lo que hizo. No olvidar que
cero veces cualquier numeral es cero.
7
+ 3 x (40 – 9 x 4 ) – 23 =
= 7 + 3 x ( 40 – 36 )
=7 + 3 x
=7 +3 x
=7 +
12
=
19
=
11
4
4
–
– 23 =
– 23 =
– 8 =
– 8 =
8
=
Observar paréntesis.
Fue efectuada la multiplicación contenida
en los paréntesis (9 x4).
También fue hecha la resta: (40 – 36)
3
Fue efectuada la potencia 2 .
Fue realizada la multiplicación: (3 x 4)
Se realizó la suma ( 7 + 12 )
Finalmente, fue hecha la resta: (19 – 8)
EJERCICOS
Resolver las siguientes operaciones combinadas:
OPERACIÓN COMBINADA
RESPUESTA
( 70 – 8 x 4 ) x 3 – 32 + 35 : 7 =
6 x 8 + 13 - 9
=
250 x 2 + 32 + 4 x 5 – 6 + 73 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
16
MATEMÁTICA T.O.
12 x 2 2 + 3 2 x 4 2 + 5 2
=
PROBLEMAS SOBRE CORTES Y ESTACAS.
partes 
Longitud Total
Longitud unitaria
Ejemplo:
Se tiene un rollo de alambre que mide 100 m ¿Cuántos pedazos de alambre de
5 m se podrán obtener?
Nº de pedazos 
100 m
 20 pedazos de 5 m c/u
5m
Número de cortes
LÍNEA
ABIERTA
LÍNEA
CERRADA
Nº cortes =
Longitud total
1
Longitud unitaria
Nº cortes =
Longitud total
Longitud unitaria
Número de estacas
Nº estacas =
Longitud total
1
Longitud unitaria
Nº estacas =
Longitud total
Longitud unitaria
Ejemplo (LINEA ABIERTA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse en una avenida de 200 m de longitud, si
cada árbol están separados 50 m?
Nº árboles
=
(estacas)
50 m
50 m
50 m
50 m
200 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
= 4 + 1
17
MATEMÁTICA T.O.
2. Se tiene una soga de 200 m de longitud ¿cuántos cortes serán necesarios
realizar para obtener trozos de 50 m?
CORTES
50 m
1º
50 m
2º
Nº cortes
50 m
3º
=
50 m
= 4 - 1
200 m
Ejemplo (LINEA CERRADA):
1. ¿Cuántos árboles podrán plantarse alrededor de un parque cuyo perímetro
es 200 m y los árboles deben estar separados 50 m?
Perímetro
50 m
= 200 m
(Longitud total)
50 m
(estacas)
50 m
50 m
Nº de árboles =
= 4 árboles
2. Se tiene un anillo metálico de 20 m de longitud ¿cuántos cortes serán
necesarios realizar, para obtener trozos de 5 m?
2º
5m
5m
Nº de cortes =
3º
1º
5m
20
= 4
5
cortes
5m
cortes
4º
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
18
MATEMÁTICA T.O.
LÍNEA ABIERTA
Número de = Número
Cortes
- 1
de partes
Número de = Número
espacios
- 1
de puntos
PROBLEMAS:
1. Una barra de acero de 196” de longitud se divide en trozos de 1”, en donde
cada corte pierde 1
64
a) 193
”. ¿Cuántos trozos se obtiene?
b) 235
c) 195
2. Dividir una barra de Hierro 10
d) 425
e) 194
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 3”
b) 5”
c) 2”
d) 4”
corte
e) 1”
3. Dividir una barra de bronce de 120m en trozos iguales de 35 cm.,
perdiendo en cada corte de 0,05m ¿Cuántos trozos se obtiene y cuánto
material sobra?
a) 342; 30cm
30cm
b) 142; 30cm
c) 342; 20cm
d) 352; 30cm
e)
12;
1"
en trozos iguales de 2”, se pierde en cada
8
”. ¿Cuántos cortes se obtiene?
4. Dividir una barra de cobre 10
corte 1
32
a) 3
b) 5
c) 2
d) 4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
e) 1
19
MATEMÁTICA T.O.
1.4.
PLANTEO DE ECUACIONES.
Planteo de una ecuación es TRADUCIR el lenguaje común a lenguaje
matemático, por ello es que debe detenerse a reflexionar sobre algunos
aspectos de este lenguaje.
El Lenguaje matemático es un lenguaje universal. Es además, un lenguaje
conciso, preciso, con reglas que no sufren excepciones.
El lenguaje matemático está conformado por diversos símbolos. A través de la
combinación de estos se puede representar diversidad de situaciones
SUSCEPTIBLES de ser representados matemáticamente; esto quiere decir
que no todo aquello que pasa diariamente puede ser representado en forma
matemática. Por ejemplo, la expresión: Esmeralda está alegre, no puede
representarse de la manera mencionada; en cambio la expresión: El dinero de
Esmeralda es la cuarta parte de lo que posee Johana, sí es susceptible de
ser representado matemáticamente. En resumen: el lenguaje matemático es
para ser usado fundamentalmente en todo aquello que sea MEDIBLE y
CUANTIFICABLE.
Ejemplo:
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre, si al multiplicarlo por cuatro, añadirle 18,
y dividir dicha suma entre 19 se obtiene 2 como resultado?
x
¿Cuál es el precio de un Kg. de cobre?
4x
si al multiplicarlo por cuatro
4x + 18
añadirle 18
4 x  18
19
4x  18

19
4 x  18
2
19
y dividir dicha suma entre 19
se obtiene
2 como resultado?
Resolviendo la ecuación:
4 x  18
2
19
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
20
MATEMÁTICA T.O.
4 x  18  2.(19)
4 x  38  18
4 x  20
x5
TEORÍA ADICIONAL:
Operaciones fundamentales con fracciones:
a. Conversión de un número mixto a Fracción:
E
N ED N

D
D
=
b. Suma de Fracciones:
x
p r t M  q  p  M  s r  M  u t
  
q s u
M  MCM q, s, u 
÷
c. Número natural.
d. Ejemplos: 2 y 5 son números naturales.
Pero para problemas, ejercicios el alumno debe recordar que elementos y/o
partes tiene el número natural, porque las computadoras cuando hacen las
operaciones de sumar y restar, multiplicar y dividir tienen en consideración.
Se completa con ceros la parte decimal
Ejemplo 1
Exponente +1
Parte variable
Signo +
+
El denominador es +1
Ejemplo 2
2+1,000 x a0
+1
+ 5+1,000 x b0
=2
La coma divide la parte entera de la parte decimal.
=5
+1
NOTA. Si se da cuenta; que es útil saber que un número natural tiene todas
estas partes o elementos; potencia +1, signo positivo, la coma a la derecha que
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
21
MATEMÁTICA T.O.
representa el número decimal, puede estar dividido entre el valor UNO positivo,
a la derecha de la coma redondear con CEROS y al último parte variable
elevado a la potencia CERO que equivale a uno.
En esta época, siglo 21, aún las computadoras lo ven así para poder operar
sumas, restas, multiplicar y/o dividir.
e. Reducción de fracción de fracciones :
a
b  ad
c
bc
d
Es importante esta teoría base para hacer las 4
operaciones de fracciones.
( ,,, )
Ejemplos:
3 3
3 1
1
1


a. 4  4 
6 6 46 4 2 8
1
c.
b.
3
3 1 3 6 9
1
 
  4  4,5
4 4 1 4 2
2
6 6
3
2  3  20  15  7 1  7,5
4
2 4
2
2
20
Problemas que tengan relación Parte – Todo:
Cantidad de partes iguales
Qué Fracción
f =
que se han tomado.
Cantidad de partes iguales
o
en que se han dividido a la unidad
Ejemplos: Son fundamentales; por el ORDEN de las palabras?
*¿Qué parte de 27 es 9?
9 / 27 <> 1 / 3
*¿Qué fracción de b es c?
c/b
*¿M representa que fracción de N?
M/N
*¿Q que fracción representa respecto de P?
Q/P
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
22
MATEMÁTICA T.O.
*¿Qué fracción es 24 respecto de 60?
24 / 60
*¿Qué fracción es “a” respecto de “b”?
a / b
*¿Qué fracción de “b” respecto de “a”?
b / a
*¿Qué parte de representa 11 de 33?
11 / 32
<> 2 / 5
<> 1 / 3
ENUNCIADOS VS EXPRESIÓN MATEMÁTICA:
Enunciados
Forma verbal
1)
Expresión Matemática
Forma Simbólica
La suma de 2 números consecutivos más 3.
2)
Yo tengo 20 más que tú
Lo que tengo = 20 más lo que tú tienes
3)
A es el doble de B
x  x  1  3
Yo: 20 + x
Tu: x
A = 2B
A = 2K
A es 2 veces B
B=K
B es la mitad de A
B = K ; A = 2K
A tiene una vez más de lo que posee B
4)
5)
A es 2 veces más que B ó
A es 2 veces mayor que B
A = 3B A = 3X
B=X
A es a B como 3 es a 5 ó
La relación entre A y B es 3/5 ó
A 3

B 5
A = 3k
A y B están en la razón de 3 a 5 ó
B = 5k
A es a 3 como B es a 5
6)
El cuadrado de la suma de 2 números
x  y 2
7)
La suma de los cuadrados de 2 números
x2  y 2
8)
El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20
Tengo : y
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
4 y  20
23
MATEMÁTICA T.O.
9)
4 y  20
El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20
Tengo : y
A B  4
A x4
10) A excede a B en 4 ó
A es mayor que B en 4 ó
El exceso de A sobre B es 4
Bx
11) Tres menos 2 veces un número X
3  2x
12) Tres menos de 2 veces un número X
2x  3
13) El producto de 5 números consecutivos es m.
xx  1x  2x  4  m
ó
a  2a  1aa  1a  2  m
R 3

A 4
14) Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.
R  3k
1.4.1.
;
A  4k
ECUACIONES DE 1ER GRADO.
Ecuación: La ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se
verifica o satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas.
Propiedades de las ecuaciones:
1. Si se suma o resta a los dos miembros de una ecuación una cantidad
constante, la ecuación que se obtiene es EQUIVALENTE a la primera.
2. Si se multiplica o divide a los dos miembros de una ecuación por una
cantidad constante diferente de cero, la ecuación que se obtiene es
EQUIVALENTE a la primera.
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación: 2X + 3X + 20 = 140 – 1X
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
24
MATEMÁTICA T.O.
Solución:
2X + 3X + 20 = 140 – 1X
2X + 3X + 1X = 140 – 20
6X = 120
X = 120 / 6
X = 20
Ejemplos de aplicación:
Resolver las siguientes ecuaciones mostrando el procedimiento:
1. 4 x  1  x  4
2. 40 x  97  120 x  63
3. 3( x  1)  4(2 x  1)  5( x  5)  2( x  3)
4. 1 
x
1

x
2
2
5.
1
2
3
x

x 

4
5
4
2
6.
x2
x2
2
6
3
5
7.
1
1
( x  1)  2  (2 x  1)  2
2
3
8.
2
x  4  5 x  5 x 
3
7
9.
1 3
 x  5  2  x  6  x  4

2 2
3

x  1  30
3
10.  13  3x  2  4  11  6 2 x  2  1
Problemas de Aplicación:
Los problemas que aquí se plantean son resolubles a través de ecuaciones de
primer grado. Es importante leer el problema 2 o 3 veces hasta
comprenderlo, hacer el planteamiento y resolver.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
25
MATEMÁTICA T.O.
1. Los alumnos del ciclo de Estudios Generales contrataron un autobús para
seguir a su equipo de fútbol. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno
habría pagado S/. 9.00; pero quedaron 12 asientos vacíos y el viaje costó S/.
13.00 ¿Cuántos asientos tenía el autobús?
2. La suma de tres números pares consecutivos es 60. Hallar esos números.
3. Un ciclista sale por una carretera a 25 Km./h. 30 minutos después sale otro
en su persecución a una velocidad de 30 Km./h. ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzarle?
Comprobando respuestas:
1. El autobús tenía 39 asientos.
2. Los números son 18, 20 y 22.
3. El ciclista tardará 2h y 30 minutos.
SISTEMAS DE ECUACIONES.
En matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más
ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe
proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las
ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el
valor que se reemplaza en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del
sistema.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN.
Método de Sustitución:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a
continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la
se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
26
MATEMÁTICA T.O.
una incógnita menos que el inicial, en la que se podrá seguir aplicando este
método reiteradamente.
Por ejemplo, suponiendo que se quiere resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, se selecciona la incógnita
por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja,
obteniendo la siguiente ecuación:
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita
en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .
Al resolver la ecuación se obtiene el resultado
, y si ahora se substituye
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se obtendrá
, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Método de Igualación.
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método
de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y
a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de
sustitución, si se despeja la incógnita
en ambas ecuaciones queda de la
siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que se puede afirmar que las partes derechas también son
iguales entre sí.
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27
MATEMÁTICA T.O.
Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y se puede obtener
el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de
las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra
despejada.
Método de Reducción.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,
siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El
procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante
productos), de manera que se obtengan dos ecuaciones en la que una
misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A
continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o
cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola
incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema
no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por
para poder
cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación queda así:
Si se suma esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una
nueva ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, da
directamente el valor de la incógnita :
+
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28
MATEMÁTICA T.O.
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en
cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así
17
que el valor de
es igual a
.
3
Ejercicios de Aplicación:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones empleando los tres métodos.
1)
3)
5)
7)
1.4.2.
x  2 y  15
x  2 y  5
a  14  5b
2a  3b  11
x  5  3y
7 x  39  9 y
7 y  x   2x  1  25
2 y  x   7 y  1  32
2)
4)
6)
8)
x  y  4
3 x  4 y  68
7 m  2n  34  0
5m  3n  11  0
( x  2 y )  (2 x  y )  8
x  1   y  2 x   1
3x  4 y   72 x  y   10,5
14 x  3 y  4
ECUACIONES DE 2DO GRADO.
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma.
ax 2  bx  c  0 . Donde no se anula a
Si se observan los coeficientes b y c, se pueden clasificar en incompletas si
se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.
Número de soluciones:
Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o
valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
29
MATEMÁTICA T.O.
identidad.
Se denomina discriminante   b  4ac , en función del signo
discriminante se conocerá el número de soluciones de la ecuación, así:
2
 Si el discriminante es menor que 0 la ecuación no tiene solución.
 Si el discriminante es 0 hay una solución.
 Si el discriminante es mayor que 0 hay dos soluciones.
Ejemplo de Aplicación 1:
¿Cuántas raíces tiene la ecuación 8x2  9 x  8  0 ?
a) Ninguna solución
b) Una solución: x =
c) Dos soluciones: x1 =
;
x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando b=0.
Si b=0 la ecuación queda ax2+c=0, despejando se llega:
Ejemplos:


Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación x  9  0
2
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
b) Tiene una solución
x1 =
;
x =
x2 =
Resolución de una ecuación de segundo grado cuando c=0.
Si c=0 la ecuación queda ax2+bx=0.
Sacando factor común se tiene que x(ax+b)=0 de donde se deduce que
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
30
del
MATEMÁTICA T.O.
x=0; ax + b = 0 por lo que ax=-b ; x=-b/a. Las soluciones son x1=0 y x2=-b/a.
Conclusión: Las ecuaciones de este tipo siempre tienen solución y una de las
soluciones es x=0
Ejemplo:


Ejemplo de Aplicación 1:
Resolver la ecuación
Soluciones x1=
x2=
Ecuación de segundo grado completa.
Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no
nulos.
Para resolver estas ecuaciones se aplica la fórmula:
Ejemplo:
Ejemplo de Aplicación 1:
La ecuación
a) No tiene solución
c) Tiene dos soluciones
 x2  6x  9  0
b) Tiene una solución
x1 =
;
x =
x2 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
31
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE 2DO GRADO.
1. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 70 m y
su área es 286m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
años
3. Un deportista caminó 40 km en un cierto número de horas. Si hubiese
caminado 3 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la
misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?
El deportista ha caminado
horas
4. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 35 años la
edad del padre será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tienen el padre y
el hijo?
La edad del padre es
años y la del hijo
años
5. Una persona compró cierto número de objetos por 360 euros. Podría haber
comprado 3 objetos más, si cada uno hubiese costado 4 euros menos.
¿Cuántos objetos compró?¿Cuánto costó cada objeto?
Compró
objetos a un precio de
euros
6. Determinar los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 50 m y
su área es 144m2.
El lado mayor mide
m y el menor
m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
32
MATEMÁTICA T.O.
Comprobando respuestas:
1) El lado mayor mide 22 m y el lado menor mide 13 m
2) La edad del padre es 36 años y la del hijo 6 años
3) Ha estado caminando 8 horas
4) La edad del padre es 49 años y la del hijo 7 años
5) 15 objetos y cada uno costo 24 euros
6) El lado mayor mide 16 m y el lado menor 9 m
Resolver:
1. José compró una maquina por S/. 250, una sierra circular por S/. 198, y un
par de calculadoras por S/. 320. ¿Con cuánto se queda si tenía S/ 1 000?.
Rpta. S/. 232
2. Se gastó S/. 58 en cuadernos y S/ .135 en libros ¿Cuánto tenía si aún
se tiene el doble de la cantidad que se gastó?
Rpta. S/. 579
3. En un almacén hay dos docenas y media de cajas rojas y dos
decenas y media de cajas blancas ¿Cuántas cajas rojas hay demás?
Rpta. 5 cajas
4. Luís compró una computadora en S/. 5 150, dando una cuota inicial de
S/. 830 y el resto en 8 letras de cambio iguales. ¿Cuál es el valor de
cada letra?
Rpta. S/. 540
5. Mi padre cumplió 48 años en 1970. ¿En qué año nació?
Rpta. 1922
6. En una división el cociente es de 17, el resto es 8 y el divisor es el
triple del residuo. ¿Cuál es el dividendo?
Rpta. 416
7. Si una docena de cuadernos cuesta S/. 177. ¿Cuántos cuadernos se
podrán comprar con S/ 78?
Rpta. 8 cuadernos
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
33
MATEMÁTICA T.O.
8. Se dio un cheque de S/. 200, para pagar 9 metros de alambre, se
recibió de vuelto S/ 20. ¿Cuánto se pagó por el metro de alambre?
Rpta. S/. 20
9. María compró 20 docenas de bombones, para repartir igualmente entre los
75 alumnos del jardín de la infancia, de su colegio. ¿Cuántos bombones
recibió cada uno si aún sobran 15 bombones?
Rpta. 3 bombones
10. Con S/. 2 340 se podrán comprar 4 casacas ó 9 camisas. ¿Cuál es la
diferencia de precio entre una casaca y una camisa ?
Rpta. S/.
325
11. Un tarugo de 300 milímetros fue cortado en 2 pedazos .Si uno de los
pedazos tenía 128 milímetros, ¿Cuánto medía el otro? (Se desprecia
la pérdida de corte).
Rpta. 172 mm
12. Un aprendiz hizo 58 tornillos en una semana y 49 tornillos en otra, en total,
29 estaban con defecto ¿Cuántos tornillos perfectos entregados al final?
Rpta. 78 tornillos
13. En cierta fábrica hay 10 máquinas .Cada Máquina produce 30 piezas
por hora. ¿Cuál es la producción de esa fábrica en 8 horas?
Rpta. 2 400 piezas
14. El divisor y el residuo de una división son respectivamente 48 y 36.
Si se multiplica al dividendo por 25 y se efectúa nuevamente la división,
el cociente queda multiplicado por 26 y el resido no se altera. ¿Cuál
fue el dividendo inicial?
Rpta. 900
PROBLEMAS RESUELTOS
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
34
MATEMÁTICA T.O.
1)
Si reparto mis S/. 250 entre mis hijos, sólo me queda S/. 2; pero si
accidentalmente 4 de ellos desapareciesen, me sobraría S/. 126;
¿Cuántos hijos tengo?
A) 10
2)
B)1
C)6
D)4
E)8
Un número es tantas veces 8 como el doble de las veces que 144
contiene a dicho número. Calcular el doble del número.
A) 96
B) 48
C) 24
D) 12
E)
192
3)
Andrés sube hasta el 5° piso de un edificio, luego baja al 2° y vuelve
a subir al 4° piso .Si entre piso y piso las escaleras tienen 12
peldaños
¿Cuántos peldaños ha subido en total Andrés?
A)60
B)90
C)72
D)84
E)108
4)
Un tren eléctrico de 200 m de largo , demora 2 segundos en pasar
frente a una persona y 1 minuto en pasar por un túnel. Hallar la
longitud del túnel.
A)5 000 m
B)6 000 m
C)5 800 m
D)3 800 m
E)4
500m
5)
En una compra un cliente se equivoca al pagar y abona S/.24 más de lo
que debía, costándole así cada artículo S/.2 más de lo normal.
¿Cuántos artículos compró?
A)10
6)
B)8
C)12
D)16
E)20
Un tren de 200 m de longitud viaja a 50m/s .¿Cuánto demora en pasar
un túnel de 500 m?
A)35 s
E)12 s
B)14 s
C)10 s
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
D)16 s
35
MATEMÁTICA T.O.
7)
En una jaula donde hay conejos y gallinas pueden contarse 132
cabezas y 420 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
A)10 y 25
B)54 y 78
C)98 y 34
D)13 y 22
E)200 y
32
8)
Un obrero, gana diariamente S/.5 más que otro. Después de trabajar
cada uno el mismo número de días , el primero recibe S/.143 y el
segundo S/.88.¿Cuánto gana por cada día el obrero peor pagado?
A)S/.11
9)
B)S/13
C)S/.5
D)S/.12
E)S/.8
Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54
monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe
intercambiarse (el
mismo número) para que
ambos
montones
adquieran el mismo peso.
A)14
B)15
C)16
D)17
E)18
10) ¿Cuál es el mayor número del cual , al dividirlo entre 83 , se obtiene
como residuo un número que es el triple del cociente contenido? Dar
como respuesta la suma de cifras de dicho número.
A)9
B)10
C)8
D)7
E)6
SOLUCIÓN
1)
C/U : S/ .x
Sobrarían:
S/.x + S/.x + S/.x + S/.x + 2 = 126
 4x  2  126  x  31
250  2
Clave: E
N º de hijos 
8
31
2)
Sea “ x” el numero , entonces :
x
144
2
 x 2  2 304
8
x
x  48
 El doble del número es : 2(48)  96
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Clave: A
36
MATEMÁTICA T.O.
3)
* Cuando asciende al 5to piso sube:
12 x 4 = 48 peldaños
* Cuando desciende hasta el 2do piso baja: 12 x 4 = 36
peldaños
* Cuando asciende hasta el 4to piso sube: 12 x 2 = 24
peldaños
* Finalmente, lo que ha subido en total será:
48 + 24 = 72 peldaños
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Clave: C
37
MATEMÁTICA T.O.
4)
 200
2s
5)
Sea
60s  x  200  600
 X  5 800 m
a
x
n : lo que debía pagar
Costo por
cada artículo
Clave: C
Nº de artículos
Luego a x n + 24, lo que pagó.
a n  24
lo que costó cada artículo
n
an 24


