LIMITES DE LA REGLA DE L HOPITAL Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. LA REGLA DE L HOPITAL Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c . Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto, En la solución de algunos ejercicios sobre la aplicación de la ley de LHOPITAL, es fundamental que recordemos La propiedad que relaciona la función exponencial y el logaritmo natural, la cual dice que Mediante esta propiedad, se puede establecer que una función puede expresar como se De igual manera un limite, ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 1 Por las propiedades de las fracciones se tiene que Por las propiedades de las fracciones se tiene que si Para los limites cuando n tiende hacia el infinito se tiene que si f(x) y g(x) son dos funciones polinomicas, entonces 1) 2) 3) Es igual a cero, cuando el grado del polinomio f(n) es menor que el grado del polinomio g(n) Es indeterminado cuando el grado del polinomio f(n) es mayor que el grado del polinomio g(n) cuando los polinomios tienen el mismo grado y m , n son los coeficientes polinomios ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS de las máximas potencias de dichos Página 2 ( * Al realizar la sustitución inmediata, nos damos cuenta que el limite es de , la forma para poder encontrar el limite aplicamos propiedades de los logaritmos y la función exponencial con el fin de encontrar una expresión de la forma con el fin de poder aplicar la regla de LHOPITAL. Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( * ( ) ( ) ) Por la linealidad de los limites ( * Aplicando las propiedades de los logaritmos ( * ( ( )) Aplicando las propiedades de las fracciones ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 3 ( ( ( ) ) * Aplicando las propiedades de los logaritmos ( ( ) * Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ( , * Efectuando la resta entre fracciones ( ( , * Aplicando producto de medios y extremos ( * ( * Realizando multiplicaciones ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 4 ( ( * ( ) ) Aplicando el límite cuando los máximos exponentes son iguales ( * ( * simplificando ( * Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( * ( ) ( ) * Por la linealidad de los limites ( * Aplicando las propiedades de los logaritmos ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 5 ( ( * ( )) Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( ( ) ) * Aplicando las propiedades de los logaritmos ( ( ) * Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ( , * Efectuando la resta entre fracciones ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 6 ( ( , * Aplicando producto de medios y producto de extremos ( ( * * Realizando los productos indicados ( ( * ( ) ) Aplicando el límite cuando los polinomios tienen el mismo grado ( * simplificando ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS * Página 7 ( ) Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( ( * ( * ) ) Por la linealidad de los limites ( ) Aplicando las propiedades de los logaritmos ( (( ) ) ( *) Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS ( * , ) Página 8 Aplicando las propiedades de los logaritmos ( ( ( ) ) ) Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ( ) ( ( ( ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS , , ) ) ) ( ( * ( ) ) Página 9 ( ) ( ) ( * Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( ( ) ( ) ) * Por la linealidad de los limites ( * Aplicando las propiedades de los logaritmos ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 10 ( (( * * ( )) Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( ( ) ) * Aplicando las propiedades de los logaritmos ( ( ) * Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ( * ( ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS , , * Página 11 ( ( ( * ( * ( * √ ( √ ) + ) Aplicando la propiedad de los logaritmos ( √ √ ( ) √ √ ) + √ √ ) ( Por la linealidad de los limites √ ( √ ) ( Aplicando las propiedades de los logaritmos ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 12 √ ( √ ( ) ( √ √ )+ Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( √ ) √ √ √ ) ( ) Aplicando las propiedades de los logaritmos ( √ ( √ √ √ ) ) Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción √ ( √ ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS ( ( ) ( ) ) ) Página 13 ( ( √ ) ) √ ( √ + √ √ ( √ ) √ ( √ ) ( ( * ( ) * Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( ) * Por la linealidad de los limites ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 14 ( ( * ) Aplicando las propiedades de los logaritmos ( (( * * ( )) Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( ( ) ) * Aplicando las propiedades de los logaritmos ( ( ) * Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS , * Página 15 ( ( ( , * ( ( ) ( ) + * Aplicando la propiedad de los logaritmos ( ( ) ) Por la linealidad de los limites ( ) Aplicando las propiedades de los logaritmos ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 16 ( ( )) Aplicando las propiedades de las fracciones ( ( ) ) Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( ) ( ) ) ( ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS ( * Página 17 √ Aplicando la propiedad de los logaritmos √ ( √ ) Por la linealidad de los limites √ √ ( ) Expresando el radical como una fracción y simplificando √ ( ) Aplicando las propiedades de los logaritmos √ ( ( )) multiplicando √ ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS ( ( ) ) Página 18 Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la fracción ( , √ Aplicando producto de medios y extremos ( √ * Aplicando el limite cuando el polinomio del numerador es menor que el del denominador √ √ ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 19 Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma Aplicando la regla de LHOPITAL Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma Aplicando la regla de LHOPITAL Reemplazando ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 20 Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma Aplicando la regla de LHOPITAL Simplificando Calculando el limite ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 21 Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma Aplicando la regla de LHOPITAL Al sustituir directamente encontramos que el limite esta nuevamente en la forma Aplicando por segunda vez la regla de lLHOPITAL Simplificando reemplazando ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 22 Verificamos la forma del limite ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 23 [ ] Verificamos el límite [ ] [ ] [ [ ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS ] ] Página 24 Efectuamos operaciones para logran una de las formas de la regla de LHOPITAL [ ] [ * ] + * + Verificamos el limite [ ] [ * ] + [ ] Aplicamos le regla a la nueva forma * + * ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS * + + [ ] Página 25 * ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS + [ ] Página 26