Cuadernillo de problemas

PROBLEMAS DE MECÁNICA
1. La energía potencial de interacción entre dos átomos neutros puede expresarse mediante un potencial de LennardJones U(r) = 4ε[(a/r)12 - (a/r)6] siendo r la distancia entre ellos.
- Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r)
- Para el sistema Cs – Xe, el mínimo de U(r) se halla en rm = 5.45 10-10 m con un valor Um = -2.19 10-21 J.
Deducir los valores numéricos de ε y a. Esquematizar la representación gráfica de U(r).
- Calcular la fuerza de interacción F(rm) y F(a) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio?
2. El potencial de interacción entre dos átomos neutros puede expresarse mediante un potencial de Lennard-Jones
U(r) = 4 ε [(a/r)12 - (a/r)6] siendo r la distancia entre ellos. Para el sistema Rb - Kr dicho potencial toma la
forma U(r) = 5.75 10-21 [(4.43 10-10/r)12 - (4.43 10-10/r)6].
- Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r) y el valor de U(rm) , mínimo de energía potencial
- Dibujar F(r)
- Calcular la fuerza de interacción F(rm) y F(a) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio?
3.
El potencial de interacción entre dos átomos puede expresarse mediante un potencial de Morse:
U(r) = ε [1 - exp{- a(r - rm)}]2 siendo r la distancia entre ellos.
- Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r)
- Dibujar U(r) para el sistema C - O hallándose el mínimo de U(r) en rm = 1.138 10-10 m, y siendo
ε = 1.22 10-17 J; tomar U(0) = 3.6 10-17 J
- Calcular la fuerza de interacción F(rm) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio?
4.
La energía potencial de interacción en un sistema de dos partículas viene dada en función de la distancia entre
ambas, r, por U(r) = (U0 / r) exp(-ar2), donde a y U0 son constantes positivas.
- Hallar la expresión de la fuerza derivada de este potencial.
- ¿Es atractiva o repulsiva? ¿Por qué?
- ¿Existe una posición de equilibrio estable para este sistema? Si es así, encuéntrala.
5. Dos átomos de hidrógeno que llevan una velocidad de 2 km/s colisionan formando una molécula de H2.
- Hallar la velocidad de la molécula cuando la colisión es frontal ¿cuánta es y a dónde va la energía excedente?
- Calcular la velocidad de la molécula cuando colisionan bajo un ángulo de 90° ¿cuánta es y adónde va la energía
excedente?
6. Sea una molécula halógeno-gas noble en estado excitado; tras emitir radiación UV pasa al estado fundamental y
el exceso de energía, 1.60 10-19 J, se manifiesta como energía cinética de los átomos que se separan.
- Hallar la velocidad de los átomos al disociarse las moléculas KrF y XeCl suponiendo la molécula inicialmente
en reposo; especificar direcciones y sentidos relativos mediante un esquema.
-Calcular el cociente entre los módulos de las velocidades.
7. Un átomo de argón (peso atómico 40 u.m.a) que viaja a 450 m/s choca con una molécula de nitrógeno (peso
molecular 28 u.m.a) que se halla en reposo: ni se traslada ni gira (1 u.m.a = 1.66 10-27 kg). Considerando que la
energía mecánica del sistema se conserva y que las energías de rotación y traslación de la molécula de nitrógeno
son iguales entre sí después del choque, calcular la energía cinética final del argón admitiendo que su
trayectoria no se desvía. Discutir el resultado.
8. En la molécula CO la distancia interatómica de equilibrio es r0 = 1.138 10-10 m; considerando despreciable el
tamaño de los átomos
- Hallar la distancia del centro de masas a los átomos.
- Calcular el momento de inercia de la molécula respecto a un eje que pase por el centro de masas y sea normal a
ella.
9. La molécula de CO2 es lineal y simétrica, valiendo su momento de inercia respecto al eje que pasa por su centro
de masas 6.78 10-46 kg m2; considerando despreciable el tamaño de los átomos
- Hallar el centro de masa y la longitud de la molécula (distancia O - O).
- Calcular los momentos de inercia si se substituye: el 12C por 14C; el 16O por 17O.
10. En la molécula de agua, los átomos de hidrógeno se hallan en direcciones que forman un ángulo de 105° entre
sí y están distanciados 0.091 nm del de oxígeno; considerando despreciable el tamaño de los átomos
- Hallar la posición del centro de masa.
- Hallar el momento de inercia respecto al eje de simetría de la molécula, I
- Hallar el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas y es normal al plano de la
molécula, I’.
- Resolver el problema para la molécula de agua pesada en la que el hidrógeno es substituído por deuterio.
11. Una molécula de CO (problema 8) rota con un momento angular igual a 6 h/2π (h es la constante de Planck)
- Hallar la velocidad angular de rotación.
- Calcular la energía cinética de rotación.
- Resolver el problema si el 12C es substituido por el isótopo 14C.
(Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo)
12. Considerando la rotación respecto a un eje de la molécula de CO2 (ver problema 9) y admitiendo que la energía
cinética de rotación que corresponde a ese grado de libertad es 2.02 10-21 J
- Hallar la velocidad angular de rotación
- Calcular el momento angular, expresándolo en unidades del S.I. y en unidades h/(2π)
(Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo)
13. Una molécula de cloruro de hidrógeno consta de un átomo de cloro y un átomo de hidrógeno pesado (peso
atómico 2 u.m.a). La distancia entre los núcleos es 0,127 nm.
- Calcular el momento de inercia de la molécula respecto a su centro de masas
- Hallar la velocidad angular de rotación cuando rota con un momento angular igual a 2 h/2π
(Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo)
14. Para la molécula Cs-Xe considerada en el problema 1, sujeta a rotación con un momento angular
L = 1.09 10-32 J s,
- Calcular los valores del potencial efectivo para r = rm, r = 1.5 rm , r = 2 rm y r = ∞, siendo rm la posición de
equilibrio de la molécula en ausencia de rotación.
- Calcular los valores de la fuerza derivada del potencial efectivo para los mismos valores de r.
- A la vista de los resultados, decir si el potencial efectivo presenta mínimos y máximos (pozos y barreras de
potencial).
15.
El potencial de interacción de la molécula de oxígeno puede describirse mediante la expresión
U(r)=U0 [0.5 exp {-2b(r – r0)} - exp {-b(r – r0)} ], siendo U0 = 1.67 10-18 J, b = 2.7 10 10 m-1 y r0 = 1.12 10 –10 m.
- Hallar la distancia interatómica de equilibrio para la molécula en reposo, rm.
- Cuando gira con un momento angular L = 2.12 10-32 J s, hallar la energía cinética de rotación y la fuerza
derivada del potencial efectivo para r = rm, r = 1.5 rm, r =2 rm y r = ∞.
- Deducir la forma del potencial efectivo y razonar si hay pozo de potencial.
16. Para la molécula CO considerada en el problema 3, cuando la distancia interatómica de equilibrio en rotación
es 1.18 10 –10 m.
- Hallar la energía cinética de rotación y el momento angular
- Calcular la velocidad angular de rotación y la fuerza centrípeta.
17. La aproximación parabólica del potencial de interacción considerado anteriormente para el sistema C - O
(problema 3) se expresa U2(r) = a2 ε (r - rm)2 en el entorno de la posición de equilibrio rm
- Comprobar que U2(r) es el término de 2º orden del desarrollo en serie de Taylor del potencial de Morse
U(r) = ε [1 - exp{- a(r - rm)}]2
- Hallar la constante de fuerza del oscilador.
- Evaluar la frecuencia propia de oscilación f.
- Si la energía del oscilador es 6.45 10-20 J, ¿cuál es la amplitud del oscilador?
18. La frecuencia propia de oscilación f de la molécula Na2 es 7.16 1011 Hz y de la molécula de H2 es
2.06 1013 Hz
- Hallar la aproximación parabólica de los potenciales de interacción
- Estimar la amplitud de la oscilación cuando la energía de oscilación es igual a 1.18 10-21 J (Na2) y
3.41 10-20 J (H2).
- Calcular la frecuencia propia de oscilación de la molécula de deuterio
19. Para la molécula HCl cuya distancia intermolecular de equilibrio es 0.127 nm y la frecuencia propia de
oscilación 1.40 1013 Hz
- Hallar la aproximación parabólica de los potenciales de interacción
- Estimar la amplitud de la oscilación cuando la energía de oscilación es igual a 2,32 10-20 J
20. La molécula de CO2 puede oscilar en dos modos normales, simétrico y asimétrico en la dirección longitudinal
(1 dimensión); la frecuencia angular correspondiente al modo simétrico es ωsim= 2.529 ×1014 rad s-1.
- Hallar la constante de fuerza interatómica. ¿Cuál es la frecuencia propia del modo asimétrico?
21. Siendo la energía cinética media de las moléculas de un gas a temperatura T igual a (3/2) kB T, para las moléculas
de 4He, N2, CO2, e I2
- Hallar la velocidad cuadrática media a 20 °C y a 20 K
22. A cierta temperatura, la velocidad cuadrática media de las moléculas de O2 es 300 m/s
- Hallar la temperatura
