cálculo de valores máximos y mínimos, de funciones racionales

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
ÁREA DE MATEMÁTICAS
CENTRO LOCAL METROPOLITANO
“CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS,
DE FUNCIONES RACIONALES POLINÓMICAS, SIN
LA UTILIZACIÓN DEL ANÁLISIS DIFERENCIAL”
INFORME DE PASANTÍA PRESENTADO COMO REQUISITO PARA
OPTAR AL TÍTULO DE:
LICENCIADO EN MATEMÁTICA
MENCIÓN ANÁLISIS NUMÉRICO
Autor.
Tcnel. Guillermo González Hernández
Tutor.
Lic. Alvaro Stephens
CARACAS, OCTUBRE 2011
ii
RESUMEN
El presente trabajo tiene por finalidad calcular máximos y mínimos
(valores extremos) de funciones racionales polinómicas de la forma:
f (x) =
Siendo:
Polinomios y
cartesianas en
f: →
y
funciones algebraicas racionales enteras, llamadas
≠ 0 desde la perspectiva de un sistema de coordenadas
, esto es,
definida por:
f (x) =
con
⋯
⋯
, ∈ ,{i = 0, 1,...n}, { j = 0, 1,...m}.
Trabajaremos con elementos algebraicos, aritméticos y geométricos
elementales, como la tangente de una recta, la tangente de una parábola, expresión
de una parábola por el vértice y los métodos conocidos de la geometría analítica
elemental, además con las nociones de límite y continuidad de funciones, para
obtener así valores extremos de funciones sin el uso del análisis diferencial y
generando un método numérico basado en el Álgebra Matricial simple como lo es
el cálculo de determinantes en lugar de calcular derivadas numéricas.
Este método permite ilustrar la teoría de máximos y mínimos de funciones
de este tipo en la educación media donde no se tienen las herramientas del cálculo
diferencial.
iii
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a mi padre Rafael González, quien me
enseñó la curiosidad científica, y que Dios lo tenga en su gloria.
También a mi madre Alida Margarita Hernández de
González, quien me enseñó la idea intuitiva del infinito
aritmético y así colocó el camino que he seguido durante toda
mi vida.
iv
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar agradezco a mi esposa Haydee por su apoyo, a mis hijas:
Gabriela y Patricia; a mis hermanos: Rafael, Luis, Andrés y Dolores.
A mi Universidad Nacional Abierta, que es un verdadero templo del saber;
y con ella todo el gran equipo que hace posible una Educación particularmente
muy especial, como lo son las modalidades Abierta y a Distancia, muy agradecido
a todos desde los comienzos de esta difícil experiencia hasta nuestros días;
imposible nombrarlos porque son muchos, desde cualquier ángulo, como,
Rectores, Personal Directivo, Profesores, Empleados, Obreros, Compañeros de
Estudios, que durante todos estos años hemos compartido de alguna u otra forma
el sabor que deja la Sabiduría de la especialidad que hemos decidido hacer nuestra
profesión.
Pero nunca olvidaré a los que han dejado una huella profunda en mi
existencia:
Gracias de manera especial a mi Tutor, Prof. ÁLVARO STEPHENS quien
con su ayuda, extremadamente valiosa y acertada, guió todos mis pasos para que
este trabajo llegara a su exitosa culminación, por ello mi agradecimiento profundo,
no tan solo por enseñarme a tener los conocimientos de Cálculo Numérico y
Ecuaciones Diferenciales Parciales con valores en la frontera, sino por transformar
mi consciencia de un recopilador de fórmulas como una suerte de matemático de
recetas, en un Pensador Matemático, capaz de crear nuevas ideas, de creer en ellas
y llevarlas valientemente hasta su final.
Igualmente gracias a todos mis profesores, de esta prestigiosa Universidad:
Prof.: José Ramón Gascón, por sus enseñanzas académicas, y orientaciones fuera
del ámbito académico, mediante charlas, conferencias y jornadas sobre
v
matemáticas; Carla de Pinho, Alfredo Espejo, Luis Antonio Azocar, Alejandra
Lameda, Walter Beyer, Sergio Rivas, José Luis Flores, Richard Rico, Amarylis
Mota, Alfredo Robles entre muchos.
En el Área de Orientación mi gran agradecimiento a la Dra. María
Milagros Páez, quien supo darme sabios consejos en los momentos difíciles
durante mis estudios.
vi
INDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN
1.
01
CONCEPTOS BÁSICOS
1.1.-
Introducción
06
1.2.-
Punto límite
06
1.3.-
Límite de un función en un punto
07
1.4.-
Unicidad del límite
07
1.5.-
Entorno de un punto
08
1.6.-
Continuidad de una función
09
1.7.-
Operaciones con límites
10
1.8.-
Operaciones con funciones continuas
13
1.9.-
Principio de intercalación
15
1.10.- Conservación del signo de funciones continuas
15
1.11.- Teorema de Bolzano
16
1.12.- Valor intermedio para funciones continuas
17
1.13.- Funciones monótonas y monótonas a trozos
17
1.14.- El proceso de inversión
18
1.15.- funciones continuas que se conservan por inversión
18
1.16.- Valores extremos para funciones continuas
20
1.17.- Acotación para funciones continuas
21
1.18.- Máximo (mínimo) para funciones continuas
22
1.19.- Máximo relativo
23
1.20.- Extremos
24
1.21.- Anulación de la derivada en un extremo interior
24
vii INDICE GENERAL
2.
Funciones Racionales
2.1.-
Polinomio
26
2.2.-
Función Racional Polinómica
26
2.3.-
Función Racional Polinómicas de orden n = 1
28
2.4.-
Función Racional Polinómicas de orden n = 2
29
3.
Método Máximal no diferencial
3.1.-
Generalidades
31
3.2.-
Definición de Función Extrema
31
3.3.-
Deducción del Método Máximal no Diferencial
35
3.4.-
Teorema Máximal
37
4.
Generalización del Método Máximal
4.1
Generalidades
47
4.2
Caracterización de la Función Extrema
47
4.3
Triangulo Extremo
50
Conclusiones
Recomendaciones
Bibliografía
57
58
59
viii INTRODUCCIÓN
Desde los más lejanos tiempos, en la más remota antigüedad los hombres
se preocuparon siempre por el conocimiento, práctico en primer lugar, que dio
origen, a edificar sobre unas bases que soportaran tanto conocimiento, que día a
día se iba acumulando poderosamente, así surgió otro tipo de conocimiento: el
Teórico, entre estos se encuentra el conocimiento organizado teórico matemático.
Ocurrió en las distintas ramas del saber: en la mecánica, la economía, la física la
química, necesario era conocer sobre las cantidades, cuanto de esto, cuanto de
aquello, hasta que: “la teoría pensó que la práctica ayudaría mejor” si conocemos
el máximo de todos estos valores o el mínimo, preguntas que se hicieron con la
denominación de VALORES EXTREMOS.
Ejemplo de esto tenemos:
[La historia de la Matemática de Ehrenfried Hofmann 1960]
“En el círculo de los neoplatónicos alejandrinos (250-650) se reúne de
nuevo la herencia de los grandes matemáticos griegos, Pappo de Alejandría, nos
ofrece (aprox. 320) en sus Collectiones una importante recopilación, con extractos
interesantes, de escritos conservados o perdidos de Euclides, Arquímedes y
Apolonio y con unos suplementos excelentes, entre los cuales destacan los
principios sobre figuras proyectivas, las observaciones sobre el manejo de los
máximos y mínimos, el llamado teorema de Guldon sobre el centro de gravedad en
