UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVO DE APRENDIZAJE:
funciones en el plano cartesiano.
Representar
gráficamente
relaciones
y
EL PLANO CARTESIANO.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de
las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan
recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se
representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’,
respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con
base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y)
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente
procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son
negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades
correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta
forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Ejemplos:
Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano.
Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las
coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.
Determinar las coordenadas del punto M.
Las coordenadas del punto M son (3,-5).
De lo anterior se concluye que:
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se
encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la
izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean
positivas o negativas, respectivamente.
Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad .
Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña
Lupe:
Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos
oriente.
El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el
norte para llegar a la farmacia.
La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como
coordenadas en un plano cartesiano.
Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:
Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en
donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.
Cada punto del plano cartesiano tiene una única forma de escritura y se llama par
ordenado.
El
punto
P
(2,3)
El punto Q (3,2) es otro par ordenado
es
un
par
ordenado.
Por lo tanto el punto P no es igual al punto Q.
Si ubicamos dos puntos en el plano cartesiano y los
tenemos
graficada
una
recta.
unimos,
Ubiquemos los puntos R(6,4) y S(10,8) en el plano cartesiano, al unirlos obtenemos una
línea recta.
Ejemplo:
En el plano cartesiano siguiente encontrarás la
representación de los siguientes pares ordenados:
(1;
(-3/2;
(-4;
(3/2;-3/2).
1);
2);
-4);
Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el
sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y
emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales.
El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento.
Cumpliendo esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con
coordenadas:
(x1,y1) y (x2,y2) es: [(x1 + x2) / 2] + [(y1 + y2) / 2]
Segmentos
Dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta
de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.
Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a
la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento
según pertenezcan o no a este.
Ejercicios Propuestos
1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:
(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)
2. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, -1); (7, -1) y (7, 3). Hallar
el cuarto vértice y el área del rectángulo sol: (2, 3); 20.
Relaciones
Una relación binaria
cartesiano
, en los conjuntos A1,A2 es un subconjunto del producto
Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.
Dominio: conjuntos con todos aquellos valores para los cuales la función esta definida.
Rango: conjunto de valores que se obtienen al aplicar la función a cada elemento del
dominio.
Funciones
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida
(dominio) le corresponde sólo un elemento (o imagen) del conjunto de llegada
(codominio).
Esto se expresa:
f
Y
=
f(x)
o
x
—→
y
El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores
para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el
conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se denota Dom
f
o
Df.
El conjunto imagen, también llamado codominio, está formado por los valores que
alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los
valores que toma la variable dependiente.
Tipo de funciones:
Función Inyectiva:
Es aquella donde cada elemento del conjunto de partida o dominio tiene diferente
imagen en el conjunto de llegada o codominio.
Es decir a los elementos del conjunto de llegada les corresponde a lo sumo un elemento
del conjunto de partida.
Observa en el gráfico siguiente como TODOS los elementos del conjunto X, tienen
diferente imagen en el conjunto Y.
Función Sobreyectiva
Es aquella donde cada elemento del conjunto de
llegada (codominio) es imagen de algún elemento del
conjunto de partida o dominio. Es decir el conjunto de
llegada
e
imagen
son
iguales.
En el gráfico siguiente observa como TODOS los elementos del conjunto Y, son imagen
de los elementos del conjunto X.
Función Biyectiva
Es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al
mismo tiempo.
Funciones reales
– Función afín: todas las funciones de R → R cuya representación grafica es una
línea recta la llamamos función afín y su forma general es:
F (x)= ax + b a y b Є R
- Función cuadrática: es una función de la forma f(x)= ax2+bx+c con a, b y c
números
reales
y
a
≠
0.
–
- Función inversa: una función f(x) tiene inversa, f -1 (x) si y solo si f(x) es una función
biyectiva.
- Función exponencial de base a: Es una función de la forma y= f(x) =ax, donde a es
un numero real positivo distinto de uno.Una función de la forma y= f(x) = ax, donde a >
0 y a ≠ de 1, es una función exponencial, donde a es la base de la exponencial.
- La Función logarítmica: para a> 0 y a ≠ 1 el logaritmo en base a de un numero x>0
es el componente al que hay que elevar la base para obtener dicho numero. Log a x=
y
es
equivalente
a
x=
ay.
Funciones trigonométrica.
- Función seno: es un función real tal que a cada ángulo α, expresado en radianes, se le
hace
corresponder
un
numero
real
denotado
como
sen
x.
Sen:
R
→
R
tal
que
sen
(α)=
y
- Función coseno: es una función real de variable real de variable real que a cada ángulo
α medido en radianes se le hace corresponder un numero real denotado como cos α.
Cos: R → R tal que cos (x)= y
La
función
tangente:
Es una función de variable real definida como el cociente f(x) = sen x, siendo cos α.
Coseno de x distinto de 0 denotada por f(x) = tag x, de forma tal que cada ángulo,
expresado en radianes, le haga corresponder el valor de su tangente.
Representación grafica:
Simetría: es una propiedad que se encuentra con frecuencia en los fenómenos naturales:
acción y reacción, materia y antimateria, izquierda y derecha objeto e imagen, etc.
Traslaciones
Sean dos puntos P y Q cualquiera del plano, y sean P’ y Q` sus respectivas imágenes por
el movimiento T entonces T es una traslación si los dos segmentos PP’ y QQ`.
a) son de la misma longitud.
b) Tienen direcciones paralelas.
c) Tienen el mismo sentido.
Funciones definidas por intervalo
Son aquellas en las cuales la obtención de las imágenes varían de acuerdo al
intervalo del eje x que se esta utilizando. Ellas se caracterizan porque contienen varias
expresiones algebraicas.
