teoria matrices

MATRICES
Se denomina matriz de dimensión m×n a todo conjunto cuyos elementos están
dispuestos en m filas y n columnas
⎛ 2 1 5⎞
⎟
⎝0 3 8⎠
A= ⎜
A es de dimensión 2×3.
⎛a
a
a ⎞
En general una matriz de dimensión 2×3 se expresa A= ⎜ 11 12 13 ⎟
⎝ a21 a22 a23 ⎠
El elemento a₂₃ se encuentra en la segunda fila, tercera columna.
⎛ a11
⎜a
En general una matriz A de dimensión m×n se escribe A = ⎜ 21
⎜
⎜⎜ a
⎝ m1
a12
a22
am 2
a1n ⎞
… a2n ⎟⎟
⎟
⎟
… amn ⎟⎠
…
Abreviadamente se escribe A = (aij )m×n o simplemente A = (aij ) .Es decir (aij ) designa
la matriz completa, mientras que aij representa un elemento cualquiera.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición son iguales.
Tipos de matrices:
Matriz fila. Es una matriz de dimensión 1×n. También se denomina vector fila
A = (1 2 1 0 )
Matriz columna. Es una matriz de dimensión m×1. También se denomina vector
columna.
⎛2⎞
⎜ ⎟
A = ⎜ -1 ⎟
⎜3⎟
⎝ ⎠
Matriz cuadrada. Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Es
una matriz de dimensión n×n. Se dice que es una matriz cuadrada de orden n
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜3 2 1⎟
⎜1 2 3⎟
⎝
⎠
1 Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la formada por los elementos
de la forma aii
Matriz triangular. Es una matriz cuadrada en la que los elementos situados a un
mismo lado de la diagonal principal son nulos.
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 2 1⎟
⎜0 0 3⎟
⎝
⎠
Matriz triangular superior
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜3 2 0⎟
⎜1 2 3⎟
⎝
⎠
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que los elementos que no están en la
diagonal principal valen 0
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 2 0⎟
⎜0 0 3⎟
⎝
⎠
Matriz escalar. Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal
son iguales.
⎛2 0 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜0 2 0⎟
⎜0 0 2⎟
⎝
⎠
Matriz unidad o identidad. Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal
principal iguales a 1.Se representa por In
⎛1 0⎞
I2 = ⎜
⎟
⎝0 1⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
I3 = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Matriz nula. Es una matriz cuyos elementos son todos nulos
⎛0 0 0⎞
0= ⎜
⎟
⎝0 0 0⎠
⎛0 0 0⎞
⎜
⎟
0 = ⎜0 0 0⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
Matriz opuesta. Dada una matriz A de dimensión m×n, la matriz opuesta de A es
otra cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A. Se representa por
-A
2 ⎛ 2 1 -5 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ 0 -3 8 ⎠
⎛ -2 -1 5 ⎞
−A = ⎜
⎟
⎝ 0 3 -8 ⎠
Matriz traspuesta. Dada una matriz A de dimension m×n, se define su matriz
traspuesta como aquella que se obtiene al intercambiar en la matriz A sus filas por
sus columnas. Se representa por At o A′. En consecuencia la dimensión de A′ es n×m
⎛2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 -3 ⎟
⎜ -5 8 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 -5 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ 0 -3 8 ⎠
t
Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con su traspuesta. Es decir,
A es simétrica si A= A′ o lo que es lo mismo
⎛1 3 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜3 2 1⎟
⎜0 1 3⎟
⎝
⎠
⎛1 3 0⎞
⎜
⎟
A' = ⎜ 3 2 1 ⎟
⎜0 1 3⎟
⎝
⎠
Matriz antisimétrica o hemisimétrica. Es una matriz cuadrada que coincide con la
opuesta de su traspuesta. Es decir, A es antisimétrica si A= -A′
⎛ 0 3 5⎞
⎜
⎟
A = ⎜ -3 0 -1 ⎟
⎜ −5 1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 0 -3 -5 ⎞
⎜
⎟
A' = ⎜ 3 0 1 ⎟
⎜ 5 -1 0 ⎟
⎝
⎠
Operaciones con matrices
ADICIÓN DE MATRICES
Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de igual dimensión. se define su matriz suma
como aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de A y B
situados en el mismo lugar.
