Tema 4

Tema 4. Filtros Analógicos
Caracterización Temporal
© Francisco J. González, UC3M 2009
Sistemas y Circuitos
1
4.1 Definición
x (t )
Filtro
x[ n ]
a k , bk
y (t ) = T {x (t )}
y[ n ] = T { x[ n ]}
‰ Filtro analógico: Sistema en Tiempo Continuo que obedece a una ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes:
d k y (t ) M
d l x (t )
ak
= ∑ bl
∑
k
dt
dt l
k =0
l =0
N
‰ Filtro digital: Sistema en Tiempo Discreto que obedece a una ecuación en
diferencias lineal con coeficientes constantes:
N
M
∑ a y [n − k ] =∑ b x [n − l ]
k =0
k
• N, M = órdenes del filtro
l =0
l
− Orden del filtro = max(N, M)
‰ Si N=0→Filtro MA→respuesta impulsional finita (FIR)
‰ Si M=0→Filtro AR→respuesta impulsional infinita (IIR)
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Elementos circuitales pasivos
• Relaciones tensión-corriente en
− Condensadores
+
i (t )
dv(t )
1 t
i (t ) = C
v(t ) = ∫ i (τ )dτ + v(t0 )
dt
C t0
400
v(t )
−
C
Š Ejemplo
v(t ) = VI sin (ωt )
300
200
100
0
-100
dv(t )
i (t ) = C
= VI ωC cos(ωt )
dt
-200
-300
-400
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
La corriente adelanta a la tensión
…
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Elementos circuitales pasivos
• Condensadores
− Energía [Julios]
v(t )
+
−
i (t )
dv(t )
i (t ) = C
dt
C
p(t ) = v(t )i(t ) = Cv(t )
dv(t ) dE(t )
=
dt
dt
dE(t ) = Cv(t )dv(t )
1 2
E(t ) = Cv (t ) [ Julios]
2
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Ejemplo: L=100 mH
0.8
− Energía [Julios]
+
v(t )
i (t )
L
i (t )
0.7
0.6
di (t )
v(t ) = L
dt
At≥0
0.5
i (A)
⎧ 10te
i (t ) = ⎨
⎩0 A
−5t
t<0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
seg
0.6
0.7
0.8
0.4
0.5
seg
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.2
v(t )
1
−
⎧e (1- 5t ) V t ≥ 0
v(t ) = ⎨
t<0
⎩ 0V
−5t
di(t ) dE(t )
p(t ) = v(t )i(t ) = Li(t )
=
dt
dt
dE(t ) = Li(t )di(t )
1
E(t ) = Li 2 (t ) [ Julios]
2
0.8
0.6
v (V)
‰ Elementos circuitales pasivos
• Bobinas
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.9
1
0.03
0.25
p (t )
0.2
E (t )
0.025
0.15
0.02
p (W)
E (J)
0.1
0.015
0.05
0.01
0
0.005
-0.05
-0.1
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0
0.1
0.2
0.3
0.4
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0.5
seg
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
seg
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5
4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Elementos circuitales pasivos
• Comportamiento con tensiones constantes
− Condensadores
i (t )
+
v(t )
C
−
i (t ) = C
Si v(t ) = cte. ⇒
dv(t )
dt
dv(t )
= 0 → i (t ) = 0 ⇒ condensador ⇔ circuito abierto
dt
− Un condensador NO admite cambios instantáneos en el voltaje → i=∞
− El voltaje en un condensador es continuo
v (t 0− ) = v (t 0+ )
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Elementos circuitales pasivos
• Comportamiento con corrientes constantes
− Bobinas
i (t )
+
v(t )
L
−
di (t )
v(t ) = L
dt
Si i (t ) = cte. ⇒
di (t )
= 0 → v(t ) = 0 ⇒ bobina ⇔ cortocircuito
dt
− Una bobina NO admite cambios instantáneos en la corriente → v=∞
− La corriente en una bobina es continua:
i (t 0− ) = i (t 0+ )
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4.2 Filtros: el caso eléctrico
‰ Filtros eléctricos analógicos: circuitos R, L y C.