 a  2  n  12
n
n

 Compro 12 artículos
Clave: C
6) túnel + tren = para que pase por el túnel
500 + 200 =700
t
700 m
 14 s
50 m
s
Clave: B
7) Nº de cabezas = 132
Suponiendo que los 132 son conejos  132 x4  528 patas
Se observa un exceso de patas de 108
 108  2  54 veces , para convertir ese exceso en gallinas
Finalmente:
Número de gallinas: 54
Número de conejos: 132 – 54 = 78
Clave: B
8) 1er obrero = S/.143
 recibe S/.55 más que el 2do
2do obrero = S/. 88
Nº de días trabajados será: S/.55  S/.5 = 11
1er obrero = S/.143  11 = S/.13
2do obrero = S/. 88  11 = S/.8
Clave: E
9) Peso 1er montón = 84(10) = 840 g
Peso 2do montón = 54(25) = 1 350 g
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
38
MATEMÁTICA T.O.
 Peso total = 840 + 1 350 = 2 190 g
Al intercambiar el mismo número de monedas, cada montón
debe pesar:
2190  2 = 1095g
Una moneda del 2do montón aumenta al 1er montón en:
25 – 10 = 15g
Luego, para que aumente: 1095- 840 = 255g
Se debe intercambiar: 255  15 = 17 monedas
Clave: D
10) Sea N el número, entonces:
N
3q
83
q
 N  83q  3q  3q  83
N  86 q
 q  27,6
El mayor número N se obtiene para
" q "  27  N  86 x27
N = 2322
 Suma de cifras  2  3  2  2  9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
Clave: A
39
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES I.
Ejercicios:
1.
Resolver x:
a)6 + x = 18
b)18 - x = 14
c) x - 6 = 24
d)
e)
f)
b
d
x
+ x = 18
- x = 14
- 3 = 24
a)14 = 7 + x
b)10 = x + 14
c) 1 = 6 - x
d)
e)
f)
m =7 + x
r = x+4
z = 6-x
g)
h)
i)
b + x=a
d - x= c
x -e = a
g)
h)
i)
m=k + x
r=x+v
z=1-x
g)
h)
i)
R1 = R – R2
C2 = C – C 2
t = t1 + t2
g)
x
h)
L
i)
36
-24 + F = 36 +
2.
3.
Resolver cada una de las letras:
a)a + b = c
b)k - d = v
c) 1 + m = - d
d)
e)
f)
l1 + l 2 = L
g1 + g2 = G
F1 + F 2 =
F3
4.
a)a + b = 86
b)c - t = - 65
c) F - G = 80
d)
e)
f)
684 - G = 65 + K
456 + H = Z - 65
W - 45 = 32 + 14
V – 18 = - 42 +
-16 + W = Z +
5.
Un cuarto tiene una longitud de 4,25 m. Otro cuarto es 1,12 m. más
corto. ¿Qué longitud tiene éste?
6.
Los tres lados de un triangulo tiene una longitud total de 318 mm.
Calcular la base cuando los otros dos lados tienen una longitud de 114
mm y 62 mm respectivamente.
7.
Antes de comenzar un viaje, el cuentakilómetros de un automóvil marca
312,4 km. Terminado el viaje indica 618,7 km. ¿Cuántos kilómetros se
ha viajado?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
40
MATEMÁTICA T.O.
.TRANSPOSICIÓN DE ECUACIONES II.
1.
Resolver x:
a)
b)
c)
d)
3x = 24
9x = 36
56 = 7x
3x = A
e)
f)
g)
h)
9x = F
56 = F . x
b . x = A
p . x =F
2.
a) 0,3 x = 3
4
b) 9x = 36
4
c) 51 = 17x
3
d) 0,2 x = A
e)
f)
g)
h)
9x = R
4
51 = G . x
L
B . x=A
Q. x =R
4
3.
Hay que cortar un hierro plano de 1,85m de longitud en una relación de
2:3. Calcular las longitudes parciales.
4.
La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10
del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?
5.
Un trecho es 12 m más largo que otro; la suma de ambos es de 48m
¿Cuál es la longitud de los trechos?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
41
MATEMÁTICA T.O.
1. La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces
el resto, y la diferencia de los mismos es 21 veces dicho resto. ¿Cuál
es el cociente de dicha división?
A)26
B)15
C)5
D)10
E)20
2. El cociente de una división inexacta es 61 .Se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división , siendo el cociente 50 más que el
anterior y sin alterarse el residuo ¿Cuál es el divisor de la división?
A) 16
B) 20
C) 24
D) 30 E) 32
3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos , si les daba S/.5 a
cada uno , le faltaría S/.30,si les daba S/.3 a cada uno , le sobraría
S/.70.¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?
A)S/.200 B)S/.220 C)S/.250 D)S/.280
E)S/.310
4. Entre cierto número de personas compran una computadora que cuesta
S/.1200.El dinero que paga cada persona excede en 194 al número de
personas .¿Cuántos participaron en la compra?
A)18 personas
B)36 personas
C)6 personas
D) 12 personas
E)20 personas
5. Un padre compra entradas para sus hijos, si paga las entradas de 14
soles le falta para tres de ellos , pero si paga las de 7 soles le alcanza
para todos y le sobra 14 soles .¿Cuántos hijos tiene?
A)5
B)6
C)7
D) 8
E)9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
42
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 02
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
43
MATEMÁTICA T.O.
2.
NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros se pueden clasificar en:
Números enteros negativos Z - = ......  3;2;1
El cero y Números enteros positivos
Z+ = 1;2;3;4;.........
2.1. DIVISIBILIDAD.
Un número entero A es divisible por otro numero entero positivo B si al
dividirlos, el cociente resulta exacto.
Si
A
0
entonces
B
k
“A es divisible por B ó B es un divisor de A “
además,
por ser una división exacta se cumple que : A = B . k donde k es un
número entero , entonces también se dice que “ A es un múltiplo de B “
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
44
MATEMÁTICA T.O.
1) ¿20 es divisible por 4?
Sí, porque:
(V)
(F)
Verdadero, porque
debe ser positivo.
20
4
0
5
el
divisor
luego, se cumple que :
* 20 es divisible por 4.
* 4 es un divisor de 20.
* 4 es un factor de 20.
* 20 es un múltiplo de 4.
2) ¿0 es divisible por 3?
Sí es, porque:
0
0
3
0
luego, se cumple que :
* 0 es divisible por 3.
* 3 es un divisor de 0.
* 3 es un factor de 0.
* 0 es un múltiplo de 3.
3) ¿- 42 es divisible por 7?
Sí es, porque:
- 42
7
0
-6
luego, se cumple que :
* - 42 es divisible por 7.
* 7 es un divisor de – 42.
* 7 es un factor de - 42.
* - 42 es un múltiplo de 7.
4) 15 no es divisible por 0.
(V)
(F)
Verdadero, porque por definición
el divisor debe ser diferente de cero.
5) 36 no es divisible por - 9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
45
MATEMÁTICA T.O.
Ej. Hallar todos los divisores de: 8 y 18
D( 8 ) : 1 ; 2 ; 4 y 8
D( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18
2.2. MULTIPLICIDAD.
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B, si se
cumple que A = B . K donde K es un número entero.
Ej. Responder las siguientes preguntas.
1) ¿15 es múltiplo de 3?
Sí, porque 15 = 3  5 y 5 es un número entero.
2) ¿- 12 es múltiplo de 4?
Sí, porque - 12 = 4  - 3 y - 3 es un número entero.
3) ¿Cero es múltiplo de 5?
Sí, porque 0 = 5  0 y 0 es un entero.
4) ¿5 es múltiplo de cero?
No, porque 5 = 0  K, no hay ningún número entero que multiplicado por
cero nos de 5.
5) ¿8 es múltiplo de - 2?
No, porque por definición un número entero no puede ser múltiplo de un
entero negativo.
Si un número A es múltiplo de B, su notación será:
A = B.K
donde K es un número entero
múltiplo de B “.
0
ó
A = B y se leerá “A es
0
Ej.
1) 20 = 5
ó
20 = 5.K
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
46
MATEMÁTICA T.O.
0
2) 18 = 3
ó
18 = 3.K
ó
0 = 2.K
0
3) 0 = 2
donde , para todos los casos K = 0;1;2;3;4;………..
Ej. Hallar los múltiplos de 3 y de 5.
Eso se escribirá 3K y 5K, entonces:
M ( 3 ) : 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 21 ……..
M ( 5 ) : 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; ………
Relación entre un múltiplo y un divisor:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
47
MATEMÁTICA T.O.
Cuando un número no es divisible por otro.
Si un número entero A no es divisible por otro número entero positivo B ,
entonces , eso se puede expresar de dos maneras :
0
A = B + rd
0
ó
A = B - re
Donde rd y re son los residuos por defecto y por exceso respectivamente de
la división de A entre B, además, recordar que:
rd + re = divisor
Ejemplo:
1)
15 no es divisible por 2 porque
3) 26 no es divisible por 7 porque
15
2
26
7
1
7
5
3
Entonces:
Entonces:
0
0
26 = 7 + 5
15 = 2 + 1
ó
ó
1 + 1 = 2
5 + 2 = 7
0
0
15 = 7 - 2
15 = 2 - 1
2) 23 no es divisible por 5 porque
4) 526 no es divisible por 12 porque
23
5
520
3
4
4
Entonces:
43
Entonces:
0
0
520 = 12 + 4
23 = 5 + 3
ó
3 + 2 = 5
0
15 = 5 - 2
12
ó
4 + 8 = 12
0
520 = 12 - 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
48
MATEMÁTICA T.O.
PROPIEDADES:
1) La cantidad de divisores de un número es una cantidad limitada.
2) La cantidad de múltiplos de un número es una cantidad ilimitada.
3) El menor divisor de un número es la unidad y el mayor, el mismo número.
4) El cero es divisible por todo número entero positivo.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Divisibilidad por 2n.
Para que un número sea divisible por 2n, las últimas “n” cifras del número
debe ser divisible por 2n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 21 = 2:
Para que un número sea divisible por 2, la última cifra del número debe ser
divisible por 2, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 064 es divisible por 2 porque la última cifra del número es 4 y 4 es
divisible por 2.
b) 30 650 es divisible por 2 porque su última cifra, cero, es divisible por 2.
c) 357 no es divisible por 2 porque su última cifra 7 no es divisible por 2.
Divisibilidad por 22 = 4:
Para que un número sea divisible por 4, las dos últimas cifras del número debe
ser divisible por 4, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 78 124 es divisible por 4 porque las dos últimas cifras del número es 24 y
24 es divisible por 4.
b) 30 600 es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras son ceros, y cero es
divisible por 4.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
49
MATEMÁTICA T.O.
c) 7 518 no es divisible por 4 porque sus dos últimas cifras 18 no es divisible
por 4.
Divisibilidad por 23 = 8.
Para que un número sea divisible por 8, las tres últimas cifras del número
debe ser divisible por 8, o terminar en tres ceros.
Ejemplos.
a) 78 136 es divisible por 8 porque las tres últimas cifras del número es 136 y
136 es divisible por 8.
b) 78 000 es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras son ceros, y cero
es divisible por 8.
c) 7 222 no es divisible por 8 porque sus tres últimas cifras 222 no es
divisible por 8.
Divisibilidad por 5n.
Para que un número sea divisible por 5n, las “n” últimas cifras del número
debe de ser múltiplo de 5n, o terminar en “n” ceros.
Divisibilidad por 51 = 5.
Para que un número sea divisible por 5, la última cifra del número debe ser
múltiplo de 5, o terminar en un cero.
Ejemplos.
a) 2 060 es divisible por 5 porque la última cifra del número es 0 y 0 es
divisible por 5.
b) 30 685 es divisible por 5 porque su última cifra es 5 y 5 es divisible por 5.
c) 357 no es divisible por 5 porque su última cifra 7 no es divisible por 5,
0
además 7 = 5 + 2, entonces al dividir 357 entre 5, obtendremos como
residuo 2.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
50
MATEMÁTICA T.O.
Divisibilidad por 52 = 25.
Para que un número sea divisible por 25, las dos últimas cifras del número
debe ser múltiplo de 25, o terminar en dos ceros.
Ejemplos.
a) 2 700 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras del número son
ceros.
b) 30 675 es divisible por 25 porque las dos últimas cifras es 75 y 75 es
divisible por 25.
c) 257 088 no es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras 88 no es
0
divisible por 25, además 88 = 25 + 13, entonces al dividir 257 088 entre
25, se obtendrá como residuo 13.
Divisibilidad por 3.
Un número será divisible por 3 cuando la suma de las cifras del número dé un
número que es divisible por 3.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 3.
0
1) 2 358,
2 + 3 + 5 + 8 = 18 y 18 = 3
2) 283,
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 3.
por lo tanto, si es divisible por 3.
0
Además, 13 = 3 + 1 lo que significa que al dividir 283 entre 3 el
residuo debe ser 1.
0
3) 57 014,
5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 3, además, 17 = 3 + 2 lo
que significa que al dividir 57 014 entre 3 , se obtiene como
residuo 2.
Divisibilidad por 9.
Un número será divisible por 9 cuando la suma de las cifras del número nos
dé un número que es divisible por 9.
Ejemplos. Verificar si los siguientes números son divisibles por 9.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
51
MATEMÁTICA T.O.
0
9 por lo tanto, sÍ es divisible por 9.
1) 9 558,
9 + 5 + 5 + 8 = 27 y 27 =
2) 283,
2 + 8 + 3 = 13 y 13 no es divisible por 9, además 13 = 9 + 4 lo
que significa que al dividir 283 entre 9 el residuo es 4.
0
0
3) 57 014, 5+7+1+4 = 17 y 17 no es divisible por 9, además, 17 = 9 + 8 lo
que significa que al dividir 57 014 ÷ 9, se obtiene como residuo 8.
Divisibilidad por 7.
Un numeral es divisible por 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (de la
derecha hacia la izquierda) por los valores 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; …. y luego
realizar la suma, este resulte divisible entre 7, por ejemplo (0; ±7; ±14; ±21 …)
abcdefg =

g + 3f + 2e – d – 3c – 2b + a =
1+ 2 3 1 2 3 +1
Ejemplos.
Verificar si los siguientes números son divisibles por 7 , en caso contrario
hallar su residuo1).
1) 3 738
3) 99 148
8x1 + 3x3 + 7x2 - 3x1 = 28 y
8x1 + 4x3 + 1x2 - 9x1 - 9x3 = -14
0
0
28 = 7 , si es.
y
2) 35 266
4) 264
6x1 + 6x3 + 2x2 - 5x1 - 3x3 = 14 y
0
14 = 7 , si es.
-14 = 7 , si es .
0
4x1 + 6x3 + 2x2 = 26 y 26 = 7 + 5
no es , y su residuo es igual a 5
Divisibilidad por 11.
Para que un número sea divisible por 11, se debe de cumplir que la suma de
las cifras de lugar impar menos la suma de las cifras de lugar par, nos dé un
número que sea divisible por 11, por ejemplo (0; ±11; ±22; ±33;…)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
52
MATEMÁTICA T.O.
Lugares pares
Para el número:
a
(g + e + c + a) – (f + d + b) =
b c d e f g
Lugares impares
Ejemplos:
1)
Verificar si los siguientes números son divisibles por 11.
539
4)
0
8 074
0
9 + 5 – 3 = 11 = 11 , entonces
4 + 0 – 7 – 8 = -11 = 11 , entonces
539 es divisible por 11.
8 074 es divisible por 11.
5)
7 364
0
4 + 3 – 6 – 7 = -6 ≠ 11 , entonces
2)
5379
0
9 + 3 – 7 - 5 = 0 = 11 , entonces
5 379 es divisible por 11
7 364 no es divisible por 11 ya
que al dividir 7 364 entre 11 dejará
como residuo por exceso 6 y por
defecto será 5
0
0
7 364 = 11 - 6 = 11 + 5
3)
381 909
6) 579
0
9 + 9 + 8 – 0 – 1 – 3 = 22 = 11 ,
0
Entonces 381 909 es 11
0
9 + 5 – 7 = 7 ≠ 11 entonces 579 no
es divisible por 11. El residuo por
defecto es 7 y por exceso es 4.
Divisibilidad por 6.
Un número será divisible por 6, si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 6 porque 11 028 es divisible por 2 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 2, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 6.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
53
MATEMÁTICA T.O.
Divisibilidad por 12.
Un número será divisible por 12, si es divisible por 3 y 4 a la vez
Ejemplos.
a) 11 028 es divisible por 12 porque 11 028 es divisible por 4 y por 3 a la vez.
b) 3152 es divisible por 4, pero no es divisible por 3, entonces no es divisible
por 12.
Divisibilidad por 10.
Un número será divisible por 10, si su última cifra es cero.
Ejemplos.
a) 11 720 es divisible por 10 por que 11 720 termina en cero.
b) 3102 no es divisible por 10, por que su última cifra no termina en cero.
PRÁCTICA
Marcar con un aspa (X), si el número N de la columna izquierda es divisible
por alguno de los números de la fila horizontal superior.
Número N
2
3
4
324
X
X
X
5
6
X
7
8
9
10
11
12
X
X
570
1 120
3 240
1 540
20 310
1 120
8 690
9 372 189
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
54
MATEMÁTICA T.O.
2.3. OTRA FORMA DE CLASIFICAR LOS NÚMEROS ENTEROS.
Los números enteros, también se pueden clasificar según la
de divisores que tenga el número como:
a)
cantidad
NÚMEROS SIMPLES.
Son aquellos que tienen uno o dos divisores como máximo.
Ej. Son números simples:
1) 1, D ( 1 ) : 1
2) 5, D ( 5 ) : 1 y 5
3) 11, D ( 11 ) : 1 y 11
b)
NÚMEROS PRIMOS.
Son aquellos que tienen exactamente dos divisores, que son la unidad y
el mismo número.
Ej.
1) D( 2 ) : 1 y 2 , entonces 2 es primo.
2) D( 11 ) : 1 y 11 , entonces 11 es primo.
NOTA: “El menor número primo es 2”
c)
NÚMEROS COMPUESTOS.
Son aquellos que tienen dos o más divisores.
Ej.
1) D (6): 1, 2, 3 y 6 entonces 6 es un número compuesto.
2) D (9): 1, 3 y 9 entonces 9 es un número compuesto.
NÚMEROS PRIMOS MENORES A 200.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 123, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, . . . .
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
55
MATEMÁTICA T.O.
1) ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 50?
Están los: 31; 37; 41; 43 y 47. Hay 5.
2) ¿Cuántos números primos menores a 23 existen?
Menores a 23 son : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 y 19. Hay 8.
3) La suma de todos los números primos menores a 19 es 77.
(V)
(F)
La suma de los números primos menores a 19 es:
2+3+5+7+11+13+17 = 58
2.4. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO
O NO.
1) Hallar la raíz cuadrada en forma aproximada del número.
2) Dividir al número entre todos los números primos menores a la
raíz hallada , si todos los cocientes resultan inexactos entonces el
número será primo, en caso que uno de los cocientes resulte exacto
entonces el número no será primo .
Ej. Verificar si 97 es primo.
Paso 1 : 97  9,…. es 9 y algo más , ese algo más , no se considera
y se trabaja con 9. A esto se refiere el método como “extraer la raíz
cuadrada en forma aproximada “.
Paso 2 : dividir a 97 entre los números primos menores a la raíz
hallada : 2 ; 3 ; 5 y 7, en todos los
casos , las
divisiones
son
inexactas por lo que se concluye que 97 es primo .
Ej. Verificar si 163 es primo.
Paso 1 :
Paso 2 :
son : 2 ,
inexacto
163  12,… es 12 y algo más, se trabaja sólo con 12.
divide a 163 entre todos los números primos menores a 12 , que
3 , 5 , 7 y 11 , en todos los casos el cociente es
por lo que concluye que 163 es primo .
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
56
MATEMÁTICA T.O.
Ej. 91 no es primo. (V)
(F)
Solución:
Paso 1 : 91 en forma aproximada es 9.
Paso 2 : Números primos menores a 9: 2; 3; 5 y 7.
91 es divisible por 7 por lo tanto, no es primo.
Ej. 247 es primo. (V)
(F)
Solución:
Paso 1: 247 en forma aproximada es 15.
Paso 2:
Números primos menores a 15: 2; 3; 5; 11 y 13.
247 no es divisible por : 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11 pero sí es divisible
por 13, entonces 247 no es primo.
2.5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI).
Dos o más números son PESI si solo tienen como único divisor común
la unidad.
Ej. Verificar si 4 y 9 son PESI.
Solución.
D (4): 1 ; 2 y 4
D (9): 1 ; 3 y 9
Como se puede observar, el único divisor común que tienen es la unidad,
por lo tanto , se concluye que 4 y 9 son PESI.
Ej. Verificar si 6; 14 y 25 son PESI.
Solución.
D (6)
: 1 ; 2; 3 y 6.
D (14) : 1 ; 2; 7 y 14.
D (25) : 1 ; 5 y 25
Se puede observar que el único divisor común que tienen los tres números
es la unidad, por lo que se concluye que los 3 números son PESI.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
57
MATEMÁTICA T.O.
Ej. 15; 12 y 18 son PESI.
Solución.
(V)
(F)
D ( 15 ) : 1 ; 3 ; 5 y 15.
D ( 12 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 y 12.
D ( 18 ) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 y 18.
Como los tres números tienen 2 divisores comunes entonces no son PESI.
2.6. DESCOMPOSICIÓN
DE
UN NÚMERO EN SUS FACTORES
PRIMOS O DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA.
Todo número se puede descomponer como producto de sus factores
primos, elevados a exponentes que son números enteros positivos.
Para un número N, descompuesto en sus factores primos, se tiene:
N = Aa x Bb x Cc x Dd
Donde A , B , C y D son los factores o divisores primos de N y a , b , c
y d , son los exponentes de los factores primos .
Ej. Descomponer en sus factores primos los números:
1) 90
2) 120
90 2
120
45 3
60
2
15 3
30
2
5 5
15
3
5
5
1
2
1
2
90 = 2  3  5
3
120 = 2  3  5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
58
MATEMÁTICA T.O.
2.7. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO N (CD(N)).
Para hallar la cantidad de divisores de un número, se hallará la
descomposición del número en sus factores primos.
a
b
c
Para la descomposición del número N = A B  C  D
la cantidad de divisores de N será :
d
se cumple, que
CD ( N ) = a  1b  1c  1d  1
donde: a ; b ; c y d son los exponentes de los factores primos del número.
También la cantidad de divisores se puede con las siguientes fórmulas:
CD = 1 + CDprimos + CDcompuestos
ó
CD = CDsimples + CDcompuestos
Ej. ¿Cuántos divisores tiene 60?
Solución.
2
Como 60 = 2 3  5
entonces CD (60) = 2  11  11  1 = 12.
Ej. Hallar la cantidad de divisores de 1 008.
Solución.
4
2
Como 1 008 = 2  3  7 entonces CD (1 008) = (4+1)(2+1)(1+1) = 30.
SUMA DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N (SD (N)).
Dada la descomposición de un número N en sus factores primos:
N = Aa  Bb  Cc  Dd , entonces :
SD (N) = A
a 1
b 1
c 1
d 1
1 B 1 C 1 D
1



