Relación Marginal de Sustitución Técnica

Teoría de la Empresa
La Tecnología de Producción
La Empresa
¿Qué es una Empresa?
En la práctica, el concepto de empresa, y el papel que
las empresa desempeñan en la economía, son
extraordinariamente complejos.
En esta introducción a la teoría de la empresa adoptaremos una
visión simple de la actividad de las empresas: nos limitaremos
a considerarlas como agentes económicos cuya actividad
consiste en transformar bienes; es decir, producir ciertos bienes
(outputs) utilizando otros bienes como inputs. Así, una
empresa queda completamente caracterizada por su tecnología.
La Tecnología de Producción
La tecnología de producción puede describirse mediante el
conjunto de posibilidades de producción Y, un subconjunto
de ℜl. Un plan de producción es un vector en ℜl en el que las
coordenadas positivas son los outputs y las negativas son
inputs.
Ejemplo: Supongamos que hay 5 bienes (l=5). Si el plan de
producción (-5, 2, -6, 3, 0) es factible, esto significa que la
empresa puede producir 2 unidades del bien 2 y 3 unidades
del bien 4 usando 5 unidades del bien 1 y 6 unidades del
bien 3 como inputs. En este plan de producción el bien 5 ni
aparece ni como input ni como output.
La Tecnología de Producción
Para simplificar el problema, supondremos que la empresa
produce un sólo output (Q) utilizando dos inputs (L y K)
Así, una tecnología de producción se puede describir
mediante una función de producción, F(L,K), que nos
indica la cantidad máxima Q de output que se puede
producir para cada vector de inputs (L,K) ≥ 0
El conjunto de posibilidades de producción Y se puede
describir como los niveles de producción Q y
combinaciones de factores (L,K) que satisfacen la
desigualdad Q ≤ F(L,K).
La ecuación Q = F(L,K) describe la frontera de
posibilidades de producción.
Función de Producción
Q = producción
Q = F(L,K)
L = trabajo
K = capital
FL = ∂F / ∂L > 0 (producto marginal del trabajo)
FK = ∂F / ∂K > 0 (producto marginal del capital)
Ejemplo: Función de Producción
Cantidad de trabajo
Cantidad de capital 1
2
3
4
5
1
20
40
55
65
75
2
40
60
75
85
90
3
55
75
90
100
105
4
65
85
100
110
115
5
75
90
105
115
120
Isocuantas
La función de producción describe también las
combinaciones de factores que permiten obtener
un mismo nivel de producto.
Así, podríamos diferenciar entre
- tecnologías intensivas en trabajo
- tecnologías intensivas en capital.
Isocuantas
K
5
75
Combinaciones de trabajo y
capital que permiten producir
75 unidades de producto.
4
3
75
2
75
75
1
1
2
3
4
5
L
Isocuantas
K
5
Isocuanta: curva que describe
todas las combinaciones de trabajo
y capital que generan el mismo
nivel de producción.
4
3
2
Q= 75
1
1
2
3
4
5
L
Mapas de Isocuantas
K
5
Isocuantas: describen las
combinaciones de factores
que permiten obtener 55, 75
y 90 unidades de producto.
4
3
2
Q3 = 90
Q2 = 75
Q1 = 55
1
1
2
3
4
5
L
Mapas de Isocuantas
Las isocuantas muestran la flexibilidad que tienen
las empresas para sustituir un input por otro input
manteniendo constante el nivel de producción.
Esta información permite al productor responder a
cambios en los precios de factores.
Factores Sustitutivos y Complementarios
Imperfectos
K
A
5
4
La tasa a la que los
factores pueden sustituirse
varía a lo largo de la
isocuanta
2
B
1
3
1
C
1
2
2/3
D
1
E
1/3
1
1
1
2
3
4
5
L
Factores Sustitutivos Perfectos
K
Los factores pueden sustituirse a
una tasa constante, cualquiera
que sea la combinación de
factores que se esté utilizando
(veremos que la RMST es una
constante).
2
Función de producción:
F(L,K)= L + K.
1
0
Q1
Q2
Q3
1
2
3
L
Factores Complementarios Perfectos
K
(Martillos)
Es imposible
sustituir un factor de
producción por otro:
un carpintero sin
martillo no produce,
y viceversa
4
3
2
Función de producción:
F(L,K) = min{L,K}
1
0
1
2
3
4
L (Carpinteros)
La producción con un factor variable
Vamos a estudiar las curvas de producto.