-Repetir el problema para moléculas de H2 y de Kr
23. La velocidad cuadrática media de las moléculas de 3He a una temperatura T es 2,45 km/s
- Hallar la velocidad cuadrática media de las moléculas 4He y H2O a esa temperatura.
24. Para la molécula de Cl H (problema 19) en estado gas a 120ºC
- Calcular la energía cinética de traslación
- Hallar el momento angular promedio en unidades SI a dicha temperatura
- ¿Oscilará siendo la energía mínima necesaria igual a (3/2)h f?
25. Una molécula de CO rota con un momento angular igual a ( 6 / 2π) h .
- Hallar la temperatura T del gas del que forma parte admitiendo que dicha energía, por el principio de
equipartición, corresponde a la cantidad kB T/2
26. La frecuencia propia de oscilación f de la molécula Na2 es 7.16 1011 Hz y de la molécula de H2 es
2.06 1013 Hz
- Calcular la temperatura T a la que las moléculas oscilarán con una energía 3/2 h f, siendo h la constante de
Planck y admitiendo que dicha energía es igual a kB T
PROBLEMAS DE MECÁNICA. SOLUCIONES
4.
r
r
r
F (r) = 24 ε a6/r7 [2 (a/r)6 - 1] r$ , donde a=4.85 10-10 m, ε = 2.19×10-21 J; F (rm)= 0; F (a) = 1.08 10-10 r$ N.
r
r
F (rm)= 0; F (a) = 7.79 10-11 r$ N; rm = 4.97 10-10 m
r
r
F = 2 a ε exp[-a{r-rm}] ( exp[-a{r-rm}] - 1 ) r$ , con a= 8.79 109 m-1 ; F (rm)= 0; rm.
r
F =U0 exp(-ar2) (r-2+2a) r$ ; repulsiva; no.
5.
Colisión frontal: la molécula queda en reposo; ∆Ec= -6.64 10-21 J
1.
2.
3.
r
Colisión de 90º: v = (1,1) km s-1 (|v|= 2 km s-1) ∆Ec= -3.32 10-21 J
La energía sobrante: rotación, vibración, excitación electrónica.
6.
vKr= 652 ms-1
vF= 2876 ms-1
-21
vKr /vF= 0.23; vXe= 559 ms-1
vCl= 2069 ms-1
7.
Ec(Ar) = 1.56 10
8.
dC-CM= 4/7 d = 6.5 10-11 m; dO-CM= 3/7 d = 4.88 10-11 m; I = 1.47 10-46 kg m2
9.
dO-O = 2.26 10-10 m ;
vXe /vCl= 0.27
J
12
C -> 14 C: queda igual;
16
O->17O: I = 7.21 10-46 kg m2.
10. Si el origen de coordenadas -(0,0)- es el átomo de O: xCM=0, yCM= -6.15 10-12 m.
I = 1.73 10-47 kg m2; I’ = 2.61 10-47 kg m2
Deuterio: I= 3.46 10-47 kg m2 ; I= 5.09 10-47 kg m2
11.
ω= 1.75 1012 rad s-1; Ec = 2.246 10-22 J;
12.
ω= 2.44 1012 rad s-1; L = 15.7 h
12
C -> 14 C: ω = 1.611012 rad s-1; Ec = 2.08 10-22 J.
13. I = 5.15 10-47 kg m2; ω = 2.90 1012 rad s-1
14.
r
Uef (J)
rm
1.5 rm
2 rm
∞
-3.6 10-22
4.5 10-22
3.9 10-22
0
-
∂U ef
(N)
∂r
6.4 10-12
-5.7 10-13
4.7 10-13
0
15. rm=1,12 10-10 m
r
Ec,r (J)
rm
1.5 rm
2 rm
∞
1.3 10-18
6.0 10-19
3.4 10-19
0
-
∂U ef
(N)
∂r
2.4 10-8
-6.1 10-10
9.3 10-10
0
L= 1.18 10-32 Js. Ec = 4,39 10-19 J; ω= 7.44 1013 rad s-1 Fc = 7.49 10-9 N.
16.
17. k= 1885 N m-1; f = 6.48 1013 s-1; A=8.27 10-12 m.
18.
k(Na2)= 0.38 N m-1; k(H2)= 13.90 N m-1; A(Na2)= 7.81 10-11 m; A(H2)= 7 10-11 m; f = 1.46 1013 Hz.
19.
k= 12.46 N m-1; la aproximación parabólica del potencial es 6.23 (r-1.27 10-10)2 J.; A = 6.10 10-11 m.
20.
k = 1699 N m-1. ωasim= 4.843×1014 rad s-1
21.
4
He :
v 2 =1352 ms-1,
v 2 = 353.25 ms-1; N2: 511 ms-1, 133.52 ms-1; CO2: 407.67 ms-1, 106.51 ms1
I2: 169.67 ms-1, 44.33 m s-1
22. O2: 115.39 K; H2: 7.21 K; Kr : 302.19 K
23.
4
He: 2.12 km s-1 ; H2O : 1 km s-1
24. 8.13 10-21 J; 5.31 10-34 kg m2/s; no
25. T = 32.86 K.
26. Na2 : 51.6 K ; H2 : 1483.6 K.
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA
1. En las cataratas del Niágara, el agua cae desde una altura de 50 m. Si toda la variación de energía potencial se
convirtiese en energía interna del agua,
- Calcular el incremento de temperatura (cp (agua) = 1 cal/g °C)
- Repetir el cálculo para las cataratas de Yosemite donde el agua cae desde una altura de 740 m.
2. ¿Cuál debe ser la velocidad de una bala de plomo a 25 ºC para que el calor disipado cuando alcanza el reposo
sea exactamente el necesario para fundirla? cp(plomo) = 26.9 J/mol °C, l(plomo)= 24.4 J/g, Tfusion = 327.3 ºC
3. Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20 °C. Dentro del recipiente se introduce un
trozo de hielo de 100 g enfriado a -20 °C. cp (aluminio) = 0,214 cal/g °C; cp (agua) = 1 cal/g °C;
l (hielo) = 80 cal/g.
Determinar la temperatura final del sistema suponiendo que no hay pérdidas caloríficas (para el calor
específico del hielo tómese el valor 2.0 kJ/kg.K)
- Se añade un segundo trozo de hielo de 300 g a -20 °C ¿cuánto hielo queda en el sistema una vez alcanzado
el equilibrio?
- Sería distinto el resultado si ambos trozos se agregasen simultáneamente?
4. En una taza de peso 80 g y calor específico 0.20 cal/(g °C) que se encuentra inicialmente a 20 °C, vertemos
250 g de café a 100 °C.
-Si esperamos hasta que se evaporan 5g de café (calor latente de vaporización,
540 cal g-1)¿cuál es la temperatura final del café? (calor específico del café igual al del agua, 1 cal/(g°C)).
- Añadimos 100 g de hielo a 0 °C (calor de fusión del hielo, 79.7 cal g-1 ) ¿cuál es la temperatura final del
café con hielo?
5. Dentro de un calorímetro que contiene 1,75 kg de agua a 18 °C, introducimos un recipiente de aluminio (cuyo
calor específico es 0,900 kJ / (kg K) y vacío pesa 20 g), que contiene 100 g de triclorometano en equilibrio
térmico con el recipiente a 35 °C. Transcurrido un cierto tiempo, el conjunto está a una misma temperatura
de 18,22 °C.
- ¿Cuál es el calor específico del triclorometano?
6. A temperaturas muy bajas el calor específico de un metal viene dado por la fórmula
c = α T + ß T3. Para el cobre α = 0.0108 J/kg.K2; ß = 0.000762 J/kg.K4
- ¿Cuál es el calor específico a 4 K?
- ¿Qué calor es necesario suministrar para calentar el cobre desde 1 hasta 3 K?
7. El motor de un turborreactor sigue el ciclo termodinámico de Joule, que consta de cuatro procesos:
A-B compresión adiabática. B-C calentamiento isobárico (combustión). C-D expansión adiabática. D-A
enfriamiento isobárico. A la entrada la presión del aire es 0.8 atm y la temperatura -10 °C. En la turbina (C)
la presión es 16 atm y la temperatura 800 °C. Entran 60 m3/s de aire (A) (suponer gas perfecto, γ = 1,4 ,
Cv = 4,975 cal/mol K).
- Hallar el calor producido en 1 s en la combustión (B-C).
- ¿Cuál es la temperatura de salida del gas (D)?
- ¿Cuál es su rendimiento termodinámico?
8. Un motor de explosión (ciclo de Otto) de 1000 c.c. trabaja con una relación de compresión igual a 8. Se toma
aire de la atmósfera (P = 1 atm., T = 20º C) y se expulsa a 450 °C. Considerar el aire como un gas perfecto
diatómico.
- Calcular su rendimiento.
- Calcular la cantidad de calor intercambiada en un ciclo.
- Si el motor realiza 3000 ciclos/minuto hallar la potencia entregada.
9. Replantear el problema para el ciclo Diesel y una relación de compresión igual a 15, realizando 1800 ciclos
por minuto.
10. Un frigorífico (consideraremos que el sistema sigue un ciclo de Carnot) extrae calor de una masa de agua a
0º C y lo cede al aire, a 27 ºC, convirtiendo 50 kg de agua en hielo a 0ºC.
- ¿Cuánto calor se cede a la habitación?
- ¿Qué cantidad de energía ha de suministrarse al frigorífico?
11. Un acondicionador de aire portátil extrae calor de una habitación, foco frío a 15ºC, y lo cede a un depósito
de agua, foco caliente a 45ºC. Suponiendo que trabaja según el ciclo de Carnot:
- Calcular el consumo eléctrico y el calor cedido al agua por cada kilocaloría extraída de la habitación.
- Calcular la masa de agua inicialmente a 45ºC que podríamos convertir en vapor al extraer una kilocaloría
del ambiente (lvaporización = 540 kcal/kg, cp (agua) = 1 kcal/kg)
12. Hallar la variación de energía interna y de entropía que se producen al congelar 1 kg de agua a presión
normal. l (agua) = 80 cal/g, ρ(hielo) = 0.9 g/cm3
13. Comunico entre sí 2 botellas de 10 l, una de N2 y otra de O2 ambas a 1 atm y 27°C
- Hallar el cambio de entropía cuando ambos gases se mezclan hasta alcanzar el equilibrio a 27ºC suponiendo que
se comportan como gases perfectos
14. El calor de fusión del agua es 1435 cal/mol y el de vaporización 9712 cal/mol; la capacidad calorífica molar
del hielo es 9,0 cal/K.mol y la del vapor de agua a presión constante 8,6 cal/K.mol
- Hallar el cambio de entropía de 1 kg de agua que se calienta desde -20 °C hasta 150 °C
15. Se introduce un bloque de 1 kg de cobre (cp= 0.093 cal/g K) a 100 oC en el interior de un calorímetro de
capacidad calorífica despreciable que contiene 4 l de agua a 0 oC. Calcular la variación de entropía
- del bloque de cobre
- del agua
- del universo.
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA. SOLUCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
0.12 ºC; 1.73 ºC.
357 m/s
2.95 ºC; 212 g; no
Tf = 84.7 ºC; 39.2 ºC
cp = 0.186 cal/g ºK
92 mJ/kg K; 58.44 mJ/kg
7.03 Mcal; 183 º C; 57 %
56 %; 115.36 cal; 24.11 kW
61%; 138 cal; 17.33 kW
18.37 MJ; 1.65 MJ.
–435 J; 1104 cal; 1.86 g
-334.40 kJ; -1225 J/K
4.68 J/K
8985 J/K
-118 J/K; 139 cal/K; 21 J/K.
PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