A 1
B 1
C 1
D 1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
59
MATEMÁTICA T.O.
Ej.
Hallar la suma de todos los divisores de 60.
Solución.
2
Como 60 = 2  3  5 entonces
3
SD (60) =
Ej.
2
2
2 1 3 1 5 1
= 7  4  6 = 168.

x
2 1
3 1
5 1
Hallar la suma de todos los divisores de 504.
Solución.
3
2
Como 504 = 2  3  7 entonces,
4
SD (504) =
3
2
2 1 3 1 7 1
= 15  13  7 = 1 365.


2 1
3 1
7 1
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1. ¿Cuántos divisores primos tiene 700?
Solución.
2
2
Descomponiendo 700 en sus factores primos se tiene que 700 = 2  5  7
y sus divisores primos serán: 2; 5 y 7 por lo que tendrá 3.
Problema 2. Hallar la suma de todos los divisores primos de 644.
Solución.
2
Descomponiendo en sus factores primos se tiene que 644 =2  7 
23 entonces la suma de sus divisores primos será 2+7+23 = 32.
Problema 3. ¿Cuántos divisores pares tiene 252?
Solución.
Los números pares se caracterizar por ser divisibles por 2, por lo tanto
de la descomposición del número en sus factores primos, se extrae el factor 2.
2
2

2

.252 = 2 3  7 = 2 2  3  7 , entonces,
CD pares = 1  12  11  1 = 12
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
60
MATEMÁTICA T.O.
Problema 4. ¿Cuántos divisores impares tiene 360?
Solución.
Como los números pares se caracterizan por ser múltiplos de 2 entonces
de la descomposición de 360 en sus factores primos, se va a eliminar el
factor 2 elevado a su mayor exponente , de esta manera los divisores que
resulten serán divisibles por cualquier otro número , menos por 2 .
3
2
360 = 2 3 3 2  5 = 2 ( 3  5)
entonces la cantidad
de divisores
impares será igual a la cantidad de divisores del número que está entre
paréntesis .
CD( 360 )impares = (2+1)(1+1) = 6 .
Problema 5. ¿Cuántos divisores impares tiene 1404?
2
3
2
3
Solución. 1404 = 2  3  13 = 2 (3  13), entonces CDimpares= (3+1)(1+1)= 8.
Problemas Propuestos
1.
I
II
III
IV
V
VI
De las siguientes afirmaciones :
3 es divisor de - 18
- 4 es un divisor de 12
20 es un divisor de 5
72 es un múltiplo de 9
4 es un múltiplo de 12
8 no es múltiplo de cero
¿Cuáles son falsas?
A) I, III y VI B) II, III y V C) III y V D) II y III E) III , V y VI
2. Del siguiente grupo de números :
53 ; 91 ; 187 ; 209 ; 163 y 71
¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número primo?
A) 118
B) 134
C) 72
D)110
3. Calcular la suma de los números primos comprendidos entre 40 y 50.
A)84 B)90 C)93 D)131 E)120
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
61
MATEMÁTICA T.O.
4. Calcular la suma de todos los divisores primos de 120.
A) 3
B) 16 C) 10 D) 8 E)12
5. ¿Cuántos divisores no primos tiene 24?
A) 1
B) 2
C) 8
D) 6
E) 4
2.8. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).
De un grupo de números enteros, el MCD de éstos es el mayor de
los divisores comunes.
Ej. Hallar el MCD de 12 y 18.
D( 12 ): 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
D( 18) : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
El mayor de los divisores comunes es 6, por lo tanto, el MCD = 6.
Si se hallan los divisores del MCD, D(6): 1;2;3;6 y justamente éstos son
los divisores comunes de 12 y 18 , por lo tanto, los divisores comunes de
un grupo de números son los divisores del MCD.
Los divisores comunes de un grupo de números son los divisores del
MCD de dichos números.
Propiedades:
1)
El MCD está contenido en los números.
2)
De un grupo de números, cada uno de ellos, es un múltiplo del MCD.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
62
MATEMÁTICA T.O.
2.9. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
De un grupo de números, el MCM, es el menor de los múltiplos comunes.
Ej. Hallar el MCM de 4 y 6.
M ( 4 ) : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ;…..
M ( 6 ) : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ,………….
Se ve que de todos los múltiplos comunes , el menor de todos es 12 ,
por lo tanto el MCM ( 4 y 6 ) = 12 .
Si se hallan los múltiplos del MCM, se tendrá, M ( 12 ) = 12 , 24 , 36 , …
que justamente son los múltiplos comunes , entonces , los múltiplos
comunes de un grupo de números son los múltiplos del MCM de dichos
números .
Métodos para calcular el MCD y MCM.
1) Por descomposición simultanea.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 24.
18 - 24
9 12
3
4
2
3
mcd = 2  3= 6
18 - 24 2
9 12 3
3 4 3
1 4 4
1 1
mcm = 2  3  3  4= 72
2) Por descomposición de los números en sus factores primos.
El MCD será igual al producto de los factores primos comunes , elevados a
su menor exponente , y el MCM será igual al producto de los factores
primos comunes y no comunes , elevados a su mayor exponente.
Ej. Hallar el MCD y MCM de 18 y 60.
Descomponiendo los números en sus factores primos, se tiene:
2
2
18 = 2x3
y 60 = 2 3  5 . Luego se aplica la propiedad.
MCD = 2x3 = 6
2 2
y MCM = 2 3  5 = 180.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
63
MATEMÁTICA T.O.
3) Por divisiones sucesivas.
Este método sólo se aplicará para calcular el MCD de dos números.
Ej. Calcular el MCD de 144 y 56.
Cocientes
2
1
1
3
144
56
32
24
8
32
24
8
0
residuos
MCD=8
Ej. Calcular el MCD de 480 y 572.
cocientes
572
1
5
4
1
1
2
480
92
20
12
8
4
92
20
12
8
4
0
MCD = 4.
residuos
Propiedades.
1)
El producto de dos números es igual al producto de su MCM por su
MCD.
Ej. Para los números 6 y 9 su MCD = 3 y su MCM = 18 entonces se
cumple que 6  9 es igual que 3 x 18.
2)
Si dos números son PESI, su MCD es igual a 1 y su MCM es igual
al producto de dichos números .
Ej. Los números 4 y 9 son PESI por lo tanto su MCD = 1 y su
MCM = 4 x 9 = 36.
3)
Si un número está contenido dentro de otro entonces el MCD de
dichos números será el menor de los números.
Ej. Para los números 12 y 48. El MCD = 12 y 12 es justamente el menor
de los números.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
64
MATEMÁTICA T.O.
4)
Si un grupo de números es multiplicado o dividido por una cantidad
entonces
su MCD ó MCM también quedará multiplicado o
dividido por esta misma cantidad.
Ej. Para los números 8; 12 y 20 su MCD = 4 y su MCM = 120.
Si a los números se dividen entre 2 se tendrá 4; 6 y 10 y su nuevo MCD
será igual a 2 y su MCM = 60.
5)
Si un número N es:
0
a
0
b
N
0
c
entonces N = mcm( a ; b ; c ) , ó si :
0
a
0
N
b
 r
 r
0
c
 r
entonces N = mcm( a ; b ; c )  r
Ej. Si un número N es divisible por 2; 3 y 4 entonces ¿Por cuánto es
divisible?
Solución.
Por propiedad,
0
0
N = MCM (2;3;4) = 12
Ej.
0
0
0
¿Cuál es el menor número que es: 3 +2; 7 - 5 y 6 - 4?
Solución.
Ese número N que se busca debe de ser:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
65
MATEMÁTICA T.O.
0
3+ 2
0
0
0
0
7 -5= 7 +2
N
6 -4= 6 +2
Por lo tanto, por propiedad se sabe que:
0
0
N = mcm 3;7;6 + 2 = 42 + 2,
como se pide el menor valor, este sería 44.
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
¿Cuántos divisores comunes tienen: 14, 28 y 42?
Solución.
Por teoría, se sabe que la cantidad de divisores comunes de un grupo
de números es igual a la cantidad de divisores del MCD de dichos
números.
Por lo tanto,
MCD (14; 28; 42) = 14
D (14): 1, 2, 7 y 14
Entonces tendrán 4 divisores comunes.
Problema 2.
¿Cuál es la menor longitud que debe tener un tubo de acero , si se
desea obtener un número exacto de pedazos de : 24 , 15 ó 12 cm ?
Solución.
La longitud del tubo debe ser un múltiplo de cada u no de los pedazos
para obtener una cantidad exacta de cada uno. De todos los múltiplos
comunes queremos el menor.
Longitud del tubo = MCM ( 24 ; 15 ; 12 ) = 120 cm.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
66
MATEMÁTICA T.O.
Problema 3.
¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarios para
construir un cuadrado?
Solución. Sea X el valor de la medida del lado del cuadrado.
X
X
34cm
18 cm
De la figura, se observa que la medida de x debe ser un múltiplo común
de 34 y de 18, pero de todos los múltiplos comunes se necesita el menor
porque se quiere emplear la menor cantidad de losetas, por eso es que :
X = mcm (34; 18) = 306
La cantidad de losetas es igual a:
306 306
x
= 153
34
18
Problema 4.
De una plancha de metal de 96 m de largo y 72 m de ancho, se desea
obtener el menor número de pedazos de forma cuadrada, sin que sobre
material. ¿Cuántos pedazos se obtendrán?
Solución.
Sea X: longitud del lado del pedazo de forma cuadrada.
96 cm
72 cm
X
X
Para dividir la plancha en pedazos de forma cuadrada, el valor de X debe
de ser un divisor común de 96 y 72. Como se quiere la menor cantidad
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
67
MATEMÁTICA T.O.
de pedazos entonces el valor de X
esto que :
X = MCD (96; 72) = 24 cm
debe de ser el mayor posible, por
El número de pedazos que se obtendrán será:
96
72
# pedazos =
x
= 4 x 3 = 12
24
24
Problema 5
Tres ciclistas A, B y C parten juntos desde un mismo punto en una pista
circular con velocidades constantes. A da una vuelta en 3 min. , B en 3 min. y
medio , y C en 4 min.. Cuando los tres se junten nuevamente, ¿Cuántas
vueltas habrá dado el ciclista A ?
Solución.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
68
MATEMÁTICA T.O.
PARTIDA
Transformando las medidas a
segundos
A : 3 min
= 180 s
B : 3 min y medio = 210 s
C : 4 min
= 240 s
El tiempo que debe transcurrir para
que un ciclista vuelva a pasar
nuevamente por el punto de partida
será un múltiplo de los tiempos
empleado en dar una vuelta . Para
que los tres ciclistas vuelvan a pasar
por el punto de partida , el tiempo a
transcurrir será un múltiplo común de
los 3 tiempos dados .
# vueltas que habrá dado el ciclista A
5040
=
=
28.
180
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL TÉCNICO OPERATIVO.
69
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I.
1. Hallar el M.C.M. y el M.C.D. de: P  2 2.3.52  Q  2.32.5.7
a) 630 y 45 b) 900 y 70 c) 900 y 210 d) 600 y 12 e) 6300 y 30
2. Si el M.C.M. de 2 números es 1050, ¿Cuál será su M.C.D., si su producto
es 5250?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
3. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D. sea 36 y su M.C.M. sea
5148.
a) 143 b) 396
c) 468
d) 684
e) 639
4. Si N  3 2x.5 x , tiene 15 divisores, hallar N.
a) 2000
b) 2075
5. Si A  12.45n
divisores.
a) 5
y
b) 2
c) 3196
d) 2025
B  12n.45 , hallar “n” para que su MCM
c) 8
d) 6
e) 2184
presente 90
e) 3
6. En una Institución Educativa se cuentan menos de 700 estudiantes pero
más de 600. Si se cuentan de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12,
siempre sobran 5; pero si se cuentan de 11 en 11 no sobra ninguno.
¿Cuántos alumnos eran?
a) 600
b) 605
c) 660
d) 671
e) 796
7. En una fábrica laboran 150 personas y repartidas en dos turnos, de día y de
noche. Si los que trabajan de día se les agrupara de 10 en 10, de 12 en 12
o de 20 en 20, siempre sobrarían 6, pero si se les agrupara de 18 en 18 no
sobraría ninguno. ¿Cuántas personas trabajan en el turno de la noche?
a) 20
b) 24
c) 32
d) 126
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
e) 36
70
MATEMÁTICA T.O.
8. El número de páginas de un libro esta comprendido entre 400 y 500. Si se
cuentan de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en
7 sobran 6. ¿Calcular el número de páginas del libro?
a) 417
b) 419
c) 420
d) 463
e) 472
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II.
1. Hallar la suma de las cifras del menor número que tenga como divisores:
4; 9 y 12.
A) 6
B) 8
C) 10
2. El MCM de dos
¿Cuál es su MCD?
D)9
E) 5
números es 48. Si el producto de los mismos es 864.
A) 20 B) 15 C) 25
D) 18 E) 9
3. Un número A es el triple de otro B y su MCD es igual a 27. Hallar la suma
de A más B.
A)27 B) 71 C) 89 D)108 E) 40
4. El MCD de los números 36K; 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los
números.
A) 900
B) 720
C)3 600
D)3 240
E) 2 400
5. Se tiene 3 varillas de cobre cuyas longitudes son 3 780; 3 360 y 2 520 cm.
Se quiere dividirlas en trozos de igual medida y de la mayor longitud posible,
¿Cuántos cortes fueron necesarios hacer en la varilla de menor longitud?
A)
6 B) 5 C) 4
D) 420 E) 8
6. Calcular el menor número de cuadrados iguales en las que se puede dividir
una plancha de madera rectangular de dimensiones 360 cm por 210 cm.
A) 30
B)19
C) 84
D) 48
E) 30
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
71
MATEMÁTICA T.O.
7. Se quiere llenar 4 cilindros de capacidades: 50; 75; 100 y 80 litros
respectivamente. ¿Cuál será la mayor capacidad que puede tener un balde
de tal manera que pueda llenar los cilindros en una cantidad exacta
de veces?
A)10 lt
B)5 lt
C)8 lt
D)25lt
E) 12 lt
8. Un terreno rectangular de medidas 255 m. por 225 m. se quiere dividir en el
menor número de parcelas cuadradas e iguales. Si se va a colocar una
estaca en cada vértice de las parcelas, ¿Cuántas estacas se necesitarán?
A) 255
B) 288 C) 300
D) 260
E) 280
9. Se tiene 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones. se desea envasarlas en
la menor cantidad de bolsas y que contengan la misma cantidad de cada
artículo. ¿Cuántas bolsas más habrán de bombones que de chocolates?
A) 16
B) 6
C) 9 D) 25 E) 34
10. En un taller de carpintería, el total de los salarios es S/ 525 y en otro S/
810, recibiendo cada trabajador el mismo salario. ¿Cuantos trabajadores
hay en cada taller si el salario es el mayor posible?
A) 45 y 35 B) 54 y 53 C)15 y 35
D) 54 y 35 E) 30 y 40
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
72
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 03
NUMEROS RACIONALES: FRACCIONES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
73
MATEMÁTICA T.O.
3.
FRACCIÓN.
3.1. FRACCIÓN: Elementos.
Se llama fracción a un número racional a/b donde: a  Z, b  Z, b  0, å  b
Fracción =
a
b
Numerador
Denominador
- Numero racional (Q) es aquel que se puede expresar como el cociente de dos
números enteros con denominador diferente de cero.
- Una fracción racional también se llama quebrado, número fraccionario o fracción.
- Toda fracción tiene 3 signos.
A
A

B
B
A
A

B
B
A
A

B
B
A
A

B
B
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES:
 El numerador indica las partes iguales que se han tomado de la unidad.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
74
MATEMÁTICA T.O.
 El denominador indica el total de partes en que se ha divido a la unidad.
S=¼
S=
S=
S = 1/12
Ejemplo Aplicativo:
Del gráfico que se muestra:
k
k
k
k
k
k
k
Parte sombreada = 3k
Parte no sombrada = 5k
k
a) ¿Qué fracción es la parte sombreada?
Fsombrada=
Parte.sombrada
Total
Fsombrada=
3k
3
=
8k
8
b) ¿Qué fracción es la parte no sombreada?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
75
MATEMÁTICA T.O.
Fno sombrada=
Parte.no.sombrada
Total
Fno sombrada=
5
5k
=
8k
8
c) ¿Que fracción es la parte sombreada de la no sombreada?
denominador
Fsombrada de la no sombrada =
Parte.sombrada
Parte.no.sombrada
Fsombrada=
3k
3
=
5k
5
d) ¿Que fracción de la sombreada es la parte no somberada?
denominador
Fno sombrada de la sombrada =
3.2.
Parte.no.sombrada
Parte.sombrada
Fsombrada=
5k
5
=
3k
3
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES.
1) POR COMPARACION DE SUS TÉRMINOS.
.
 Fraccion Propia: el numerador es menor de que el denominador. El valor de
una fracción propia es menor que la unidad.
a
1 a  b
b
Ejemplos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
1 5 17 2
, ,
, ,...
3 7 23 3
76
MATEMÁTICA T.O.
 Fracción Impropia:. El numerador es mayor de que el denominador. El valor de
una fracción propia es mayor que la unidad.
a
1 a  b
b
Ejemplos:
7 4 14 11
, ,
,
,...
2 3 9
3
2) POR SUS DENOMINADORES.
 Fracción Ordinaria ó común: Es aquella cuyo denominador es diferente a una
potencia de 10.
a
n
= es ordinaria, si: b  10
b
1 5 17 52
,
,
,
,...
5 7 25 23
 Fracción Decimal: Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.
a
n
= es decimal, si: b = 10
b
1
5
12
57
,
,
,
,...
10 100 1000 10000
3) DE ACUERDO A LA COMPARACIÓN DE LOS DENOMINADORES DE VARIAS
FRACCIONES.
 Fracciones Homogéneas: Igual denominador.
1 5 17 2
,
,
,
,...
3 3
3
3
 Fracciones Heterogéneas: Diferente denominador.
7 4 4 1
,
,
,
,...
2 5 9 3
4) DE ACUERDO A LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
77
MATEMÁTICA T.O.
 Fracción irreductible.
a
= es irreducible, si a y b son PESI.
b
 Fracción reductible.
a
= es reductible, si a y b tiene divisores comunes a parte
b
de la unidad.
5) FRACCIÓN EQUIVALENTE. Son aquellas fracciones que tiene el mismo valor pero
sus términos son diferentes. Su representación gráfica es por ejemplo:
3.3.
CONVERSIÓN DE UNA FRACCIÓN IMPROPIA A
NÚMERO MIXTO Y DE UN NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN
IMPROPIA.
 De Fracción a número mixto:
Ejemplo: convertir
17
5
p
a
= n
b
b
; donde ; p < b
a número mixto
Primero dividir 17 entre 5.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
78
MATEMÁTICA T.O.
numerador
17
5
denominador
2
3
Parte Entera
3
2
5
 De un número mixto a fracción:
n
p n.b  p

b
b
Ejemplo:
=
a
 (Fracción Impropia) ; p < b
b
convertir
3
2
5
a fracción.
+
3
x
3.4.
=
2
17