los cuerpos de revolución, y sus investigaciones sobre la cuadratiz, la espiral de
Arquímedes y la esférica, y asimismo sobre las superficies helicoidales.”
1
INTRODUCCIÓN
Con los Griegos, podemos observar el deseo de conocer, estos grandes, dan
un enfoque a la importancia que el cálculo de los valores extremos tiene para el
mundo de la Ciencia y en especial el de la Matemática. Pitágoras expresa:
[Aritmética teórica de los pitagóricos: Los Números. Thomas Taylor
1991.]
“Sobre la cantidad relativa y las especies de desigualdad mayor y menor.
La primera división de la cantidad relativa es doble: porque todo lo que se mide
por comparación a otra cantidad, es igual o bien desigual. Y es igual el que no es
menor ni mayor cuando se compara con otro. Sin embargo, esta parte de la
cantidad relativa, es decir la igualdad, es indivisible por naturaleza: porque no se
puede decir que una porción de la igualdad es diferente de otra. Ya que toda
igualdad conserva una medida en su propia medición. Y la cantidad comparada no
tiene denominación diferente de aquella a la que se compara. Porque del mismo
modo que un amigo es amigo de un amigo y un vecino es vecino de un vecino,
decimos que lo igual es igual al igual. Pero de la cantidad desigual surge una
división doble: ya que lo desigual se puede dividir en mayor y menor, que tienen
denominaciones contrarias entre sí. Porque lo mayor es mayor que lo menor y lo
menor es menor que lo mayor. De ahí que los dos no tienen la misma
denominación, como vimos que era el caso con la cantidad igual, sino que se
distinguen con nombres diferentes, como el maestro y el alumno o cualquier otro
caso de parecidos que se comparan con contrarios denominados de otra manera.
De la desigualdad mayor tenemos cinco partes. Una parte es la llamada
múltiple; la otra es superparticular; la tercera superparciente; la cuarta
superparticular múltiple; y la quinta superparciente múltiple.”
2
INTRODUCCIÓN
Impresionante la manera como el intelecto va penetrando en ideas que
luego otros van redefiniendo y cambiando hasta llegar a problemas conceptuales
básicos. Así como los presentados por:
[Hall and Knight, Algebra Superior 1967]:
“Hallar el valor máximo de un producto sabiendo que la suma de sus
factores es una constante”.
“La media aritmética de cualquier número de cantidades positivas es mayor
que su media geométrica”.
“Hallar el término numéricamente más grande en el desarrollo de 1
x
para cualquier valor racional de n”.
Estos ejemplos en su momento histórico fueron creando unas bases muy
poderosas para cuando se hizo presente la idea de la aproximación con la tangente,
la concepción maravillosa de Arquímedes de resolver los crecientes por el método
de exhaución al conocer la aproximación por la ideal del límite, al establecerse una
poderosa relación entre la geometría y el álgebra que concluyó en los tiempos de
Fermat, Descartes, Newton y Leibnitz, con una obra que sin exageración podemos
decir que es una de las más altas genialidades de la humanidad a través de toda su
historia: la creación del CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
Hasta estos días donde los problemas se han complicado más, pero siguen
siendo la base de nuestro crecer como entes pensantes matemáticos, ejemplo de
ello tenemos los siguientes autores, quienes resolvieron esta problemática aliados
con la maravillosa obra del Cálculo Infinitesimal:
3
INTRODUCCIÓN
[Del análisis algébrico e infinitesimal., de Carlos Mataix Aracil;
Madrid 1957].
“Método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los máximos y
mínimos relativos en el caso general. Para funciones del tipo:
f (x, y,…, u, v,…) = V ligadas a
, ,…, , ,…
0
Que se obtienen a través de diferenciales parciales y luego se igualan a
cero”
“Hallar en el plano de un triángulo dado, un punto tal que la suma de los
cuadrados de sus distancias a los tres vértices sea mínima”
“Determinar el punto del suelo desde el cual se ve un segmento vertical AB
bajo un ángulo máximo.”
O los interesantísimos problemas de:
[Gallego-Díaz, Nuevos problemas de Matemáticas 1965]
“Por el punto P interior a un triángulo dado ABC se trazan paralelas a los tres
lados del mismo, formándose así tres paralelogramos y tres triángulos. ¿Para cuál punto es
mínima la suma de las áreas de estos triángulos? ”
“Sean: A , A , A yA los vértices de un cuadrado y sea P un punto arbitrario
en el plano. Demostrar que:
∑
A ≥ (1+√2) máx A P + mín A P
y determinar los puntos del plano para los cuales tiene lugar la igualdad.”
4
INTRODUCCIÓN
Más que herramienta o instrumento el Cálculo ha sido un consejero, o una
guía que ha permitido desarrollar los más intrincados problemas matemáticos de
todas las épocas, y de dar a conocer otros que han simplificado la manera
conceptual de nuestra posición científica en nuestras vidas. Así como lo establece
[Heber Nieto en: XIII Escuela Venezolana para la enseñanza de la
Matemática: Aplicaciones del Cálculo Diferencial]
“Fermat desarrolló un método para hallar extremos de funciones
polinómicas que hoy identificaríamos con hallar los puntos donde se anula la
derivada. Sin embargo, no define la derivada ni nada parecido, ni justifica su
método.
A pesar de ello, lo utilizó con indudable éxito para resolver algunos
problemas no triviales. Por ejemplo, formuló el principio óptico según el cual la
luz viaja de un punto a otro siguiendo la trayectoria que haga mínimo el tiempo
empleado (hoy conocido como Principio de Fermat) y de allí dedujo la ley de
refracción de Snell.”
Todo esto representa sin duda alguna una fuerte evolución del pensamiento
matemático, donde cada concepto hasta cada letra muchas veces ha tardado hasta
siglos para que los implicados puedan llegar a fructíferos acuerdos.
En este trabajo estudiaremos las funciones racionales polinómicas,
colocando en primer lugar las consideraciones fundamentales del método a
desarrollar, luego bajo una concepción del análisis deductivo construiremos el
método, pasando antes por una revisión de los elementos a utilizar y finalmente
llegaremos a los valores máximos y mínimos de estas funciones.
5
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.1 Introducción
Antes de estudiar los máximos y mínimos de funciones en forma general,
recordemos algunos conceptos, definiciones y los teoremas básicos, más
importantes que nos servirán de apoyo para después en capítulos posteriores
mostrar un método donde no utilizaremos el concepto de derivadas para obtener
estos valores máximos y mínimos, en funciones racionales polinómicas.
Sea δ un número real positivo y sea a un número real dado. Una
δ-aproximación de a es cualquier número real x tal que el error absoluto |
sea menor que δ; es decir, |
|
|
|< δ, (1.1). Tomando en cuenta que la relación
| < δ es equivalente con a–δ < x < a + δ resulta que un número real x es una
δ-aproximación de a si y sólo si x está en el intervalo abierto (aδ, a+δ). Este