Graficación de funciones en el plano cartesiano
El plano cartesiano nos sirve para representar gráficamente funciones. En dichas
funciones los valores que adquiere Y, dependen de los valores que le asignemos a la
variable X.
Para representar una función en el plano cartesiano seguimos los siguientes pasos:
Resolvamos
el
siguiente
ejemplo:
Y
=
3X
1.- Elaboramos una tabla de valores colocando en el lado
izquierdo los valores de la variable “independiente” X,
mientras que en el lado derecho ubicaremos los resultados
la
función
dada.
Damos valores a x, (utiliza números negativos, positivos y el
inclusive) (-2), (-1), (0), (1), (2).
para
cero
2.- Los valores de X los reemplazamos en la función Y = 3X para obtener los
valores de Y
Y = 3 (-2) = -6
Y = 3 (-1) = -3
Y = 3 ( 0) = 0
Y = 3 ( 1) = 3
Y = 3 ( 2) = 6
3.- Con los datos obtenidos de X y de Y, se forma la tabla de valores (tabla de pares
ordenados)
4.- En el plano cartesiano ubicamos los pares ordenados de la siguiente manera:
(observa el gráfico)
5.- Al unir los puntos obtenemos una línea recta que corresponde al gráfico de la
función Y = 3 x, y que por sus características es la representación de una función lineal.
Traslaciones
Sea
un punto en
,
un vector del plano. Entonces
trasladado en el vector . Abreviaremos lo anterior diciendo que
trasladado en el vector . Luego definimos:
(Traslación de un punto
Ejemplo 1: Tomemos el cuadrado
,
,
en un vector
es el punto
es el punto
)
, donde
,
Este cuadrado lo queremos trasladar en el vector
Figura 4.2: imagenes/ Trasladando un cuadrado
Si llamamos al cuadrado trasladado
, tenemos que
Aplicando la misma idea a todos los vertices del cuadrado, se obtiene:
,
,
,
Funciones definidas por intervalos
Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los
puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:
La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero
inferior o igual a x, tal que:
•
E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta
función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha
difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.
Otras funciones definidas por intervalos son:
•
Función escalón unitario
Función signo
3. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) f(x) =
+
b) f(x) =
c) g(x) =
Ejercicio nº 1.Halla el dominio de definición de las funciones siguientes:
a) y =
b) y =
1
x2 +1
x +1
x
Ejercicio nº 2.Asocia a cada gráfica su ecuación:
c) y = −
5
x
3
d) y = −4 x 2
I)
II)
III)
IV)
Ejercicio nº 3.Representa la gráfica de la siguiente función:
y =
−3
x +1
5
Ejercicio nº 4.Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:
Ejercicio nº 5.Representa la gráfica de la siguiente función:
y = −x 2 + 4
4. Trace la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) = (x - 1)(x - 3)
b) g(x) = si x < 1
2 - x si -1 x 2
x + 2 si x > 2
5. Determine si la función es par, impar o ninguna de las dos:
a) f(x) = x6 - x2 + 5
b) f(x) = x3 - 1
c) f(x) = |x| / x
6. Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)
SOLUCIÓN
x2 – x1 =
3
–
2
=
1
;
y2
–
y1
=
5
–
(-3)
=
13
Luego,
7. Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:
Coordenadas
del
punto
medio
Coordenadas del punto P sobre el segmento
M
del
segmento
tal que
SOLUCIÓN
En la figura adjunta se ilustra el segmento
Si
el
punto
medio
M
tiene
y los puntos pedidos en a) y
coordenadas.
M
(x
,
m
y
)
m
entonces:
Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)
Como
entonces
Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas (5)
y (6):
Luego, las coordenadas del punto P, son: P
8. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicada en la figura.
SOLUCIÓN
Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .
Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) .
Igualmente, para la recta m, se tiene:
y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x
Es decir y = x
Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que
Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r
9. Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura
SOLUCIÓN
Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además,
Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1.
.
Para la recta m, b = 1 y
Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m.
También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2.
Como el punto (2, 0)
n, entonces satisface su ecuación, es decir,
0 = 2m – 2 , de donde m = 1.
Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n.
Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación:
y = 2x + 2.
10. Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura
adjunta.
SOLUCIÓN
Para
la
recta
l,
se
tiene:
y
–
3
=
ml
(x
+
Pero ml = tan 135º
= - tan 45º = -1
Luego, y – 3 = - (x + 1)
ó x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta
Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).
Pero,
mr
=
Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.
11. Aplique al triángulo de vértices
traslación en el vector
una
. Dibuje la situación utilizando un gráfico.
12. Encuentre qué traslación transforma al triángulo con vértices
en el triángulo con vértices
1).
13. Encuentre una traslación
que anule el efecto de
, para todo punto
, o sea que
.
14. Un robot se puede mover utilizando las instrucciones que recibe con un
programa. Un programa no es más que una secuencia vectores
donde cada
secuencia de
,
. Cuando el robot recibe un programa, éste hace una
movimientos: primero se mueve hacia
donde
punto desde donde inicia su recorrido, luego, se mueve a
sucesivamente, hasta que llega a
es el
, y así
y se detiene.
a. Escriba el vector
en función de
y
b. Escriba un programa de modo que si el robot parte en el origen de coordenadas,
éste se mueva al punto
.
c. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, entonces no existe
ningún programa que le permita llegar a
d. Muestre que si el robot parte en el origen de coordenadas, no existe ningún
programa que le permita llegar a
15. Demuestre que la traslación preserva distancias, es decir, muestre que si
a distancia , entonces
y
también se encuentran a distancia .
y están