Solución

II Concurso de Resolución de Problemas
Curso 2011-2012
Solución del Problema de la distancia mı́nima.
Solución
Hagamos una precisión preliminar sobre la distancia de un punto a una recta: En el
plano, dados un punto Q y una recta t, la proyección ortogonal de Q sobre t (que
denotaremos por Qt ) es el punto de corte entre la recta t y su perpendicular por Q.
La distancia d(Q, Qt ) es la menor entre las distancias d(Q, X) para puntos X de t
(o sea, es la “distancia entre el punto Q y la recta t”), pues se tiene un triángulo
rectángulo en el que el lado QQt es un cateto y el lado QX es la hipotenusa.
En el caso “muy particular” del problema en el que las rectas r y s son paralelas, el
sumando d(P, s) vale lo mismo para cualquier punto P de r (la “distancia constante”
entre las dos rectas paralelas) y por tanto se trata de encontrar el punto P de r que
minimice el otro sumando d(A, P ), por lo que basta con tomar P = Ar .
En la interpretación de la carretera, en algunos casos la persona tendrı́a que volver
sobre sus pasos tras cortar el tendido eléctrico (cuando “A esté por debajo de r”,
en el dibujo), pero esto no influye en la elección del punto P .
En otro caso las rectas r y s se cortarán en un único punto que llamaremos O. El
siguiente dibujo permite intuir que la naturaleza de la solución será distinta según
la posición del punto de partida:
Desde A parece razonable ir directamente en perpendicular hacia s, pues en ese
camino se pasa por r. Desde A0 parece mejor ir directamente a la intersección O.
Por último, desde A00 ninguna de las dos opciones anteriores parece mejor que la
dibujada.
La idea usada con A valdrá cuando el segmento AAs corte a la recta r. Si denotamos
por s⊥ a la recta perpendicular a s por O, estos puntos son los que están en “las
regiones de ángulo agudo” determinadas por r y s⊥ .
Para entender cuándo y cómo funciona la idea usada con A00 podemos considerar la
recta ŝ que es simétrica de s con respecto a r, de modo que r es una bisectriz de s
y ŝ. Entonces los puntos de r equidistan de s y de ŝ, luego la suma que queremos
minimizar es también d(A, P ) + d(P, ŝ), por lo que podemos trabajar con ŝ en vez
de con s.
Formalicemos todo esto distinguiendo los casos que han quedado sugeridos y usando
la notación establecida (también llamaremos ŝ⊥ a la perpendicular a ŝ por O):
CASO 1: Si el segmento AAs corta a r, o sea si A está en las regiones de ángulo
agudo determinadas por r y s⊥ , sombreadas en el dibujo. En este caso se debe tomar
P como el punto de corte entre el segmento AAs y r: Para ver que en efecto la suma
de distancias es mı́nima para esta elección de P , notemos que se tiene As = Ps , pues
la perpendicular a s por A y por P es la misma. Entonces para cualquier punto X
de r distinto de P se tiene
d(A, P ) + d(P, s) = d(A, P ) + d(P, As )
pues d(P, s) = d(P, Ps ) y Ps = As
= d(A, As )
porque P está en el segmento AAs
< d(A, Xs )
porque AAs es un cateto y AXs la hipotenusa
≤ d(A, X) + d(X, Xs ) por la desigualdad triangular
= d(A, X) + d(X, s)
pues d(X, s) = d(X, Xs )
En la interpretación de la carretera, resulta que en este caso el camino más corto
entre A y la carretera pasa por el tendido eléctrico, por lo que la persona simplemente
recorrerá ese camino y cortará el tendido cuando lo cruce.
CASO 2: Si el segmento AAŝ corta a r, o sea si A está en las regiones de ángulo
agudo determinadas por r y ŝ⊥ (simétricas de las anteriores con respecto a r). En
este caso se debe tomar P como el punto de corte entre el segmento AAŝ y r, pues
ya hemos observado que podemos trabajar con ŝ en vez de con s.
En la interpretación de la carretera, la persona va en perpendicular a ŝ hasta que
corta el cable, y después sigue en prependicular a s.
CASO 3: Si A está fuera de las regiones anteriores se debe tomar P = O.
Para verlo formalmente tomamos un X en r distinto de O y observamos que, por la
\s es obtuso (y si no, lo es AOX
\ŝ y ya sabemos que
situación de A, el ángulo AOX
podemos trabajar con s o con ŝ según nos convenga).