intervalo coincide entonces con el conjunto de todas las δ-aproximaciones del
número real a. 1.2 Definición 1: Punto Límite
Sea A un conjunto de números reales, y sea a un número real. Diremos que
a es un punto límite de A, si y sólo sí para cada δ > 0, existe un punto x en A tal
que x ≠ a y x es una δ-aproximación de a.
Observemos que en esta definición no se exige que a sea un elemento de A.
Así mismo el elemento x correspondiente a un δ dado debe ser diferente de a, es
decir 0 < |
|< δ y x ∈A. (1.2)
6
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.3 Definición 2: Límite De Una Función En Un Punto
Sea A un conjunto de números reales, a un punto límite de A, y f: A una
función. Diremos que f tiene límite en el punto a si y sólo si existe un número real
b tal que para cada número real ε > 0 existe un δ > 0 que verifica la siguiente
condición: si x ∈ A es una δ-aproximación de a diferente de a, entonces f(x) es una
ε-aproximación de b en otras palabras:
Si x ∈A, y 0 < |
| < δ, entonces |
| < ε.
(1.3)
1.4 Proposición 1: Unicidad Del Límite
Sea f: A
una función, y sea a un punto límite de A. Si b y c son puntos
límites de f en a, entonces b = c. Es decir, si f posee un punto límite en A, entonces
este punto límite es único.
Demostración:
Supongamos que b y c son puntos límites de f en a y que b ≠ c. Sea
ε=
|
|
, entonces ε > 0, y de acuerdo con la definición anterior, tenemos:
a)
Existe un δ > 0 tal que si x ∈ A y 0 < |
| <δ, entonces |
b)
Análogamente existe δ’ > 0, tal que si x ∈ A y 0 < |
|<ε.
| < δ’, entonces
será:
|
| < ε.
(1.4)
Como a es un punto límite de A, existe un punto
0<|
| < δ y 0 <|
∈ A tal que
| < δ’.
De las relaciones anteriores (a) y (b) se deduce:
|
|=|
| |
|+|
|
2ε | ε ε
|
.
7
Capítulo I
Conceptos Básicos
En conclusión, se obtiene |
|
|
|
; es decir,|
|
0. Esta
contradicción proviene de suponer b c, y así podemos concluir que b = c.
De acuerdo con el resultado de la proposición anterior, si f: A
es una
función y tiene límite b en un punto límite a de A, entonces este límite b es único,
y se acostumbra a denotar:
lim
→
=b
(1.5)
Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a es igual a b”.
1.5 Definición 3: Entorno De Un Punto
Cualquier intervalo abierto que contenga un punto p como su punto medio
se denomina entorno de p.
Notación: Designemos los entornos con N(p),
,
, etc. Puesto
que un entorno N(p) es un intervalo abierto simétrico respecto a p, consta de todos
los números reales x que satisfagan p – r < x < p + r para un cierto r > 0. El
número positivo r se llama radio del entorno. Las desigualdades p – r < x < p + r
son equivalentes a –r < x – p < r , y a |
|< r.
P
p
8
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.6 Definición 4: Continuidad De Una Función
La definición de límite no hace mención del comportamiento de f en el
punto p. No obstante, si ocurre que f está definida en p y que f(p) = A, se dice
entonces que la función f es continua en p. Dicho de otro modo tenemos la
siguiente definición.
Se dice que una función f es continua en un punto p si:
a) festá definida en p.
b)
lim
→
= f(p).
(1.6)
Esta definición también puede formularse con entornos. Una función f es
continua en p si para todo entorno
f(x) ∈
[f(p)] existe un entorno
[f(p)] siempre que x∈
Puesto que f(p) pertenece siempre a
tal que:
. 1.7
[f(p)], no se precisa la condición
x p en (1.7). Especificando los radios de los entornos, la definición de
continuidad puede darse como sigue: Una función es continua en p si para todo
ε>0 existe un δ> 0 tal que |
| < ε siempre que |
| < δ.
f(P)
S
Función Continua
9
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.7 Teorema 1: Operaciones Con Límites
Sean fy g dos funciones tales que:
lim
→
= A.
lim
→
= B.
Se tiene entonces:
i
lim
→
A B
ii
lim
→
A–B
iii
lim
→
iv
lim
→
/
AB
A/B,B 0
Demostración:
Puesto que las dos igualdades
lim
→
=A y
lim
→
=0
Son completamente equivalentes, y como se tiene:
f(x) + g(x) – (A + B) = [f(x) – A] + [g(x) – B].
Basta demostrar las igualdades (i) e (ii) del teorema cuando los límites de A y B
son ambos cero.
Supóngase pues, que f(x) ⟶ 0 y g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Se demostrará en
primer lugar que f(x) + g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Para ello se tiene que probar que
para cada ε> 0 existe un δ> 0 tal que:
|
| < ε siempre que 0 <|
| < δ.
Sea ε dado, puesto que f(x) ⟶ 0 cuando x⟶p, existe un
(1.8)
> 0 tal que:
10
Capítulo I
Conceptos Básicos
|
| < , Siempre que 0 <|
| < .
(1.9)
Análogamente, puesto que g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p existe un
|
> 0 tal que:
| < .
| < siempre que 0 <|
Se indica por δ el menor de los dos números
y
(1.10)
, entonces ambas
|< δ, y por lo tanto, en virtud de
igualdades (1.9) y (1.10) son validas si 0 <|
la desigualdad triangular, se tiene:
|
| |
|
|
| = ε
Esto demuestra (1.8) que, a su vez, demuestra (i). La demostración de (ii)
es completamente análoga, salvo que en él último paso se emplea la desigualdad
|
|
Demostración de (iii). Supóngase que se ha demostrado (iii) en el caso
particular en que uno de los límites es 0. Entonces el caso general resulta
fácilmente de este caso particular, como se deduce de la siguiente igualdad:
– AB = f(x) [ (x) – B] + B[ f(x) – A].
El caso particular implica que cada término del segundo miembro tienda a
0 cuando x⟶p y en virtud de la propiedad (i) la suma de los dos términos tiende
también a 0. Por tanto, abasta sólo probar (iii) en el caso en que uno de los límites,
por ejemplo B, sea 0.
Supóngase que f(x) ⟶A y g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Se trata de probar que
f(x) g(x) ⟶ 0 cuando x⟶p. Para ello se ha de ver que dado un número positivo ε,
existe un δ> 0 tal que:
|
|<ε
siempre que 0 <|
|<δ
(1.11)
11
Capítulo I
Conceptos Básicos
puesto que f(x) ⟶A cuando x⟶p, existe un
|
|
tal que
|<
1 siempre que 0 <|
(1.12)
para tal x, tenemos
|
|=|
|
|
|=|
| + | | < 1 + | | , y por tanto
|
||
| < (1 + | | |
ya que (x) ⟶ 0 cuando x⟶p, para todo ε> 0 exista un
|
|<
| |
Siempre que 0 <|
|
(1.13)
tal que
| < δ2
por consiguiente, si llamamos δ al menor de los dos números
(1.14)
y
entonces las
dos desigualdades (1.11) y (1.12) son validas siempre que:
0 <|
| < δ, y para tal valor de x deducimos (1.9), lo que completa la
demostración de (iii).
Demostración de (iv). Puesto que el cociente f(x) / (x) es el producto de
f(x) / B por B / (x) basta demostrar que B / (x) ⟶ 1 cuando x⟶p y luego aplicar
(iii). Sea h(x) = (x) / B por lo que h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p, y se quiere demostrar
que 1/h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p.
Dado ε> 0, se trata de ver si existe un δ> 0 tal que
1 < ϵ siempre que 0 <|
|<δ
(1.15)
la diferencia se puede escribir como sigue:
1 =
|
|
|
|
(1.16)
puesto que h(x) ⟶ 1 cuando x⟶p se puede elegir un δ > 0 tal que ambas
desigualdades:
12
Capítulo I
Conceptos Básicos
|
y |
1| <
se satisfagan siempre que 0 < |
(1.17)