Para ello, supongamos que todos los factores
menos uno son fijos, y consideremos cómo varía la
producción con el factor variable:
Q = F(L,K0) = f(L)
Ejemplo numérico: producción con un
factor variable
Cantidad
Cantidad Producción
de trabajo (L) de capital (K) total (Q)
0
10
0
1
10
10
2
10
30
3
10
60
4
10
80
5
10
95
6
10
108
7
10
112
8
10
112
9
10
108
10
10
100
Suponemos que
el capital es el
input fijo y el
trabajo el factor
variable
Curva de producto total
Q
112
Producto total
60
0
1
2 3
4
5
6
7 8
9
10
L
Producto medio
Definimos el producto medio del trabajo
(PMeL) como la cantidad de output
producida por cada unidad de trabajo
PMeL= Q / L
Ejemplo numérico: producto medio
Cantidad
Cantidad Producción Producto
de trabajo (L) de capital (K) total (Q)
medio
0
10
0
0
1
10
10
10
2
10
30
15
3
10
60
20
4
10
80
20
5
10
95
19
6
10
108
18
7
10
112
16
8
10
112
14
9
10
108
12
10
10
100
10
Curvas de producto total y de producto
medio
Q
112
Producto total
60
0
Q/L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
Producto medio
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
Producto marginal
El producto marginal del trabajo (PML) se
define como la producción adicional
obtenida cuando se incrementa la cantidad
de trabajo en una unidad
PML
ΔQ
=
ΔL
Ejemplo numérico: producto marginal
Cantidad
Cantidad Producción Producto Producto
de trabajo (L) de capital (K) total (Q)
medio
marginal
0
10
0
0
---
1
10
10
10
10
2
10
30
15
20
3
10
60
20
30
4
10
80
20
20
5
10
95
19
15
6
10
108
18
13
7
10
112
16
4
8
10
112
14
0
9
10
108
12
-4
10
10
100
10
-8
Curvas de producto total y de producto
marginal
Q
112
Producto total
60
0
Q/L
1
2
3
4
5
30
6
7
8
9
10
L
Producto marginal
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
Producto medio y producto marginal
Q
Q
112
112
D
60
60
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L
Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
En B → Q/L < dQ/dL
112
C
En C → Q/L = dQ/dL
60
En D → Q/L > dQ/dL
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
L
L
Producto medio y producto marginal
A la izquierda de C: PM > PMe y PMe es creciente
A la derecha de C: PM < PMe y PMe es decreciente
En C: PM = PMe y PMe alcanza su máximo
Q/L
PML
30
Producto marginal
C
20
Producto medio
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
L
Relación Marginal de Sustitución Técnica
La Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)
indica las proporciones en las que puede sustituirse
trabajo por capital de manera que la producción
permanezca constante.
Si la definimos como RMST = -FL/FK, indica el número
de unidades adicionales de capital necesarias para
mantener constante el nivel de producción cuando la
cantidad del input trabajo disminuye en una unidad.
Relación Marginal de Sustitución Técnica
K
A
5
4
RMST = − ΔΚ ΔL
2
B
3
ΔL=1
1
ΔΚ= - 2
RMST = -(-2/1) = 2
2
1
L
1
2
3
4
5
Relación Marginal de Sustitución Técnica
K
A
RMST = − ΔΚ ΔL
ΔK
B
La RMST es la pendiente de
la recta que une A y B.
ΔL
L
Relación Marginal de Sustitución Técnica
RMST = lim -ΔΚ/ ΔL
K
ΔL
C
0
Cuando ΔL tiende a cero,
RMST es la pendiente de la
isocuanta en el punto C.
L
Cálculo de la RMST
Análogamente a lo que hacíamos con las funciones de utilidad,
podemos calcular la RMST como un cociente de productos
marginales utilizando el Teorema de la Función Implícita:
F(L,K)=Q0
(*)
donde Q0=F(L0,,K0).
Derivando totalmente la ecuación (*), tenemos
FLdL +FK dK = 0.
La derivada de la función que define la ecuación (*) es
dK/dL= -FL/FK .
Esta fórmula nos permite evaluar la RMST en cualquier
punto de la isocuanta.