1. Dos cargas puntuales, de valores q1= 5 µC y q2= -10 µC, están separadas a una distancia d=1 m en el vacío.
- Determinar el vector campo electrostático en un punto situado a 0.6 m de q1 y 0.8 m de q2.
- ¿En qué punto del espacio se anula el campo creado por estas dos cargas?
2. Dos bolitas idénticas de masa 100 g y carga 10 µC se suspenden de un punto mediante hilos iguales, de longitud
l= 50 cm. Ambas bolas están sometidas a la acción de la gravedad.
-Determinar el ángulo que forma cada una de las cuerdas con la vertical en situación de equilibrio.
3. Una gota de niebla de aceite tiene una masa de 4 10-14 kg y una carga neta igual a 3 electrones. La fuerza
debida a un campo eléctrico homogéneo equilibra justamente la fuerza de la gravedad, permaneciendo la
gota suspendida en reposo.
- Calcular la magnitud del campo electrostático e indicar su dirección y sentido. ¿Cómo serán las
superficies equipotenciales? (la carga del electrón es –1.6 10-19 C).
4. Se dispone de forma alternada un número infinito de cargas puntuales, positivas y negativas de igual
magnitud (q y -q), sobre una línea recta. La separación entre dos cargas adyacentes es d.
-¿Cuál es la energía potencial de cada carga?
-Calcular dicha energía en el caso de iones Na+ y Cl-, si d = 10-10 m.
(Ayuda: ln(2) = 1 - ½ + 1/3 - ¼ .....)
r
r
r
5. Un dipolo eléctrico de momento dipolar p = ql se sitúa a una distancia d de una carga puntual q’. p es
paralelo al campo electrostático debido a la carga puntual en la posición del dipolo.
- Calcular la fuerza del dipolo sobre la carga cuando l<<d. ¿Es atractiva o repulsiva?
- Evaluar la fuerza y la energía potencial cuando interaccionan un ión Na+ y una molécula de agua
(p= 6.2 10-30 Cm) distanciados 1 nm.
6. El momento dipolar eléctrico de la molécula de agua es pe= 6.2 10-30 C m
- Hallar la expresión del campo eléctrico creado por una molécula de agua.
- ¿Cómo responde una molécula de agua al someterla a un campo eléctrico externo uniforme?
7. Calcular la fuerza de una carga puntual sobre un dipolo, cuando éste se halla a una distancia d de la carga y
está orientado de forma que la fuerza es atractiva y máxima (suponer que l<<d).
- Evaluar numéricamente la fuerza y la energía potencial del sistema ión Na+ y molécula de amoníaco
( p(NH3) = 4.93 10-30 C m) distanciados 1 nm.
8. Una distribución esférica de carga, de densidad constante, tiene un potencial de 450 V en su superficie. A 20
cm. de dicha superficie, el potencial es 150 V (suponemos que el potencial en el infinito vale 0).
-Hallar las expresiones para el potencial y el campo electrostáticos en todo el espacio (0<r<∞)
-¿Cuál es el radio de la esfera? ¿Cuál es su carga?
9. Calcular el campo y el potencial electrostáticos en todo el espacio, producidos por una distribución esférica
de carga uniforme de radio 10 cm e igual a 1 nC/m3 en el vacío
-Repetir el problema si la carga se distribuye uniformemente en una corteza esférica de 5 cm de radio
interior y 10 cm de radio exterior.
1 | e | −r / a
10. Un átomo de hidrógeno origina un potencial electrostático dado por V (r ) =
e
, donde |e| es la
4πε 0 r
carga del protón, r la distancia del núcleo al punto de observación y a el radio de Bohr. (|e|= 1.60 10-19 C,
a= 5.3 10-11rm). Calcular:
-El campo E rcreado por el átomo.
-El flujo de E a través de una superficie esférica con radio r y centro en el protón.
- Evaluar numéricamente los apartados anteriores para r = 1 nm.
11. Dos láminas conductoras plano-paralelas de espesor 1 cm, están separadas 1 cm una de otra en el aire
(ε ∼ ε0). Las láminas están fijas y su carga neta inicial es nula. Con un generador se establece una diferencia
de potencial de 100 V entre ellas.
- Evaluar el campo y el potencial electrostático en todo el espacio en la situación de equilibrio (considerar las
láminas ilimitadas).
- Dibujar las distribuciones superficiales de carga en las láminas y hallar su valor.
12. Sea una cubeta donde se colocan dos conductores planos con cargas iguales de sentido contrario y de
10 cm de lado, paralelos entre sí y a una distancia de 1 cm. El campo interior es 2 kN / C.
- Calcular la diferencia de potencial y el potencial eléctrico en el espacio entre los electrodos cuando la
cubeta está vacía.
- Hallar las densidades superficiales de carga libre en los electrodos y la capacidad del sistema.
13. En el eje de un cilindro metálico hueco, recto e ilimitado, de radio interno re= 5mm y espesor ∆r=1 mm se
coloca un hilo metálico de radio ri= 0.5 mm. Posteriormente se establece una diferencia de potencial de
+100 V entre el conductor interno y el externo (origen de potencial). Si la carga neta del conjunto es nula,
- Hallar las expresiones del potencial y del campo electrostáticos en todo el espacio (0<r<∞ )
- Calcular la densidad superficial de carga en cada uno de los conductores.
- Calcular la energía almacenada y la capacidad del sistema por unidad de longitud.
14. En el eje de un cilindro metálico hueco, recto e ilimitado, de radio interno re = 5 mm y espesor ∆r = 1 mm,
se coloca un hilo metálico de radio ri = 0,5 mm. El conductor interior tiene una densidad lineal de carga de
5 nC/m estando el conductor exterior (origen de potencial) descargado.
- Hallar las expresiones del potencial y el campo electrostático en 0<r<6 mm
- Calcular la energía almacenada por unidad de longitud en la región 0<r<6 mm
15. En el eje de un cilindro metálico hueco, recto e ilimitado, de radio interno re= 5mm y espesor ∆r = 1 mm se
coloca un hilo metálico de radio ri= 0.5 mm. Posteriormente se establece una diferencia de potencial de
+200 V entre el conductor interno y el externo (origen de potencial). La carga neta del conjunto es nula y el
espacio entre los conductores está ocupado por benceno (εr = 2,28).
- Hallar las expresiones del campo y el potencial electrostáticos en el dieléctrico.
-Calcular las densidades superficiales de carga libre de los conductores, y las de carga de polarización en el
benceno.
-Calcular los vectores polarización y desplazamiento en el benceno.
16. Resolver el problema anterior substituyendo el benceno por glicerina (εr = 42,5), y con la diferencia de
potencial necesaria para tener un campo electrostático de 4 kV/m en r=ri .
en glicerina (εr = 42.5)
17. Sea un ión de carga 2|e| que se halla inmerso
r
-Calcular el campo electrostático E creado por el ión en todo el espacio, así como los vectores
polarización y desplazamiento. Comparar los resultados que se obtendrían si el ión estuviera en el vacío.
-Evaluar las magnitudes a una distancia de 2 nm del ión.
-Hallar la energía potencial de dos iones separados esa distancia en el seno del dieléctrico.
18. A través de la sección normal de un tubo fluorescente de 3 cm de diámetro pasan 2 1018 electrones y 0.5 1018
iones positivos (con carga |e|) por segundo. El fluorescente mide 1 m, y la diferencia de potencial entre sus
extremos es de 50 V. Considerando que la carga neta del gas es nula (gas neutro) y la concentración de
electrones es 1018 e - / m3
-¿Cuál es la corriente que circula por el tubo?
-Hallar la densidad de corriente, la conductividad y el campo eléctrico.
-Calcular la velocidad de arrastre de los iones
19. Un alambre de cobre de 0.815 mm de radio transporta una corriente de 1 A. Si la conductividad del cobre es
de 5.81 107 Ω− 1m -1
-Calcular la velocidad de arrastre de los electrones, si la densidad del cobre es 8.93 g/cm3. Suponer que hay
un solo electrón libre por átomo de cobre.
-Hallar la densidad de corriente y el campo eléctrico.
20. Cuando se introducen en una disolución acuosa de KCl dos láminas de 5 cm2 de área, separadas 2.5 cm, y
se establece entre ellas una diferencia de potencial de 50 V, circula una corriente de 1.2 mA.
-Calcular la conductividad del electrolito y el campo eléctrico.
-¿Cuántos moles de Cl2 se desprenden en una hora?
21. En serie con una batería eléctrica se conectan un amperímetro, una resistencia y un interruptor, y en paralelo
con la batería un voltímetro. Con el interruptor abierto la lectura en el voltímetro es 1,52 V , y cuando se
cierra 1,37 V señalando el amperímetro 1,5 A.
- Calcular la f.e.m. y la resistencia interna de la pila si el voltímetro presenta una resistencia de 1.00 kΩ y el
amperímetro de 0,15 Ω.
- ¿Que corriente circula por la batería si la cortocircuito?
- Calcular la potencia disipada en la resistencia externa.
22. Determinar la potencia disipada en la
resistencia R de la figura según que su valor sea
0.5, 1 o 2 Ω.
23. El puente de Wheatstone se usa para medir con
precisión una resistencia Rx cuando se dispone
de un juego de resistencias patrón. Una vez
montado el circuito, con R1 y R2 adyacentes a