| < δ. La segunda de estas desigualdades
< 2 para tales valores de x. Empleando este
y por lo tanto
implica h(x) >
1| <
resultado en (1.14) junto con la primera desigualdad (1.15), obtenemos (1.13).
Esto completa de demostración de (iv).
1.8 Teorema 2: Operaciones Con Funciones Continuas
Sean f y
dos funciones continuas en un punto p. La suma f+ , la
diferencia f – , y el producto f•
también el cociente f÷
son también continuas en p. Si (p)
es continua. Siendo f= f(x) y
0,
= (x).
Demostración:
Puesto que f y
lim
→
son continuas en p, se tiene
lim
→
= f(p) y
= (p). Aplicando las fórmulas para los límites, dadas en el teorema 1
cuando A = f(p) y B = (p), se deduce el teorema 2.
Ejemplos:
1.- Las funciones constantes son siempre continuas. Si f(x) = c para todo x,
entonces:
lim
→
=
lim
→
= c = f(p) para todo p, con lo cual f es continua
para todo x.
2.- La función identidad es continua para todo x. Si f(x) = x para todo x, entonces:
lim
→
=
= p = f (p) Para todo p, con lo cual f es continua para todo x.
13
Capítulo I
Conceptos Básicos
y = sen(x+2)+2cos(2x)
y=2cos(2x)
y = 2cos(2x)
y=sen(x+2) + 2cos(2x)
yy=sen(x+2)
= sen(x+2)
Suma de funciones continuas
3.- Continuidad de Polinomios. Si se toma f(x) = (x) = x, de la continuidad del
producto se deduce la continuidad en cada punto de la función cuyo valor en cada
x es
. Por inducción completa se prueba, que para cada número real c y cada
entero n la función f para la cual (x) =
es continua para todo x. Como la suma
de dos funciones continuas es a su vez continua, por inducción completa se prueba
que también es continua la suma de un número finito de funciones continuas. Por
tanto, todo polinomio p(x) = ∑
es función continua en todos los puntos.
4.- Continuidad de funciones racionales. El cociente de dos polinomios se llama
función racional polinómica. Si r es una función racional, se tiene:
r(x) =
,
donde p y q son polinomios. La función r está definida para todo número real x tal
que q(x)
0. Como el cociente de funciones continuas es continuo, la función
racional es continua en todos los puntos en que está definida.
14
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.9 Teorema 3: Principio De Intercalación
Supongamos que f(x)
g(x)
h(x) para todo x
p en un cierto entorno
N(p) supongamos también que:
lim
→
=
lim
→
=a
se tiene entonces que
lim
→
=a
Demostración:
Sean G(x) = g(x) – f(x), y H(x) = h(x) – f(x). Las desigualdades f g h
implican 0
g – f
h – f, o 0
G(x) – H(x) para todo x
p en N(p). Para
demostrar el teorema, basta probar que G(x) ⟶ 0 cuando x⟶p.
Sea
(0) un entorno cualquiera de 0. Puesto que H(x) ⟶ 0 cuando
x⟶p, existe un entorno
(p) tal que H(x) ∈
0 siempre que x ∈
y
x p.
Podemos suponer que
⊆ N(p). Entonces la desigualdad 0
establece que G(x) no está más lejos de 0 que H(x) si x esta en
consiguiente G(x) ∈
,x
G
H
p por
(0) para tal valor de x, y por tanto G(x) ⟶ 0 cuando x⟶p.
Esto demuestra el teorema, y es válida si todos los límites son límites
laterales o a un lado.
1.10 Teorema 4: Conservación Del Signo De Las Funciones Continuas
Sea f continua en c y supongamos que f(c)
(c
0. Existe entonces un intervalo
δ, c+δ) en el que f tiene el mismo signo que f(c).
15
Capítulo I
Conceptos Básicos
Demostración:
Supóngase f(c) > 0. En virtud de la continuidad, para ε > 0 existe un δ > 0
tal que:
f(c) – ε< f(x) < f(c) + ε siempre que c – δ< x < c + δ
tomando el δ correspondiente a ε =
c < f(x) < f
(1.18)
, ε> 0, entonces (1.18) se transforma en:
siempre que c – δ< x < c+ δ.
1.11 Teorema 5: Teorema De Bolzano
Sea f continua en cada punto del intervalo cerrado [a, b] y supongamos que
f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un c en el intervalo
abierto (a, b) tal que f(c) = 0.
Demostración:
Sea f(a) < 0 y f(b) > 0. Sea S el conjunto de todos los puntos del intervalo
[a, b] para los cuales f(x) ≤ 0. Hay por lo menos un punto en S puesto que f(a) < 0.
Por tanto, S es un conjunto no vacío. S está acotado superiormente puesto que
todos los puntos de S están en [a, b], y puesto que todo conjunto no vació de
números reales que está acotado superiormente tiene un extremo superior, a éste se
le llama c. Entonces se trata de demostrar que f(c) = 0.
Hay sólo tres posibilidades:
f(c) > 0, f(c) < 0, y f(c) = 0.
Si f(c) > 0 hay un intervalo (c  δ, c + δ) o (c  δ, c] si c = b, tal que f(x) es positivo
si x está en este intervalo, por lo tanto c – δ es una cota superior del conjunto S,
16
Capítulo I
Conceptos Básicos
pero c – δ< c y c es el extremo superior de S, por tanto la desigualdad f(c) > 0 es
imposible.
δ, c + δ) o [c, c + δ] si c = a, en el cual f
Si f(c) < 0 hay un intervalo (c
es negativa y por tanto f(x) < 0 para algún x > c, contra el hecho de que c es una
cota superior de S. Por tanto f(c) < 0 también es imposible y queda sólo la
posibilidad f(c) = 0. Además a < c < b puesto que f(a) < 0 y f(b) > 0. Con lo que
queda demostrado el teorema de Bolzano.
1.12 Teorema 6: Valor Intermedio Para Funciones Continuas
Sea f continua en cada punto de un intervalo [a, b]. Si
puntos cualesquiera de [a, b] tales que f(
valores comprendidos entre
( ,
y
f(
<
son dos
, la función f toma todos los
por lo menos una vez en el intervalo
).
Demostración:
Supóngase f(
y
f(
y sea k un valor cualquiera comprendido entre
. Sea g una función definida en [ ,
g es continua en cada punto de [ ,
] como sigue: g(x) = f(x) – k.
] y se tiene:
g( ) = f( ) – k< 0,
g( ) = f( ) – k> 0
aplicando el teorema de Bolzano a g se tiene g(c) = 0 para algún c entre
y
, lo
cual significa que f(c) = k, quedando así demostrado el teorema.
1.13 Funciones Monótonas Y Monótonas A Trozos
Una función f se dice que es creciente en un conjunto S, si f(x) f(y) para
cada par de puntos x e y de S con x < y. Si se verifica la desigualdad estricta
f(x) < f(y) se dice que la función es creciente en sentido estricto en S.
17
Capítulo I
Conceptos Básicos
Análogamente una función se dice decreciente en un conjunto S, si f(x) f(y) para
cada par de puntos x e y de S con x < y. Si se verifica la desigualdad estricta
f(x) > f(y) se dice que la función es decreciente en sentido estricto en S.
Una función se denomina monótona en S si es creciente en S o decreciente
en S. Monótona en sentido estricto significa que f, o es estrictamente creciente en S
o es estrictamente decreciente en S. Una función se dice que es monótona a trozos
en un intervalo si su gráfica está formada por un número finito de trozos
monótonos.
1.14 El Proceso De Inversión
Vamos a considerar una función f, con dominio en A y recorrido en B. A
cada x de A corresponde un y en B tal que y = f(x). Para cada y en B, existe por lo
menos un x de A tal que f(x) = y. Supongamos que existe uno solo de esos x.
Entonces podemos definir una nueva función g en B del modo siguiente:
g(y) = x significa que y = f(x)
Dicho de otro modo, el valor de g en cada punto y de B es el único x de A
tal que f(x) = y. Esta nueva función g se llama la inversa de f. El proceso mediante