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜3 2 1⎟
⎜1 2 3⎟
⎝
⎠
⎛ 3 -1 3 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜0 2 1⎟
⎜3 0 0⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 0 ⎞ ⎛ 3 -1 3 ⎞ ⎛ 4 1 3 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
A+B = ⎜3 2 1⎟ + ⎜0 2 1⎟ = ⎜3 4 2⎟
⎜1 2 3⎟ ⎜3 0 0⎟ ⎜ 4 2 3⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Propiedades
1. Conmutativa: A+B=B+A
2. Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C
3. Elementos neutro: La matriz nula verifica que A+O=O+A
4. Elemento simétrico: Dada la matriz A, siempre existe su matriz opuesta -A,
de modo que A+(-A)=0
3 MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL
Dada la matriz A=(aij) de dimensión m×n se define el producto de una matriz por un
número real k como la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la
matriz A por k
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
A = ⎜3 2 1⎟
⎜1 2 3⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 0 ⎞ ⎛ 5 10 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
5A = 5 ⎜ 3 2 1 ⎟ = ⎜ 15 10 5 ⎟
⎜ 1 2 3 ⎟ ⎜ 5 10 15 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Propiedades:
1. Distributiva respecto de la adición de matrices k (A+B)=k A+k B
2. Distributiva respecto de la adición de números reales (k+h) A=k A+h A
3. Asociativa entre números y matrices (k h) A=k (h A)
4. El 1 es el elemento unidad:1 A=A
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera
sea igual al número de filas de la segunda matriz.
Sea A=(aij) de dimensión m×n y B=(bij) de dimensión n×p se define la matriz
producto A·B=(pij) de dimensión m×p de la siguiente manera:
⎛1 2 0 1⎞
A=⎜
⎟
⎝3 1 1 2⎠
⎛1
⎜1
B=⎜
⎜0
⎜⎜
⎝3
⎛1
⎜
⎛1 2 0 1⎞ ⎜1
⋅
A⋅B = ⎜
⎟
⎝3 1 1 2⎠ ⎜0
⎜⎜
⎝3
2
0
2
1
3⎞
1 ⎟⎟
2⎟
⎟
2 ⎟⎠
2 3⎞
0 1 ⎟⎟ ⎛ 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 3 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 ⎞ ⎛ 6 3 7 ⎞
=
=
2 2 ⎟ ⎜⎝ 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 10 16 ⎟⎠
⎟
1 2 ⎟⎠
Propiedades:
1. Asociativa: A (B C)=(A B) C
2. Distributiva respecto de la adición: A (B+C)=A B+A C
3. Asociativa respecto de la multiplicación por un número real k (A B)=(k A) B
4. Elemento neutro de la multiplicación: La multiplicación de matrices
cuadradas de orden n posee elemento neutro In ,que recibe el nombre de
matriz identidad o unidad y verifica que A In=In A=A
Observaciones:
4 a)Sea C una matriz de dim C=2×2, y D otra matriz de dim D=2×3. El producto C D
existe, sin embargo D C no se puede realizar, ya que el número de columnas de D no
coincide con el número de filas de C.
b) El producto de matrices no es conmutativo
⎛1
⎜3
⎝
⎛2
⎜1
⎝
2⎞ ⎛2 3⎞ ⎛4
⋅
=
2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 8
3 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 11
⋅
=
4 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 13
11 ⎞
17 ⎟⎠
10 ⎞
10 ⎟⎠
Puesto que la multiplicación no es conmutativa, hay que indicar el orden en que se
multiplican las matrices: En el producto A B se dice que la matriz A multiplica a la
matriz B por la izquierda.
POTENCIA
A²=A A
A³= (A A) A=A (A A)=A² A=A A²
A⁴=A A A A=A³ A=A A³=A² A²
MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A tiene inversa, y se designa por A⁻¹ si A A⁻¹=A⁻¹ A=In
Si A tiene inversa se dice que A es inversible o regular. Las matrices que no tienen
inversa se denominan no regulares o singulares.
⎛1 2 1⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 4 3⎟
⎜3 5 2⎟
⎝
⎠
⎛ -7 1 2 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 5 -1 -1 ⎟
⎜ -2 1 0 ⎟
⎝
⎠
−1
Comprobar que A A⁻¹=A⁻¹ A=In
Teorema: Si una matriz tiene inversa, ésta es única
Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss
El método de Gauss para la obtención de la matriz inversa consiste en construir la
matriz (A|I) y a través de transformaciones elementales por filas obtener la
matriz (I|A⁻¹) (si es posible)
Transformaciones elementales:
5 Cambiar de orden las filas
Multiplicar una o más filas por un número real distinto de cero.