Rx, se modifican los valores de R1 y R2/R3 hasta
conseguir que la corriente que atraviesa el
galvanómetro G se anule (puente equilibrado).
-Demostrar que, en estas circunstancias,
RX = R1 R2/R3.
G
24. Un calentador eléctrico está diseñado para funcionar a 220 V disipando 660 W.
- ¿Qué corriente lo atraviesa?
- Suponiendo que su resistencia no varía con la temperatura, ¿qué potencia eléctrica disipa alimentado a
125 V?
25. Por un cilindro conductor rectilíneo y hueco, de diámetro interior 10 mm y exterior 14 mm, circula una
corriente de densidadr0.5 A/cm2.
- Calcular el campo B en todo el espacio.
26. Por un conductor cilíndrico
r indefinido de radio a = 1 cm circula una corriente de intensidad 5 A.
- Determinar elr campo B en todo el espacio (dentro y fuera del cilindro).
- ¿Cuál sería B si toda la corriente circulara por la superficie lateral del cilindro?
27. Un cable coaxial rectilíneo e indefinido consta de un conductor interno macizo de 1 mm de diámetro,
rodeado por otro de 3mm. de diámetro externo y 0.3 mm de espesor. Por el conductor interior circula una
corriente de 500 mA,
r y por el exterior una corriente de 1 A en sentido contrario.
- Hallar el campo B en todo el espacio (0<r< ∞ ).
28. Situamos dos espiras circulares, de radio 0.5 m, paralelas entre sí y a una distancia igual a su radio. Si por
ellas circula una corriente
de 20 A en el mismo sentido,
r
-calcular el campo B en el punto del eje equidistante de las espiras, y en el centro de una de ellas.
-repetir el cálculo si las corrientes circulan en sentidos opuestos.
29. Dos espiras circulares concéntricas de radios 0,2 m una de ellas y 0,5 m la otra, están recorridas por
corrientes de 10 A.
- Calcular el campo en el centro común de las espiras y a 1 m del centro sobre el eje, si en ambas circula la
corriente en el mismo sentido.
- Repetir el cálculo para corrientes que circulan en sentido contrario.
30. Sean dos solenoides rectos ilimitados, situados uno dentro de otro. Por el externo, que tiene 200 espiras por
metro circula una corriente
de 1 A; por el interno (100 espiras por metro) una de 2 A.
r
- Calcular el campo B en un punto del eje si ambas corrientes circulan en el mismo sentido.
- Responder a la pregunta anterior si las corrientes circulan en sentidos opuestos.
31. Una bobina recta e ilimitada de espiras apretadas tiene un diámetro de 40 cm, y transporta una intensidad
de 2.5 A.
-Calcular el número de espiras por unidad de longitud si la inducción magnética en el centro de la bobina
es 1.26 10-4 T.
-Hallar el valor del campo magnético si el diámetro de la bobina fuera 20 cm.
32. Un protón se mueve en la dirección x en una región de campos cruzados, donde
r
E = 2 105 z$ N/C.
r
B = -0.3 y$ T y
- Si el protón no se desvía, ¿cuál es su velocidad?
- Si el protón se mueve con una velocidad doble que la anterior, ¿en qué dirección se desviará?
33. En un espectrómetro de masas semicircular trabajamos con iones de 24Mg, con carga |e|. Partiendo del
reposo, los sometemos a una diferencia de potencial de 1 kV; a continuación, los inyectamos en una región
donde existe un campo magnético constante. Allí describen una trayectoria circular de radio R.
- ¿Cuál será el radio de la trayectoria de iones de 25Mg acelerados por el mismo potencial?
- ¿Qué diferencia de potencial V’ haría que los iones de 25Mg describiesen una trayectoria de radio R?
34. Un electrón con velocidad 1.5 107 ms-1 en la dirección OX penetra en una región donde existe un campo
magnético uniforme y se observa que se mueve en línea recta, a velocidad constante. Cuando el electrón se
mueve con la misma velocidad, pero en dirección OY, la fuerza sobre él es 3.2 10-13 N, y está dirigida en la
dirección positiva del eje OZ.
r
- Calcular módulo, dirección y sentido del campo B .
35. Una cinta de cobre de 2 cm de anchura y 1 mm de espesor transporta una corriente de 10 A, siendo los
portadores eléctricos los electrones (en cobre 8,5 1028 e- / m3). La cinta se halla en el seno de un campo
magnético de 1 T cuyas líneas son perpendiculares a ella
- Calcular la fuerza electromotriz Hall
- Hallar la fuerza sobre la cinta por unidad de longitud
- Indicar en un esquema las direcciones y sentidos correspondientes al campo magnético, al campo eléctrico
Hall y a la densidad de corriente.
36. Empleamos como magnetómetro de efecto Hall una cinta de germanio con impurezas de 4 mm de anchura y
0.2 mm de espesor; la concentración de electrones portadores en el material es 1024 e- / m3. Haciendo
circular una intensidad eléctrica de 100 mA por la cinta y orientándola convenientemente obtenemos una
diferencia de potencial entre sus bordes máxima de 0.6 mV.
- Calcular el valor del campo magnético.
r
- Representar en un esquema la cinta señalando la dirección y sentido de B respecto a la densidad de
corriente y la polaridad de la f.e.m. Hall.
37. Dos conductores prácticamente ilimitados y rectilíneos se sitúan paralelos entre sí y distanciados 0,5 cm. Por
uno de ellos circula una intensidad de 5 A y la fuerza sobre el otro conductor es 1 mN por unidad de longitud.
- Calcular la intensidad que circula por éste, razonando en qué sentido cuando se repelen.
38. Una varilla conductora recta de 30 cm y 20 g se halla horizontal con sus extremos en dos guías verticales
que le permiten subir y bajar; además dichas guías se hallan conectadas a un generador de manera que
circulan 2 A por la varilla.
- Hallar el módulo y especificar la dirección y sentido del campo magnético necesario para sostener la
varilla.
39. En un laboratorio donde se ha creado un campo magnético uniforme horizontal de 1 T en el sentido del eje OX
r
desplazo con velocidad constante v = 100 ẑ m/s una varilla delgada conductora y recta de longitud 0,5 m.
Hallar la diferencia de potencial entre sus extremos si la desplazo orientada:
- en la dirección OX
- en la dirección OY
- en la dirección OZ
- en dirección normal a OZ y 45o respecto a OX.
40. Una espira rectangular de dimensiones 10 cm x 20 cm y resistencia R = 5 Ω se mueve a través de una región
del espacio en la cual existe un campo magnético dado por Bx = (6 -y) T, y By = Bz = 0. Determinar la
intensidad que circula por la espira y el sentido de circulación, supuesto que la espira se halla en el plano
x = 0, y
- Se mueve paralelamente al eje OY con una velocidad uniforme v = 2 m/s.
- Se mueve partiendo del reposo paralelamente al eje OY con aceleración uniforme a = 3 m/s2.
41. Una espira rectangular de dimensiones 10 cm x 20 cm y resistencia R = 5 Ω gira en torno a uno de sus lados
de 10 cm, eje OY, en una región del espacio en la cual existe un campo magnético dado por Bx = 0.6 T, y
By = Bz = 0 T.
- Determinar la intensidad que circula por la espira si inicialmente (t = 0) se halla en el plano x = 0 y su
velocidad angular es 5 rad/s (constante).
- Discutir el sentido de circulación de la corriente cuando pasa por el plano z = 0.
42. Un imán tiene un momento dipolar magnético 0,5 J/T. Aproximamos según la dirección de su eje con una
velocidad constante de 10 m/s una espira cuyo plano es normal al eje y tiene un área de 1 cm2. La espira
permanece en todo momento suficientemente alejada para poder suponer el campo constante en todo el
área, e igual a su valor en el eje..
- Calcular el flujo a través de la espira en función de la distancia.
- Hallar la f.e.m. inducida en la espira.
43. El eje de una bobina, de 200 vueltas y 10 cm de radio, es paralelo a un campo magnético uniforme de 0,2 T.
Determinar la fem inducida en la bobina cuando en 100 ms y de una forma lineal con el tiempo,
- se duplica el campo magnético,
- se reduce el campo a cero,
- se invierte el sentido del campo,
44. Por un solenoide recto, de longitud de 0,5 m, sección de 10 cm2 y 1000 vueltas de hilo conductor circula una
corriente de intensidad 1A (suponer para el cálculo del campo B un solenoide ilimitado).
- Hallar el coeficiente de autoinducción, despreciando efectos de borde.
- Calcular la energía almacenada.
Si enrollamos una bobina de 10 vueltas alrededor de su zona central:
- Calcular el coeficiente de inducción mutua.
- Hallar la f.e.m. en los extremos de la bobina si la corriente que circula en el solenoide tiene ahora una
intensidad variable I = cos{100.π.t} A
45. Un solenoide recto de 2000 vueltas tiene una longitud de 0,30 m y una sección transversal de 12 cm2. Una
bobina de 300 vueltas está enrollada alrededor de su zona central (suponer para el cálculo del campo B un
solenoide ilimitado.
- Determinar el coeficiente de inducción mutua.
- La f.e.m. entre los extremos de la bobina si la corriente inicial de 2 A en el solenoide se invierte en 0,2 s de
forma lineal
46. Disponemos de 12.6 m de hilo conductor con el que se va a construir una bobina de 1 m de longitud (suponer