el cual se obtiene g a partir de f se llama inversión. Obsérvese que g[f(x)] = x para
todo x de A y que f[g(y)] = y para todo y de B.
1.15 Teorema 7: Sobre Las Propiedades De Las Funciones Que Se
Conservan Por La Inversión
Sea f estrictamente creciente y continua en un intervalo [a, b]. Sean c =f(a)
y d = f(b) y sea g la inversa de f. Esto es, para cada y en [c, d], sea g(y) aquel x de
[a, b] tal que y = f(x). Entonces:
18
Capítulo I
Conceptos Básicos
a) g es estrictamente creciente en [c, d].
b) g es continua en [c, d].
Demostración:
Elijamos
= f( ) y
implica que
<
en [c, d] y pongamos
= g( ),
= g( ). Entonces:
= f( ). Puesto que f es estrictamente creciente, la relación
<
< , la cual, a su vez, implica que g es estrictamente creciente en
[c, d]. Esto demuestra la parte a).
Para demostrar la parte b). Elijamos un punto
(c, d). Para demostrar que g es continua en
en el intervalo abierto
, debemos probar que para todo ε > 0
existe un δ > 0 tal que:
g( ) – ε < g(y) < g( ) + ε siempre que y
Pongamos
(1.19)
, de modo que f(
. Supongamos ε dado. (No
se pierde generalidad si consideramos aquellos valores de ε bastante pequeño para
que
– ε y
+ ε quedan en el interior de [a, b].) Sea δ el menor de los dos
números:
f( )–f(
 ε)
y
f(
+ ε) – f ( ).
Es fácil comprobar que con este δ se verifica (1.19).
Existe un teorema análogo para funciones decreciente. Esto es, la inversa
de una función f estrictamente decreciente es estrictamente decreciente y continua.
Se comprueba al sustituir en este teorema f por –f.
Esto puede aplicarse a funciones monótonas a trozos. Consideramos
simplemente una tal función como una reunión de funciones monótonas a e
invertimos cada uno de los trozos.
19
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.16 Teorema 8: Valores Extremos Para Funciones Continuas
Sea f una función de valores reales definida en un conjunto de S de
números reales. Se dice que la función f tiene un máximo absoluto en el conjunto S
sí existe por lo menos un punto c en S tal que:
f(x) ≤ f(c) para todo x en S.
El número f(c) se llama máximo absoluto de f en S. Decimos que f tiene un
mínimo absoluto en S si existe un punto d en S tal que
f(x) ≥ f(d) para todo x en S.
Queremos demostrar que si S es un intervalo cerrado y f es continua en
todo S, entonces f posee un máximo absoluto y un mínimo absoluto en S. Este
resultado, conocido como el teorema de máximo (mínimo) para funciones
continuas, se deducirá como una sencilla consecuencia del siguiente teorema.
Máximo Absoluto
Mínimos Absolutos
Máximos y Mínimos Absolutos
20
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.17 Teorema 9: Acotación Para Funciones Continuas
Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es acotada en
[a, b], esto es, existe un número C ≥ 0 tal que |
| ≤ C para todo x en [a, b].
Demostración:
Razonamos por reducción al absurdo o contradicción, utilizando una
técnica llamada método de bipartición. Supongamos que f no es acotada en [a, b].
Sea c el punto medio de [a,b]. Ya que f no es acotada en [a, b] tampoco lo está por
lo menos en uno de los subíntervalos [a, c] o [c, b]. Sea [ , ] aquella mitad de
[a, b] en la que f no está acotada. Si f no es acotada en ambas mitades, sea [ ,
]
la mitad izquierda de [a, c]. Continuemos el proceso de bipartición reiteradamente,
,
designando con [
,
] la mitad de [
] en la cual f no está acotada en
ambas mitades. Como la longitud de cada intervalo es la mitad de su precedente,
observamos que la longitud de [
Designemos con
,
], es (ba)/2 .
el conjunto de los extremos izquierdos ,
,
… así
obtenidos, y sea α el extremo superior de . Tal punto α está situado en [ , ]. Por
la continuidad de
en α, existe un intervalo de la forma (α – δ, α + δ) en el que
|
Si α =
|
1.
este intervalo tiene la forma [ ,
(1,20)
+ δ), y si α =
tiene la forma
( – δ, ]. La desigualdad (1.20) implica:
|
De modo que
intervalo [
,
es acotada por 1
|
1
| α |
| α | en ese intervalo. Sin embargo, el
] está contenido en (α – δ, α + δ) cuando n es lo bastante grande
para que (ba)/ 2 < δ. Por consiguiente f también es acotada en [
,
], en
21
Capítulo I
Conceptos Básicos
,
contradicción con el hecho de que f está acotada en [
]. Esta contradicción
completa la demostración.
Si f es acotada en [a, b], el conjunto de todos los valores f(x) está acotado
superior e inferiormente. Por consiguiente, este conjunto tiene un extremo superior
y un extremo inferior que designamos por Sup f y por Inf f, respectivamente. Esto
es:
Sup f = Sup
Inf f = Inf
\
\
,
para cualquier función acotada tenemos Inf f ≤ f(x) ≤ Sup f para todo x en [a, b],
ahora veremos que los valores Inf f y Sup f están en [a, b].
1.18 Teorema 10: Máximo (Mínimo) Para Funciones Continuas
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], existen puntos c y d en [a, b]
tales que: f(c) = Sup f y f (d) = Inf f.
Demostración:
Basta probar que f alcanza su extremo superior en [a, b]. Para el extremo
inferior basta tener en cuenta que el extremo inferior de f es el extremo superior de
–f.
Sea M = Sup f. Supondremos que no existe un x en [a, b] para el que
f(x) = M y se llegará a una contradicción. Sea g(x) = M – f(x). Para todo x en [a, b]
será entonces g(x) > 0 con lo que la función recíproca 1/g es continua en [a, b],
pongamos 1/g(x) < C, con lo que f(x) < M – 1/C para todo x de [a, b]. Esto está en
contradicción con el hecho de que M es la menor cota superior de f en [a, b]. Por
consiguiente, f(x) = M para un x por lo menos en [a, b].
22
Capítulo I
Conceptos Básicos
Nota: Este teorema demuestra que si f es continua en [a, b], el Sup f es su
máximo absoluto, y el Inf f es su mínimo absoluto. Luego, en virtud del teorema
del valor intermedio, el recorrido de f es el intervalo cerrado [Inf f, Sup f].
El termino máximo, (mínimo), tienen dos sentidos, uno referente al valor
absoluto, ya visto y otro a un significado relativo.
1.19 Definición 5: Máximo Relativo
Una función f, definida en un conjunto S, tiene un máximo relativo en un
punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal que:
f(x) ≤ f(c) para todo x  I ∩ S.
El mínimo relativo se define del mismo modo con la desigualdad invertida.
Es decir, un máximo relativo en c es un máximo absoluto en un cierto
entorno de c, si bien no es necesariamente un máximo absoluto en todo el conjunto
S.
Máximos Relativos
Mínimos Relativos
23
Capítulo I
Conceptos Básicos
1.20 Definición 6: De Extremo
Un número que es o un máximo relativo o un mínimo relativo de una
función f se denomina valor extremo o extremo de f.
Estos puntos extremos se caracterizan por la anulación que toma la tangente
de la función, cuando se hacen horizontales.
Para los efectos de cálculo de estos puntos extremos tradicionalmente o
desde un punto de vista clásico se trabaja haciendo las derivadas igual a cero y
donde se anula encontramos un punto crítico, que indicara el extremo, como lo
