Document

U.M.S.A.
MANUAL DE MAT-101
Par Ordenado: Es una pareja de elementos que guardan un orden determinado, se denotan
(X , Y)
X: Primera Componente; Y: Segunda Componente
Igualdad de Pares Ordenados:
(a, b)
a
(c, d )
Es importante recalcar que: (a, b)
c
b
d
(b, a)
Producto Cartesiano: El producto cartesiano de los conjuntos A y B ( A
conjunto que tiene a todos los pares ordenados de la forma ( a, b) donde a
A B (a, b) / a A b B
Recuerde que el producto cartesiano no es conmutativo: A B B A
) es el
B
A yb
B.
Definición: Una función es un tipo especial de relación, en la cúal no existen dos pares
ordenados con el mismo primer componente.
A B que cumple dos
Entonces diremos que “ f ” es una función de A en B, si f
condiciones:
i)
Totalidad (Existencia): Todo elemento del conjunto A tiene imagen en B.
x
ii)
A, y
B : ( x, y)
f
Unicidad: No existen dos pares ordenados con el mismo primer componente.
( x, y)
f
( x, z)
f
y
z
Notación: Para denotar que “ f ” es una función de A en B escribiremos:

A: Conjunto de Partida B: Conjunto de Llegada
f :A B A f B

f
( x, y) / x A y B

X: Variable Independiente
Y: Variable Dependiente
y f (x)
Definición Geométrica: “ f ” es una función si y sólo sí, cualquier recta perpendicular al eje
“X” corta en la gráfica y f (x) en un solo punto.
Funciones reales de Variable Real: Si f : A B donde A R B R , este tipo de
función se denominará función real de variable real.
Dominio de Función: Es el conjunto de los primeros componentes de los pares ordenados.
Df
x : ( x, y)
f
ELABORADO POR: AUX. DOC. WILSON TICONA PINTO
1
U.M.S.A.
MANUAL DE MAT-101
Codominio, Rango o Imagen de una Función: Es el conjunto de los segundos componentes
de los pares ordenados.
If
y : ( x, y) f
Si las funciones no estan expresadas como pares ordenados, para hallar sus dominios e
imágenes bastará con evitar que “x” o “y” estén afectadas por expresiones como:
P

División entre cero:
; Q 0
Q

Raiz par de números negativos: 2 N P ; P

Logaritmo de números negativos o del cero: Log(P) ;
0
P
0
Donde P y Q son expresiones que dependen de x o y en su caso.
Operaciones con funciones:
1.- ( f
g)( X )
f(X )
g( X )
2.- ( f * g ) ( X ) f ( X ) * g ( X )
Donde el dominio de la función resultante es el resultado de la intersección de los dominios
individuales de cada función.
En pares ordenados:
f
g
( x, f ( X )
f *g
g( X ) ) / x
Df
Dg
( x, f ( X ) * g ( X ) ) / x
Df
Dg
Tipos de Funciones:
1.- Función Inyectiva: Dos elementos del dominio deben tener imágenes distintas.
f es inyectiva
f (a)
f (b )
a
b
a, b
Df
2.- Función Suryectiva o Sobreyectiva: Son aquellas donde el segundo componente del par
ordenado es un número real.
y f(X ) ; y R
3.- Función Biyectiva: Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva.
Función Inversa: Sea “ f ” una función con pares ordenados de la forma ( a, b) , entonces la
función inversa será el conjunto de partes ordenados de la forma (b, a ) .
f
1
( f ( X ) , x) : x
Df
Recuerde que la función inversa sólo existe si solo si “ f ” es inyectiva.
ELABORADO POR: AUX. DOC. WILSON TICONA PINTO
2
U.M.S.A.
MANUAL DE MAT-101
Si la función no viene expresada en términos de pares ordenados, entonces:
-Primero debemos intercambiar “X por Y” y “Y por X”: X
Y
-Como segundo y último paso debemos despejar “y”
Evaluación de Funciones: Sea y
Si: x
f( X )
y
a , entonces
f (a) ; a
Df
Composición de Funciones:

g f
g[ f ( X ) ]

f g
f[ g( X ) ]
Se lee “ f compuesta con g ” ó
g composición f
Se lee “ g compuesta con f ” ó
f composición g
Propiedades:
1.2.3.4.-
( f  g )  h f  ( g  h)
( f g)  h f  h g  h
( f * g )  h ( f  h) * ( g  h)
f g g f
En General
5.- f  f
1
f 1 f
f I f
Donde I
I ( x)
Función Par.- Posee la propiedad: f ( X )
f(
6.- I  f
I
X)
f(
X)
Función Periódica.- Se expresa como: f ( X
T)
Función Impar.- Cumple con:
f( X )
x es la Función identidad
f ( X ) Donde T es el periodo
Todas las funciones trigonométricas son periódicas ( T 2 ); también lo es la función
distancia (T=1).
Gráfica de una Función.- Consideraremos 4 aspectos:
1.- Hallar el Dominio de la Función: Considerando que no existe división entre cero, no
existe raíz par de números negativos y que el logaritmo sólo está definido para argumentos
mayores a cero.
2.- Intersecciones con los ejes:

Eje X: y=0; luego despejamos X

Eje Y: x=0; luego despejamos Y
(a,0)
(0, b)
ELABORADO POR: AUX. DOC. WILSON TICONA PINTO
3
U.M.S.A.
MANUAL DE MAT-101
3.- Simetrías:
Simetría con el Eje Y: Si cumple con esta propiedad es una función par, es decir: f ( X ) f ( X )
Simetría Respecto al Origen: Si es simétrica respecto al origen es una función impar, es decir:
f( X )
f(
X)
Simetría Respecto al Eje X: Si existe simetría respecto al eje X la gráfica no representa una
función, solo representa una relación.
F( X ,Y )
0
F( X , Y ) F( X , Y )
F Es simétrica respecto al Eje X
4.- Asíntotas: Son rectas que limitan la curva a partir de cierto momento.
Asíntotas Verticales:
Sea y
N( X )
M(X )
Las asíntotas verticales las hallaremos resolviendo:
M(X )
0
Asíntotas Horizontales: Serán halladas previo despeje de X:
Q(Y )
x
p (Y )
Q(Y )
0
ELABORADO POR: AUX. DOC. WILSON TICONA PINTO
4