• Los coeficientes ak, y bk dependen de los valores de R, L y C
‰ Primer orden: circuitos RL y RC
i (t )
R
+
+
vI (t )
−
vO (t )
C
x (t )
Filtro
y (t ) = T {x (t )}
a k , bk
−
d k y(t ) M d l x(t )
ak
=∑bl
∑
k
dt
dt l
k =0
l =0
N
R i ( t ) + vO ( t ) = v I ( t ) ⎫
dvO (t )
1
1
⎪
→
+
v
t
=
v I (t )
(
)
⎬
dvO (t )
O
dt
RC
RC
i (t ) = C
⎪
dt
⎭
Para obtener la respuesta necesito conocer la
tensión inicial en el condensador: v0(t0)
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4.3 Filtros analógicos: respuesta general
‰ Respuesta general de un filtro analógico de primer orden.
dy (t ) 1
+ y (t ) = x (t )
τ
x (t )
dt
τ
y (t )
• Condición auxiliar
y (0) = Y0
• Tipos de señales de entrada
Modelo
−
dy (t )
dt
−1
dy (t )
dt
x (t ) ≡ 0
t
x(t )
K
x(t )
0
x(t )
t
dy (t ) 1
+ y (t ) = x (t )
τ
dt
y (0) = Y0
y(t )
K
0
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t
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
‰ Respuesta natural de un filtro analógico de
primer orden.
dy ( t ) 1
y (0) = Y0
+ y (t ) = 0
τ
dt
• 4º) Aplicar la condición auxiliar para despejar A
− Como y(0)=Y0
y ( t ) t = 0 = Ae
−
t
= Y0
τ
y(t)
Y0
τ >0
t =0
• 5º) Obtener la respuesta
y ( t ) = Y0 e
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−
0
t
τ
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t
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4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
‰ Ejemplo: Respuesta natural de un circuito RL paralelo.
• Por la bobina circula una corriente inicial de I0 amperios
di ( t )
Kirchhoff: Voltajes → L
+ Ri ( t ) = 0
dt
i (t ) ≡ y (t )
di ( t ) R
dy ( t ) 1
+ i (t ) = 0 →
+ y (t ) = 0 τ = L
dt
L
dt
τ
R
t =0
+
t =0
I0
R
i (t )
L
-
i(t)
y ( t ) = Yo e
−
t
τ
→ i (t ) = Ioe
−
R
t
L
I0
I 0e
0
−
R
t
L
t
• Para calcular la corriente se necesita su valor inicial en la bobina.
R
− t
di ( t )
v0 (t ) = L
= − i (t ) R = − I o Re L
dt
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R
i (t )
4.3 Filtros analógicos: respuesta natural
‰ Respuesta natural de un circuito RC paralelo.
• El condensador tiene un voltaje inicial de V0 voltios
RS
t =0
C
+
V0
+
−
dv ( t )
dy ( t ) 1
1
+
+ y (t ) = 0
v (t ) = 0 →
τ
dt
RC
dt
R
C
dv (t ) v (t )
+
=0
dt
R
−
v (t ) ≡ y (t )
τ = RC
• Para calcular el voltaje se necesita su valor inicial en el condensador.
y ( t ) = Yo e
−
t
τ
→ v ( t ) = Vo e
−
1
t
RC
• La corriente es
v(t)
−
Ve
dv (t )
i (t ) = C
=− o
dt
R
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1
t
RC
v (t )
=−
R
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V0
V0 e
0
−
1
t
RC
t
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
‰ Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
dy ( t ) 1
+ y (t ) = K , t ≥ 0
dt
τ
y (0) = Y0
x (t ) = Ku (t )
τ
• 1º) Polinomio característico
P(s) = s +
1
→ raiz s r = −
1
τ
τ
• 2º) Solución general (para t≥0)
−
Modelo
−
dy (t )
dt
−1
y (t )
dy (t )
dt
t
y ( t ) = YF + Ae τ , t ≥ 0
− donde YF y A son dos constantes que hay que determinar
− Comprobar que se cumple la ecuación diferencial
t
t
− ⎞
dy ( t ) 1
Y
⎛ 1 ⎞ −τ 1 ⎛
+ y ( t ) = A ⎜ − ⎟ e + ⎜ YF + Ae τ ⎟ = F = K
dt
τ
τ⎝
⎝ τ⎠
⎠ τ
Š Por tanto YF = K τ
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
‰ Respuesta al escalón de un filtro analógico de primer orden.