indica el siguiente teorema:
1.21 Teorema 11: Anulación De La Derivada En Un Extremo Interior
Sea f definida en un intervalo abierto I, y supongamos que f tiene un
máximo relativo o un mínimo relativo en un punto c interior a I. Si la derivada
f´(c) existe, es f´(c) = 0.
Demostración:
Definamos en I una función Q como sigue:
Q(x) =
si x c,
Q(c) = f´(c).
Puesto que f´(c) existe, Q(x) ⟶Q(c) cuando x⟶c, con lo que Q es continua
en c. Queremos demostrar que Q(c) = 0. Esto lo conseguiremos demostrando que
cada una de las desigualdades Q(c) > 0 y Q(c) < 0 nos lleva a una contradicción.
Supongamos Q(c) > 0. Según la propiedad de conservación del signo de las
funciones continuas, existe un intervalo que contiene a c en el que Q(x) es positiva.
Por tanto el numerador del cociente Q(x) tiene el mismo signo que el denominador
24
Capítulo I
Conceptos Básicos
para todo x ≠ c en ese intervalo. Dicho de otro modo, f(x) > f(c) cuando x > c, y
f(x) < c cuando x < c. Esto contradice la hipótesis de que f tiene un extremo en c.
Luego, la desigualdad Q(c) > 0 es imposible. En forma parecida se demuestra que
no puede ser Q(c) < 0. Por consiguiente Q(c) = 0, como se afirmó.
Nosotros no utilizaremos el método de la anulación de la derivada para el
cálculo de los valores extremos, puesto que vamos a suponer que no conocemos
dichas aproximaciones es decir:
f´(x) =
lim
⟶∞
.
Utilizaremos la propiedad de que tendremos un mínimo local o un máximo
local, cuando en el entorno de un punto hay un cambio de monotonía decreciente a
monotonía creciente o de monotonía creciente a monotonía decreciente
respectivamente.
25
Capítulo II
Funciones Racionales
2.1 Polinomio
Definición 7. Polinomio
Una función f es un polinomio si:
f(x) = anxn+an-1xn-1+. . . a1x+a0
donde los coeficientes a0, a1, a2, . . . an son números reales y los exponentes
son enteros no negativos.
Se puede pensar en una función polinomial como una suma de funciones
cuyos valores están dados por akxk para algún número real ak y un entero no
negativo k.
La expresión en el lado derecho de la igualdad en la Definición 7, es un
polinomio en x, (con coeficientes reales) y cada akxk es un término del polinomio.
El término a0 es un término constante. Se llama polinomio tanto la expresión del
lado derecho de la igualdad como la función que dicha expresión define. Si an ≠ 0,
entonces an es el coeficiente principal de f(x) y se dice que f es de grado n.
2.2 Función Racional Polinómica
Una función racional polinómica es el cociente de dos polinomios.
Entonces f es racional si, para todo x en su dominio
f(x) =
g
hx
donde g(x) y h(x) son polinomios. El dominio de un polinomio es
, pero el
dominio de una función racional consta de todos los números reales excepto los
valores de la variable x que anulan el denominador.
26
Capítulo II
Funciones Racionales
En general utilizaremos la expresión:
f: →
definidas por:
⋯
f (x) =
con
⋯
, ∈ ,{i = 0, 1,...n}
Aún se puede generalizar más escribiendo así la expresión de función
racional polinómica con:
⋯
f (x) =
con
⋯
, ∈ ,{i = 0, 1,...n} y {j = 0, 1,...m}
Donde se suele llamar a n–m el grado de esta función, en adelante para
efectos prácticos escribiremos:
⋯
f (x) =
⋯
por la razón de que utilizaremos determinantes de segundo orden, y será
muy cómodo trabajar con esta representación.
En vez de referirnos al grado, como se menciona arriba, diremos que el
orden de la función racional polinómica, es el mayor exponente entre n y m. Esto
es si n > m será de orden n, y si m > n entonces diremos que la función racional es
de orden m, evidente si m = n, entonces es de orden n.
Ejemplos:
f (x) =
será de orden 3
f (x) =
será de orden 3
f (x) =
será de orden 2
f (x) =
será de orden 5.
27
Capítulo II
Funciones Racionales
2.3 Función Racional Polinómica De Orden n = 1
En este caso, el polinomio tanto del numerador como del denominador su
mayor exponente es 1, o al menos uno de ellos, lo que representa, una línea recta o
una hipérbola equilátera.
f (x) =
formada por un polinomio en el numerador y uno en el
denominador. Ambos polinomios son lineales es decir el numerador constituye
una gráfica correspondiente a una línea recta y también el denominador. Pero la
función no existe para el valor x = 2, ya que aquí se produce un cero. La gráfica
de esta función racional corresponde a una hipérbola.
Podemos observar que esta función es decreciente en las dos ramas separadas por
la recta x = 2.
Función Racional Polinómica con n = 1
Si los exponentes de ambos polinomios son uno (n = 1) y los polinomios son
completos, entonces la gráfica será la de una hipérbola, ya que al dividirlos dará
una constante más un cociente formado por una constante entre una función lineal
28
Capítulo II
Funciones Racionales
f(x) =
=
+
la cual siempre representará una hipérbola.
Para el ejemplo anterior tenemos las siguientes características:
1.- La función no tiene máximos ni mínimos relativos.
2.- Corte con el eje X.
Para y = 0, tendremos: x =
que es el único corte con X.
3.- Corte con el eje Y.
Para x = 0, tendremos: y =
que es el único corte con Y.
4.- La curva presenta una asíntota vertical en x = 2.
5.- La curva presenta una asíntota horizontal en y = .
2.4 Función Racional Polinómica De Orden n = 2
Este es un caso más interesante, ya que con este tipo de funciones se nos
van a presentar valores extremos relativos, en general trabajaremos con la función:
f: ⟶ definidapor:
f (x) =
=
.
Con respecto a esta función podemos señalar que:
Sus cortes con el eje X, se determinar haciendo
0, y buscando sus
raíces.
Sus Asíntotas verticales, se determinar haciendo
0, y buscando
sus raíces.
.
Tiene una Asíntota horizontal que es y =
Tiene un corte con el eje Y, que es y =
.
29
Capítulo II
Funciones Racionales
Ejemplo
Sea la Sea la Función Racional Polinómica: f (x) =
1.- No presenta corte con el eje X.
2.- Corte con el eje Y.
y = 4.
3.- No tiene Asíntotas Verticales.
4.- La curva presenta una Asíntota Horizontal en x = 0.5.
5.- Mínimo:
x = 4.3194
y = 0.4525.
6.- Máximo: x = 0.3473
y = 7.2618.
FunciónRacionalPolinómicaconn 2
30
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.1 Generalidades
En este capítulo vamos a deducir el cálculo de los máximos y mínimos,
para funciones racionales polinómicas cuando el mayor exponente del numerador
o denominador, o ambos es dos, si se cumple para n = 2 los casos de n = 1
quedarán suficientemente justificados puesto que pasarán a ser casos particulares.
El caso de funciones racionales polinómicas de orden 2, asume
características importantes puesto que aquí comienzan a presentarse máximos y
mínimos locales, a diferencia de n = 1
Sea f : ⟶ representada por:
=
y = f (x) =
,
la función con la cual vamos a trabajar, pero antes veamos una definición
crucial para la construcción del Método Máximal.
3.2 Definición De Función Extrema
Una función extrema ζ
, ζ: ⟶ , asociada a una función racional
polinómicadeordenn
⋯
f (x) =
⋯
es el polinomio

