Guía nº 4 - Cálculo I

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GUÍA N° 4 CÁLCULO I
Profesor: Carlos Ruz Leiva
FUNCIONES DE USO PRÁCTICO
1. La gráfica proporciona la distancia a que está un vendedor de su hogar como una
función del tiempo en un día determinado. Describa en palabras lo que indica la gráfica
respecto de sus recorridos durante en ese día.
Solución:
De 8 a 9AM se aleja de la casa aumentando progresivamente su rapidez. De
9a
10AM se encuentra a la misma distancia de su casa. De 10 a 12AM se aleja
nuevamente de su casa con rapidez constante. De 12AM a 1PM seguramente está
almorzando. Entre 1 y 3PM se acerca a su casa y luego se aleja desde las 3 a las 5PM.
En este punto descansa por una hora, para luego regresar a su casa a las 7PM.
2. Coloque cubos de hielo en un vaso, llene éste de agua fría y déjelo sobre una mesa.
Trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como una función del tiempo
transcurrido.
3. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como una función del tiempo
durante un día de invierno típico.
4. En la tabla se muestra la población P (en miles) de San José, California, de 1984 a
1994. (Se dan estimaciones a mediados de año).
t
P
1984
695
1986
716
1988
733
1990
782
1992
800
1994
817
Trace una gráfica de P como una función del tiempo t.
Solución:
Usando EXCEL, tenemos.
Población(miles)
Población San José California
850
800
750
P
700
650
1982
1984
1986
1988
1990
años
1992
1994
1996
5. Obtenga una fórmula para la función descrita, a continuación, y diga cuál es su
dominio.
(a) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 pies. Exprese el área A del
rectángulo como una función de la longitud x de uno de sus lados.
Solución:
Las dimensiones de los lados del rectángulo se muestran en la figura. El área
del rectángulo es A = (10 − x) x . Su dominio, es 0 < x < 10 .
(b) Exprese el área de un triángulo equilátero como una función de la
longitud x de un lado.
Solución:
A = ( 3x 2 ) / 4 , x > 0 .
(c) Exprese el radio r de un círculo como una función de su área A.
Solución:
r=
A/π ,
A > 0.
(d) Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 pies3 tiene una base
cuadrada. Exprese el área de la superficie A de la caja como una función
de la longitud x de un lado de la base.
Solución:
A = x 2 + (48 / x), x > 0 .
(e) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo con un
semicírculo sobrepuesto como se muestra en la figura. Si el perímetro de
la ventana es de 30 pies, exprese el área de la ventana como una función
del ancho x de la misma.
Solución:
A = 15 x − (π + 4) x 2 / 8, x > 0 .
(f) Un granjero tiene 2,400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular
que bordea un río recto, como se muestra en la figura. No necesita cerca a
lo largo del río. Exprese el área A del campo en función del ancho x del
mismo.
Solución:
A = 2 x(1200 − x) , 0 < x < 1200
.
(g) Dos barcos zarpan simultáneamente de un puerto. Uno navega hacia el sur
a 15 millas/h y el otro hacia el este a 20 millas/h. Exprese la distancia d
entre los barcos como una función de t, el tiempo (en horas) transcurrido
desde su salida.
Solución:
d = 25t , t ≥ 0 .
6. El peso ω de un objeto a una altura h sobre la superficie de la tierra está dado por
2
⎛ R ⎞
⎟ ω0
⎝ R+h⎠
ω =⎜
donde ω 0 es el peso del objeto al nivel del mar y R = 6,400km es el radio de la Tierra.
Suponga que el peso de un objeto al nivel del mar sea de 80N. Utilizando un rectángulo
de visualización apropiado, obtenga la gráfica del peso del objeto en función de su
altura.
Solución:
> plot((6400/(6400+h))^2*80,h=0..5000,w=0..90);
¿Cuánto pesa usted si está a una altura de 6000m sobre el nivel del mar?
7. Para un pez que está nadando a una rapidez v en relación con el agua, el consumo de
energía por unidad de tiempo es proporcional a v 3 . Si el pez está nadando contra la
corriente con una rapidez de u millas/h, donde u < v , entonces el tiempo necesario
para recorrer una distancia de L millas es L /(v − u ) y la energía total requerida para
recorrer la distancia es
E (v) = 2.73v 3
L
v−u
Suponga que la rapidez de la corriente es u = 5 millas/h. Trace la gráfica de la energía
E (v) necesaria para nadar una distancia de 10 millas como una función de la rapidez
v del pez.
Solución:
> Ev:=2.73*v^3*(10/(v-5));
Ev := 27.30
v3
v−5
> plot(Ev,v=0..15,discont=true,E=0..10000);
8. Escriba una ecuación que exprese el enunciado.
(a) R varía directamente con t .
Solución:
La ecuación que expresa el enunciado anterior es R = kt , donde k es la constante de
proporcionalidad que hace posible que la igualdad se cumpla.
(b) P es directamente proporcional a u .
(c) v es inversamente proporcional a z .
(d) w es conjuntamente proporcional a m y n .
(e) y es proporcional a s e inversamente proporcional a t .
(f) z es proporcional a la raíz cuadrada de y .
(g) A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo
de x .
9. Exprese el enunciado como una fórmula. Utilice la información dada para determinar
la constante de proporcionalidad.
(a) y es directamente proporcional a x . Si x = 4 , entonces y = 72 .
(b) M varía directamente con x e inversamente con y . Si x = 2 y y = 6 ,
entonces M = 5 .
Solución:
La ecuación que satisface el enunciado es M = k
x
.
y
Para x = 2 y y = 6 se tiene que M = 5 . Reemplazamos estos valores en M = k
5=k
x
,
y
2
, de donde obtenemos k = 15 . Luego, la fórmula para el enunciado dado es
6
M = 15
x
.
y
(c) W es inversamente proporcional al cuadrado de r . Si r = 6 , entonces
W = 10 .
10. La ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x
unidades más allá de su longitud natural es directamente proporcional a x . Aquí la
constante de proporcionalidad se conoce como la constante del resorte.
(a) Escriba la ley de Hooke como una ecuación.
(b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se requiere una fuerza
de 40 N para mantener el resorte estirado a una longitud de 15 cm,
determine cuál es la constante del resorte.
(c) ¿Qué fuerza se necesita para mantener estirado el resorte una distancia de
14 cm?
Solución:
a) F = kx , b) 8 , c) 32 N.
11. El costo de imprimir una revista es conjuntamente proporcional a su número de páginas
y al número de revistas impresas.
(a) Escriba una ecuación para esta variación conjunta si el costo de impresión
es de $60,000 para 4,000 copias de una revista de 120 páginas.
(b) ¿Cuál sería el costo de impresión para 5,000 copias de una revista de 92
páginas?
Solución:
a) C =
1
pn ,
8
b) $57,500.
12. La resistencia R de un alambre varía directamente con su longitud L e inversamente
proporcional con el cuadrado de su diámetro d .
(a) Un alambre de 1.2 m de largo y 0.005 m de diámetro tiene una resistencia
de 140 ohms. Escriba una ecuación de esta variación y determine la
constante de proporcionalidad.
(b) Determine la resistencia de un alambre fabricado del mismo material que
tenga 3 m de largo y un diámetro de 0.008 m.
Solución:
a) R = kL / d 2 , k =
7
= 0.00291 6 ,
2400
b) ≈ 137Ω .