para el cálculo del campo B un solenoide ilimitado).
- ¿Cómo obtendremos un mayor coeficiente de autoinducción, usando todo el hilo disponible para construir
la bobina con espiras de 2 cm de diámetro, o construyéndola con espiras de 4 cm de diámetro?
- Calcular el valor del coeficiente de autoinducción en cada caso.
47. El flujo magnético a través de un circuito por el que circula una corriente de 2 A es 0,8 Wb.
- Hallar el coeficiente de autoinducción
- Calcular la energía almacenada
48. Por un solenoide toroidal de sección 10 cm2 y longitud de la circunferencia media 0,5 m que tiene 100
vueltas de hilo conductor,circula una corriente de intensidad 1 A.
- Hallar el flujo magnético a través de cada espira.
- Calcular el coeficiente de autoinducción.
- Calcular la energía almacenada.
49. Un solenoide de longitud 25 cm y radio 0.8 cm posee 400 vueltas y se encuentra en el seno de un campo
magnético externo de 1 T, de dirección paralela a su eje.
-¿Cuál es la fem inducida en el solenoide si el campo magnético externo se reduce a cero de forma lineal
con t en 1.4 s? ¿ qué significa el signo que resulta?
-Cortocircuitado el solenoide y sabiendo que el hilo tiene una resistencia de 0.2 Ω ¿qué corriente circulará
por él al anular el campo magnético?
50. En los circuitos de la figura, se cierra el
interruptor (conexión) en el instante t=0.
-Determinar en el instante de la conexión cuál
es la intensidad que circula por la resistencia de
10 Ω. ¿Cuál será la intensidad final transcurrido
un tiempo infinitamente largo?
- Si alcanzada la situación final abrimos el
interruptor (desconexión) ¿qué intensidad
circulará por la resistencia de 5 Ω en ese
instante?
51. Una resistencia comercial está construida con un alambre arrollado siendo la resistencia del conductor
100 Ω y el coeficiente de autoinducción del arrollamiento 10 µH.
- Calcular la evolución temporal de la corriente si entre sus extremos se establece una diferencia de potencial
de 5 V durante 0.1 ms cortocircuitándola a continuación.
Ayuda: la solución de la ecuación diferencial A (dy/dx) + B y = C es y = K exp{-(B/A) x} + C / B.
52. Un condensador de 1 µF y una resistencia de 100 Ω se conectan en serie.
- Calcular la evolución temporal de la corriente si entre sus extremos se establece una diferencia de potencial
de 12V durante 0.1 ms cortocircuitando sus extremos tras la desconexión..
Ayuda: la solución de la ecuación diferencial A (dy/dx) + B y = C es y = K exp{-(B/A) x} + C / B.
53. En los extremos de un circuito RLC serie, donde R = 20 Ω , L = 0.05 H y C = 1 µF se aplica una diferencia de
potencial alterna V(t) = 10 sen {ω t} V.
-Calcular la frecuencia de resonancia, la anchura de banda y el factor de calidad.
-Determinar la diferencia de potencial entre los extremos del condensador, entre los extremos de la bobina y
entre los extremos de la resistencia a la frecuencia de resonancia.
54. Un condensador cuyas placas enfrentadas de superficie 10 cm2 están separadas por un dieléctrico de
permitividad relativa 3.5 y espesor 2 µm se conecta a un generador de fuerza electromotriz
V(t) = 5 sen {200 π t} V.
- Calcular la densidad de corriente de desplazamiento y la intensidad que circula por el circuito (suponer para
los cálculos condensador plano).
55. Al cargar el condensador del problema anterior conectándolo a un generador de fuerza electromotriz 10 V la
diferencia de potencial entre sus extremos varía en la forma V(t)=10 [1 – exp {-300 t}] V.
- Calcular la densidad de corriente de desplazamiento.
- Hallar el valor máximo de la intensidad de corriente y su valor transcurridos 2 ms del inicio de la carga.
56. El Cobalto tiene una densidad de 8.9 g/cm3 y un peso molecular de 58,9 g/mol. Su imanación de saturación
es µ0Ms=1.79 T.
- Calcular el momento magnético de un átomo expresando el resultado en magnetones de Bohr.
57. La densidad del aluminio es 2.7 g/cm3 y su peso molecular 27 g/mol. Admitiendo que el momento magnético
de un átomo de aluminio es 1 magnetón de Bohr,
- Determinar su imanación de saturación.
- Calcular la susceptibilidad magnética a 300 K a partir de la ley de Curie.
58. El momento magnético de la Tierra es aproximadamente 9.22 1022 A m2.
- Si la imanación del núcleo terrestre fuera 1.5 109 A/m, ¿cuál sería su volumen?
- ¿Cuál es el radio de éste núcleo supuesto esférico?
59. Cuando se aplica a un material diamagnético un campo magnético de módulo B = 1 T la imanación del
material es, también en módulo, de 8 A / m.
- ¿Cómo es el sentido del vector imanación respecto al campo magnético?
- Deduce los valores de la imanación cuando B = 0 T y cuando B = 0.5 T
60. Hallar las longitudes de onda en el vacío correspondientes a una onda de radio AM de frecuencia 639 kHz
(RNE 1), una onda de radio de FM de 100.0 MHz (RNE 5), una onda emitida por un teléfono móvil GSM de
0.9 GHz, la de un típico horno microondas de 2.4 GHz, y la de la luz amarilla emitida por el sodio,
5,09 1014 Hz
61. Una onda electromagnética plana, de frecuencia 1 kHz y amplitud del campo eléctrico 0.l N/C, se propaga en
la dirección positiva del eje OX. El vector campo eléctrico oscila en la dirección û del plano YZ,
uˆ = ( yˆ + zˆ ) / 2 . Calcular:
- La longitud de onda λ, el número de ondas k y la frecuencia angular ω.
- El vector campo magnético.
- El vector de Poynting.
62. Una onda electromagnética tiene una frecuencia de 100 MHz y se propaga en el vacío. El campo magnético
viene dado por
r
−8
B ( z , t ) = 10
cos(kz − ωt )ˆi Teslas
- Hallar la frecuencia ω, la longitud de onda, y la dirección de propagación de la onda.
r
- Hallar el vector campo eléctrico E (z,t).
- Dar el vector de Poynting y calcular la intensidad de esta onda.
63. El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección y, y el vector de Poynting viene dado
por
r
2
2
S ( x , t ) = 100 cos 10 x − 3 10 9 t î W/m
[
]
en donde x está en metros y t en segundos.
- ¿Cuál es la dirección de propagación de la misma?
- Hallar la longitud de onda y la frecuencia
- Hallar los campos eléctrico y magnético.
64. Una onda electromagnética plana de 1010 Hz y una intensidad de 1 mW/cm2 se propaga en aire (n = 1) en la
dirección del eje Z, y está linealmente polarizada con el campo magnético dirigido según el eje Y.
- Escribir la expresión del campo eléctrico de la onda, especificando los valores numéricos (y sus unidades
correspondientes) de la amplitud, frecuencia angular y número de ondas e indicando la dirección de
r
E.
65. Una estación emisora de AM radia una onda esférica con una potencia media de 50 kW. Calcular las
amplitudes de
r r
E y B a una distancia de 500 m, 5 km y 50 km.
66. La amplitud del campo eléctrico de una onda electromagnética es E0= 566 V/m.
- Calcular B0, la densidad de energía media y la intensidad media.
67. El haz de luz emitido por un laser de argon tiene una longitud de onda en el vacío de 541 nm y puede
considerarse como una onda plana localmente; su intensidad es de 5 W/mm2.
r
- Calcular la frecuencia de la onda así como las amplitudes del campo eléctrico E y del magnético
r
B.
68. Para detectar ondas electromagnéticas puede utilizarse una espira circular de hilo conductor. Supóngase que
una estación de FM de 100 MHz radia una potencia media de 50 kW uniformemente en todas direcciones.
- Calcular la máxima fuerza electromotriz inducida en una espira de 30 cm de diámetro a una distancia de
105 m de la estación emisora.
69. El campo eléctrico a una cierta distancia de un transmisor de radio viene dado por E= 10-4 cos 106t (N/C),
en donde t está expresado en segundos.
-¿Qué tensión recibe un hilo conductor de 50 cm orientado a lo largo de la dirección del campo eléctrico.
-¿Cuál es la f.e.m. inducida en una espira de 20 cm de radio?
r
10 −5
70. Una onda electromagnética viene dada por el campo B( r , t ) =
sen( 4πr − 6 ⋅ 10 8 πt ) û T .
r
- Calcular la longitud de onda, frecuencia e índice de refracción del medio de propagación.
- ¿De qué tipo de onda se trata? Expresar numéricamente el vector campo eléctrico de esta onda.
- Calcular la potencia media de la estación emisora de la onda suponiendo que la permeabilidad magnética
del medio se puede aproximar por la del vacío.
PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO. SOLUCIONES
1. 1.88 105 N C-1; a (1+ 2 ) m de q1, (2+
2. tg (φ) sen2 (φ) = 0.92
3. E = 8.17 105 V/m (vertical y hacia abajo)
4. U = −
2 ) m de q2.
q2
ln(2) = - 3.20 10-18 J.
2πε 0 d
pq ' 1
pq ' 1
(atractiva), F= 1.79 10-11 N. U = −
= - 8.93 10-21 J.
2πε 0 d 3
4πε 0 d 2
r
p
6. E =
2cos θr̂ +senθ θˆ = 5.58 10-20 r-3 2cos θr̂ +senθ θˆ
4 πε 0 r 3
r
7. F = _ 1.42 10-11 N r$ ; U= 7.1 10-21 J.
8.
 Q
 3Q
Q
r2
r r̂ (r < R )
(r < R )
−