A
B
C
⋯
donde los coeficientes A, B, C… son generados por el producto de constantes con
todos los determinantes de segundo orden posibles que se forman combinando los
31
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
coeficientes de la función racional polinómica tomados de dos en dos, siguiendo el
orden de los términos de igual exponente tanto en el numerador como en el
denominador:
(x) =
2
Diremos que 
3
x
⋯
, es la función extrema asociada a la función racional
polinómica f (x).
Ejemplos:
Si el orden de la función racional es 1, tendremos:
f(x) =
el determinante será
; n=1
Δ=
la función extrema asociada  x es

A
,
tendremos así,

A, con A = Δ
finalmente,

en este caso la función extrema es una constante.
Si el orden de la función racional es 2, tendremos:
(x) = Ax2+Bx+C
quien tendrá solo dos raíces, demostraremos que una corresponde a un mínimo y la
otra a un máximo de la función racional polinómica asociada. Las raíces reales e
32
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
iguales de esta ecuación no definen valores extremos así como tampoco lo hacen
las raíces complejas conjugadas.
Sea la función racional polinómica:
f (x) =
los determinantes serán:
Δ1 =
; Δ2 =
; Δ3 =
; n=2
la función extrema asociada será:
(x) =
2
(x) = Ax2+Bx+C;
Si el orden de la función racional es 3, la función racional polinómica es:
f (x) =
cuyos determinantes son:
Δ1 =
; Δ2 =
; Δ3 =
;
Δ4 =
; Δ5 =
; Δ6 =
;
la función extrema asociada será:
(x) =
2
3
2
(x) = Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E
Esta función extrema tiene a lo sumo cuatro raíces, esto nos conducirá a la
obtención de dos máximos y dos mínimos para la función racional polinómica, que
33
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
se presentan en forma alternada ya que dos máximos locales no pueden estar uno a
continuación de otro, ni tampoco dos mínimos.
En general una función racional de orden n tendrá 2(n-1) puntos extremos,
que definirán a lo sumo n-1 máximos y n-1 mínimos locales, que se presentarán de
forma alternada. Decimos a lo sumo, puesto que las soluciones reales e iguales no
satisfacen un cambio de crecimiento, ni tampoco aquellas que sean soluciones
complejas conjugadas puesto que estas últimas no cortan el eje X, y ambas se
cuentan por pares.
El problema es determinar los factores que multiplican los determinantes y
así formar los coeficientes A, B, C, . . . estos valores aparecerán mediante la
construcción de cada función extrema en particular.
Para efectos de simplificación en algunos casos usaremos la siguiente
notación
,
.
=
Veamos algunos ejemplos
3.2.1 Sea f (x) =
; entonces, Δ =
3
2
5
en el mismo orden como están los
4
coeficientes de los polinomios, los colocamos en un determinante de segundo
orden, en este caso el valor es: Δ= 22. En general con el polinomio del
numerador y del denominador haremos determinantes de segundo orden
combinándolos como sea posible de tal forma tenemos que:
(x) = 22
El número de determinantes que tendrá la función extrema viene
determinada por todas las combinaciones posibles de los coeficientes de la función
34
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
racional polinómica de orden n, tomados de dos en dos sin repetición, esto nos
dará:
C
,
=
∗
!
=
.
Si el orden es uno, tendremos un determinante. (Nd, número de determinantes)
1
Nd =
Si el orden es dos, tendremos 3 determinantes:
3
Nd =
Si el orden es tres, tendremos 6 determinantes:
6
Nd =
3.3 Deducción del Método Máximal No Diferencial
Sea la función racional polinómica de orden dos f: ⟶ definida por:
(1)
y=
Para la deducción del método despejaremos x de la expresión anterior
= y(
)
transponiendo el segundo miembro al primero previamente multiplicado por y, y
factorizando tendremos:
0
(2)
que es una ecuación de segundo grado la cual podemos resolver en x para así
obtener:
x=
(3)
Podemos observar que esta expresión no es una función inversa, ya que la
misma no es biyectiva, entonces por conveniencia eliminamos el radical
35
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
x=
así, observamos que lo que nos queda es precisamente un punto que es el valor del
vértice de la parábola (2),
Cambio de Ejes
despejando y, obtendremos:
y=
pero este valor pertenece a la función racional polinómica asociada, según el
teorema 7. por lo tanto esta expresión será igual a la función racional en el punto
de cambios de crecimiento.
=
que serán las x donde están los valores críticos de la función racional polinómica
asociada.
36
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
Luego se tiene que:
2
2
2
0.
multiplicando ambos miembros por 1 y escribiendo el resultado en forma de
determinantes:
x2+2
x+
= 0.
De aquí construimos la función extrema
(x)=
A=
x2+2
x+
B=2
.
C=
Notemos que de esta manera obtenemos los factores que multiplican los
determinantes (1, 2, 1), que llamaremos Factores Triangulares.
Finalmente, si tenemos una función racional polinómica de segundo orden
f(x) =
Su función extrema asociada es:
(x) =
x2 + 2
x+
.
Esto nos conduce al siguiente teorema.
3.4 Teorema Máximal
Si (x) es una función extrema asociada a la función racional
polinómica f(x) entonces las raíces reales y distintas de (x) = 0,
determinan los valores extremos de f(x).
37
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
Veamos algunos ejemplos
3.4.1 Un caso a observar es cuando las funciones son enteras, por ejemplo:
f (x) = 2x2+4x8 podemos escribir como f (x) =
entonces (x) =
2 4
0 0
2
2
0
4
0
8
1
8
1
4
4.
Note que el caso en que el denominador de la función racional
polinómica sea una constante la función extrema coincide con la derivada de la
función racional, esto es, 
´
.
3.4.2 Sea la Función Racional Polinómica
(x) =
2 7
1 2
2
2
1
3
8
7
2
3
8
Función Extrema
(x)= 3x238x62
Raíces de :
x1 = 10.7429189
Mínimos Locales:
x1= 10.7429189 y1 = 1.846042
Máximos Locales:
x2= 1.9237478
x2= 1.9237478
y2 = 0.37618
38
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.3 Sea la Función Racional Polinómica:
(x) =
4
4
7
4
4
4
2
7
4
4
4
11
35
11
35
7
4
11
35
Función Extrema
(x) = 44
192
289
Raíces de : No corta el eje X
Máximos locales: No existen
Mínimos locales: No existen
4
4
7
4
11
35
39
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.4 Sea la Función Racional Polinómica
2
10
20
Función Extrema
(x) =
60
10
Raíces de :
x1= 0.1692
x2 = 60.1662
Máximos Locales:
x1= 0.1692
y1 = 0.5021
Mínimos Locales:
x2= 60.1662 y2 = 1.9918
40
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.5 Sea la Función Racional Polinómica
3x
2
5
8
1
Función Extrema
(x) = 10
Raíces de :
x1= 0.0232
x1 = 8.6232
Mínimos Locales:
x1= 0.0232
y1 = 8.0232
Máximos Locales:
x2= 8.6232
y2 = 0.6232
86
2
41
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.6 Sea la Función Racional Polinómica:
4x
12
9
5x
6
Función Extrema
(x) = 92
Raíces de :
x1= 1.5
x2 = 0.3261
Mínimos Locales:
x1= 1.5
y2 = 0
Máximos Locales:
x2= 0.3261
y2 = 13.44
108
4x2 12
45
9
6 2 5x
42
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.7 Sea la Función Racional Polinómica:
6x
2
1
9x
9
Función Extrema
(x) = 54
Raíces de :
x1= 0.083
x2 = 2.0089
Mínimos Locales:
x1= 0.083
y1 = 0.1067
Máximos Locales:
x2= 2.0089
y2 = 24.9956
104
9
43
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.7 Sea la Función Racional Polinómica:
Función Extrema
3
(x) = 24
8x 3
16x 5
18
8
Raíces de  No Tiene
Máximos Locales: No Tiene
Mínimos Locales: No Tiene
8x 3
3 2 16x 5
44
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.8 Sea la Función Racional Polinómica:
5x
7
6x
x 11
Función Extrema
(x) = 37
Raíces de :
x1= 0.5119 x2 = 3.4848
Mínimos Locales:
x1= 0.5119
y1 = 0.1429
Máximos Locales:
x2= 3.4848
y2 = 0.8205
110
66
45
Capítulo III
Método Máximal no Diferencial
3.4.9 Sea la Función Racional Polinómica:
3x
5x 6
x 11
Función Extrema
(x) = 3
Raíces de :
x1= 0.7693
x2 = 21.2307
Máximos Locales:
x1= 0.7693
y1 = 0.384
Mínimos Locales:
x2= 21.2307
y2 = 122.384
66
49
3x2 5x 6
x 11
46
Capítulo IV
Generalización del Método Máximal
4.1 Generalidades
Podemos pensar que es posible generalizar el Método Máximal para
obtener valores críticos de una función racional polinómica cuando su orden es
mayor que dos, y así encontrar sus máximos y mínimos relativos sin la aplicación
del cálculo diferencial.
Aunque no realizaremos la deducción para n
2 en este trabajo, veremos
que una serie de características de estas funciones nos permitirán postular una
solución adecuada.
4.2 Caracterización De La Función Extrema

Los coeficientes de la función extrema se generan con los coeficientes de la
función racional polinómica.
Ejemplos:
4.2.1 Dada
,
f(x) =
genera a la función extrema
(x) = a, b
2 a, c
b, c
4.2.2 Dada
f(x) =
,
genera a la función extrema
47
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
(x) =

5 2
1 7
2
5 1
1 4
2 1
7 4
Las raíces de la función extrema son los valores críticos de la función
racional.
En este caso tendríamos la función extrema (x) = 33x2+38x+1 cuyas raíces
1.1246 son:
0.0269 estos son los valores críticos de la
función racional polinómica asociada.
Observamos que la parábola es la función extrema y los otros dos ramales
son de la función racional. En este caso existen un máximo y un mínimo.
ζ(x)
f(x)

Si demostramos para n = 3, el caso n = 2 será un caso particular de n = 3 y
así sucesivamente. Los casos n = 3 y n = 4, se pueden demostrar con las
soluciones de Tartaglia y Cárdano para las ecuaciones de tercer y cuarto
grado, puesto que estas ecuaciones tienen soluciones por radicales, luego es
posible demostrarlo en general usando métodos numéricos o inducción
completa.
48
CAPITULO IV

Generalización del Método Máximal
Si la función racional polinómica tiene un polinomio de grado cero en el
denominador estamos en presencia de un polinomio y su función extrema
asociada
corresponde a la curva tangente del polinomio en cualquier
punto.
Ejemplo
4.2.3 Si f(x) =
su función extrema asociada es:
(x) = 25x4 12x3 6x2 16x 3

Si la función extrema es una recta paralela al eje X, no hay valores
máximos ni mínimos locales en su función racional asociada.

Si todas las raíces de la función extrema son complejas, la función racional
no tiene ni máximos ni mínimos locales.

Si la función extrema tiene valores mayores que cero, la función racional
asociada es creciente, en caso contrario la función racional asociada es
decreciente.