Sumar una fila más otra multiplicada por un número real
Cálculo de la matriz inversa
⎛1 2 1⎞
⎜
⎟
•Sea A = ⎜ 2 4 3 ⎟
⎜ 3 5 2⎟
⎝
⎠
⎛1 2 1
⎜
⎜2 4 3
⎜3 5 2
⎝
⎛1 0 0
⎜
~ ⎜ 0 -1 0
⎜0 0 1
⎝
1 0 0⎞ ⎛1 2
⎟ ⎜
0 1 0⎟ ~ ⎜0 0
0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 -1
−7 1 2 ⎞ ⎛ 1
⎟ ⎜
-5 1 1 ⎟ ~ ⎜ 0
-2 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
1
1
-1
0 0
1 0
0 1
1 0 0⎞ ⎛1 2
⎟ ⎜
-2 1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 -1
-3 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0
-7 1 2 ⎞
⎟
5 -1 -1 ⎟ ⇒ A−1
-2 1 0 ⎟⎠
1 0 0⎞ ⎛1 2 0
⎟ ⎜
-3 0 1 ⎟ ~ ⎜ 0 -1 0
-2 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1
⎛ -7 1 2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 5 -1 -1 ⎟
⎜ -2 1 0 ⎟
⎝
⎠
1
3
-1
1
-5
-2
−1 0 ⎞
⎟
1 1⎟ ~
1 0 ⎟⎠
Si la matriz A puede transformarse en la matriz identidad, entonces tiene
inversa, se dice que es regular.
⎛1
⎜
2
⎜3
⎝
1
1⎞
⎟
•Sea A = ⎜ 2 −1 0 ⎟
⎛1 2 1
⎜
⎜ 2 -1 0
⎜3 1 1
⎝
1 ⎟⎠
1 0 0⎞ ⎛1 2 1
⎟ ⎜
0 1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 -5 -2
0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 -5 -2
1 0 0⎞ ⎛1 2 1
⎟ ⎜
-2 1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 -5 -2
-3 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0
0⎞
⎟
0⎟ ⇒
-1 -1 1 ⎟⎠
1
-2
0
1
A⁻¹ (A es una matriz singular)
• Cálculo de matriz inversa mediante la definición
⎛x y⎞
⎛1 2⎞
Sea A= ⎜
⎟ , si existe matriz inversa, ésta será A⁻¹= ⎜ z t ⎟ , y tiene que verificar
⎝
⎠
⎝3 7⎠
que A A⁻¹=I2
⎛1 2⎞ ⎛x y⎞
⎛1 0⎞
⎜3 7⎟ ⎜z t ⎟ = ⎜0 1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎝
⎠
⎠
⎛ x + 2z y + 2t ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜ 3x + 7z 3y + 7t ⎟ = ⎜ 0 1 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎧ x + 2z = 1
⎪ 3x + 7z = 0
⎪
⇒
⎨
⎪ y + 2t = 0
⎪⎩ 3y + 7t = 1
⎧x = 7
⎪z = −3
⎛ 7 −2 ⎞
⎪
⇒A⁻¹= ⎜
⎨
⎟ ⎝ −3 1 ⎠
⎪ y = −2
⎪⎩ t = 1
6 RANGO DE UNA MATRIZ
⎛ 1 0 -3 ⎞
⎜
⎟
Sea la matriz A= ⎜ 5 1 2 ⎟
⎜ 7 1 -4 ⎟
⎝
⎠
Esta matriz puede considerarse que está formada por tres vectores fila u=(1,0,-3),
v=(5,1,2) y w=(7,1,-4).
Observamos que el vector w verifica que:
(7,1,-4)=2 (1,0,-3)+1 (5,1,2)
Se dice que w se puede poner como combinación lineal de los vectores u y v.
Se dice que w depende linealmente de u
y v. O que u,v,w son linealmente
dependientes.
En cambio no existe ningún número real t tal que (5,1,2)=t(1,0,-3). Se dice que u y
v son linealmente independientes.
Se define rango de A y se representa por rango(A) al número de filas linealmente
independientes de la matriz A.
Siguiendo con el ejemplo rango(A)=2
Teorema: El número de filas linealmente independientes de una matriz coincide con
el número de columnas linealmente independientes de esa matriz.
Así pues, podemos decir que el rango de una matriz es igual al número de filas o de
columnas linealmente independientes.
Cálculo del rango por el método de Gauss
Para calcular el rango de una matriz debemos triangularla (hacer ceros debajo
de la diagonal recurriendo a las operaciones elementales entre filas. El rango
coincide con el número de filas no nulas
⎛ 1 0 -3 ⎞
⎜
⎟
A= ⎜ 5 1 2 ⎟
⎜ 7 1 -4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 0 -3 ⎞ ⎛ 1 0 -3 ⎞ ⎛ 1 0 -3 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 5 1 2 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 17 ⎟ ∼ ⎜ 0 1 17 ⎟ ⇒ rango(A)=2
⎜ 7 1 -4 ⎟ ⎜ 0 1 17 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
7 Una matriz cuadrada de orden n tendrá inversa si su rango es n (porque si hay
alguna fila de ceros ya no puedo conseguir la matriz I en el método de Gauss para
el cálculo de la matriz inversa.)
8