5
5
MCM Y MCD DE FRACCIONES.
 a c e  MCD(a; c; e)
;  
 b d f  MCM (b; d ; f )
MCD  ;
 a c e  MCM (a; c; e)
;  
 b d f  MCD(b; d ; f )
MCM  ;
a c e
b d f 
Nota: donde las fracciones  ; ;  , deben ser fracciones irreductible “si no lo son,
se tienen que simplificar”.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
79
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplo: Hallar el MCD y el MCM de 6/21 y 15/20.
1º.
2º.
Simplificar 6/21 y 15/20, hasta obtener fracciones irreductibles, se obtiene 2/7 y
3/4.
Hallar el MCD y el MCM de las fracciones ya simplificadas:
M CD(2;3)
1
2 3
; 

28
 7 4  M CM(7;4)
MCD 
6
 2 3  M CM(2;3)
; 
 6
M CD(7;4)
1
7 4
MCM 
3.5.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.
Simplificar una fracción significa transformarla en otra EQUIVALENTE y, a la vez,
IRREDUCTIBLE.
Al simplificar una fracción hasta hacerla irreductible, es cuando a sus términos
(numerador y denominador) se dividen entre su MCD.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
80
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplo: ¿Simplificar la fracción 24/180?
Solución:
1º Forma:
Dividir sucesivamente los términos de la fracción por los divisores
comunes hasta lograr una fracción irreducible.
Pasos: Dividir ambos términos por 2, nuevamente por 2 y sigue por 3.
2
6
12
24
180
=
2
15
90
45
15
2º Forma:
Dividir al numerador y denominador entre su MCD:
24
24  M CD(24;180)
24  12
2



180 180  M CD(24;180) 180  12 15
3.5.1. PROPIEDADES:
1.
aaa
a

bbb b
Ejemplo:
Simplificar:
333
777
333 3
=
777 7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
81
MATEMÁTICA T.O.
Porque:
2.
3
333 3  111
=
=
7
777 7  111
abab
ab

cdcd
cd
Ejemplo:
Simplificar:
Porque:
3.6.
1212
3737
1212 12
=
3737 37
12  101
1212
12
=
; se elimina 101 y queda
3737
37
37  101
FRACCIONES EQUIVALENTES.
Cuando los dos o más fracciones representan un mismo valor.
2
4
12
8



 ....
5
10
30
20
a
ak

, donde
b
bk
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
k  1,2,3....
82
MATEMÁTICA T.O.
3.7.
HOMOGENIZACIÓN DE DENOMINADORES DE
FRACCIONES.
Para reducir varias fracciones al mínimo común denominador:
1. Reducir a su más simple expresión.
2. Calcular el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.
3. Dividir el M.C.M. por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se
multiplica con cada numerador correspondiente.
Ejemplo:
Homogenizar los denominadores de las fracciones:
4
6
;
5
6
;
10 8
Solución:
Para homogenizar, reducir dichas fracciones a su más simple expresión:
4 5 6
2 1 3
;
;
; <>
;
;
6 10 8
3 2 4
Ahora, se calcula el M.C.M. de los denominadores: M.C.M. (3, 2, 4) = 12.
Luego,
se divide el M.C.M. entre cada uno de sus denominadores, el resultado de cada uno
se multiplica por sus numeradores correspondiente, obteniendo:
8
6
9
;
;
12 12 12

Esquemáticamente:

2 1 3
;
;
3 2 4

8
6
9
;
;
12 12 12

ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
MCM (3, 2, 4 ) = 12
83
MATEMÁTICA T.O.
3.8.
COMPARACIÓN DE FRACCIONES.
 Al comparar dos fracciones de diferentes signos, mayor es la fracción positiva y
menor la fracción negativa.
Ejemplo:
3
2
> 
7
2
 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual denominador, será mayor
el que tenga mayor numerador y el menor será el que tenga menor numerador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
2 7 8 1
; ; ;
3 3 3 3
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
1 2 7 8
; ; ;
3 3 3 3
 Al comparar dos o más fracciones positivas de igual numerador, será mayor el
que tenga menor denominador y el menor será el que tenga mayor denominador.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
7 7 7 7
; ; ;
3 2 9 13
Solución: Ordenando de menor a mayor se obtiene:
7 7 7 7
; ; ;
13 9 3 2
 Al comparar dos o más fracciones de diferentes denominadores se procederá a
homogenizar los denominadores y se luego se procederá como en el caso
anterior.
Ejemplo: Ordenar en forma ascendente las siguientes fracciones:
7 3 1 5
; ; ;
3 2 9 6
Solución: Primero se homogenizan denominadores (MCM).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
84
MATEMÁTICA T.O.
MCM (3, 2, 9, 6) =

18
7
3
1
;
;
;
3
2
9


5
6
Fracciones
Equivalentes
42 27 81 15
;
;
;
18 18 18
18
Fracciones
Homogéneas
Ordenando de menor a mayor se obtiene:
15 27
42
81
;
;
;
que son las fracciones equivalentes a
18 18 18
18
5
3
7
;
;
;
6
2 3
1
respectivamente.
9
 Al comparar dos fracciones de diferentes denominadores se procederá
realizando el producto cruzado. Y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Solución:
56
7
9
>
7 5
y
9 8
45
5
8
Ejemplo: Comparar las siguientes fracciones:
Entonces
7
9
>
5
8
5 4
y
8 5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
85
MATEMÁTICA T.O.
Solución:
25
<
5
8
32
Entonces
4
5
5
8
4
5
<
EJERCICIOS NIVEL I
1. Completar:
a.
3
12

4
16
e.
5

8
128
b.
f.
5

8
32
c.
3
12

16
1
8

8
g.
3

16
64
d.
1

4
32
h.
3
24

8
2. Reducir a un mismo denominador (homogenizar denominadores):
1
5
;
4
8
1
3
b.
;
2
4
3
5
c.
;
;
8
16
Res pues ta
a.
2 5
;
8 8
Res pues ta
1
4
Res pues ta
3. Completar los espacios vacíos adecuadamente:
a) Dadas varias fracciones de igual
tiene…......................…......... numerador
denominador
es
mayor
la
que
b) Dadas varias fracciones de igual
tiene…........................…......denominador
numerador,
es
mayor
la
que
4. Colocar los signos > ó < como en los ejemplos:
a. 5/8 < 7/8
b. 3/8
1/ 8
c. 3/4
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
5/4
d. 1/4
5/4
86
MATEMÁTICA T.O.
e. 3/7 < 3/5
f. 1/2
1/3
g. 2/5
> 2/7
h. 4/5
4/6
5. Reducir a un mismo denominador las siguientes fracciones; y colocarlas en el
orden solicitado:
3/4 ; 5/8 ; 1/16; 3/8  --- < ---- < ----- ---- (Orden Creciente)
4/5 ; 2/3 ; 7/12 ; 3/4  --- >---- > ---- > ----(Orden decreciente)
6. Completar los espacios en blanco:
a. Simplificar una fracción es encontrar otra cuyos términos
sean…................................. que los de la primera.
b. Para simplificar una fracción basta dividir ambos términos por un mismo número
diferente de cero y diferente de ….................................................................
c. Cuando el numerador y denominador son primos entre sí, una fracción
…...................... ser simplificada.
d. La fracción propia con denominador 64, tendrá como mayor numerador posible
…...........................................
e. Las fracciones de términos diferentes, que representan un mismo número, son
llamadas fracciones …............................................
A continuación se puede comparar las respuestas.
4.
5.
b. >
c<
d. <
f. <
h. >
a. 1/16 < 6/16 <10/16 < 12/16
R. 1/16 < 3/8 <5/8 < 3/4
b. 48/60 > 45/60 > 40/60 > 35/60
R. 4/5 >3/4 > 2/3 > 7/12
6.
a.
b.
c.
d.
e.
más simples
uno.
no puede
63
equivalentes
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
87
MATEMÁTICA T.O.
7. Reducir a su menor expresión, las siguientes fracciones (simplificar):
2
=
4
48
=
64
96
=
128
8
=
16
12
=
15
6
=
9
100
=
128
120
=
128
24
=
32
15
=
20
4
=
32
15
=
18
40
=
8
60
=
64
a. 4/5 > 3/5 ( )
b. 3 > 15/3
(
)
c. 2/5 < 3/7 ( )
d 1/3 < 34/72 ( )
e. 2/5 > 2/7
(
)
d. 7/8 > 6/7 (
25
=
100
8. Colocar falso (F) o verdadero (V)
)
9. Completar las siguientes clases de equivalencias, hasta con cinco elementos
(cinco fracciones equivalentes):
a. 1/2 = 2/4
= 3/6 = 4/8 = 5/10 = 6/12
b. 2/3 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----c. 3/8 = ----- = ----- = ----- = ----- = ----d. 3/4 = ----- = ----- = ----- = ----- = -----
Tratar de corregir 7, 8, 9 con las respuestas siguientes:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
88
MATEMÁTICA T.O.
7.
=1/2
= 3/4
= 3/4
=60/64
=25/32
=3/4
= 3/4
= 1/8
=¼
=5/6
8.
a. (V)
9.
a) 1/2 = 2/4
b) 2/3 = 4/6
10.
=1/2
= 2/3
=5
b. (F)
c. (V)
= 3/6
= 6/9
=
=
= 4/5
= 15/16
d. (V)
4/8
=
8/12
=
c) 3/8 = 6/16 = 9/24 = 12/32
=
d) 3/4 = 6/8
=
= 9/12 = 12/16
e . (V)
5/10
10/15
=
6/12
=
12/18
15/40
=
18/48
15/20
=
18/24
Marcar con (X) las fracciones irreductibles:
2/3
(X)
3/5 (
5/6
( X )
1/3 (
)
)
4/8 ( )
4/6 ( )
7/8 (
)
6/2 ( )
4/12 ( )
9/10 (
)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
89
MATEMÁTICA T.O.
1 EJERCICIOS PROPUESTOS NIVEL II
1. Distribuir en el cuadro las fracciones en orden creciente:
a. 1/4; 1/32; 1/16; 1/128; 1/2;1/8;1/64
b 15/16; 5/16; 11/16; 9/16; 1/16;3/16;7/16
c. 3/4; 5/16; 7/8; 1/2; 15/32; 5/64; 1/128
A
B
C
2. Al simplificar una fracción se obtuvo 1/7. Sabiendo que la suma de los términos es
40, Calcular la diferencia de los mismos.
A.30
B.15 C.8
D.1
E.13
3. ¿Cuántas fracciones propias tienen denominador 32 y son mayores que 1/6?
A.3
B.15
C2
D. 4
E.13
4. ¿Cuántas son las fracciones irreductibles con denominador 10 comprendidos entre
1/2 y 4/3?
A.30
B.5
C8
D. 4
E.13
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
90
MATEMÁTICA T.O.
5. ¿Cuántas fracciones propias y irreductibles de denominador 720 existen?
A.192
B.13
C.24
D.15
E.2
6. ¿Qué fracción representa el área no sombreada?
A. 5/7
B.3/4
C.4/7
D.3
E.1/4
7. Simplificar las fracciones:
9240 / 6930
y 4158 / 43 68
Rpta: 4/3; 99/104
8. Un cartero dejo en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba; en un banco; 2/9 del
resto y todavía tiene 70 cartas para repartir. ¿Cuántas cartas le dieron para
repartir?
A. 10
B.108
C.23
D.25
E.19
9. Una piscina está llena hasta sus 2/3 partes. Si sacara 2100 litros quedará llena
hasta sus 3/8 ¿Cuánto falta para llenarla?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
91
MATEMÁTICA T.O.
A. 2400
10.
C.234
D.1235
E. 1300
Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15 litros de
mezcla ¿Cuántos litros de leche salen?
A.13
11.
B.2700
B. 15
C. 10
D.14
E.5
Qué fracción representa el área sombreada en el cuadrado?
A. 5/16 B. 3/13 C.1/5 D. 3/5 E. 2/3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
92
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 04
FRACCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
93
MATEMÁTICA T.O.
4.1.
a)
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEA.
Observar el siguiente gráfico:
3
6
La parte sombreada es:
1
6
1 3 4
 
6 6 6
 Para sumar o restar fracciones homogéneas se procede operando los numeradores
y se escribe el mismo denominador:
a
c
d
a cd



b
b
b
b
Ejemplo:
Efectuar:
8
5
2
7
3
85273
9






13 13 13 13 13
13
13
 Si son números mixtos, se opera la parte entera y después la parte fraccionaria.
a
b
e
g
beg
d f
 a  d  f 
c
c
c
c
Ejemplo:
Efectuar:
3
1
7
2
5
1 7  2  5
1
8 
4
 3  8  4
7
13
13 13
13
13
13
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
94
MATEMÁTICA T.O.
b)
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS.
Para sumar o restar fracciones de diferentes denominadores se busca transformarlas
a otras equivalentes, de tal forman que todas tengan el mismo denominador y se
procede de la forma anteriormente vista.
Considerando los siguientes casos:
1. DENOMINADORES MÚLTIPLOS DE OTROS.
Ejemplo 1. Efectuar:
3
1
3
3
1 4
3 2
3
4
6
3 46
1


 

 



8
2
4
8
2 4
4 2
8
8
8
8
8
Multiplicar por un factor a ambos términos de la
fracción, tal que los denominadores sean iguales.
Ejemplo 2. Efectuar:
5
1
7
5 3
1
72
15
1
14
15  1  14
28










4 12
6
4  3 12
6 2
12 12 12
12
12
¡Fracciones Equivalentes!
2. MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM).
Se seguirá el siguiente procedimiento:
Primero: Hallar el MCM de los denominadores y se escribe como DENOMINADOR
del resultado.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
95
MATEMÁTICA T.O.
Segundo: Dividir el MCM por cada denominador y el cociente se multiplica por cada
numerador; luego efectuar la suma de estos resultados.
Ejemplo 1. Efectuar:

=
2
3
7
96  90  56
130
13





5
8
30
240
240
24

MCM(5;8;30) = 240
3. REGLA DE PRODUCTO CRUZADO.
Regla práctica para operar con dos fracciones de términos pequeños.
Ejemplo 1. Efectuar:
3 5
3 8  5  5
24  25



5 8
58
40
34
Ejemplo 2:
21
2
7
2 3

7 17
3
17
13
119
Efectuar
EJERCICIOS
I. Resolver con el método de “Denominadores múltiplos de otros”.
a)
c)
7
5


6
12
41
2
1



45
5
3
b)
d)
7
3


60
10
1
3
5
7




2
4
8
16
II. Resolver con el método de “Mínimo Común Múltiplo”.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
96
MATEMÁTICA T.O.
a)
b)
c)
3 1 1 4
   
10 2 4 5
1 1 1 1
   
2 3 4 5
3 5 7
  
4 6 8
III. Resuelve con el método de “Producto Cruzado”.
5 2
 
9 3
1 1
d)
 
2 3
a)
5 3
 
3 5
3 1
e)
 
8 2
b)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
5 9
 
7 2
1 1
f)
 
13 12
c)
97
MATEMÁTICA T.O.
4.2. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES:
Se tiene que tener en cuenta que primero se resuelven las operaciones que se
encuentran al interior de los signos de agrupación.
Ejemplo: resolver la siguiente operación:
1  1
2
1  1
2
1
1
2
47
87
1
      
 
 


3
5  3
3
20
3
3
60
60
2
2  4
También, se puede resolver eliminando primero los signos de agrupación.
1  1
2
1  1
2
1
1
1
1
      
 

 
3
5
3
3
4
5
3
2
2  4
2
1
1
1
1
40  30  15  12  20
87







3
2
4
5
3
60
60
EJERCICIO
Efectuar las siguientes operaciones combinadas de adición y sustracción.
1 2 1 1 1
     =
 6 7 5  2 5
1. 
 1
 5
2.  3  2
1 2  2 3
   1   =
6 3  5 2


1  1 1  5
1
   2     1  =
7   2 3  2 7 
1
5
3. 1 
3  3
1
5 
4.            =
 3 6 8   4  2 6 
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
98
MATEMÁTICA T.O.
1
5
  5
3

5.     2       2 =
  7 4  
2  7
4.3. MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE FRACCIONES:
 Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí.
a c ac
 
b d bd
Ejemplos:
3
2 6 3
2 63
2

 

9 10 7 9 10  7 35
3
5 2 5  2 10
 

a)
9 7 9  7 63
5
b)
 Para elevar una fracción a cualquier potencia, se eleva cada uno de los términos de
la fracción, al exponente indicado.
n
an
a

 
bn
b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
99
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplos:
2
4
22
4
2
a)    2 
7
49
7
14
1
1
b)    4 
3
81
3
EJERCICIO
1. Escribir en el casillero en blanco el producto de las fracciones que se indican:
3
X
1
7
6
1
5
5
4
2
7
4
3
9
2
5
4
7
7
21
2. Multiplicar:
1
3
a) 2  5 =
d)
2
1
5 
3
4
7
35
5
3
3
b) 4  5
e)
2

3
c) 3
3
1
2 
5
2
1
1
1 
4 5
1
2
1
3
f) 1  1 
3. Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
a
 
b
n
Al cuadrado
Al cubo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
A la cuarta
100
MATEMÁTICA T.O.
1
2
1
8
3
2
2
5

3
5
4. La palabra “de”, “del", “de los” es una orden que indica que se debe multiplicar.
Teniendo en cuenta este criterio, resolver los siguientes problemas:
a) Hallar los 3/5 de 20
b) ¿Hallar la mitad de los 2/3 de 24?
c) ¿Hallar lo 2/7 de los 7/8 de los 5/2 de d) ¿Hallar los 2/9 de la mitad de 45 kg?.
400 soles?
e) ¿Los 3/5 de que número es 120?
f) ¿La mitad de 80 es los ¾ de los 2/3 de
que número?
4.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES.
 Para dividir fracciones, se multiplica a la fracción dividendo por la fracción divisor
invertida.
a c a d ad
   
b d b c bc
Fracción inversa
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
101
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplo:
a)
2 3 2 4 2 4 8
   

5 4 3 3 3 3 9
1 14 7 3
73 1
  

3 3 3 14 3  14 2
b) 2 
 Una división de fracciones también se puede presentar como una fracción de
fracción:
Producto de Producto de
extremos
medios
a
b  ad
c
bc
d
Ejemplo:
7
73
7
a) 24 

2
24  2 16
3
7
b)
20  7  4  7
1
20  1 5
4
EJERCICIOS
1. Escribir en el casillero en blanco el cociente de las fracciones que se indican:

1
7
6
3
5
1
4
5
7
2
3
4
9
2
5
7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
9
7
102
MATEMÁTICA T.O.
2. Escribir la expresión más simple equivalente a:
1 1

2
3=
a)
1
4
1 1

5
4  14 
b)
3 2 23

4 5
1 1 1

4  2 3 
c)

1
24
2 10 3 19
  
5
7 7 5  1 =
e)
6
3
35
28
2 1 1
 
5
3 2=
d)
7
30
f)
1 1 


1 2
7 2     3=
1
1 1
 1 

14
3 2
4.5. RADICACIÓN DE FRACCIONES:
Para extraer una raíz a una fracción, se extrae la raíz indicada a cada término de la
fracción.
n
Ejemplo:a)
3
a

b
n
n
a
b
3
1
1
1
3

125
125 5
b)
64
64
8


121
121 11
EJERCICIO
1. Encontrar las fracciones que elevadas al cuadrado reproducen las respectivas
fracciones dadas.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
103
MATEMÁTICA T.O.
2
 
1
b)   
9
 
2
 
4
e)   
81
 
 
16
a)   
25
 
 
49
d)   
64
 
2
 
1
g)   
  100
2
2
 
36
c)   
25
 
2
2
f)
  100
   49
 
i)
 
25
   121
 
2
  16
h)   
81
 
2
2. Hallar la raíz en cada caso:
27

8
b)
3
1

8
c)
3
8

1000
d)
16

25
e)
5
32

243
f)
4
16

625
g)
36

49
h)
3
27

125
i)
4
81

1000
a)
3
4.6. OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES.
1.
6
1

5
6 
7
3

3 10
 61 
 41


2
=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
104
MATEMÁTICA T.O.


 1  1  1 
 1
1
1 
2
3
 9
2.
=
1 1

3
1
1
5
3
3.
7
1  1
1  1
2
3  8
8
1
1
1
2

6
12
2 =
5  11
13
14
1 1

1
2
3 =

1 1 1

8
4 6
4.
5.
3 1

4 2 
3
4
6.








