Lección 4: Factorización de Trinomios Cuadráticos de

Lección 4: Factorización de
Trinomios Cuadráticos de la
forma x2 + bx + c
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2009 ©
Objetivos de la Lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
• Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma
x2 + bx + c
• Resolverán problemas donde se aplique la
factorización de trinomios cuadráticos
Introducción
Definición de Trinomio Cuadrático
• Un trinomio cuadrático es un polinomio de
tres términos que tiene una de las siguientes
formas:
ax2 + bx + c
ó
ax2 + bxy + cy2
(a, b, c son números Reales)
Ejemplos de Trinomios Cuadráticos
•
•
•
•
•
•
x2 + 5x + 6
2x2 - 8x + 16
3x2 + x - 18
15x2 - 6x - 10
8x2 + 2xy + 27y2
6x2 + 15xy + 8y2
Reflexión
Ejemplos de Trinomios
Cuadráticos
x2 + 5x + 6
2x2 - 8x + 16
3x2 + x – 18
15x2 - 6x - 10
8x2 + 2xy + 27y2 6x2 + 15xy + 8y2
• Un trinomio cuadrático puede tener una sola
variable en cuyo caso tiene la siguiente forma:
ax2 + bx + c
• Observa que:
– El polinomio es un trinomio.
– Si tiene una sola variable ésta aparece disminuyendo
su potencia desde grado 2 hasta grado 0, o
aumentando su potencia desde grado 0 hasta grado
2.
– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera
números reales.
Reflexión
Ejemplos de Trinomios
Cuadráticos
x2 + 5x + 6
2x2 - 8x + 16
3x2 + x – 18
15x2 - 6x - 10
8x2 + 2xy + 27y2 6x2 + 15xy + 8y2
• Si el trinomio cuadrático tiene dos variables tiene
la siguiente forma:
ax2 + bxy + cy2
• Observa que:
– El polinomio es un trinomio.
– Si tiene dos variables, en el primer término aparece la
primera variable elevada al cuadrado, en el último
término aparece la segunda variable elevada al
cuadrado, en el término del medio aparecen las dos
variables de grado 1 cada una.
– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera
números reales.
Descubriendo la relación entre
la multiplicación de binomios y
la factorización de trinomios
cuadráticos
Introducción
• El método de factorización que estudiaremos
en esta lección está relacionado con el
proceso de multiplicación de binomios que
estudiamos en la lección 2.
• Comenzaremos repasando lo que aprendimos
sobre la multiplicación de binomios.
Multiplicación de Binomios
• Multiplica: (x + 2) (x + 3)
Método Vertical:
x+2
x+3
3x + 6
x2 + 2x
x2 + 5x + 6
Observa que cuando se
multiplican dos binomios
obtenemos como resultado un
trinomio cuadrático
Método-FOIL
• Multiplica: (x + 2)(x + 3)
El ejemplo anterior se
puede hacer también
por el método FOIL.
L
F
(x + 2)(x + 3) =
I
O
= x2 + 3x + 2x + 6
F
O
I
= x2 + 5x + 6
L
¿Cómo haríamos si queremos ir al revés?
• O sea, si tenemos el trinomio cuadrático y
queremos hallar los dos binomios que se
multiplican para obtener como resultado el
polinomio
• Veamos la relación que hay entre los
binomios y el resultado...
Relación entre la multiplicación de los binomios
(x + 2) (x + 3) y el resultado x2 + 5x + 6
De x por x
x+2
x+3
3x + 6
x2 + 2x
De 2 por 3
Del producto cruzado:
2 por x , 3 por x, y luego
sumar estos productos.
______________________
x2 + 5x + 6
¿De dónde sale el primer término del polinomio:
¿De dónde sale el tercer término del polinomio:
x2
6
¿De dónde sale el segundo término del polinomio:
?
?
5x
?
Proceso para factorizar
Tinomios Cuadráticos
Pasos a seguir para factorizar
Trinomios Cuadráticos
x2 + 5x + 6
1. Buscar dos factores del primer término: ( x . x)
2. Buscar dos factores del tercer término: ( 2 . 3)
3. Buscar la combinación, de todos los posibles
factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado
y luego se sumen esos productos, el resultado
sea el segundo término:
(2 . x) + (3 . x) = 2x + 3x = 5x
Demostración del proceso
Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático
x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x2 + 5x + 6
3
2
1
(x
3
2)
(X
3
3)
2x
+ 3x
5x
Paso 4: Después de hallar la combinación
correcta, se encierra entre paréntesis los dos
términos que en forma horizontal componen los
binomios.
Paso 1: Buscar dos
factores del primer
término.
Paso 2: Buscar dos
factores del tercer
término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de
todos los posibles
factores, tal que,
cuando se
multipliquen
cruzado y luego se
sumen esos
productos, el
resultado sea el
segundo término.
Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático
x2 – 10x + 21 = (x – 7) (x – 3)
x2 – 10x + 21
3
2
1
(x
3
-7 )
(X
3
-3 )
-7x
+ -3x
-10x
Paso 4: Después de hallar la combinación
correcta, se encierra entre paréntesis los dos
términos que en forma horizontal componen los
binomios.
Paso 1: Buscar dos
factores del primer
término.
Paso 2: Buscar dos
factores del tercer
término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de
todos los posibles
factores, tal que,
cuando se
multipliquen
cruzado y luego se
sumen esos
productos, el
resultado sea el
segundo término.
Ejemplo 3: Factoriza el Trinomio Cuadrático
x2 – 2x – 24 = (x + 4) (x – 6 )
x2 – 2x – 24
3
2
1
(x
3
(X
3
4)
-6)
4x
+ -6x
-2x
Paso 4: Después de hallar la combinación
correcta, se encierra entre paréntesis los dos
términos que en forma horizontal componen los
binomios.
Paso 1: Buscar dos
factores del primer
término.
Paso 2: Buscar dos
factores del tercer
término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de
todos los posibles
factores, tal que,
cuando se
multipliquen
cruzado y luego se
sumen esos
productos, el
resultado sea el
segundo término.
Reflexión
• Este método a veces da trabajo porque hay que tantear
las posibles combinaciones de factores del primer y
tercer término que al multiplicarlos y luego sumar esos
productos sean igual al segundo término.
• Por ejemplo: Si usamos otros factores de -24, como por
ejemplo, -12 y 2, al sumarlos tendríamos:
x2 – 2x – 24
x
-12
-12x
x
2
+ 2x
-10x
• Observa que -10x no es igual al segundo término -2x.
• En este caso, tendríamos que buscar otros factores.
Ejemplo 4: Factoriza el Trinomio Cuadrático
x2 – 2xy – 48y2 = (x + 6y) (x – 8y)
x2 – 2xy – 48y2
3
2
1
(x
3
(X
3
6y)
6xy
+ -8xy
-8y)
-2xy
Paso 4: Después de hallar la combinación
correcta, se encierra entre paréntesis los dos
términos que en forma horizontal componen los
binomios.
Paso 1: Buscar dos
factores del primer
término.
Paso 2: Buscar dos
factores del tercer
término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de
todos los posibles
factores, tal que,
cuando se
multipliquen
cruzado y luego se
sumen esos
productos, el
resultado sea el
segundo término.
Ejemplo 5: Factoriza el Trinomio Cuadrático
32 + 4x – x2 = (4 + x) (8 – x)
32 + 4x – x2
3
2
1
(4
3
(8
3
x )
8x
+ -4x
-x )
4x
Paso 4: Después de hallar la combinación
correcta, se encierra entre paréntesis los dos
términos que en forma horizontal componen los
binomios.
Paso 1: Buscar dos
factores del primer
término.
Paso 2: Buscar dos
factores del tercer
término.
Paso 3: Buscar la
combinación, de
todos los posibles
factores, tal que,
cuando se
multipliquen
cruzado y luego se
sumen esos
productos, el
resultado sea el
segundo término.
Ejemplo 6: Factoriza el Trinomio Cuadrático
5x + x2 – 14
Este polinomio hay que
ordenarlo en forma
descendente primero.
x2 + 5x – 14
2
1
(x
3
(x
3
3
7 )
7x
+ -2x
-2 )
5x
x2 + 5x – 14 = (x + 7) (x – 2)
Ejemplo 7: Factoriza el Trinomio Cuadrático
y4 + 5y2 – 84
2
1
( y2
3
( y2
3
3
12)
12y2
+ -7y2
-7 )
5y2
y4 + 5y2 – 84 = (y2 + 12 ) (y2 – 7 )
Ejemplo 8: Factoriza el Trinomio Cuadrático
y2 + y + 5
2
1
y
3
y
3
3
5
1
Este polinomio es primo.
Los únicos factores de 5 son
5 y 1 y de ninguna manera
se obtendría el término del
medio.
5y
+ y
6y
y2 + y + 5 = Polinomio primo
¿Observas algún patrón que
relacione los signos de + ó - ?
Patrón
(+) (+)
( - )( - )
(+) ( - )
( - ) (+)
=
=
=
=
____ + _____
____ - _____
____ +/- _____
____ +/- _____
+
+
-
______
______
______
______
• Si los signos en los dos binomios son de suma: ( + )( + ), entonces los
signos de los tres términos del polinomio son positivos.
• Si los signos en los dos binomios son de resta: ( – )( – ), entonces los
signos del primer y último término del polinomio son positivos y el signo del
segundo término es negativo.