3
r  4πε R
 8πε 0 R 4πε 0 R 3 2
0
E=
V
=

Q
Q

r̂(r > R )

(r > R )
2
 4πε 0 r

4 πε 0 r
5. F =
(
)
(
)
R= 0.1 m; Q=5 nC.
r
9. (a) E = 37,66 r r$ , V = - 18,83 r2 + 0,565 (r < 10 cm);
r
E =r(0,0376 / r2) r$ , V =0,0376 / r (r > 10 cm)
(b) E = 0, V = 0,4836 V (r < 5 cm);
r
Er = (43,04 r – 5,38 10-3 / r2) r$ , V = -21.52 r2 – 5,38 10-3 / r + 0,645 V (5 cm <r < 10 cm);
E =(0,0376 / r2) r$ , V =0,0376 / r (r > 10 cm)
(todos los valores numéricos que aparecen en estas soluciones están expresados en unidades S.I.)
r
| e |  r  −r / a
10. E =
r̂ = 182.90 r$ NC-1.
1 +  e
2 
a

4πε 0 r
Φ=
| e |  R0
1 +
ε 0 
a
 −R 0 / a
= 2.30 10-15 Nm2C-1.
 e

r
11. E = ± 10000 i$ NC-1 entre las láminas, 0 en el resto del espacio
V = Va (x<0); V= Va m 10000 x V(0<x<d); V = Va m 100 V (x>d)
σl = ± 8,85 10-8 C m-2
12. ∆V = 20 V.
V = Va (x<0); V= Va m 2000 x V(0<x<d); V = Va m 20 V (x>d);
σ = ± 1.77 10-8 C/m2; C = 8.85 pF
r r
r r
r r
r σ r
13. r<ri : E = 0 ; ri< r < re: E = i i r̂ ; re< r < re+∆r: E = 0 ; re+∆r < r: E = 0
ε0 r
σ r r
σ r r 
r <ri :V=V0; ri< r < re: V = V0 - i i ln  ; re< r: V0 - i i ln e  =0
ε 0  ri 
ε 0  ri 
-7
-2
-8
-2
-7
σi= ± 7.69 10 Cm ; σe= m 7.69 10 Cm ;U/L = 1.21 10 J/m; C=2.42 10-11 F/m; V0 = 100 V
r
14. Valores de E : r<ri :
r
r
0 N/C; ri< r < re: (89,8/r) r$ N/C; re< r < re+∆r: 0 N/C
 r 
Valores de V: r <ri :207 V; ri< r < re: V = 207 – 89,8 ln
 V; re< r < re+∆r: 0 V
 0,0005 
σi= 1.59 10-6 Cm-2; U/L = 5,17 10-7 J/m
15. r<ri : E=0; ri< r < re:
r r
r σ r
E = i i rˆ ; re< r < re+∆r: E=0; re+∆r < r: E = 0
εr
σ r r
r <ri :V=V0; ri< r < re: V = V0 - i i ln
ε
 ri

σ r r 
 ; re< r: V0 - i i ln e  =0
ε
 ri 

-6
-2
-6
-2
-7
-2
σi= ± 3.51 10 Cm ; σpi= m 1.97 10 Cm ; σe= m 3.51 10 Cm ; σpe= ± 1.97 10-7 Cm-2
r
r
D =1.75 10−9/r r$ Cm-2; P = 9.83 10−10/r r$ Cm-2 en ri< r < re
r
r
r
16. Valores de E : r<ri : 0 N/C; ri< r < re: (2/r) r$ N/C; re< r < re+∆r: 0 N/C
 r 
Valores de V: r <ri :4,59 V; ri< r < re: V = 4,59 – 2 ln
 V; re< r < re+∆r: 0 V
 0,0005 
-6
-2
-7
-2
-7
-2
σrl =+1.50 10-6 Cm-2 ; σpi= -1,46
r 10 Cm ; σe= -1,50 10 Cm ; σpe= +1,46 10 Cm
D =7,52 10−10/r r$ Cm-2; P = 7,34 10−10/r r$ Cm-2 en ri< r < re
r
17. E =
ql
2
r̂ = 1.69 107
r$ NC-1. (en vacío, E = 7.20 108 NC-1)
4πεr
r
q
D = l r̂ = 6.37 10-3 r$ C m-2 (en vacío, D = 6.37 10-3 C m-2)
4π r 2
r
ql
P = (1 - ε0/ε)
r̂ = 6.22 10-3 r$ C m-2. (en vacío, P=0).
2
4π r
2
U = q /4πεr = 1.08 10-20 J.
18. 0.4 A; 566.59 A m-2, 11.32 S m-1, 50 NC-1; 707 m/s
19. vA =3.53 10-5 ms-1; J = 4.79 105 A m-2 ; E = 8.24 10-3 NC-1.
20. σ = 1.2 10-3 S m-1; E = 2000 NC-1, 1.12 10-5 moles.
21. 1,52 V ; 0,1 Ω ; 15.2 A, 1.7 w.
22. Circuito A: 4,5 w; 5.06 w; 4.5 w. Circuito B: 4.5 w; 2,25 w; 1,12 w.
23. RX = R1R2/R3.
24. Ie= 3 A; 213 w
25.
r
 25 10 −6 
φˆ T (ri < r < re );
B = 0 ( r<ri ) ; ± π 10-3  r −