7 1
1

3 4   93  =
1 1  56 

6 2
5
1
1 

2
2 

5
3  =
1
1 

3
3 

5
7 
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
105
MATEMÁTICA T.O.
7.
16 7 
817 
1
12
 25 1 

 
 36 9 
Comprobar respuestas:
Pregunta Nº
1
2
3
4
5
6
Respuesta
1
-4
1
4
1
1
7
5
8
PROBLEMAS APLICATIVOS
La pulgada (en inglés inch) es una unidad de longitud antropométrica que equivalía a
la longitud de un pulgar.
1”
representa una PULGADA
1´
representa un PIE
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
106
MATEMÁTICA T.O.
Equivalencia:
1 pulgada = 2,54 cm.
1 pulgada = 25,4 mm
1 pie = 12 pulgadas
1 yarda = 3 pies = 36 pulgadas
Ejemplo:
 3
7"
Representa tres pulgadas y siete octavos de pulgada.
8
Las comillas (“) simbolizan la pulgada, una comilla ( ´ ) simboliza un pie.
 2 3 Representa dos pies y 3 pulgadas.
La pulgada es una unidad de medida del Sistema Inglés que se aplica en nuestro país
principalmente en las especificaciones de materiales y de productos de uso industrial.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
107
MATEMÁTICA T.O.
GRADUACIONES de la REGLA EN PULGADAS.
Las graduaciones de la escala son hechas, dividiéndose la pulgada en 2; 4; 8;
16; … 2n, partes iguales, existiendo en algunos casos escalas hasta con 128
divisiones (27= 128).
Si se divide una pulgada en dos
partes iguales, cada parte es 1/2
pulgada.
Si se divide una pulgada en cuatro
partes iguales, cada parte es 1/4
pulgada.
Si se divide una pulgada en ocho
partes iguales, cada parte es 1/8
pulgada.
Si se divide una pulgada en
dieciséis partes iguales, cada
parte es 1/16 pulgada.
Si se divide una pulgada en treinta
y dos partes iguales, cada parte es
1/32 pulgada.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
108
MATEMÁTICA T.O.
A continuación surgirá en los ejercicios con fracciones, la representación de la
pulgada, pie, yarda.
Con la ayuda del instructor realizar las lecturas de las siguientes medidas, la regla esta
graduada en pulgadas.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
109
MATEMÁTICA T.O.
7
1
8
01
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Lectura
Escribir en el siguiente cuadro las lecturas realizadas:

08
02
03
04
05
06
07
09
10
11
12
13
14
Realizar las siguientes operaciones con las lecturas efectuadas:
a)
b)
01
07
+
x
02
10
-
03
=
=
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
110
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I-A
1.
Determinar la cota “Y” en la pieza representada.
a)
49 ”
17
b)
17
16
c) 3
2.
“
14
”
46
d)
Calcular “X” en la pieza.
1
16
”
e) 4 31 ”
a)
32
3.
Determinar la longitud C del tornillo, dibujado.
b) 3
31 ”
32
c)
12 ”
64
d) 3
13 ”
32
c)
a) 6 11 ”
d) 16
b) 5e)1
”
32
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
c)
3 ”
16
d)
6”
111
MATEMÁTICA T.O.
4.
¿Cuánto mide el diámetro externo de la arandela?
a) 1 5 ”
8
b) 1 3 ”
7
c) 2 3 ”
5
d) 1”
e)
5.
Completar el cuadro conforme las indicaciones del dibujo.
D
c
1”
5"
8
3"
4
15"
32
35"
64
1"
16
6.
Un agujero de diámetro
D
31
1
32
9
64


7"
5"
debe ser agrandado en
más. ¿Cuál será el nuevo
8
32
diámetro?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
112
MATEMÁTICA T.O.
a) 1 4
7.
32
”
b) 1 1
32
c) 2” d) 2 1 64 ”
”
e) 3/4”
1"
de longitud, de la cuál cuatro pedazos miden,
2
9"
1"
13"
1"
respectivamente 6 , 8
, 10
y 5 . Despreciando por pérdida de corte,
16
16
4
2
Una barra de bronce tiene 32
¿Calcule que pedazo de la barra fue utilizado?
a) 31
e)
8.
1”
8
b) 31
c) 31
1 ”
16
d) 3
1”
8
1”
8
Una barra de hierro mide 26
pierde en cada corte
material?
a) 10
9.
2”
5
25"
1"
, si se divide en partes iguales de 2
y se
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
b) 12
c) 14
d) 15
e) 18
Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18
trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de
cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra)
a) 1¾”
b) 1½”
c) 22½”
d) 2”
e) 1¼”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
113
MATEMÁTICA T.O.
Calcular la medida del diámetro interno de la arandela, representada.
”
a)
1
b)
1 ”
3
c)
2
d)
1/2” 1
4
”
7
2
10. Determinar las dimensiones A, B, C, y D , dar como respuesta A + B + C – D.
1
2
1
2
a) 3”
b) 2”
e)
c) 1”
d) 4”
e) 5”
11. Una barra de cobre mide 26
pierde en cada corte
25"
1"
, si se divide en partes iguales de 2
y se
32
32
1"
¿Cuántos cortes se realizarán si no sobra ni falta
32
material?
a) 10 b) 12
c) 14
d) 15
e) 18
12. Se tiene una barra de metal cuya longitud es de 26 ¾”, se necesita obtener 18
trozos iguales cortándolo con una sierra de ¼” de grosor. ¿Cuál es la medida de
cada trozo? (en cada corte se pierde el espesor de la sierra).
a) 1¾” b) 1½” c) 2½” d) 2”
e) 1¼”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
114
MATEMÁTICA T.O.
13. Dividir una barra de aluminio 10
1"
en 5 partes iguales perdiendo en cada corte
8
1
“¿Qué longitud tendrá cada parte?
32
a) 1 7
e) 3
”
32
b) 1”
c) 2 5
”
32
d) 7
”
16
”
4
14. Calcular la distancia X, en la siguiente plancha:
a) 12 1
b) 13 1
c) 12 1
”
4
”
4
”
2
d) 12 1
”
8
Nota: Por lo general, al interior de al interior de las máquinas, motores, piezas, etc., los
agujeros son equidistantes y simétricos.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
115
MATEMÁTICA T.O.
15. Calcular la distancia “x” si las siguientes son equivalentes:
a) 19 ½”
b) 13”
c) 14”
d) 13 ¼”
e) 7 1/8”
16.
Calcular “a” en la siguiente placa
a) 2 1/64”
b) 2 1/32”
c) 2 3/64”
d) 3 ½”
e) 3 1/64”
17. La longitud de la circunferencia puede ser calculada, aproximadamente,
1
7
multiplicando su diámetro por  ( = 3.14 = 3 ). Siendo así, completar el cuadro
siguiente, conforme el ejemplo.
Donde:
Lc =
Lc =
 r : radio de la circunferencia
 D : Diámetro de la circunferencia


ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
 3,14
116
MATEMÁTICA T.O.
LONGITUD
DIÁMETRO
CÁLCULOS
DE CIRCUNFERENCIA
3
1
1"
2
3
1"
1 7 22
3  
 11
2
7 2 7
11”
1"
8
7
6
7

1pie 2pulg
La circunferencia ha girado una vuelta completa
D
LC
“Al dar una vuelta la rueda, esta se desplaza aproximadamente 3.14 veces
la longitud del diámetro, sobre una superficie recta.”
18. Completar el cuadro, usando:
Lc = D  
D = 2.r
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
117
MATEMÁTICA T.O.
LC = Longitud de
Cálculos
circunferencia
5
3"
4
5
D = diámetro
r = radio
73"
88
161"
176
3" 1 23 7 161
73
:3 
x

1
4 7
4 22 88
88
1
1"
2
2
15
5"
6
3"
4
1"
4
19. ¿Cuántas vueltas tendrá que girar una rueda, para recorrer 19,80 m, si el radio de
la rueda es de 21 cm?
Fórmula:
Distancia recorrida = Numero de vueltas x Longitud de la circunferencia
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 5
20. Las resistencias de una conexión en paralelo son R1 = 15 ohmios, R2 = 12
ohmios, R3 = 9 ohmios. Calcular la resistencia total.
a) 3
29

47
b) 3
39

47
c) 1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
d)
39

47
e) 4
39

47
118
MATEMÁTICA T.O.
1
1
1
1
1



. . .
R t R1 R 2 R 3
Rn
Fórmula:
Donde:
Rt: Resistencia Total
R1 = 15 
A
R1 = 12 
B
R1 = 9 
21. Susana tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivas ½; 1/3 y 1/4 de lo que le iba
quedando, ¿Con cuánto se queda?
Solución:
3 21
  3  2  120
 30
  120  
4 3 2
4  3 2

Se tiene al inicio
Se pierde 1/2 queda 1/2
Se pierde 1/3 queda 2/3
Se pierde 1/4 queda 3/4
R. Se quedó con S/. 30.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
119
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL
I-B
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
120
MATEMÁTICA T.O.
1. Dos tercios de los docentes de nuestro instituto son mujeres. Doce de los
instructores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son
casados. ¿Cuál es el número de docentes?
a) 70
b) 120
c) 60
d) 56
e) 90
2. Al tesorero de una sección de 1° grado le falta 1/9 del dinero que se le
confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido.
a)1/8
b) 1/3
c)1/6
d)1/7
e)1/9
3. Cada día una persona escribe en un cuaderno 1/3 de las hojas en blanco
más dos hojas; si después de tres días consecutivos le quedan aun 18
hojas en blanco, ¿Cuántas hojas ha escrito dicha persona?
a) 56
b) 57
c) 55
d) 54
e) 75
4. Cada vez que un profesor entra al salón deja la mitad de las hojas que
posee y 8 hojas más. Si entra sucesivamente a 3 salones y al final se
queda con 61 hojas, ¿Cuál es la cantidad de hojas que tenía al entrar al
primer salón?
a) 800
b) 500
c) 600
d) 400
e) 700
5. De los dos caños que fluyen a un tanque, uno sólo lo puede llenar en 6
horas, y el otro sólo lo puede llenar en 8 horas. Si abrimos los dos caños a
la vez, estando el tanque vacío, ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque?
a) 3 1/7 h
b) 3 2/7 h
c) 3 3/7 h
d) 2 ½
e) 3 1/4
6. Un estanque tiene 2 llaves y un desagüe. La primera lo puede llenar en 12
horas y la segunda en 4 horas; estando lleno el desagüe lo vacía en 6
horas, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío se abren
las tres llaves a la vez?
a) 8h
b) 7h
c) 6h
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
d) 5h
e) 4h
121
MATEMÁTICA T.O.
7. Una pelota pierde un quinto de su altura en cada rebote que da. Si se deja
caer desde 1,25 m de altura ¿qué altura alcanzará después del tercer
rebote?
a) 50cm
b) 64 cm
c) 24cm
d) 62cm
e) 72 cm
8. Si dejamos caer una pelota desde cierta altura, ¿Cuál es esta altura,
sabiendo que después del cuarto rebote se eleva 32 cm y que en cada
rebote se eleva 2/3 de la altura anterior?
a) 81cm
b) 162cm
c) 324cm
d) 62cm
e) 72cm
9. ¿Cuál es el número por el que hay que dividir 18 para obtener 3 1/3?
a) 5 1/5
b) 5 7/9
c) 5 2/5
d) 5 1/9
e) 5 1/3
10. Me deben los 3/7 de S/. 252. Si me pagan 1/9 de S/. 252, ¿Cuánto me
deben?
a)S/80
b)S/100
c)S/120
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
d)S/140
e)S/125
122
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 05
NÚMEROS DECIMALES
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
123
MATEMÁTICA T.O.
5.1.
NÚMERO DECIMAL.
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal, que se
obtiene al dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos:
(1)
3
 0,375  Resulta de dividir 3 entre 8.
8
(2)
4
 0,444..... Resulta de dividir 4 entre 9.
9
(3)
7
 0,233.... Resulta de dividir 7 entre 30.
30
TABLERO POSICIONAL DE CIFRAS DE UN NÚMERO
DECIMAL.
7
1
,
0
7
3
o cienmilésimos
Millonésimo
milésimos
o diezmilésimos
Centésimos de
Décimos de milésimos
centésimos
décimos
Unidades
PARTE DECIMAL
Decenas
Centenas
Unidades de Millar
Decenas de Millar
Centenas de Millar
PARTE ENTERA
milésimos
5.2.
9
La parte decimal tiene las siguientes órdenes, contadas de izquierda a
derecha a partir del coma decimal:
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124
MATEMÁTICA T.O.
1° Orden decimal  décimos.
2° Orden decimal  centésimos.
3° Orden decimal  milésimos.
etc.
5.3.
LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES.
La lectura de un número decimal, se efectúa del siguiente modo: Se lee la
parte entera cuando existe y luego el número formado por las cifras de la parte
decimal, expresando el nombre del orden de la última cifra.
Los ejemplos siguientes esclarecerán cómo hacer la lectura de un número
decimal. Completar:
a) 12,7
doce enteros y siete décimos o doce unidades y siete décimos.
b) 3,125
tres ......................... y ciento veinticinco .......................................
c) 0,000 4
........................ diez milésimos.
d) 3,1416
e) 8,30
..................y mil cuatrocientos ...................... décimos de milésimos.
ocho ......................... y....................................................................
f) 12,005 ...........................................................................................................
5.3.1. ESCRITURA DE UN NÚMERO DECIMAL:
Se escribe la parte entera si hubiera, en seguida la coma decimal y luego la parte decimal teniendo cuidado de colocar las cifras en el
orden que le corresponde.
Observemos los ejemplos:
(1) Quince enteros y veintiséis milésimos :
(2) Seis enteros y veintitrés diez milésimos :
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
15,26
6,002 3
125
MATEMÁTICA T.O.
Cuando no hay parte entera, ésta se representa por cero (0).
(1) 12 milésimos
(2) 50 millonésimo
:
:
0,012
0,000 050
Completar:
(1)
Quince enteros y seis centésimos : .............................................
(2)
Cuatro centésimos
(3)
Tres enteros y veinte centésimos de milésimos : ........................
(4)
Veinticinco milésimos
: .............................................
: ..............................................
Escribir como se lee, observando el ejemplo, y asociar las UNIDADES.
(1)
3,7 chapas ................ 3 chapas y 7 décimos (de chapas)
(2)
0,50 soles ........................................................................
(3)
5,4 metros ........................................................................
(4)
2,5 pulgadas ....................................................................
(5)
3,175 centímetros ............................................................
(6)
8,0025 segundos .............................................................
Observar cómo se pueden resolver los siguientes problemas:
(1)
¿Cuántos milésimos hay en 54 centésimos?
Representación
Literaria
x
1000
=
54
100
Representación
Matemática
Despejando “x”:
x = 540
“Rpta: hay 540 milésimos en 54
centésimos”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
126
MATEMÁTICA T.O.
(2)
¿Cuántos centésimos de décimos hay en 20000 diezmilésimos de
centésimos?
x
100
.
1
10
=
20000
1
.
10000
100
x
=
20
Rpta: Existen 20 centésimos de décimos en 20000 diezmilésimos de
centésimos.
5.4.
1º.
(3)
¿Cuántos milésimos hay en 2,4 centésimos?
(4)
¿Cuántos
cienmillonésimos
diezmilésimos?
(5)
¿Cuántos décimos de centésimos de milésimos hay en 240000
diezmillonésimos de milésimo?
de
centésimos
hay
en
4,52
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DECIMALES:
Un número decimal no ve alterado su valor si se le añade o suprime
CEROS A SU DERECHA.
Ejemplos: 4,8 = 4,80
(1)
4,8 = 4,800 000 0
(2)
312,240 000 00 = 312,24
(3)
7,500 0 = 7,50
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
127
MATEMÁTICA T.O.
2º.
(1)
Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha un o
más lugares, para que su valor no se altere debemos dividir por la unidad
seguida de tantos ceros como lugares se corrió el coma decimal.
Ejemplos:
0,253 
0,253 
25,3
100
0,253 
25,3
10 2
2 lugares
2 lugares
0,253  25,3  10 2
Potencia de 10
con exponente
(2)
0,000002 
0,000002 
0,02
10000
0,000002 
0,02
10 4
4 lugares
4 lugares
0,000002  0,02  10 4
Potencia de 10
4 lugares
(3)
0,0075 = 75  104
4 lugares
Potencia de 10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
128
MATEMÁTICA T.O.
EJERCICIOS:
(1)
0,007 = 7 x 10.....
(2)
0,00016 = 16 x 10.....
(3)
0,000064 = 64 x 10.....
(4)
0,0025 = 250 x 10.....
(5)
0,06 = 6000 x 10.....
3º.
Si a un número decimal, se le corre el coma decimal a la izquierda uno o
más lugares, para que su valor no se altere, se debe multiplicar por la
unidad seguida de tantos ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplos:
(1)
70002,5 = 7,00025  10000
4 lugares
4 lugares
=
7,00025  10 4
Potencia de 10 con
exponente positivo
(2)
2000
= 2  1000
3 lugares
3 lugares
=
2  10 3
Potencia de 10 con
exponente positivo
(3)
50000000
= 50  10 6
6 lugares
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
129
MATEMÁTICA T.O.
EJERCICIOS:
(1)
8302,5 = 83,025 x 10.....
(2)
160,5 = 0,1605 x 10.....
(3)
6400000000= 6,4 x 10.....
(4)
25000000000 = 25 x 10.....
(5)
5.5.
3200000000000 = 32 x 10.....
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
1º. Si dos números decimales son de signo diferente, será menor el de signo
negativo sin mayor discusión por su ubicación en la recta numérica.
Ejemplo: Entre los números –16,257 y +2,3 es menor el primero por ser
negativo.
2º.
Si dos números decimales son de igual signo, se procede del siguiente
modo: se iguala el número decimal con ceros, para luego eliminar la coma
decimal y comparar como si fueran números enteros.
Ejemplos:
(1) Comparar 3,2 con 3,574
Como el primer número tiene sólo un decimal, se le agrega DOS CEROS
para que ambos números dados tengan tres decimales cada uno:
3,200
3,574
Ahora, se elimina la coma decimal en ambos números:
3 200
3 574
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
130
MATEMÁTICA T.O.
Como 3200 es menor que 3574, entonces:

3,2
3,574
(2) Comparar -2,31 con - 2,310 000
Por propiedad de números decimales, podemos suprimir ceros a la
derecha del segundo número dado:
Entonces ambos números quedarán así:
-2,31 =
5.6.
-2,31
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES:
NÚMERO
DECIMAL
PERIÓDICO
NÚMERO
DECIMAL
NÚMERO
NÚMERO DECIMAL
(Se pueden escribir como
Fracción; tienen Generatriz)
PURO
INEXACTO
DECIMAL
(tienen Período)
PERIÓDICO
MIXTO
NÚMERO DECIMAL Números decimales inexactos que no tienen período;
resultan de las raíces inexactas.
IRRACIONAL.Ejemplo:
= 1,414213562373095 . . . .
 NÚMERO DECIMAL EXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad
limitada de cifras decimales.
Ejemplos:
0,25 ;
2,75 ;
1,2
- Una fracción da lugar a un NÚMERO DECIMAL EXACTO si en el
denominador aparecen sólo factores que son potencias de 2
ó de 5 ó de ambos (la fracción tiene que ser irreductible).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
131
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplos:
(1)
La fracción
17
¿Equivale a un número decimal exacto?
32
La fracción debe ser irreductible
Descomponiendo el denominador:
Entonces
17
32
17 17

32 25
Potencia de 2
17
17
da origen a un número decimal exacto:
=
32
32
0,53125
(2)
La fracción
24
¿Equivale a un número decimal exacto?
375
La fracción debe ser irreductible
Se descompone el denominador:
Entonces
24
8

375 125
8
8
 3
125 5
Potencia de 5
24
24
da origen a un número decimal exacto:
375
375
= 0,064
(3)
La fracción
13
¿Equivale a un número decimal exacto?
80
La fracción debe ser irreductible
Se descompone el denominador:
Entonces
13
80
13
13
 4
80 2  5
Potencia de 2 y 5
13
13
da origen a un número decimal exacto:
=
80
80
0,1625
¿Se puede saber cuántas cifras decimales tendrá el
número decimal resultante antes de efectuar la
división?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
132
MATEMÁTICA T.O.
Sí; bastará con saber cuál es el mayor exponente de 2 ó 5
en el denominador de la fracción irreductible.
Ejemplo:
13
13
 4
Se descompone el denominador:
80 2  5
Entonces
Potencia de 2 y 5.
El mayor exponente
es 4
13
al convertirlo en número decimal, tendrá solamente 4
80
cifras decimales. Comprobar con
2071
.
500
 NÚMERO DECIMAL INEXACTO. Es aquel número que tiene una cantidad
ilimitada de cifras decimales.
A. DECIMAL PERÍÒDICO PURO: Es aquel en cuya parte decimal aparece una
o un grupo de cifras llamado período que se repite indefinidamente a
partir de la coma decimal.
Ejemplo: 0,27272...... = 0,27
PERÍODO
(2 cifras)
¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por
un DECIMAL PERIÓDICO PURO?
1º. Se simplifica la fracción hasta que sea irreductible.
2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.
3º. El número decimal correspondiente será periódico puro si los
factores del denominador son distintos a 2 y 5.
Por ejemplo: 1/7; 2/3; 5/63
B. DECIMAL PERIÒDICO MIXTO: Es aquel cuyo período empieza luego de
una cifra o grupo de cifras después del coma decimal. A esta cifra o grupo
de cifras se denomina parte no periódica.
Ejemplo:
0,7312512512........ = 0,73125
Parte No Periódica
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
133
MATEMÁTICA T.O.
¿Cómo se puede saber si una fracción puede ser representada por
un DECIMAL PERIÓDICO PURO?
1º. Simplificar la fracción hasta que sea irreductible.
2º. Descomponer el denominador en sus factores primos.
3º. El número decimal correspondiente será periódico mixto si los
factores del denominador son 2 ó 5 ó ambos, además de otros
factores primos distintos de 2 y 5.
Por Ejemplo: 2/15 ;
5.7.
6/35 ;
5/24
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL.
Todo número decimal racional tiene su equivalente en forma de fracción. La
fracción que genera un número decimal se llama FRACCIÓN GENERATRIZ.
A.
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO:
1º. Se escribe como numerador todo el número sin el coma decimal.
2º. Se escribe como denominador la unidad seguida de tantos ceros
como cifras tenga la parte decimal
Ejemplos:
a) 0,75 =
75
100
2 ceros
2 cifras decimales
b) 2,058 =
2058
1000
3 ceros
3 cifras decimales
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
134
MATEMÁTICA T.O.
B.
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO :

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA NULA :
1º. En el numerador escribimos el período.
2º. En el denominador se escribe tantos nueves como cifras tenga
el período.
Ejemplo:
a) 0,54
=
54
99
2 CIFRAS
b) 0,1 =

6
11
=
2 NUEVES
1
9
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO TIENE LA
PARTE ENTERA DISTINTA DE CERO:
1º. Se desdobla la parte entera de la decimal, así:
3,54 = 3 + 0,54
2º.
Escribir la fracción generatriz de la parte decimal :
3,54 = 3 +
3º.
Finalmente, volver a sumar, pero ahora como una suma de
fracciones:
3,54
= 3 +
54
99
= 3 +
6
11
=
C.
54
99
39
11
GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
135
MATEMÁTICA T.O.

CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA
NULA:
1º. En el numerador de la fracción generatriz, escribimos el
número decimal sin el coma y se resta la PARTE NO
PERIÓDICA.
2º. En el denominador, escribimos tantos nueves como cifras
tenga el PERIÓDO seguido de tantos ceros como cifras tenga
la PARTE NO PERIÓDICA.
Ejemplos:
(1)
0,235
235  2
990
=
2 cifras
1 cifra
(2)

0,235
=
0,372
=
0,372
=
233
990
372  37
900
. . . Completar.
CUANDO EL NÚMERO DECIMAL TIENE LA PARTE ENTERA NO
NULA :
Se procede a desdoblar la parte entera del decimal.
Ejemplo:
3,254 = 3 + 0,254
3,254 =
3,254 =
254  25
900
3 +
3 +
3,254 =
229
900
2999
900
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
136
MATEMÁTICA T.O.
5.8.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
Si se trata de decimales exactos, se busca que tenga la misma cantidad de
cifras en la parte decimal completando con ceros.
Al sumar o restar, se escribe un número bajo el otro cuidando que la coma
decimal esté alineada para luego proceder a operar como si se trataran de
números enteros.
En el resultado, se vuelve a escribir la coma decimal en la misma línea vertical
que las demás.
Ejemplos:
Efectuar: 0,3  12,78  3,2057
 Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
(1)

0,3000
12,7800
Se efectúa como si
fueran enteros :
3,2057
16,2857

La coma conserva el
lugar de los demás
Efectuar: 78,13  9,087
 Completando con ceros y escribiendo un número bajo el otro:
(2)

Efectuando como si fueran
enteros :
78,130
9,087
La coma conserva el
lugar de los demás
69,043
Si se trata de decimales inexactos, se opera con sus fracciones generatrices:
Ejemplos:
(1) Efectuar: 0,3 
2,5  1,6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
137
MATEMÁTICA T.O.
Solución: Se van a reemplazar los decimales periódicos puros por sus
fracciones generatrices:
=
3
5
6
 2   1
9
9
9
= 3
=
14
9
41
 4,555....
9
Respuesta:
0,3 
(2) Efectuar:
2,5  1,6 = 4,5
31,62 -
7,36
Solución: Reemplazar los decimales periódicos mixtos por sus fracciones
generatrices:


=  31 
62  6  
36  3 
  7 

90  
90 
Suprimiendo los paréntesis 
= 31 
56
33
7
90
90
= 24 
23
90
=
2183
= 24,25 =24,2555…
90
5.8.1. OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
DE DECIMALES.
Viendo un ejemplo:
Efectuar:
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
Eliminando paréntesis 
=
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
Suprimiendo corchetes 
=
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
Suprimiendo llaves 
=
1,25  0,5  13,1  0,1  0,025  2,2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
138
MATEMÁTICA T.O.
Se suman los positivos y negativos por separado:
= 1,25  13,1  0,1  2,2  0,5  0,025 
= 16,65 – 0,525
= 16,125
Ahora, resolver los siguientes ejercicios de reforzamiento:
(1) 18,5  5,2  6,7  0,4  25,15
A) 41,75
B) 31,75
C) 41,57
D) 75,41
E) 75,31
(2) 0,08  0,032  0,4  0,75  2,1
A) 2,75
B) 3,50
C) 1,578
D) 2,498
E) 5,310
(3) 0,1  0,2  0,85  3,2  0,85  0,2  0,1
A) 4,6
B) 3,50
C) - 1,5
D) 2,4
E) - 3,2
(4) 0,22...  0,11...  1,22...  0,33...
A) 2/9
B) –11/9
C) –5/9
D) 1
E) 2
(5) 0,25  0,33...  0,5  0,22...  0,75  0,44...
A) 11/18
(6)
B) –11/18
C) 7/9
D) 12/7
E) 1
3 décimos  85 milésimos + 458 centésimos
A) 4,965 centésimos
B) 496,5 milésimos
D) 496,5 centésimos
E) 49,65 milésimos
C) 49,65 centésimos
(7) 75 décimos – 457 milésimos + 32 centésimos
A) 7363 centésimos
D) 73,63 centésimos
B) 7363 milésimos
C) 736,3 décimos
E) 736,3 milésimos
(8) 200 décimos de centésimos + 40000 diezmilésimos de centésimos
A) 0,24
B) 2,4
C) 1,5
D) 4,24
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
E) 3,2
139
MATEMÁTICA T.O.
(9) Elio le dice a Oswaldo; si me dieras S/. 3,75 ambos tendríamos la misma
cantidad de dinero. Si entre los dos tiene S/. 42,50 ¿Cuánto dinero tiene
Oswaldo?
A) S/ 12,50 B) S/ 38,75 C) S/. 25,00 D) S/ 40,00 E) S/ 35,50
Comprobar respuestas: 1A 2D 3E 4B 5A 6D 7B 8A 9C
5.9.
MULTIPLICACIÓN Y POTENCIACIÓN DE NÚMEROS
DECIMALES.
5.9.1. Multiplicación y División por potencias de 10.
Para multiplicar por potencias de base 10, basta correr la coma decimal hacia
la derecha tantas órdenes como ceros tenga la potencia, y para dividir basta
correr la coma decimal para la izquierda.
Observar que correr la coma decimal para la derecha, equivale a multiplicar ó
aumentar el valor, en tanto que, para la izquierda equivale a dividir o disminuir
el valor:
Ejemplo 1:
Para multiplicar 47,235 por 100, esto es, por 10 2. Basta correr la coma decimal
dos órdenes hacia la derecha.
Entonces:
47,235 x 100 = 4723,5
 El valor relativo de 7 pasó ser 700
Corre 2 espacios a la derecha
Además:
38,31152 x 1000 = 38311,52
 8 pasa a ser 8000
Corre 3 espacios a la derecha
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
140
MATEMÁTICA T.O.
Completar a simple vista:
a) 0,2356 x 1000 = _______
b) 0,7568565 x 100000 = ______
c) 0,012021 x 100000 = ______
d) 1,2 x 1000 = ________
e) 0,26 x 102 = ________
f) 0,000005 x 105 = ________
g) 2,58 x 104 = ________
h) 10,3 x 103 = ________
0,5 x 105 = ___________
Ejemplo 2:
Para Dividir 47,235 entre 1000 esto es 103 basta correr la coma decimal tres
órdenes hacia la izquierda.
Así: 13,235  1000 = 0,013235  El valor relativo de 13 enteros pasa a ser
0,013 (trece milésimos).
“Corre 3 espacios a la izquierda”
O también: 352,7  100 = 3,527  El valor relativo de 300 pasa a ser 3.
“Corre 2 espacios a la izquierda”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
141
MATEMÁTICA T.O.
Completar a simple vista, según el ejemplo:
a) 385,2  100 = 3,852
b) 2500  10000 =
c) 2335,8  100000 =
d) 25000000 105 =
e) 3,20  104 =
f) 3002,4  107 =
g) 30000000  109 =
Verificar la respuesta:
b)
c)
d)
e)
f)
g)
0,25
0,023358
250
0,00032
0,00030024
0,03
5.9.2. Multiplicación Por Números Diferentes de Potencias
de 10.
Recordar que la multiplicación es una suma indicada de sumandos iguales,
entonces 3 3,6 puede efectuarse como sigue:
Por tanto, para multiplicar números decimales:
Se multiplican los números como si fuesen enteros, y en el
producto se separan tantos decimales, como tengan los
factores.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
142
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplos:
a) 5 x 1,41 = 7,05
b) 1,732 x 5 = 8,660 
c) 0,012 x 1,2 = 0,0144
8,66

1,75
1,25 x 1,4 = 1,750
Observar cómo se forman los resultados en los dos últimos ejemplos:
Observar el primer ejemplo y escribir la respuesta (a simple vista) de los
ejercicios de reforzamiento que continúan.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
0,005 x 0,06 =
0,15 x 0,05 =
5 x 0,0054 =
2,48 x 0,005 =
0,5 x 0,624 =
3,20 x 0,5 =
3,4 x 0, 11 =
2,5 x 1,1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
143
MATEMÁTICA T.O.
i)
j)
k)
l)
0,071 x 0,011
1,2 x 1,1 x 0,01 =
0,03 x 0,002 x 0,1 =
4 x 0.02 x 0,1 x 0,05 =
Comprobar las respuestas:
a)
0,00030
b)
0,0075
c)
0,0270
d)
0,01240
e)
0,3120
f)
1,60
g)
0,374
h)
2,75
i)
0,000781
j)
0,0132
k)
0,000006
l)
0,00040
5.9.3. Potenciación de Números Decimales.
Por definición de potenciación, se sabe que:
(0.2)3 = (0.2)  (0.2)  (0.2) = 0.008
Se puede hallar la potencia de algunos números decimales mentalmente de
una forma práctica, por ejemplo:
(0,03)4 = 0.00000081
Resolver mentalmente las potenciaciones que se muestran en el cuadro
siguiente:
1. (0.003)2 =
2. (0.07)2 =
3. (0.2)5 =
4. (0.05)3 =
5. (0.012)2 =
6. (0.13)2 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
144
MATEMÁTICA T.O.
5.10. DIVISIÓN POR NÚMEROS DIFERENTES DE POTENCIAS DE
10.
Suponiendo que se tienen 13 caramelos para repartir entre 5 niños. El cálculo
será:
Propiedad:
Si al dividendo y al divisor se multiplica por cualquier número entero “K”, y se
repite la división, el cociente no se altera, sigue siendo el mismo, pero el
verdadero residuo varía quedando multiplicado por el número “K”.
Comprobando, multiplicar al dividendo y al divisor del ejemplo anterior por 4 y
volver a dividir:
Comprobando otra vez la propiedad, multiplicando al dividiendo y al divisor por
100, y volviendo a dividir:
Esta propiedad permite convertir a DIVISOR ENTERO al hacer operaciones
con números decimales.
Tomando por ejemplo, la división 39,276  0,5. Observar que el divisor se
convierte en un número entero, multiplicando en este caso por 10 al dividendo
y al divisor (recordar que al multiplicar por una potencia de diez a un número
decimal, se corre el coma decimal hacia la derecha) quedando así:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
145
MATEMÁTICA T.O.
El verdadero residuo es 0,01 10 = 0,001.
Respuesta: Al dividir 39,276  0,5 se obtiene
Cociente: 78,55
Residuo: 0,001
Comprobando, utilizando el Algoritmo de la división:
Dividendo = divisor x cociente + residuo
39,276 = 0,5 x 78,55 + 0,001
Desarrollar los siguientes cálculos como comprobación:
Luego, se llega a la conclusión que para dividir decimales con coma decimal en
el divisor, se sigue la siguiente regla:
Se convierte el divisor a entero, multiplicando por una potencia de 10.
Se compensa esto multiplicando el dividendo con el mismo número
(Potencia de 10).
El verdadero residuo se obtendrá dividiendo el falso residuo entre el
mismo número (Potencia de 10).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
146
MATEMÁTICA T.O.
Realizar la división de 38,49 entre 0,6 y confirmar el resultado como se hizo
con el ejemplo anterior.
EJERCICIOS:
1. Convertir en enteros los divisores, como el ejemplo:
2. Dividir siguientes ejercicios, hasta llegar a obtener los cocientes en
milésimos y además indicar cual es el verdadero residuo.
a) 0,17  15 =
b) 0,1  0,03 =
c) 0,325  0,19 =
d) 25,0087  3,02 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
147
MATEMÁTICA T.O.
Corregir los ejercicios 1 y 2 :
EJERCICIOS:
3. Calcular la distancia “x” de la pieza.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
148
MATEMÁTICA T.O.
4. Halla la medida de la distancia de “x”.
5. En la Figura “O” y “P” son puntos medios de AB y CD respectivamente.
Calcular el valor de “x”.
Comprobando respuesta de los ejercicios 3; 4 y 5:
3. 1,9
4. 0,865
5. 1,95
5.11. RADICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.
Definición de una radicación:
n
a  b  b  a
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
n
n
n : índice radical
a : radicando
b : raíz
149
MATEMÁTICA T.O.
Reconociendo qué números decimales tienen raíz exacta a simple vista.
Por ejemplo, hallar la raíz cúbica de 0,000064:
 Primero, analizar si la cifra significativa del
número decimal tiene raíz exacta.
 Bien, ahora se tiene que contar la cantidad de
cifras decimales. Esta debe ser múltiplo o
divisible por el índice radical.
3
3
0,000064
0,000064
3
3
64  4
0,000064
6 cifras decimales y es divisible
por el índice radical que es 3
Si cumple estas dos condiciones, entonces se puede afirmar con seguridad que
el número 0,000064 tiene raíz cúbica exacta.
Esa raíz exacta se obtendrá a simple vista de la siguiente manera:
 Hallar la raíz de la parte significativa.
 Dividir la cantidad de cifras decimales, entre el índice radical, este cociente
indicará la cantidad de cifras decimales que debe tener la raíz.
Ejemplo, hallar:
4
0,000000000625
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
150
MATEMÁTICA T.O.
EJERCICIOS
I.
Completar el siguiente cuadro a simple vista, no usar calculadora.
1,44
¿Tiene
raíz
exacta?
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
sí
1,2
¿Tiene
raíz
exacta?
3
0,000008
0,0625
3
0,125
0,000049
3
0,027
1,21
3
0,00000036
4
0,00009
II.
Si tiene raíz
exacta, ¿Cuál
es?
0,0001
0,00000081
5
0,00001
Resolver las siguientes operaciones combinadas con números decimales
1.

0,09  3 0,027  0,36

8

Rpta: 0
3
2.
3.

6
0,008  3 0,125  5 0,00001

0,5

Rpta: 1,2
0,000064  0,027 - 0,00000001 0,95  400
3
4
Rpta: 2
4.
0,000004  0,00000025 - 0,0001
Rpta: 0,2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
151
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una rueda de 0,12 m de longitud Solución:
¿Cuántas vueltas dará al recorrer Fórmula: (Lc : Longitud circunferencia)
1,80 m?
Distancia recorrida = # vueltas x Lc.
1,80 m = # vueltas.(0,12 m)
15 = # de vueltas
2. Para
comprar
20
tornillos Solución:
faltarían 8 céntimos de sol, si se Se tiene : T
Precio de cada tornillo : P
compran 15 tornillos, sobraría
20P = T + 0,08
S/. 0,12. ¿Cuánto vale cada
15P = T - 0,12
tornillo en soles?
Restar miembro a
miembro.
5P = 0,20
P = 0,04
3. ¿En cuántos ochentavos es mayor Solución:
x
0,32 que 0,1325?
 0,32 - 0,1325
80
x  80.(0,1875)
 15
x
4. Un frasco con aceite vale S/. 4,75 y Solución:
el aceite vale S/. 3,75 más que el Frasco : F
Perfume : P
frasco; entonces el precio del frasco
es:
F + P = 4,75
P - F = 3,75
Restando miembro
a miembro.
2F = 1
F = 0,50
5. Efectuar:
924,3555...  24,3555...
E
97,666...  2,333
Solución:
E
900
100
= 3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
152
MATEMÁTICA T.O.
6. En el dibujo hallar a - b + c
Solución:
3R = 19,50
R = 6,50
 a = 21,75 - 2R = 21,75 - 13 =
8,75
 b = 2R = 13
 c = 2R + 3,25 = 13 + 3,25 =
16,25
 a - b + c = 8,75 - 13 +
16,25
a - b + c = 12 mm
7. Guido da a un mendigo tantas veces
15 centavos como soles llevaba en
la billetera. Si aún le
queda
S/. 170.00 ¿Cuánto llevaba en la
billetera?
8. Se compran 200 alfileres a S/. 5 el
ciento; se echan a perder 20 y los
restantes los vendo a S/. 0,84 la
docena. ¿Cuánto se gana?
Solución:
Soles que llevaba en la billetera : x
x - 0,15 x = 170
0,85x = 170
x = 200
Solución:
Quedan por vender 180 alfileres que
es igual a :
180/12 = 15 docenas
Se vendió: 15 Docenas x 0,84 = S/.
12,60
Se Invirtió: S/. 10 por los dos cientos.
Ganancia: S/.12,60 - S/. 10,00 = S/.
2,60
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
153
MATEMÁTICA T.O.
9. Andrés vendió 60,80 kg de hortalizas
por S/.160,72 sabiendo que en los
40 primeros kg ha ganado S/. 0,60
por kg y en los restantes ha perdido
S/.0,35 por kg ¿Cuál fue el precio de
compra?
Solución:
En los 40 kg., ganó = 40.(0,60) = S/.
24
En el resto : 60,80 - 40 = 20,80 Kg
perdió = 20,80.(0,35) = 7,28
Ganancia liquida: 24 – 7,28 = S/.
16,72
P. de Compra = P. de Venta Ganancia
P. de Compra = 160,72 - 16,72 =
S/.144
10. ¿Qué fracción de 6,025 es 1,205?
Solución:
1,205
Fracción = 6,025 = 1/5
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Tres cajas contienen diferentes artículos. La primera con segunda pesan
76,58 Kg., la segunda con la tercera 90,751 Kg. y la primera con tercera
pesan 86,175 Kg. ¿Cuánto pesa la segunda caja?
a) 40,84 Kg.
b) 50,17 Kg.
c) 40,578 Kg .d) 42,57 Kg
e) 48,25 Kg.
2. Un depósito de 425,43 litros de capacidad, se puede llenar con dos caños
.La primera vierte 25,23 litros en 3min. y la segunda 31,3 litros en 5min. Si
trabajan los dos juntos, ¿en cuánto tiempo podrán llenar el depósito?
a) 27min
b) 28min
c) 29min
d) 30min
e) 8min
3. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34m. De un extremo a otro de
un terreno da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud del terreno?
a) 60,254 m
m
b) 62,558 m
c) 54,058 m d) 56,915 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
e) 52,128
154
MATEMÁTICA T.O.
4. Después de comprar 12 cuadernos, me sobran S/. 4,2 y para comprar otro
cuaderno, me falta S/1,3. ¿Cuánto dinero tenía al inicio?
a) S/. 70,20
b) S/. 72,28
c)S/.73
d) S/. 71,20
e) S/. 70
5. El precio del pasaje adulto en S/. 1,20y del medio pasaje es S/. 0,70. Si la
recaudación fue S/. 18,60, además se observa que por cada niño que subió,
subieron 2 adultos. Calcule el número de pasajeros.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
6. ¿Cuántos centésimos hay en 6 decimos?
a) 0,6
b) 60
c) 600
d) 0,06
e) 6000
7. Si Juan vende todos sus helados a S/. 1,50 cada uno, le faltaría S/. 15 para
comprarse un par de zapatos, pero si vende todos los helados a S/. 2 cada
uno le sobrarían S/. 30. ¿Cuánto cuesta un par de zapatos?
a) S/. 125
b) S/. 100
c) S/. 75
d) S/. 150
e) S/. 162
8. Si vendo cada lápiz a S/. 0,70 gano S/. 1,2 pero si vendo a S/. 0,5 perdería
S/. 0,6. ¿Cuántos lápices tengo?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
9. De una barra de 520cm de longitud se quiere cortar la mayor cantidad de
pedazos de 32cm. Si el ancho de la sierra de corte es de 0,25cm. ¿Cuánto
sobrará de la barra en cm?
a) 4
b) 4,52
c) 3,75
d) 4,25
e) 2,28
10. En el recorrido de un micro se observo que en total Viajaron 63 personas
entre adultos y universitarios. Si el pasaje de un adulto es S/. 1,25 y el de
un Universitarios S/.0,75. ¿Cuántos adultos viajaron, si en total se recaudó
S/. 64,75?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
155
MATEMÁTICA T.O.
a) 28
b) 53
c) 35
d) 45
e) 42
11. Si tiene 5 cajas y en cada caja hay 2,5 docenas de paquetes de medio
ciento de lápices cada uno. Si en total se pagó s/.9 975. ¿A cómo tiene que
vender cada ciento de lápices para ganar S/. 0,65 en cada lápiz?
a) 140
b) 192
c) 190
d) 198
e) 178
c) 10
d) 19
e) 9
12. Calcular la suma de cifras de M.
Si:



0,4  0,25  0,12225
M

1,16
a) 14
b) 11
13. Se tiene un recipiente que contiene vino y agua, en el cual 0,4 de su
capacidad es agua Si luego se extraen 100 litros del recipiente, ¿cuántos
litros de vino se extrajo?
a) 50
b) 65
c) 70
d) 50
e) 60
14. En el gráfico, hallar “L”, si r = 2,6 m
L
a) 12,40 m
b) 14,20 m
c) 11,84 m
d) 15,30 m
e) 13,64 m
R
r
13,6m
15. Efectuar la siguiente operación.
0,0062  0,0025
0,0000042
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
156
MATEMÁTICA T.O.
a) 72  10 2
b) 1
c) 36  10 4
d) 3,6  10 4
e) 18  10 2
16. Si la raíz cuadrada de “T” es “M”, hallar la raíz cuadrada de “M”
T  8,3521
a) 1, 3
b) 1,2
c) 1,7
d) 1,01
e) 1,4
17. Hallar el valor de “E”



E  2,3  0,375  0,83  1,3
a) 0,72
b) 0,50
c) 0,60
d) 0,55
e) 0,333…
d) 8,25
e) 5,444…
18. Hallar el decimal equivalente a:

a) 6,4


 2
0,916  3,6
b) 12
c) 8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
157
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Doce pernos cuestan S/. 1,20; si se venden 4 pernos por S/0,50 ¿Cuántas
docenas de pernos hay que vender para ganar S/. 2,40?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 18
E) 24
2. Efectuar :
 8,3144...  0,31414... 
B

 1,444...  0,555... 
A) 1/2
B) 2/3
1
C) 4
D) 1/4
E) 2
3. Se vio una muestra de bronce que pesaba 4,55 kg, contenía 3,18 kg de
cobre y 1,37 kg de zinc. ¿En 500 kg de bronce cuánto cobre habrá? (Nota:
la razón de cobre a bronce será constante en cualquier cantidad de bronce)
A) 300 kg
B) 250 kg C) 324 kg
D) 349 kg
E) 180 kg
4. En una tienda hay arroz de dos calidades cuyos precios son S/. 2,00 y S/.
1,50 el kg. ¿Cuántos kg de arroz de mayor precio se deben poner para
obtener una mezcla de 50 kg de arroz de S/ 1,80 el Kg?
A) 30 kg B) 25 kg C) 32 kg D) 49 kg E) 18 kg
5. Se quiere formar un cubo sólido con ladrillos cuyas dimensiones sean
0,12m; 0,10m; y 0,18m. ¿Calcule el menor número de ladrillos?
A) 3000
B) 2500
C) 3240
D) 2700
E) 2800
6. ¿Cuántas de las siguientes fracciones generan números decimales
inexactos periódicos mixtos?
23 9 17 301 5 43
;
; ;
; ;
60 900 41 30 16 47
A) 1/2
B) 2
C) 4
D) 3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
E) 1
158
MATEMÁTICA T.O.
7. Hallar
R
R
, si:
3
(0,028)(0,00005)(2,25)
(0,002)(0,15)(0,007)
A) 1,20
B) 2,50
C) 1,50
D) 0,80
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
E) 0,50
159
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 06
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
160
MATEMÁTICA T.O.
6.1.
POTENCIACIÓN.
Es la operación que consiste en repetir número llamado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro llamado exponente, denominando al resultado de esta
operación potencia.
b : base
bn  P
n : exponente
P : potencia
bn  b  b  b ....  b  P
“n” veces
Ejemplos:
a. 54  5  5  5  5  625
c.
71  7  7
2
3
3
e.   
6.2.
2 2 2 8
  
3 3 3 27
b. 33  3  3  3  27
d. 25  2  2  2  2  2  32
f.
0,53  0,5  0,5  0,5  0,125
SIGNOS DE LA POTENCIACIÓN.
El signo de la potencia dependerá del exponente y del signo de la base.
a.
b.
c.
PositivoPar o impar  Positivo
Negativo Par  Positivo
Negativo Impar  Negativo
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
161
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplos:
a. (+2)4 = +16
b. (+2)5 = +32
c. (-2)4 = +16
d. (-3)2 = +9
e. (-2)5 = -32
f.
(-3)3 = -27
4
3
16
 2
 
81
 3
1
 1
 
64
 4
g.  
h.  
NOTA: Observar el siguiente ejemplo:
- 34  - 3  3  3  3  - 81 “El exponente solo afecta al número 3”, mientras que:
- 34  - 3   3  3  3 
 81 “El exponente afecta al signo y al número 3”
Por lo tanto: -34 ≠ (-3)4
6.2.1. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN.
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
PROPIEDAD
NOTACIÓN
a0 = 1; (a ≠ 0)
EJEMPLO
0
7 
a)
70  1
Exponente
cero
00 = Indeterminado
b)
Producto de
potencias de igual
base
an x am = an+m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
3  7  210  Indeterminado
5
3
2 x 2  2
5 3
 2
8
162
MATEMÁTICA T.O.
an
 a n -m
m
a
Cociente de potencias
de igual base
 28   283   25
 23
n
a
n
1
1
   n
a
a
Exponente negativo
a
 
b
n
n
3
 
4
2
4
 
3
2
bn
b
   n
a
a


Potencia de un
producto
a  bn  a n  bn
Potencia de un
cociente
an
a
   n
b
b
 3
3


 4   42


Potencia de una
potencia
a 
2
Exponente de
exponente
c
c
a b  a b 
n
b c
 a bc
4
5x2
4

2
3 5

5 4 x2 4
4
2
2
3 x5

2
15
2 3  2 3x3  2 9
2
a) 18 = 1
n
1 =1
Potencia de la unidad
b) 115 = 1
EJERCICIOS
Completar el número que falta en el casillero correspondiente:
1)
(-5)3 =
2)
(+7)2 =
3)
(-1)715 =
4)
(-10)3 =
5)
(-9)2 =
6)
(-4)3 =
7)
(+5)3 =
8)
(+1)17 =
9)
(-7)3 =
10)
(-4)4 =
11)
(-1)13 =
12)
-113 =
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
163
MATEMÁTICA T.O.
13)
(-1)80 =
16)
 2
  =
 5
19)
 2
  =
 5
14)
-180 =
17)
2
  =
5
20)
2
  =
5
3
15)
(-5+5)3 ─ 3 =
18)

21)
2
 =
3
3
4
3
4
2
=
3
4
Completar los casilleros para que se verifique las siguientes igualdades
1)
 77  72  73  7   7
2)
 17 250 17 125   17 
 17 373
3)
 273  98  275  38   3
4)
 72  1388 
5)
  13 
  19


69

 13
 19
6)
..13    13
7)
 3  2  5 
8)
 253     19   
9)
 515 159  315 156   15
10)
 517  
.5
.2 .3
4
6
5 .3
  3.  . 2.  . 5
.57
.20 .77
.87
.9 .........
.3
.58 .0
  9
9  9
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
164
MATEMÁTICA T.O.
11)
 3  5   3
.9 .3
.4
.27
 5.12  15
12)
  2 .3  8 
  
   7 




  7 
  2 






13)
 3
 
 5
14)
132
15)
  3    5    7    11 

 
 
 
 =
 5   7   11   3 
11
2


11
11
11
Escribir en los casilleros en blanco las potencias indicadas:
a
 
b
n
Al cuadrado
Al cubo
A la cuarta
1
2
2
3
1
2
3
2
2
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
165
MATEMÁTICA T.O.
6.3.
RADICACIÓN.
La RADICACION es una operación inversa de la potenciación.
En la potenciación se vio que:
23 = 2 x 2 x 2 = 8.
Al factor 2 que se repite (BASE) se llama raíz cúbica de 8. Simbólicamente se tiene:
3
8 = 3 2 3 =2
Si 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Se dice que 2 es la raíz ………………de 16.
La notación será:
4
16  ........  ............
O que es lo mismo, raíz cuarta de 16 es 2.
 Al trabajo de sacar raíz se denomina RADICACIÓN, que es una operación inversa
de la POTENCIACIÓN.
OBSERVACIONES:
A LA RAIZ TERCERA se le llama también RAIZ CÚBICA.
A LA RAIZ SEGUNDA se le llama RAIZ CUADRADA.
Así mismo:
23 = 8 
3
8 = 2 (se lee RAÍZ CÚBICA DE OCHO)
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
166
MATEMÁTICA T.O.
15 = 1 
5
= 1 (se lee RAÍZ……………………………………………… )
32 = 9 
2
= 3 ( se lee……………………………………………………)
51 = 5 
…...= 5 (se lee RAÍZ PRIMERA DE CINCO RAIZ……………
Ver los nombres de los términos de la radicación
 
Luego:
La radicación es la operación que asocia al par ordenado (b;n), con b  |R y n  |N, un
número real (si existe) llamado raíz enésima de b, que se denota
n
b
Radicación: |R x |N*  |R
(b, n) 
n
b = a  an = b
Donde:

Si b> 0, entonces a > 0

Si b >0 entonces a< 0 (si existe)
Ejemplos:
a)
b)
3
 0,027  0,3
 36 = no existe en el conjunto de números reales (R)
ALGORITMO DE UNA RAÍZ CUADRADA.
Se va a hacer un ejemplo paso a paso para mostrar cómo se hace.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
167
MATEMÁTICA T.O.
Suponiendo que se quiere hallar la raíz cuadrada de 59074
En primer lugar se separan las cifras de dos en dos empezando de derecha a
izquierda así:
5.90.74
Buscando un número cuyo cuadrado sea 5 o menor que 5, que será 2.
Se escribimos el 2 en la caja de la derecha:
Se eleva 2 al cuadrado, que da 4 y se le resta al 5, quedando 1:
Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 90, separando la última cifra de la derecha,
o sea el cero.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
168
MATEMÁTICA T.O.
Se pone el doble de 2 debajo, o sea un 4:
Y se divide 19 entre 4 que cabe a 4. Se añade ese 4 a la derecha del otro 4 y se
multiplica por 4 el 44:
Se resta 190 menos 176 y se escribe debajo del 190, subiendo ya el 4 a la derecha del
2:
Se bajan las dos cifras siguientes, o sea el 74, separando la última cifra de la derecha:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
169
MATEMÁTICA T.O.
Se baja el doble de 24, o sea 48 y se divide 147 entre 48:
Como esa división cabe a 3, se añade un 3 a la derecha del 48 y se multiplica 483 por
3:
Se resta 1474 menos 1449, quedando 25 de resto:
De tal forma que:
2432  25  59074
“Donde 25 es el residuo de la radicación.”
Si el número del que se quiere hallar la raíz es decimal la separación de las cifras de
dos en dos se hace desde la coma hacia la derecha y hacia la izquierda.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
170
MATEMÁTICA T.O.
Si en la raíz cuadrada anterior se quiere sacar decimales, se bajan dos ceros a la
derecha del 25, se pone una coma después del 243 y se sigue el mismo
procedimiento.
EJERCICIOS.
Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números e indicar su raíz cuadrada, el
residuo y realizar su comprobación.
Número
58708
Raíz cuadrada
Residuo
Comprobación
242
144
58708  242 2  144
99500
734449
1522756
RAIZ CUADRADA POR DESCOMPOSICIÓN EN SUS FACTORES
PRIMOS.
Se va a hallar la raíz cuadrada de 435 600, empleando el método descomposición en
sus factores primos.
Primero. Descomponer en sus factores primos el número 435600.
435600  24  32  52 112
Segundo. Extraer la raíz cuadrada de 435600, utilizando la propiedad de radicales
(Raíz de una multiplicación indicada).
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
171
MATEMÁTICA T.O.
435600  24  32  52 112  24  32  52  112  22  3  5 11  660
Entonces
435600  660
Otro ejemplo: Hallar la raíz cúbica de 216000.
3
216000  3 2 6  33  53  2 2  3  5  60
EJERCICIOS
Calcular la raíz que se indica en cada caso (ver cuadro), utilizar le método de
descomposición de factores primos.
Número
3
2744
Procedimiento
3
Respuesta
2744  3 23  7 3  2  7  14
14
7744
4
50625
18225
6.3.1. SIGNOS DE LA RADICACIÓN.
SIGNOS DE LA RADICACIÓN
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
EJEMPLOS
172
MATEMÁTICA T.O.
1)
2)
  
Par o Impar
a)
3)
4)
1)
Impar
b)
  2)
c)
Par
 
1)
4
 81   3
5
 32   2
724
1  1
725
1  1
3
 64   4
547
4
1  1
 16 
No existe en R.
1 
No existe en R.
No existe en el conjunto
de números reales (R)
2)
540
6.3.2. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.
PROPIEDAD
Raíz de un
Producto
Raíz de un
Cociente
NOTACIÓN
n
n
EJEMPLOS
1)
3
27x64  3 27  3 64  3  4  12
2)
4
810000  4 8110000  4 81  4 1000  3 10  30
1)
4
4
256
256
16
4

10000
10000 10
ab  n a .n b
a

b
n
n
a
.
b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
173
MATEMÁTICA T.O.
25  36
25  36
5  6 30



49 121
49  121 7 11 77
2)
1)
2)
3
82 
35 105
3
 8
2
3
 (2 )2  4
105
35
3
 33  27
¡Se simplifica el exponente
fraccionario!
Raíz de una
Potencia
n
ab  n a  a 
b
b
n
3)
2
125 10  3 1252  3 125  52  25
15
¡ Se simplifica el
índice radical con el exponente!
4)
Raíz de una
raíz
n m
6
218  7 3

56
6
218  6 493
6
56
1)
4 5
7  20 7
2)
8 4
7 32  32 7 32  71  7
23  2 49 8  7 56



5
5
5
a  n.m a.
3 5 8
3)

3120  8 40 120 3120  120 8 40 31  3 8


120
13240
132
13240
3 2
6

169 169
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
174
MATEMÁTICA T.O.
1)
n
3
8 5  3 8  3
2
5  26 5
a  m b  n a  n m b
2)
81  16 
81 
16  4 81  4 16
 3 2  6
1)
5 3  5 2  3  75
2)
23 10  3 2 3  10  3 80
a  n b  n an  b
Consecuencia
de las
propiedades
anteriormente
mencionadas
x
n
x a .m x
bp
xc  x
3
2 2
+
x
+
( a . m  b ).p  c
n . m. p
Ejemplo:
8. 8 4 
3
33
2
2
2
( 33  3) 2  2
23 2
2
26
12
13
6
2
6.3.3. RADICALES HOMOGENEOS Y RADICALES
SEMEJANTES.
Radicales Homogéneos. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical.
Ejemplos:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
175
MATEMÁTICA T.O.
a)
7;
8; 5 6;
b)  53 2 ;
3
3
;
5
3
3 2
5
7;
3
“Todos son raíces cuadradas”
5 “Todos son raíces cúbicas”
Radicales Semejantes. Son aquellos radicales que tiene el mismo índice radical y la
misma cantidad subradical.
Ejemplos:
a)
7;
3 7
; 2 7
5
b)  53 2 ;
3
2
;
5
3
“Todos son raíces cuadradas de siete”
2 ; 43 2 “Todos son raíces cúbicas de dos”
6.3.4. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.
Consiste en transformar un radical en otro equivalente, cuyo radicando debe tener
factores cuyos exponente no deben ser mayores que el índice de la raíz.
Ejemplos:
1) Simplificar
720
Se descompone 720 en sus
factores primos:
720  24  32  5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
176
MATEMÁTICA T.O.
Algunos factores tienen
exponentes divisibles por el
índice radical; se procede a
extraer esos factores:
2) Simplificar
3
720  2 4  3 2  5  2 2  3  5  12 5
17280
Se descompone 8640 en sus
factores primos:
17280  2 7  33  5
Algunos
factores
tienen
exponentes mayores que el
índice radical, se descomponen
de tal forma que tengan
exponentes divisibles por el
índice radical.
3
3) Simplificar
17280  3 2 6  2  33  5
 3 2 6  3 33  3 2  5
 22  3  3 2  5
 123 10
50
Se puede simplificar a simple vista algunos radicales, esto dependerá mucho de la
habilidad del ejecutor, observar con cuidado:
50 
25  2 
25  2  5 2
Se buscan 2 números cuyo producto sea 50 y
uno de ellos debe tener raíz cuadrada exacta.
3) Simplificar 7 32
7 32  7 16  2  7  16  2  7  4  2  28 2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
177
MATEMÁTICA T.O.
EJERCICIOS
Simplificar los siguientes radicales:
a)
3
77  2
b)
3
875
c)
3
54
d)
5
12500
e)
5
1080
f)
7
 3 76  7  2  3 76  3 7  3 2  7 2 3 7  2  493 14
1920
6.3.5. OPERACIONES CON RADICALES.
ADICION Y SUSTRACCION DE RADICALES.
Se podrán sumar y restar radicales, si estos son semejantes. Algunos ejemplos:
1) Efectuar:
3 2  2 8 2 4 2
3 2  2 8 2 4 2
 3  1  8  4 2  6 2
Sumar y restar sólo los coeficientes.
2) Efectuar:
23 5  8 6  3 5  3 6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
178
MATEMÁTICA T.O.
23 5  8 6  3 5  3 6
 23 5  3 5  8 6  3 6
 3 5  11 6
Se suman y restan solo los radicales semejantes.
2) Efectuar:
3 2  2 50  32
Se tiene que simplificar cada radical, para poder sumar (obteniéndose radicales
semejantes):
3 2  2 50  32  3 2  10 2  4 2  9 2
MULTIPLICACION DE RADICALES.
Si los radicales son homogéneos se multiplicará los coeficientes y los radicandos.
an b  cn d  a  c n b  d
Ejemplos:
1) Multiplicar:
23 5  33 2  43 7
23 5  33 2  43 7  2  3  4  3 5  2  7  243 70
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
179
MATEMÁTICA T.O.
2) Multiplicar:
35
3
4 5 3
5
7
35
3
3 3
9
4  5 3    5 4  3  5 12
5
7
5 7
35
DIVISIÓN DE RADICALES.
Si los radicales son homogéneos se dividen los coeficientes y los radicandos.
an b  cn d  a  c .n b  d
Ejemplos:
1) Dividir: 12 6  3 3
2) Dividir:
243 72
723 36
12 6  3 3  12  3 6  3  4 2
243 72 24 3 72 1 3



2
36 3
723 36 72
6.3.6. RACIONALIZACIÓN DE RADICALES.
Cuando se tienen fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
180
MATEMÁTICA T.O.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el
proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
CASO I:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En
este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si se quiere racionalizar el denominador de la fracción
multiplicará numerador y denominador por
5
, se
2
2
5
5 2
5 2 5 2



2
2
2 2
22
Otro ejemplo. Racionalizar
2 3
18
Si antes de racionalizar se extraen los factores que se puedan en el radical del
denominador, se tiene:
2 3
2 3
2 3


18
2.32 3 2
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
denominador:
2 para eliminar la raíz del
2 3 2 3 2 2 6
6



3
3 2 3 2  2 3 2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
181
MATEMÁTICA T.O.
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por
18
2 3 2 3. 18 2 54
54



18
9
18
18. 18
Y ahora se extraen factores de la raíz del numerador y se simplifica.
54

9
2  33 3 2  3
6
, como se ve da el mismo resultado.


9
9
3
CASO II:
Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los
dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado
del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo
7
, multiplicar numerador y denominador por
5 3
7

5 3
7


5 3
5 3


5 3
5 3

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una
diferencia, o sea una expresión del tipo
7

5 3
7

Otro ejemplo:

5 3
5 3


5

3  5   3

7

a  ba  b  a 2  b2
5 3
2
2

7

5 3
53
  7
5 3

2
2
, ahora multiplicar numerador y denominador por 3  7
3 7
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
182
MATEMÁTICA T.O.