• Si los signos en los dos binomios son uno de suma y uno de resta: ( + )( – ),
ó ( – )( + ), entonces el último término es negativo y el signo del segundo
término puede ser positivo o negativo, dependerá del valor absoluto mayor.
Reflexión sobre el patrón
• Conocer el patrón de los signos ayuda a
factorizar más rápido porque ayuda a
identificar más fácilmente los signos de los
factores que se buscan y limita la búsqueda
por tanteo.
Reflexión
• Hasta el momento, todos los trinomios
cuadráticos que hemos visto en la forma
ax2 + bx + c ó ax2 + bxy + cy2 tienen
al número a = 1.
• Pero, hay trinomios cuadráticos donde a
puede ser cualquier número.
• Esta clase de trinomios cuadráticos se
estudiarán en la próxima lección.
Problemas
Problema 1
• Halla todos los enteros m para los cuales el
polinomio a continuación pueda factorizarse.
x2 + mx + 75
Solución de Problema 1
• Halla todos los enteros m para los cuales el polinomio a
continuación pueda factorizarse.
x2 + mx + 75
• Para hallar los enteros m identificamos todos los posibles
factores de 75, éstos son:
25 . 3
15 . 5
75 . 1
• Como m es la suma de los factores de 75, ahora, sumamos
las combinaciones de factores anteriores y tenemos:
25 + 3 = 28
15 + 5 = 20
75 + 1 = 76
• Finalmente, como m puede ser positivo o negativo, la
contestación al problema es: 28, -28, 20, -20, 76, -76.
Problema 2
• Halla una expresión polinómica en forma
factorizada que represente el área de la región
sombreada a continuación.
2
x+2
2
x+5
Solución de Problema 2
• La expresión polinómica para el área de la región sombreada será
igual al área del rectángulo grande azul menos el área del cuadrado
blanco.
-El área del rectángulo grande azul es: (x + 5)(x + 2).
-El área del cuadrado blanco es: 2 . 2 = 4
-El área de la región sombreada es: (x + 5)(x + 2) – 4.
• Multiplicando y simplificando tenemos:
(x + 5)(x + 2) – 4 = x2 + 7x + 10 – 4
= x2 + 7x + 6
• Como el problema pide que halle
una expresión polinómica en
2
forma factorizada, factorizamos
el polinomio anterior y tenemos:
x+2
2
(x + 6) (x + 1)
x+5
Ejercicios Práctica
Instrucciones
• Factoriza completamente en tu libreta.
• Si el polinomio es primo, indícalo.
• Después de hacer los ejercicios, haz clic
para ver resultados.
Factoriza Completamente:
x2 + 9x + 20 = (x + 4) (x + 5)
x2 - 7x + 12 = (x - 4) (x - 3)
x2 - 2x - 8 =
(x - 4) (x + 2)
x2 + 3x - 18 = (x + 6) (x - 3)
Factoriza Completamente:
x2 - x - 12 =
(x - 4) (x + 3)
x2 - 11x + 24 = (x - 8) (x - 3)
x2 + 2xy - 15y2 = (x + 5y) (x - 3y)
x2 + 7xy + 6y2 = (x + 6y) (x + y)
Factoriza Completamente:
32 + 4x - x2 =
(8 - x) (4 + x)
x4 + 11x2 - 60 = (x2 + 15) (x2 - 4)
x2 + 12x + 13 = (x + 12) (x + 1)
x2 + 12xy + 27y2 = (x + 9y) (x + 3y)
Factoriza Completamente:
p2 – 5pq – 24 q2 =
x2 - 3x + 7 =
(p - 8q) (p + 3q)
No se puede factorizar ya que
no hay combinación de
factores de 7 posibles cuya
suma sea igual a -3. Este
polinomio es primo.
Factoriza Completamente:
x + x2 – 90 = Hay que ordenar el polinomio en
forma descendente, y entonces se
obtiene: x2 + x – 90
La factorización es: (x + 10) (x - 9)
x3 - x2 - 56x = No es trinomio cuadrático, pero
tiene a x como factor común.
Sacando a x como factor común
tenemos: x(x2 - x - 56). Ahora
podemos factorizar el trinomio
cuadrático que está dentro del
paréntesis. La factorización
completa es: x (x - 8) (x + 7)
Resuelve los problemas a continuación
• 1. Uno de los factores del polinomio
x2 - 345x - 7300 es (x + 20). Halla el otro
factor.
• 2. Halla una expresión polinómica en forma
factorizada que represente el área de la región
sombreada a continuación.
2
x+5
1
x+4
Contestación a los problemas
• 1. El factor es (x -365).
• 2. La expresión polinómca es: (x + 6) (x + 3)