r

±
7.5 10 −8 ˆ
φ T (re < r);.
r


r
-2
-6
-1
26. B = ± 10 r T φ$ ( r <a ); ± 10 r T φ$ ( r > a ); B= 0 T (r <a ); ± 10-6 r-1 T φ$ ( r > a ).
r
27. B = ± 0.4 r T φ$ ( r<ri ) ; ± 10-7 r-1 T φ$ (ri < r < re-∆r );
± (4.56 10-7 r-1 – 2,47 10-7 r) T φ$ (re-∆r < r < re); m 10-7 r-1 T φ$ (re<r)
28. B = 3.60 10-5 T; 3.40 10-5 T (dirección: la del eje).
B = 0 T; 1.62 10-5 T (dirección: la del eje).
29. Intensidades en el mismo sentido: B = 44 µT (z = 0); B = 1,39 µT (z = 1 m)
Intensidades en sentidos opuestos: B = 18,8 µT (z = 0); B = 0,89 µT (z = 1 m)
30. B = 5 10-4 T; B = 0 T.
31. N/L = 40 espiras/metro; B= 1.26 10-4 T
r
32. v = 667 km s-1 i$ ; inicialmente, se desvía en el sentido negativo del eje OZ.
33. 1.02
r R; 960 V
34.
B = 0.133 T i$ .
35. ξHALL = 0.7 µV; F/L = 10 Nm-1
36. B = 0.2 T
37. I = 5 A; corrientes
circulando en sentido opuesto
r
r
r
38. B = 0.33 T; B horizontal y perpendicular a la varilla; J × B hacia arriba
39. 0 V; 50 V; 0 V; 35.4 V
40. 8 mA ;12 t mA
41. 12 sen{5t} mA
42. 10-11/r3 Wb; 3 10-10/r4 V
43. - 12,6 V; 12,6 V; 25,1 V;
44. 2.5 mH ; 1.25 mJ; 25 µH; 2.5π sen{100.π.t} mV
45. 3,01 mH ; 60,3 mV
46. autoinducción igual en ambos: L = 15.9 µH
47. 0,4 H; 0,8 J
48. 8π 10-8 Wb; 8π µH; 4π µJ
49. 57 mV; 0,29 A
50. Circuito A: 1 A (10 Ω); 0,67 A (5 Ω). Circuito B: 0 A (10 Ω); 1 A (5 Ω).
51. (t < 0,1 ms) 50 [1-exp {-107 t}] m A; (t>0,1 ms) 50 exp {-107(t-10-4)} m A
52. (t < 0,1 ms) 120 exp {-t / 10 -4} mA; (t > 0,1 ms) - 76 exp {-(t-10-4)/ 10-4} mA
53. 711 Hz; 63,7 Hz; 11; 112 sen {4467 t - π / 2} V; 112 sen {4467 t + π / 2} V; 10 sen{4467 t}
54. 0,049 cos{200 π t} A/m2; 48,6 cos{200 π t} µA
55. 0.046 exp {- 300 t} A/m2; 46 µA; 25 µA
56. 1.69 µB
57. 5.58 105 A/m; 5.23 10-4.
58. 6 1013 m3, 24.3 km
59. 0 A/m; 4 A/m
60. 469.5 m; 3 m; 0.33 m; 0.125 m; 589 nm
r
r
) −10  − yˆ + zˆ 
−5
2
61. 300 km; 2,1 10-5 m-1 ; 2π 103 rad/s; B 0 = 3.3 10
 T; S 0 = 2.65 10 x) W/m