Esto implica que d(A, O) < d(A, Xs ), y usando la desigualdad triangular, se tiene
d(A, O)+d(O, s) = d(A, O) < d(A, Xs ) ≤ d(A, X)+d(X, Xs ) = d(A, X)+d(X, s)
Solución alternativa (analı́tica)
Planteamos una solución con coordenadas en la que buscamos expresamente la función que da la suma de distancias para poder derivarla y buscar ası́ su mı́nimo.
Asuminos que las rectas no son paralelas (caso resuelto antes con facilidad) ni
perpendiculares (en este caso la solución es claramente el punto de corte O para
cualquier A).
Podemos situar el origen de coordenadas en el punto de corte de las rectas (aquı́ se
usa que no son paralelas), y el eje horizontal en la recta r. Entonces los puntos de r
tienen la forma (x, 0) y la recta s tiene una ecuación del tipo y = mx para cierto m
(aquı́ se usa que no son perpendiculares). Por su parte, el punto tiene coordenadas
arbitrarias A = (a, b).
Asumiremos que b 6= 0 (lo que evitará dividir por 0) porque en este caso A estarı́a
en r y la solución es obviamente P = A. También asumiremos que m > 0 y que
a > 0, pues otros casos son análogos. Y al asumir que a > 0 es claro que podemos
limitarnos a estudiar los puntos (x, 0) con x > 0, pues para los otros el origen da
claramente una suma de distancias menor.
En general, la distancia de un punto (x, y) a una
√ recta de ecuación ax + by + c = 0
es el valor absoluto del cociente (ax + by + c)/ a2 + b2 . Ası́, para nuestros puntos
A = (a, b) y P = (x, 0) y nuestra recta mx − y = 0, la suma de distancias que
queremos minimizar la podemos expresar como la función de x
p
mx
(x − a)2 + b2 + √
f (x) = d(A, P ) + d(P, s) =
m2 + 1
(olvidamos el valor absoluto pues suponemos que m y x son positivos). Su derivada
es
x−a
m
f 0 (x) = p
+√
m2 + 1
(x − a)2 + b2
y podemos por tanto asumir que x < a, porque para x > a la función es creciente
(derivada positiva) y no va a alcanzar un mı́nimo.
Los puntos crı́ticos de f son pues los que verifican la igualdad
p
√
m2 + 1 (a − x) = m (x − a)2 + b2
que, al tener sólo factores positivos, equivale a la igualdad entre los cuadrados
(m2 + 1)(a − x)2 = m2 (a − x)2 + b2
Desarrollando y simplificando m2 (a−x)2 se llega a (a−x)2 = m2 b2 , o sea a−x = ±mb
y por tanto x = a ± mb. Para ver cuál de las dos opciones es válida, si es que lo es
alguna, distinguimos dos casos.
CASO 1, b > 0. La condición x < a nos lleva a elegir x = a − mb (para la otra
elección se verificarı́a la igualdad entre los cuadrados pero no la igualdad que da los
puntos crı́ticos). Pero esto sólo sirve si x = a − mb > 0, o sea si a ≥ mb. Obsérvese
que en este caso ŝ tiene ecuación y = −mx, y por tanto ŝ⊥ tiene ecuación x = my,
de modo que la condición a ≥ mb significa que el punto A esté a la derecha de ŝ⊥ ,
y la solución P = (a − mb, 0) es el punto de corte con r de la recta perpendicular a
ŝ por A.
En otro caso (si A está a la izquierda de ŝ⊥ ) la derivada no se anula en el intervalo
[0, a] y, como es continua y es positiva en x = a, resulta que f es creciente (y positiva)
en ese intervalo, por lo que alcanza su mı́nimo a la izquierda del intervalo, o sea en
x = 0. Por tanto, en este caso la solución es P = (0, 0).
CASO 2, b < 0. Ahora x < a nos lleva a elegir x = a + mb, que sólo sirve si
x = a + mb > 0, o sea si a ≥ − mb. Como s⊥ tiene ecuación x = −my, la condición
a ≥ mb significa que A esté a la derecha de s⊥ , y la solución P = (a + mb, 0) es el
punto de corte con r de la recta perpendicular a s por A.
En otro caso (si A está a la izquierda de s⊥ ) un argumento como el anterior nos dice
que la solución es P = (0, 0).