Si en la función extrema (x) = A
que A
B
C
⋯tenemos
0 la función racional asociada presentará primero un máximo
local y luego un mínimo local. En caso contrario la función racional
asociada presentará primero un mínimo local y después un máximo local.
Siguiendo las reglas de la formulación presentada para obtener las
funciones extremas de funciones racionales polinómicas de segundo orden
podemos hacer una aproximación a la solución para encontrar los valores
extremos cuando n
3.
Los máximos locales y mínimos locales se presentan en forma alternada.
49
CAPITULO IV

Generalización del Método Máximal
Lafrecuenciaydistribuciónenquesepresentanlosexponentesdela
función extrema, dependen del orden de la función racional
polinómica,enlasiguienterelaciónaritmética:
Orden de la función racional
1 2 3 4 …
n
Exponente de la función extrema 0 2 4 6 … 2(n-1)

Si tenemos una función racional polinómica de orden n, el número de
determinantes que debemos calcular es Nd = ∑
Orden de la función racional 1 2 3
Numero de Determinantes

, Siguiendo las series:
4
…
1 3 6 10 …
n
2
Los coeficientes de estos determinantes en su formulación son simétricos,
puesto que ellos siguen una regla según la teoría combinatoria.
Estos determinantes son tomados de acuerdo a la teoría combinatoria,
según el orden de la función racional polinómica (número de objetos);
tomados de dos en dos, sin repetición.
4.3
Triangulo Extremo
Con las caracterizaciones anteriores podemos construir un ordenamiento
triangular donde cada columna que se sume es un factor que multiplica a la
variable de la función extrema con su respectivo exponente y cada uno de estos
números que hemos llamado Factores Triangulares multiplica un determinante. El
exponente del término principal de la función extrema comienza en 2(n1) y
decrece hasta 0.
50
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
Nos quedaría para n = 2
2a,c
a,b
b,c
x2
x1
x0
ζ(x) = a,bx2 + 2a,cx + b,c
Para n = 3
3a,d
2a,c
a,b
2b,d
b,c
x4
x3
x2
c,d
x1
x0
ζ(x) = a,bx4 + 2a,cx3 + (3a,d + b,c) x2 + 2b,dx + c,d
ζ(x) = Ax4 + B x3 + C x2 + D x + E
Para n = 4
4a,e
3a,d
2a,c
2b,d
a,b
x6
3b,e
b,c
x5
x4
2c,e
c,d
x3
x2
d,e
x
x0
ζ(x) = a,bx6 + 2a,cx5 + (3a,d + b,c) x4 + (4a,e +2 b,d)x3 + (3b,e + c,d) x2 +
2c,ex + d,e
6
ζ(x) = A x + B x5 + C x4 + D x3 + E x2 + F x + G
51
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
Para n = 5
5a,f
4a,e
3a,d
2a,c
3b,e
2b,d
a,b
b,c
x8
4b,f
x7
x6
3c,f
2c,e
c,d
x5
2d,f
d,e
x4
x3
e,f
x2
x1
x0
ζ(x) = a,bx8 + 2a,cx7 + (3a,d + b,c) x6 + (4a,e +2b,d)x5+ (5a,f + 3b,e +
c,d) x4 +(4b,f +2 c,e)x3 + (3c,f + d,e)x2+ 2d,fx
+ e,f
8
ζ(x) = A x + B x7 + C x6 + D x5 + E x4 + F x3 + G x2 + H x + I
Ejemplos:
4.3.1. Sea la función
f (x) =
cuya Función Extrema asociada es:
 x
1
1
12
16
2
2
(x) = 4
1 47
1 71
12
60
16
56
48
3
1
1
47
71
88
60
56
60
56
576
12 47
16 71
1628
sus raíces son:
3.4625
3.4325
4.624 = 7.4059
3.4625
= 0.7626
mínimo local
3.4325
= 0.0097
máximo local
4.624
= 0.0131
mínimo local
= 23.3714
máximo local
= 7.4059
52
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
f(x)
ζ(x)
f (x) =
4.3.2
Sea la función racional polinómica:
f( x ) =
de donde resultará la siguiente:
Función Extrema
ζ(x) = 7x8 10 x7 8 x6 8x5 150 x4 16x3 6x2 10x 19
y los siguientes máximos y mínimos locales:
= 0.619
= 2.5032
Mínimo local
= 0.5963
= 0.83
Máximo local
53
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
ζ(x)
f(x)
f( x ) =
4.3.3.
Sea la función racional polinómica:
f( x ) =
Aplicando el triangulo extremo tendremos:
(x) =
5
9
5
9
5
5
9
4
22
5
8
2
17
9 16
7
22 15
2
1
17
8
22 7
6
3
17
1
19
3
5 15
9 8
8
16
15
8
22
17
8
16
54
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
22
17
15
2
8
4
6
19
6
19
2
8
16
7
1
7
1
6
19
3
8
16
6
19
15
8
7
1
cuya Función Extrema asociada es:
ζ(x) = 283 x8 304x7 501x6 1134x5 800 x4 1872 x3 673x2 474x 139
ζ(x)
máximos y mínimos locales:
= 1.7873
= 3.2657
Máximo
= 0.5187
= 0.3542
Mínimo
= 0.2743
= 0.3679
Máximo
= 0.5753
= 0.0547
Mínimo
= 1.0708
= 0.2973 Máximo
= 1.3821
= 0.3034 Mínimo
55
CAPITULO IV
Generalización del Método Máximal
ζ(x)
f(x)
f (x) =
56
CONCLUSIONES
Después de una revisión del presente trabajo, podemos llegar a las
siguientes conclusiones consideradas importantes:
[1].
Es completamente válido realizar cálculos de valores extremos de
funciones racionales polinómicas de una manera rápida, sencilla y exacta
sin el método clásico, es decir sin la utilización del análisis diferencial.
[2].
Una función extrema es un polinomio formado por los coeficientes
ordenados de una manera única en determinantes, de una función racional
polinómica, de tal forma que sus cortes con el eje X, sean los valores
críticos que conducen a valores máximos y mínimos relativos de esta
función racional polinómica; y si no corta al eje o lo hace con raíces reales
e iguales, la función racional polinómica no tiene extremos relativos o no
los tiene en el punto donde las raíces son reales e iguales.
[3].
Si (x) es una función extrema asociada a la función racional polinómica
f(x) entonces las raíces de (x) = 0, determinan los valores extremos de f(x).
[4].
El método es útil aplicarlo a los alumnos preuniversitarios, que desconocen
el análisis diferencial, pero deben conocer según las exigencias académicas
establecidas, el realizar representaciones gráficas de funciones en especial
las del tipo racional polinómica.
57
RECOMENDACIONES
[1].
Para futuros estudios o trabajos, es conveniente pensar en la demostración
para los casos donde n = 3 y n = 4, utilizando como recurso la solución
por radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado; o utilizar de
manera general y para n ≥ 5 métodos del Análisis numérico, y reafirmar
mediante la Inducción Completa.
[2].
Incorporar métodos numéricos para hallar la solución de la función
extrema.
[3].
Estudiar las posibles relaciones existentes entre las raíces de la función
racional polinómica, sus puntos de inflexión y características notables con
las raíces y corte con los ejes de las funciones extremas de funciones
extremas.
[4].
Realizar estudios de la posibilidad de que se considere el problema de
hallar valores extremos en espacios más generales, espacios con
características especiales o espacios de dimensión mayores que dos; donde
sería posible utilizar determinantes de orden tres, cuatro etc. según la
dimensión, y siguiendo el mismo ordenamiento presentado anteriormente
en la construcción de este tipo de funciones, encontrando valores extremos
de volúmenes, superficies y curvas en el espacio sin la utilización del
gradiente y otras herramientas para tal fin.
58
BIBLIOGRAFIA
[1].
Dr. Joseph Ehrenfried Hoffman., Historia de la Matemática. Desde el
comienzo hasta Fermat y Descartes. Primera edición en español, Editorial
Hispano Americana. México. Uteha(1.970).
[2].
Dr. Joseph Ehrenfried Hoffman., Historia de la Matemática. Desde Fermat
y Descartes hasta el descubrimiento del Cálculo y creación del nuevo
método. Primera edición en español, Editorial Hispano Americana.
México. Uteha (1.970).
[3].
Tom M Apóstol., Calculus., Cálculo con funciones de una variable, con
una introducción al álgebra lineal. Volumen I, Segunda Edición. Editorial
Reverté S. A. – (1.985).
[4].
Universidad Nacional Abierta., Cálculo I., Segunda Edición, contenido por
LibuskaJuricek, Jesús González (1.995).
[5].
Universidad Nacional Abierta., Cálculo II., Segunda Edición,
contenido
por LibuskaJuricek, Jesús González (1.995).
[6].
Universidad Nacional Abierta., Álgebra II., Tercera Edición,
contenido
por Luis González Ferrer, (1.985).
[7].
Aritmética teórica de los pitagóricos: Los Números. Thomas Taylor
Editorial Humanitas 1991.
[8].
Del Cálculo Diferencial Tomo I Quinta Edición., de Carlos MataixAracil;
Editorial Dossat. S. A. Madrid 1957.
[9].
Gallego-Díaz, Nuevos problemas de Matemáticas., Editorial Norte y Sur.
1965.
[10].
Heber Nieto en: XIII Escuela Venezolana para la enseñanza de la
Matemática: Aplicaciones del Cálculo Diferencial
59