dy ( t ) 1
+ y (t ) = K , t ≥ 0
dt
τ
x(t )
dy ( t ) 1
+ y (t ) = K , t ≥ 0
dt
τ
K
y (0) = Y0
y(t )
y (0) = Y0
t
• 3º) Para despejar la constante A hay que aplicar la condición
auxiliar
−
t
y ( t ) = K τ + Ae τ , t ≥ 0
− Si y (0) = Y0 → K τ + A = Y0 → A = ( Y0 − K τ )
−
⎛
y ( t ) = Kτ ⎜ 1 − e τ
⎝
t
−
⎞
τ
⎟ + Y0 e , t ≥ 0
⎠
t
YF
y(t )
Y0
t
− Cuando t→∞, y ( ∞ ) = K τ = YF
−
t
y ( t ) = YF + (Y0 − YF ) e τ , t ≥ 0
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
‰ Respuesta al escalón desplazado.
dy ( t ) 1
+ y ( t ) = K , t ≥ t0
τ
dt
x (t ) = Ku (t − t 0 )
τ
y (t )
y (t 0 ) = Yt0
• Solución general (para t≥t0)
y ( t ) = K τ + Ae
−
( t − t0 )
τ
−
Modelo
, t ≥ t0
(
dy (t )
dt
− Si y (t 0 ) = Yt0 → A + K τ = Yt0 → A = Yt0 − K τ
− Como, cuando t→∞, y ( ∞ ) = K τ = YF
(
)
y ( t ) = YF + Yt0 − YF e
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−
( t − t0 )
τ
, t ≥ t0
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−1
dy (t )
dt
)
YF
y(t )
Yt0
t0
t
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4.4 Filtros analógicos: respuesta al escalón
z
Respuesta de un circuito RC paralelo a un escalón.
+
+ C
V0
-
v( t )
dv ( t ) v ( t )
Ecuación: C
+
= IS ,
dt
R
Condición inicial:
v ( 0 ) = V0
Valor final:
t≥0
v (∞ ) = IS R
Expresión genérica:
dy ( t ) 1
+ y (t ) = K , t ≥ 0
dt
τ
v (t ) ≡ y (t )
Solución de la expresión genérica:
−
IS
τ = RC K =
C
v(t )
t
IS R
y ( t ) = YF + (Y0 − YF ) e , t ≥ 0
τ
V0
Circuito RC:
v ( t ) = I S R + (V0 − I S R ) e
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−
t
RC
, t≥0
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0
t
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4.7 Propiedades de los filtros
‰ Linealidad (entrada idénticamente nula, salida ident. nula)
• Un filtro es lineal si la respuesta libre es nula
hay linealidad
si las condiciones auxiliares son cero.
‰ Invarianza temporal
• La invarianza exige que las condiciones auxiliares se desplacen el
mismo valor que la entrada
iniciales.
condiciones auxiliares son
‰ Causalidad
• Un filtro es causal si está en reposo inicial.
‰ Reposo inicial
1) las condiciones auxiliares son condiciones
iniciales.
LINEALIDAD
2) las condiciones iniciales son nulas.
REPOSO INICIAL
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INVARIANZA
CAUSALIDAD
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4.8 Filtros: respuesta al impulso
‰ Si conocemos la respuesta al escalón de un filtro, y éste está en
reposo inicial (→ Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo),
entonces la respuesta al impulso es...
• Para filtros analógicos
h (t ) =
− Ejemplo
ds (t )
dt
dy ( t ) 1
+ y ( t ) = u (t )
dt
τ
t
−
⎛
y ( t ) = s (t ) = τ ⎜ 1 − e τ
⎝
y (0) = 0
⎞
⎟ u (t )
⎠
h(t)
1
Š Por tanto
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−
ds (t )
h (t ) =
= e τ u (t )
dt
τ >0
t
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0
t
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