Ejemplo: Cobb-Douglas
Sea Q = F(L,K) = L3/4K1/4
Calcule la RMST
Solución:
FL = 3/4 (K / L)1/4
FK = 1/4 (L / K)3/4
RMST = -FL / FK = -3 K / L
Ejemplo: Sustitutivos Perfectos
Sea Q = F(L,K) = L + 2K
Calcule la RMST
Solución:
FL = 1
FK = 2
RMST = -FL / FK = -1/2 (constante)
Rendimientos a Escala
Modificación de la escala: aumento de
todos los factores en la misma proporción
(ej. (L,K) → (2L,2K))
Rendimientos a escala: tasa a la que
aumenta la producción cuando se
incrementa la escala.
Rendimientos a Escala
Consideremos una modificacion de la escala:
(L, K) → (rL, rK), con r > 1.
Decimos que
• Hay rendimientos crecientes de escala si
F(rL, rK) > r F(L,K)
• Hay rendimientos constantes de escala si
F(rL, rK) = r F(L,K)
• Hay rendimientos decrecientes de escala si
F(rL, rK) < r F(L,K).
Ejemplo: Rendimientos Constantes a Escala
K
6
Q=30
4
Las isocuantas
Q=20 son equidistantes.
2
Q=10
0
5
10
15
L
Ejemplo: Rendimientos Crecientes a Escala
K
Las isocuantas están
cada vez más cerca.
4
3.5
Q=30
Q=20
2
Q=10
0
5
8
10
L
Ejemplo: Rendimientos Decrecientes a Escala
K
Las isocuantas están
cada vez más lejos.
12
Q=30
6
Q=20
2
Q=10
0
5
15
30
L
Ejemplo: Rendimientos a Escala
Sea la función de producción Q = F(L,K) = L + K
Diga cómo son los rendimientos de escala.
Solución: Sea r > 1. Entonces
F(rL,rK) = (rL) + (rK)
= r (L+K)
= r F(L,K)
La función F presenta rendimientos constantes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala
Sea la función de producción Q = F(L,K) = LK
Diga cómo son los rendimientos de escala.
Solución: Sea r > 1. Entonces
F(rL,rK) = (rL)(rK)
= r2 (LK)
= r2 F(L,K)
> r F(L,K).
La función F presenta rendimientos crecientes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala
Sea la función de producción Q = F(L,K) = L1/5K4/5.
¿Cómo son los rendimientos de escala?
Solución: Sea r > 1. Entonces
F(rL,rK) = (rL)1/5(rK)4/5
= r(4/5+1/5)L1/5K4/5
= r F(L,K).
La función F presenta rendimientos constantes a escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala
Sea la función de producción Q = F(L,K) =min{K,L}.
¿Cómo son los rendimientos de escala?
Solución: Sea r > 1. Entonces
F(rL,rK) = min {rL,rK}
= r min{L,K}
= r F(L,K).
La función F presenta rendimientos constantes a
escala.
Ejemplo: Rendimientos a Escala
Sea la función de producción Q = F(L,K0) = f(L) = 4L1/2.
¿Cómo son los rendimientos de escala?
Solución: Sea r > 1. Entonces
f(rL) = 4 (rL)1/2
= r1/2 (4L1/2)
= r1/2 f(L)
< r f(L)
La función f presenta rendimientos decrecientes a escala.
Transformaciones Monótonas
Al contrario de lo que ocurría con las funciones de
utilidad, las funciones de producción no son
representaciones ordinales de la posibilidades de
producción, sino representaciones cardinales.
Aunque una función de producción G sea una
transformación monótona de otra función de
producción F, las tecnologías que representan son
distintas.
Transformaciones Monótonas
Por ejemplo, las funciones de producción F y G, definidas como
F(L,K) = LK
y
G(L,K) = (LK)1/2
representan tecnologías distintas. En particular, presentan
rendimientos a escala distintos. Sea r > 1. Tenemos
F(rL,rK) = r2LK = r2F(L,K) > rF(L,K)
y
G(rL,rK) = r(LK)1/2 = rF(L,K).
Por tanto, F presenta rendimientos crecientes a escala y G
presenta rendimientos constantes a escala.
Transformaciones Monótonas
Sin embargo, sigue siendo cierto que las transformaciones
monótonas no modifican la RMST. Puede comprobarse que la
RMST es la misma para las funciones de producción F y G
descritas:
MRTSF(L,K) = K/L;
MRTSG(L,K) = (1/2)L(-1/2)K1/2/[(1/2)L(1/2)K(-1/2)]
= K/L.