2 3 7
2 3 7
2 3 7
2



 3 7
97
2
3 7
3 7 3 7



CASO III:
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, “n”, se
multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice “n” que complete una
potencia de exponente “n”.
Por ejemplo:
1
25
3
Se factoriza el radicando del denominador:
multiplicar numerador y denominador por
1
1


3
25 3 52
Otro ejemplo:
4
3
1
1
y como

25 3 5 2
3
53  5 , se va a
5 para completar la potencia de 5:
3
3
3
5
52 3 5

3
3
5
53

3
5
5
2
,
2
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta
multiplicar por
4
23
2
2 4 23
2 4 23
2 4 23




4
4
4
2
2
2 4 23
24
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
4
23
183
MATEMÁTICA T.O.
EJERCICIOS NIVEL I
1. Extraer la raíz de: a) 2916
b) 45796
c) 2401
d) 63,845
e) 0,8436
2. Valor de potencias:
a) (-3)2 =
b) (-2)2 + 24 =
c) (-4)2 - (-3)2 =
d) (-4)3 -2(-4)3 =
3. Suma y resta de potencias:
a) 2. 32 + 4.32 =
b) 4.33 – 2.33 =
c) 2. (-4)2 - 52 =
d) (-4)3 +33 -2(-4)3 =
4. Multiplicación de potencias con bases iguales:
a) 2. 22 .22.2 2 =
b) 3.33 . 3.33 =
c) 4. 42 . 42 =
d) 2b.23 .2 3 .2b3 =
5. Multiplicación de potencias con exponentes iguales:
a) 42 .32.5 2 =
b) 23. (0,3)3 =
c) 2. 33. 43 =
d) 2b3.3b3 .5b 3 =
6. Potencias con exponentes negativos:
a) 5 -2 =
b) 2-3. 3-2=
c) 2-3. 3-2. 4-3 =
d) -2-3 +( -3)-3 =
7. División de potencias con bases iguales:
a) 25 :22 =
b) 33 : 31 =
c) 46 : 42 =
d) 6n4x5 : 2n4 x3
8. División de potencias con exponentes iguales:
a) 45 :25 =
b) 63 : 33 =
c) 166 : 46 =
d) 6n5x3 : 2n5 x3
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
184
MATEMÁTICA T.O.
9. Multiplicación y división de potencias:
2.42.5
a)
2.3.5
10.
4.6.5
b) 2
2 .3.5
b) (3-4)-2
80b.7b.6d
16.5b2 .9d
c) (-2-3)-2
d) (2-2.2-4.32.5-3)-2
Potencia de sumas:
a) (2+3).(2+3)
12.
d)
Potencia de potencias:
a) 23.5
11.
2b5 .3b.5b
c)
3b.4b3.6b
b) (1+6).(1+6)
c) (3a-1)2 =
d) (3-2b).(3+2b) =
Conversión en factores de potencias:
a) 4-4a+a2
b) 25 + 30b +9b2
c) x2 +8x + 15
d) (25-c2)/ (5+c)
EXTRACIÓN DE RAÍCES PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL IA
1.
Extraer la raíz de:
a)
b)
c)
d)
e)
2916
45796
8,2944
4,53
2401
f)
g)
h)
i)
j)
88,36
6,3504
7,569
63,845
0,8436
2.
Un pivote excéntrico se ha de forjar con un corte transversal cuadrado de 15,9
cm2 ¿Qué longitud tienen los lados?
3.
La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 15,9 cm2.
Calcular el diámetro de la cadena.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
185
MATEMÁTICA T.O.
4.
La sección transversal de un vástago de émbolo se tiene que agrandar en un
12,7%, es decir 360 mm2 ¿Qué longitud tendrá el diámetro del vástago de
émbolo?
5.
La sección transversal interior de una instalación de transporte es de 45,6 cm2.
¿Qué longitud tiene el diámetro interior del tubo?
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
186
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS DE RAÍZ CUADRADA NIVEL I-A
Problema 1.-
VER FIGURA
Un punzón perforador con corte transversal cuadrado tiene 2025 mm2 de superficie.
Calcular la longitud de los lados
a) 45 mm
b) 17 mm
c) 15 mm
d) 24 mm
e) 35 mm
Problema 2.- VER FIGURA
La sección transversal normalizada de un eslabón de cadena es de 176,715mm2
Calcular el diámetro de la cadena.
a) 5 mm
Problema 3.-
b) 7 mm
c) 15 mm
d) 12 mm
e) 13 mm
VER FIGURA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
187
MATEMÁTICA T.O.
La sección transversal de una costura de garganta (cordón de soldadura) de 45o es de
16 mm2. Calcule la longitud de los catetos.
a) 5,65 mm
b) 7,1 mm
c) 1,5 mm
d) 1,25 mm
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL
e) 1,36 mm
II
1. Determinar la suma de cifras del menor número tal que al agregarle sus tres
cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.
a) 1
b) 16
c) 8
c) 27
d) 9
e) 25
2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos hay entre 1521 y 15878?
a) 10
b) 87
c) 98
c) 27
d) 39
e) 55
3. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se
desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados; se emplea 261 árboles
más cuando los cuadrados son 2 m de lado, que cuando son de 4 m. ¿Hallar el
lado del terreno?
a) 36
b) 17
c) 48
c) 27
d) 39
e) 35
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
188
MATEMÁTICA T.O.
4. En el centro de un terreno que tiene la forma de un cuadrado, se ha construido un
almacén cuyas esquinas forman una superficie de 49 m2 con las esquinas de los
límites de la propiedad. Si el almacén ocupa una extensión de 361 m2. ¿Cuál es el
área de toda la propiedad?
a) 1089 m2
b) 1024 m2
c) 2420 m2
d) 1280 m2
e) 1325 m2
5. Un terreno esta sembrado con árboles equidistantes entre sí. Se sabe que en el
interior hay 476 árboles más que en el perímetro, ¿Cuántos árboles hay en total?
a) 625
b) 676
c) 576
d) 729
e) 616
6. Hallar el residuo de extraer la raíz cuadrada de 13,5742
a) 318
7. Reducir:
a) 12
b) 0,1 c) 0,318 d) 0,0318 e) 4,5742
2 50  3 8  32
98  18  3 2
b) 6/7
c) 12/7
d) 5/7
e) 6
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
189
MATEMÁTICA T.O.
8. Señale el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las proposiciones:
I.
x  .x 
II.
- 2
n 2
2 n
2
2n
III.
 8 15
5.
n
3 .27
 x 2n 




IV.
2n
n
b) FVVF
5
9. Efectuar: E  4 3 
5
b)
3
 2
1

9
x
a) VVFV
a)
 1; x  0
10
3
3  1.5 4 3 
c) 5 9
a) 9/7
b) 7

a)
e) -1
d) 2/7
b) 64
2
3  27
e) 8
6

c) 8
d) 128
e) 256
equiv ale a :
19 3  1
3
b) 3  3 3
13. El Factor racionalizante de :
a) 17
e) FFFV
3 1
d) 1
c) 1
11. Efectuar:  2  3  2  3 
12. 108 
d) VFVV
3  1
3
2  2




2  7
7 2
7
10. Efectuar:
a) 16
c) VVVV
b) 37
c) 12
c) –2
d) 6  2 27
7
5
13 648
d) 784
e) 4 108
, es a b hallar a + b :
e) 1
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
190
MATEMÁTICA T.O.
14. Simplificar :
a) 1
2412.125.6 7
1610.54 5.108 3
b) 2
c) 3
15. Efectuar:
 16 
a) 256
b) 216
16. Efectuar:
a) 4
3
3
d) 4
54  3 250
c) 212
e) 5

3
d) 144

e) 128
E  32  320,8  320,6  320, 4
b) 16
c) 20
d) 32

.2, 5
e) 64
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
191
MATEMÁTICA T.O.
UNIDAD 07
TRIGONOMETRÍA BÁSICA
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
192
MATEMÁTICA T.O.
7.1.
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES.
Los diferentes sistemas de medidas angulares, usan como unidad de medida alguna
fracción del ángulo de una vuelta.
Principales sistema de medidas angulares:
*
Sistema Sexagesimal (inglés)
:
Sº
*
Sistema Centesimal (francés)
:
Cg
*
Sistema Radial o Circular
:
R rad
7.1.1.
SISTEMA SEXAGESIMAL ( S ).
La UNIDAD de medida es el Grado Sexagesimal (1º) que es la 360 ava. Parte del
ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 360º
Los submúltiplos del Grado Sexagesimal son el Minuto Sexagesimal (1) y el
Segundo Sexagesimal (1), donde:
180
1º equivale a 60
90
1 equivale a 60
1º equivale a (60x60) ó 3600
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
193
MATEMÁTICA T.O.
7.1.2.
SISTEMA CENTESIMAL ( C ).
La UNIDAD de medida es el Grado Centesimal (1g) que es la 400 ava. Parte del
ángulo de una vuelta.
El ángulo de una vuelta mide 400g
Los submúltiplos del Grado Centesimal son el Minuto Centesimal (1m) y el Segundo
Centesimal (1s), donde:
200
g
100
g
1g equivale a 100m
1m equivale a 100s
1g equivale a (100x100)s ó 10000s
7.1.3.
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR ( R ).
La UNIDAD de medida es el Radián (rad.) El radián es la unidad de medida de un
ángulo central en un círculo cuya longitud del radio (R) es igual a la longitud del arco
de la circunferencia (L) que subtiende dicho ángulo.
L

R
“Si L  R entonces la medida del  , es igual a
un radián o simplemente   1 rad.”
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
194
MATEMÁTICA T.O.
El ángulo de una vuelta mide 2 rad.
7.1.4.
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS.
Sea  un angulo donde:
S representa la medida de  en grados Sexagesimales.
C representa la medida de  en grados Centesimales.
R representa la medida de  en Radianes.
Donde la fórmula de Conversión es:
S
C
R


180
200

Observaciones:
 S, C y R no representan submúltiplos (minutos ni segundos).
 Para convertir grados sexagesimales a centesimales o viceversa se emplea sólo:
S
C

; simplificando se obtiene:
180 200
Donde:
S
S
C

9 10
9.C
10
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
C
10.S
9
195
MATEMÁTICA T.O.
 Otras equivalencias importantes:
9 = 10g
27 = 50m
180 =  rad
200g =  rad
81 = 250s
Ejemplos:
1) Convertir 45 a grados centesimales.
Como S = 45, remplazar en la siguiente fórmula:
C
10.S

9
C
10.45º 
 50g
9
2) Convertir 125g a radianes.
Como C = 125g, remplazar en la siguiente fórmula:
R
C

 200
3) Convertir
Como R =

R 125
5
 R

rad
 200
8
3
radianes a grados sexagesimales.
5
3
rad, remplazar en la siguiente fórmula:
5
S
R

180 
3
1803
S
 5  S

 S  108º
180

5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
196
MATEMÁTICA T.O.
OTRA FORMA:
Multiplicar la medida dada por un FACTOR DE CONVERSIÓN que está conformado
por una fracción equivalente a la unidad.
En el denominador de tal fracción se escribe la unidad a eliminar y en el numerador
la unidad que se busca.
Por ejemplo para convertir
3
rad a grados sexagesimales se hará de la siguiente
5
manera:
3.rad
3.rad 180º
1 

5
5
.rad
Se ha reemplazado la unidad por la fracción (FACTOR DE CONVERSION) sabiendo
que:
180 =  rad.
Luego :
3
3.rad 180º 3  180º
rad 


 108º
5
5
.rad
5
4) Convertir 0,621 a segundos centesimales.
Solución:
Se va a emplear en una sola línea tres FACTORES DE CONVERSIÓN.
No olvidar que:
9=10g
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
1g=100m
1m=100s
197
MATEMÁTICA T.O.
10g 100 m 100s
0,621º  0,621º
 g  m  6900s
9º
1
1
5) Convertir 7500s a minutos sexagesimales.
Recordar que:
81"
1´
7500  7500 

 40,5´
250s 60"
s
s
81”
= 250s
EJERCICIOS
1. Completar el siguiente cuadro en el sistema de medidas angulares pedido:
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
1
30º
2
60º
3
90º
4
45º
5
27º
6
53º
7
16º
8
74º
CENTESIMAL ( Cg )
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
RADIAL ( R rad )
198
MATEMÁTICA T.O.
9
8º
10
91 1/9g
11
16 2/3g
12
83 1/3g
13
25g
14
75g
15
20 5/9g
16
79 4/9g
17
29 4/9g
127 
18
360
2
19
3
5
20
4
27 
21
36
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
199
MATEMÁTICA T.O.
1.
SOLUCIÓN DE LAS APLICACIONES
N
SEXAGESIMAL ( Sº )
CENTESIMAL ( Cg )
1
30º
33 1/3g
RADIAL ( R rad )
1  rad
6
2
60º
66 2/3g
1  rad
3
3
90º
100g
1  rad
2
4
45º
50g
1  rad
4
5
27º
41 219g
37  rad
180
6
53º
58 8/9g
53  rad
180
7
16º
17 7/9g
4  rad
45
8
74º
82 2/9g
37  rad
90
9
8º
8 8/9g
2  rad
45
10
82º
91 1/9g
41  rad
90
11
15º
16 2/3g
1  rad
12
12
75º
83 1/3g
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
5  rad
200
MATEMÁTICA T.O.
12
13
22,5º
25g
1  rad
8
14
67,5º
75g
3  rad
8
15
18,5º
20 5/9g
37  rad
360
16
71,5º
79 4/9g
143  rad
360
17
26,5º
29 4/9g
53  rad
360
18
63,5º
70 5/9g
127  rad
360
19
120º
133 1/3g
2  rad
3
20
225º
250g
5  rad
4
21
135º
150g
3  rad
4
7.2.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS.
Son las fracciones que se forman con las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo respecto a un ángulo agudo.

c
En el triángulo rectángulo que se muestra, los catetos
son los lados a y b; la hipotenusa es c, además:
a

b
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
201
MATEMÁTICA T.O.
Cateto opuesto de  es “a”
Cateto adyacente de  es “b”
Cateto opuesto de  es “b”
Cateto adyacente de  es “a”
Las razones trigonométricas que se pueden formar respecto al ángulo “” serian:
Seno  
a Cateto opuesto

c
Hipotenusa
Cotangente  
b Cateto adyacente

c
Hipotenusa
Coseno  
Tangente  
Secante  
a
Cateto opuesto

b Cateto adyacente
b Cateto adyacente

a
Cateto opuesto
c
Hipotenusa

b Cateto adyacente
c
Hipotenusa

a Cateto opuesto
Cosecante  
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES.
60º
2k
53º
5k
k
30º
82º
10k
8º
24k
k
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
75º
4k
k
7k
16º
k
4k
74º
k
45º
37º
k
25k
45º
k
3k
(
15º
(
)k
)k
202
MATEMÁTICA T.O.
k
k
k
53º
37º
2
k
k
2
3k
15
75
4k
2k
TABLA DE VALORES DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
F.T.
8º
Sen
2
10
6 2
4
7
25
7 2
10
6 2
4
24
25
1
7
6 2
6 2
7
1
Cos
Tng
Ctg
Sec
Csc
15º
16º
37/2º 53/2º
30º
37º
45º
53º
60º
1
5
1
3
4
2
5
1
2
5
3
2
3
10
2
5
3
2
4
3
1
5
1
2
5
2
7
24
1
3
1
1
3
3
1
4
4
1
3
3
1
6 2
6 2
24
7
3
1
2
4
1
3
1
3
1
3
1
4
1
3
10
7 2
4
6 2
25
24
10
3
5
2
2
3
5
2
1
5
2
3
1
10
2
4
6 2
25
7
10
1
5
1
2
5
5
1
3
2
1
2
3
1
10
2
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
4
4
203
MATEMÁTICA T.O.
7.3.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES.
Si un ángulo en posición normal hace coincidir su lado final con alguno de los semiejes
del sistema de coordenadas, tal ángulo se llama CUADRANTAL.
Estos ángulos en una primera vuelta son 0º; 90º; 180º; 270º; 360º. Las razones
trigonométricas de estos ángulos cuadrantales se muestran en la siguiente tabla:
90
sen
cos
tg
cotg
sec
cosec
0º ó 360º
0
1
0
ND
1
ND
90º
1
0
ND
0
ND
1
180º
0
-1
0
ND
-1
ND
270º
-1
0
ND
0
ND
-1
0
180
360
ND: “No definido”
Ejemplos de aplicación:
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:
2
2 cos 45º  6 cos16º
cos 53º
2
1.
24
 1 
2    6
25
 2
=
3
5
12
17
1
5
5
=
=
3
3
5
5
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
144
1
2   
25
2
=
3
5
=
17
3
204
MATEMÁTICA T.O.
2.
3
5ctg 2


 3 sec 2
6
3
=
=
3
3
5ctg 2 30º 3 sec 2 60º
=
3
5 3  3 4
5
 3
=
2
3
 3  2
2
27
= 3
7.4.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
Resolver un triángulo rectángulo es hallar la medida de sus lados y ángulos a partir de
dos datos, uno de los cuales debe ser lado.
Para resolver triángulos rectángulos se pueden presentar dos casos:
I.
II.
Los datos conocidos son: dos lados.
Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo agudo.
Ejemplos:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
35 m
β
a
Como datos se tienen la medida de dos lados, “este
problema corresponde al caso I.”

28 m
Para hallar el tercer lado “a”, se aplica el
Teorema de Pitágoras.
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
205
MATEMÁTICA T.O.
a 2  28 2  35 2
a 2  35 2  28 2
a 2  441
a
441
a  21
El ángulo  se halla estableciendo una razón trigonométrica que relacione lados
conocidos.
Cosα 
28 4
 ;
35 5
Pero el Cos53o 
4
;
5
α  53º
Entonces :
" " es el complemento de " " , por lo tanto :
  90º - 53º
β  37º
2. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
Solución:
50cm
β
a
Como datos se tienen la medida de un ángulo agudo
y un lado, “este problema corresponde al caso II.”
16
b
Hallando β, que es el complemento de 16
β = 90 - 16
β = 74
Se calcula “a”: tomando una razón trigonométrica de 16, que relacione el dato
con la incógnita.
Lado desconocido
 RT ()
Lado conocido
Razón Trigonométrica de 
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
206
MATEMÁTICA T.O.
a
 sen16º
50 cm
β
50cm
a
a
7

50 cm 25
16
b
a  14 cm
Se calcula “b” en forma similar que el caso anterior, pero esta vez conviene
trabajar con la razón trigonométrica coseno de 16.
b
 Cos 16º
50 cm
50cm
β
a
a
24

50 cm 25
16
b
a  48 cm
7.5.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE SENOS.
“En todo triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos”

a
b

β
a
b
c


Sen  Sen  Sen 
c
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
207
MATEMÁTICA T.O.
Ejemplo:
1. Resolver el triángulo que se muestra continuación:
37º
Solución:
L
70 m
β

Resolver el triángulo consiste en hallar la
medida de sus lados y sus ángulos
internos. Se tiene que hallar las medidas
de “L”, “β” y “”.
84 m
Primero hallar el valor de “” aplicando la ley de senos:
84m
70m

Sen 37º Sen θ
Sen  
70  Sen 37º
84
3
70   
5
Sen  
84
1
Sen   ; Entonces :
2
37º
L
70 m
  30º
113
30
84 m
Ahora hallar el valor de “β”:
37º + 30º + β = 180º
β = 113º
Aplicando la Ley de senos para calcular el valor de “L”:
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
208
MATEMÁTICA T.O.
L
70m

Sen 113º Sen 30º
L
70 m  Sen 113º
Sen 30º
Sen 113º  Sen67º (Reducción I Cuadrante)
Pero :
70 m  Sen 67º 70 m  0,9205

;
1
Sen 30º
2
Entonces :
L  128,87 m
L
7.6.
Sen 67º  0,9205 (Por Tablas)
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUOS – LEY DE COSENOS.
“En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a
la suma de los cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble
producto de ellos, multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos”.
c
a
c 2  a 2  b 2  2ab.Cosθ

b
Ejemplo:
1. Hallar la medida del lado “x”
Solución:
20 m
x
37º
12 m
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
209
MATEMÁTICA T.O.
x 2  122  202  21220cos37º
4
x 2  144  400  480 
5
x 2  544  384
x  160  4 10 m.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I
1. Sobre un cuerpo actúa una fuerza vertical de 10 N hacia arriba, una fuerza hacia la
izquierda de 15 N. ¿Qué ángulo forma la resultante con la horizontal?
a) 18,1°
b) 33,7°
c) 25°
d) 27,5°
e) 20,8°
2. Un cuerpo que pesa 100kg fuerza, sube un plano inclinado de 37° ¿Hallar la
normal en N?
a) 298
b) 537
c) 706
d) 593
e) 785
3. Convertir 5° a radiantes.
a)  8
b)  7
 6
d)  3
e)  36
c)
4. Convertir 0.5 radiantes a grados sexagesimales:
a) 35°
b) 44,1°
c) 50°
d) 28,64°
e) 39°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
210
MATEMÁTICA T.O.
5. Hallar el valor de 2 radiantes en grados:
a) 77° 47´ 45 ´´
b) 57° 37´ 45 ´´
c) 27° 17´ 25 ´´
d) 114° 35´ 29 ´´
e) 58° 17´ 45 ´´
6. Encontrar el valor del cos  , si el sen  0.5
a) 0.78
b) 0.86
c) 0.5
d) 0.63
e) 0.83
7. Hallar el valor de la tan , si la sec  4 .
a) 0.31
b) 0.20
c) 0,25
d) 0.34
e) 0.60
8. Se observa un árbol a una distancia de 25m, con una ángulo de elevación de 53°
¿Cuál es la altura del árbol?
a) 85m
b) 33m
c) 125m
d) 37m
e) 29m
9. Se observa desde lo alto de un edificio de altura 20m a un auto, con un ángulo de
depresión de 37°. Si el auto de aleja del edificio a una velocidad de 15m/seg ¿A
qué distancia del edificio se encontrará el auto en 2 segundos?
a) 75m
b) 57m
c) 115m
d) 50m
e) 250m
10. ¿A qué es equivalente
a)
b)
c)
d)
e)
4
rad?
5
130°
124°
136°
124°
164°
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
211
MATEMÁTICA T.O.
11. Expresar 150° en radianes.
a)
b)
c)
d)
e)
4 5 rad
5 4 rad
4 3 rad
5 6 rad
 6 rad
12. En un triangulo rectángulo, el perímetro es 90 cm y el coseno de uno de los
ángulos agudos es 12/13. Hallar la longitud de su hipotenusa.
a) 13
b) 26
c) 39
d) 52
e) 65
13. En un triangulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la
tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo
a)
2
b) 2 2
c) 3 2
d) 2
e) 4
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que:
cot A 
a)
b)
c)
d)
e)
3/13
5/13
7/13
9/13
11/13
15. Si Tg 
a)
5
.CalcularM  senA.SenC
12
2
2
. Hallar. Sen
b)
3 2
2
c)
2
4
d)
 (
2
8
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
Es un ángulo agudo)
e)
2
212
MATEMÁTICA T.O.
PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II
1. Hallar “ x”
a) 4
b) 4
2
c) 4 3
d) 4 6
e)
6
2. Hallar AF si AM= 2 5
a) 3.873
b) 7.746
c)
d)
e)
2 5
5
5
3
10
3. Hallar (X + Y):
a)
b)
c)
d)
e)
35
30
40
20
25
4. Hallar R:
a)
b)
c)
d)
e)
11
12
13
14
15
ESTUDIOS GENERALES-NIVEL OPERATIVO
213