2 

r
62. 6.28 108 rad/s; 3 m; eje z positivo; E ( z , t ) = −3 cos( kz − wt ) y$ V / m ;
r
S(z, t ) = 0.024 cos 2 (kz − wt)zˆ W/m 2 ; 0.012 W/m2
r
63. Sentido positivo de x; 0.628 m; 4.77 x 108 Hz; E =194 cos [10x-(3 109)t] (V/m) ŷ ;
r
-7
9
B
r = 6.47 10 cos[10x-(3 1010 )t] T) ẑ
64. E = 87 sen {209 z – 6,28 10 t} x N/C
65. 3,46 V/m, 1,15 10-8 T; 0,346 V/m, 1,15 10-9 T; 34,6 mV/m, 1,15 10-10 T
66. 1.89 10-6 T; 1.42 10-6 J/m3; 426 W/m2
67. 5.55 1014 s-1; 61.4 kV/m; 2.05 10-4 T
68. 2,56 mV
69. 50 cos(106t) µV; 41.6 sen(106t) nV
r
1500
70. 0.5 m, 3 108 Hz, 2; esférica con polarización lineal; E (r,t) =
sen {4πr – 6 108 πt) v̂ N/C ; 75 kW
r
PROBLEMAS DE ÓPTICA
1. Una lámina de vidrio de caras paralelas e índice 1.60 se mantiene sobre la superficie del agua de un depósito
que moja la cara inferior. Un rayo que se propaga hacia abajo incide sobre la cara superior del vidrio bajo un
ángulo de 45° (n (agua) = 1,33).
- ¿Qué ángulo forma el rayo con la normal en el vidrio y en el agua?
- ¿Varían estos ángulos al variar el índice de refracción del vidrio?
2. El índice de refracción correspondiente al vidrio flint de silicato es 1.66 para luz violeta (400 nm de longitud
de onda) y 1.61 para luz roja (λ=700 nm).
- Hallar los ángulos de refracción para haces luminosos de esos colores que inciden sobre el vidrio con un
ángulo de 45°.
3. Un rayo luminoso transmitido a través de una lámina de vidrio emerge paralelo al rayo incidente pero
desplazado lateralmente respecto a él. En el caso de un ángulo incidente de 60°, índice de refracción del
vidrio n=1,5 y espesor de la lámina 10 cm.
- Hallar el desplazamiento transversal.
4. Un cubo de vidrio situado en el aire tiene un índice de 1,50. Un haz de rayos paralelos penetra oblicuamente
por la cara superior del cubo e incide después sobre una cara lateral del mismo.
- ¿Pueden salir los rayos por esta última cara?
5. En el centro de la base de un cilindro transparente hecho de un material de índice 1,45 se sitúa un punto
luminoso.
- ¿A partir de que altura sobre la base no emerge la luz al exterior a causa de la reflexión total? Radio de la
base 3 cm.
- Resolver el problema con el cilindro sumergido en agua, n = 1,33
6. Calcule el ángulo al cual debe estar el Sol por encima de la horizontal, para que la luz reflejada por la
superficie de un lago en calma esté totalmente polarizada. n (agua) = 1,33.
r
- ¿En qué dirección apunta el vector E de la luz reflejada?
7. El índice de refracción de una pieza de vidrio es de 1,5.
- Calcule los ángulos de incidencia y de refracción cuando la luz reflejada por el vidrio está completamente
polarizada.
8. Encuentre el grosor de una placa de calcita, eje óptico paralelo a sus caras, que se necesita para producir una
diferencia de fase de π/2, π y 2π entre los rayos ordinario y extraordinario para una longitud de onda de 600
nm ¿Qué nombre recibe la lámina retardadora correspondiente? n1 (paralelo al eje óptico)= 1,4864;
n2 (perpendicular)= 1,6583
- ¿Cuál es la polarización de la luz emergente en cada caso incidiendo normalmente con luz polarizada lineal,
r
cuyo plano de polarización ( E ) está a 30º respecto al eje óptico?
9. Un haz de luz linealmente polarizada incide normalmente sobre un cristal de cuarzo de 0,047 mm de espesor,
eje óptico paralelo a sus caras, formando la dirección del vector campo eléctrico un ángulo de 60° con el
eje óptico. Despreciando la amplitud de radiación reflejada,
- ¿Cuál es la razón de la amplitud de los haces refractados ordinario y extraordinario?
-¿Cuál es la razón de sus intensidades?
-¿Cuál es la polarización de la luz emergente para una longitud de onda de 846 nm?
(n0 = 1,544 ne = 1,553 )
10. Un haz de luz blanca polarizada linealmente incide perpendiculamente sobre una lámina de cuarzo de
espesor 0.075 mm, cortada con el eje óptico paralelo a sus caras. El campo eléctrico de la onda forma 45º
con el eje óptico. Los índices de refracción del cuarzo son ne = 1.5533, no = 1.5442 (supuestos
independientes de la longitud de onda).
- ¿Qué longitudes de onda comprendidas entre 450 y 700 nm emergen de la placa linealmente polarizadas?
- ¿Qué longitudes de onda lo hacen circularmente polarizadas?
- Si el haz emergente pasa a través de un analizador con el eje de transmisión perpendicular a la dirección
de vibración del campo eléctrico incidente sobre la lámina de cuarzo, ¿qué longitudes de onda faltarán en el
haz transmitido?
11. Dos láminas polarizadoras tienen cruzados sus ejes de transmisión.
- Se coloca entre ellas una tercera cuyo eje de transmisión forma un ángulo α con el de la primera lámina.
Comprobar que la intensidad transmitida a través de las tres láminas es máxima cuando α = 45º.
- Si entre las dos láminas polarizadoras se coloca una lámina λ/2 comprobar que la intensidad es máxima o
mínima cuando el eje óptico foma un ángulo de 45º con los ejes de transmisión de las láminas
polarizadoras.
12. Por cada gramo de azúcar disuelto en un cm3 de agua, la rotación del plano de polarización de una onda
electromagnética linealmente polarizada es de +66.5° por cm de longitud recorrida en su trayectoria. Un tubo
de 30 cm de longitud contiene una solución con 1,5 g de azúcar por 100 cm3 de solución.
- Calcular el ángulo girado por el plano de polarización.
13. La actividad óptica del azúcar se puede usar para determinar su concentración en una muestra de orina. Si
una muestra normal es de 100 cm3, ¿un tubo de urinálisis de 30 cm de largo será lo suficientemente sensible
para detectar una diferencia en la concentración de azúcar de 1 miligramo por cm3? (el instrumento tiene
una precisión de 0.1°).
14. Se coloca una película delgada de índice de refracción n=1.50 para una luz de longitud de onda en el vacío de
600 nm en un brazo de un interferómetro de Michelson. Si se produce una variación del orden interferencial
igual a 12,
- Calcular la longitud de onda en la película
-¿Cuál es el espesor de la película?
15. En un brazo de un interferómetro de Michelson se inserta una lámina de espesor 7,2 µm, observando una
variación del orden interferencial igual a 19 iluminando con luz de 400 nm de longitud de onda en el vacío
- ¿Cuál es su índice de refracción?
- Calcular la distancia que habría que desplazar el espejo del interferómetro para compensar el efecto de
la lámina.
16. Construyo un resonador óptico con dos espejos enfrentados colocados a una distancia aproximada de
0,97 mm, siendo en aire a 1 atm. dicha distancia un número entero de semilongitudes de onda de la luz
amarilla del sodio ( λvacío= 589,59 nm). En el vacío la distancia entre los espejos es así mismo un múltiplo
de la semilongitud de onda una unidad inferior.
- Calcular el índice de refracción del aire.
- Hallar la longitud de onda correspondiente en aire.
17. Luz de 500 nm de longitud de onda en el vacío incide desde el aire normalmente sobre una película de agua
( n = 1,33) de espesor 10-4 cm depositada sobre un vidrio de mayor índice de refracción.
- Calcular la longitud de onda en el agua
- ¿Cuál es la diferencia de fase entre las ondas reflejadas en la cara superior e inferior de la lámina?
18. Un experimento de doble rendija utiliza un láser helio-neón con una longitud de onda de 633 nm y una
separación entre rendijas de 0.12 mm.
- Hallar la distancia entre máximos consecutivos situando la pantalla a 1,5 m.
Cuando se coloca una lámina delgada de 10 µm de espesor delante de una de las rendijas, el diagrama de
interferencia se desplaza en 5.5 franjas.
- Calcular el índice de refracción de la lámina.
19. Dos rendijas estrechas separadas entre sí 1 mm se iluminan con luz de 600 nm de longitud de onda y se
observa el diagrama de interferencias en una pantalla situada a 2 m.
- Calcular el número de franjas brillantes por cm que se verán en la parte central de la pantalla (explicar
las aproximaciones realizadas).
- ¿Varía el resultado si el experimento se hace sumergido en agua (n = 1,33)
20. En una red de difracción bajo iluminación perpendicular, la separación angular en tercer orden entre las
direcciones de emergencia de haces luminosos de 480 nm y 580 nm es de 12º.
- Determinar el número de rendijas por milímetro.
- Calcular los ángulos de salida de dichos haces en 2º orden.
Ayuda: sen(A+B) = sen (A) cos(B) + cos(A) sen (B)
21. Sobre una red plana de difracción que trabaja con luz transmitida inciden normalmente ondas planas
monocromáticas de longitud 600 nm. La red tiene 500 rayas/mm.
- Calcular los ángulos de desviación correspondientes al primero, segundo y tercer orden.
22. Una luz de 633 nm de longitud de onda incide normalmente sobre una red de difracción. Si el ángulo de
salida en primer orden es 30º con la normal.
- Calcular la distancia entre líneas de la red.
- ¿Cuál es el ángulo de salida para una luz de longitud de onda 450 nm en el 2º orden?
23. El espaciado que hay entre los planos principales de un cristal de NaCl es de 2.82 10 -l0 m. Se tiene que una
dispersión de Bragg de primer orden de un haz de rayos X monocromático se presenta a un ángulo de 10°.
- Calcule la longitud de onda de los rayos X.
- ¿Qué ángulo corresponde al espectro de segundo orden?
24. Un objeto se encuentra a 15 cm del centro de una bola espejada esférica de 7.5 cm de diámetro que adorna
un árbol de Navidad.
- ¿Cuál es la posición y aumento de su imagen?
- Resolver si la bola fuese de un material transparente de índice 1,45.
25. Una varilla de vidrio de 8 cm de diámetro acaba en el extremo en una superficie semiesférica convexa de
4 cm de radio. El índice de refracción del vidrio es 1,50.
- Determinar las posiciones de la imagen si se coloca externamente sobre el eje un objeto a las siguientes
distancias de su extremo: infinitamente alejado;16 cm; 4 cm.
26. ¿A qué distancia del espejo forma la imagen de una constelación un espejo de telescopio cóncavo esférico de
12 m de radio de curvatura?
- ¿La imagen es real o virtual, derecha o invertida?
27. Una lente biconvexa tiene un índice de refracción de 1.5 y radios de 0.20 m y 0.30 m.
- Calcule la distancia focal, despreciando el grosor de la lente (lente delgada) .
- Determine la posición de la imagen y el aumento para un objeto que se sitúa a distancias de 0.80 m, 0.48 m,
0.40 m, 0.24 y 0.20 m delante de la lente.
- Realizar el trazado de rayos en todos los casos y decir si la imagen resultante es real o virtual.
28. Una lente biconvexa de vidrio tiene una distancia focal de 12 cm. Colocamos un objeto de 1.2 cm de alto a
4 cm delante de la lente.
- Localizar su imagen gráfica y algebráicamente, establecer si es real o virtual, y determinar su altura
- Repetir el problema para una lente bicóncava de igual distancia focal.
29. La distancia entre la lente de un proyector y la diapositiva se puede variar entre 22 y 30 cm. La distancia
focal de la lente es 21cm.
- ¿Cuál es la menor distancia entre la lente y la pantalla a la que se puede enfocar una imagen?
- Si colocamos la pantalla a 4 m del proyector, ¿a qué distancia de la lente se debe colocar la diapositiva
para que la imagen quede enfocada?
- En esta situación, ¿entra completamente la imagen en una pantalla de 1 m, si la altura de la diapositiva es
de 35 mm?
- Decir si la imagen es real o virtual, derecha o invertida
PROBLEMAS DE ÓPTICA. SOLUCIONES
1. 32º; no varía
2. 25º 13´y 26º 3´
3. 5.12 cm
4. no
5. 2,86 cm; 6,91 cm
6. 36º 56´ sobre la horizontal; paralelo a la superficie del lago
7. 56º 18´; 33º 41´
8. 8.73 10-7 m, 1.74 10-6 m; 3.5 10-6 m; λ/4, λ/2, λ respectivamente; polarización elíptica; polarización lineal
150º con eje óptico; polarización lineal a 30º con eje óptico.
9. 1.732; 3; lineal a 120º con eje óptico (λ/2)
10. l.p.: 455 nm, 682.5 nm; c.p.: 544 nm; extinguida: 682.5 nm
11. ayuda: ver el estado de polarización de la luz tras atravesar cada elemento óptico.
12. 29,92º
13. sí
14. 400 nm; 7,2 µm
15. 1,53; 3,8 µm
16. 1,00030 (real 1,000293); 589,41 nm
17. 376 nm, 115,2º
18. 7,9 mm; 1,35
19. 8,3 franjas/cm ; 11,1 franjas/cm
20. 465 líneas/mm; 26º31´(480 nm), 32º 39’
21. 17,5º; 36,9º;64,1º
22. 1,26 µm; 45º 18´
23. 97.9 pm, 20.3º
24. 1.61 cm ; 0.143; 6,4 cm; -0,67;
25. 12 cm; 24 cm; -12 cm
26. 6 m, real e invertida
27. f´= 0.24 m; 0.343 m, -0,43, real; 0.48 m, -1, real; 0.6 m, -1.5, real; infinito; -1.2 m; 6, virtual
28. (biconvexa →f´positiva) -6cm; virtual y derecha; 1,8 cm. –3 cm; virtual y derecha; 0.9 cm
29. 70 cm; -22,16 cm; sí; real e invertida