El ajuste por convexidad en la valoración de productos financieros

El ajuste por convexidad en la valoración de
productos financieros
Alejandra Sánchez
Tutor: Gerardo Oleaga
Septiembre 2008
Resumen
En este trabajo se explora el llamado ajuste por convexidad en valoración de
instrumentos financieros que dependen de la curva de tipos de interés. En particular
se revisa el cálculo del ajuste para algunos modelos ya conocidos como Lognormal
y Libor (Hull [5], Benhamou [1] y Petrucci [11]). Se presentan también algunas
extensiones de las fórmulas obtenidas por estos autores. Las técnicas aplicadas se
basan fundamentalmente en el cálculo estocástico aplicado a la valoración financiera
(Teorema de representación de Martingalas, Teorema de Harrison-Pliska, Teorema
de Girsanov, enunciados en los Apéndices).
1.
1.1.
Introducción
El problema del ajuste por convexidad
El llamado ajuste por convexidad está vinculado a ciertas correcciones en los precios de
productos derivados del tipo de interés, y su efecto debe tenerse en cuenta cada vez que la
curva de tipos tenga una evolución estocástica. No es fácil encontrar una versión unificada
de este concepto en la literatura, ya que aparece vinculado a distintos instrumentos, y se
hace difícil dar una interpretación única a situaciones que aparentemente no tienen nada
en común. Como menciona Eric Benhamou en [1]: “... la convexidad se ha convertido en
un sinónimo de pequeño ajuste en el mercado de renta fija.”
En esta Sección hacemos una primera aproximación al ajuste por convexidad, comenzando por un ejemplo completamente trivial. Las Secciones 2 a 5 conectarán los conceptos
utilizados en este ejemplo con la práctica financiera que requiere de este ajuste.
1.2.
Tipos forwards y tipos esperados.
Supongamos que queremos reconstruir la curva cupón cero de hoy (t = 0) en un caso
trivial. Consideremos dos períodos de un año y denotemos por P (0, T ) al precio de hoy del
bono cupón cero de madurez T (esto es, el instrumento que paga una unidad monetaria
a tiempo T ). El tipo de interés (simple o anual) a aplicar en el primer período [0, 1] es
1
un valor conocido, denotado por r0 . Sin embargo, el tipo de interés que se aplicará en
el intervalo futuro [1, 2] es una variable aleatoria que puede asumir dos valores: r+ y r−
con probabilidad 1/2 respectivamente. Asumimos que ésta es la medida de probabilidad
neutral al riesgo (véase el Apéndice B).
Para reconstruir la curva de tipos solamente nos falta el precio del bono cupón cero con
madurez de dos años P (0, 2), o equivalentemente, el tipo de interés que se debe aplicar en
el intervalo [0, 2]. En términos del tipo con composición anual podemos escribirlo como:
P (0, 2) =
1
.
(1 + r (0, 2))2
Para valorar el bono a dos años es suficiente con aplicar la fórmula de valoración elemental:
1
1
1
1/2
1/2
P (0, 2) = E
=
,
+
(1 + r0 ) (1 + r1 )
1 + r0 1 + r + 1 + r −
donde tenemos en cuenta que r0 es determinista. En esta valoración, están implícitas dos
cantidades. Para reconocerlas, escribiremos este cálculo elemental de otro modo, para ello
sea:
r1 = µ + σZ ,
donde Z es una variable aleatoria que puede asumir los valores 1 y -1 con probabilidad
1/2. Los parámetros µ y σ son respectivamente la media y desviación típica del tipo de
interés. En particular, E [r1 ] = E [µ] + σE [Z] = µ. Volviendo al cálculo anterior tenemos
que:
1/2
1/2
1
1+µ
1
+
=
.
P (0, 2) =
1 + r0 1 + µ + σ 1 + µ − σ
1 + r0 (1 + µ)2 − σ 2
El término entre paréntesis representa el precio del bono cupón cero forward del intervalo
[1, 2] que corresponde al bono cupón cero asociado al tipo de interés llamado tipo de
interés forward en el intervalo [1, 2] (véase el Apéndice E), y puede calcularse a día de
hoy si se conoce la curva cupón cero completa (en este caso P (0, 1) y P (0, 2)). Es decir,
el tipo forward, denotado por rf , viene dado por:
P (0, 2)
1+µ
1
1
=
=
(1)
=E
1 + rf
P (0, 1)
1 + r1
(1 + µ)2 − σ 2
Si la volatilidad es muy pequeña, haciendo un desarrollo de Taylor alrededor de rf = µ,
podemos escribir:
1
1
=
+ O σ2 , σ → 0 .
(2)
f
1+r
1+µ
Es evidente que si conociéramos el tipo forward rf entonces conoceríamos P (0, 2) con
exactitud:
1
1
P (0, 2) =
.
(1 + r0 ) (1 + rf )
De (2), si conociéramos µ = E [r1 ], podríamos hacer una valoración aproximada del bono
forward, ya que en general:
rf 6= E [r1 ] .
2
Es decir, el tipo forward no coincidirá necesariamente con el valor esperado del tipo de
interés a aplicar en ese intervalo a no ser que σ = 0. El efecto de esta corrección aparece
exclusivamente por la volatilidad del tipo de interés, y desaparece cuando los tipos son
deterministas. El ajuste por convexidad es una estimación de la diferencia
E [r1 ] − rf
que depende del modelo estocástico de tipos de interés que estemos aplicando. Este efecto
se produce (en este caso elemental) por la convexidad de la función
φ (x) =
1
.
1+x
La corrección que tenemos que aplicar se debe en este ejemplo a un caso elemental de la
desigualdad de Jensen:
E [φ (X)] > φ (E [X]) ,
(3)
donde X es una variable aleatoria.
Los tipos forward no son directamente observables, mientras que E [r1 ] puede obtenerse
(como veremos a continuación) a partir de contratos sumamente líquidos disponibles en el
mercado: los futuros sobre tipos de interés. Como en este caso particular φ es decreciente,
tenemos que, por (1) y (3)
φ rf = E [φ (r1 )] > φ (E [r1 ]) ⇒ rf < E [r1 ] ,
es decir que, el tipo implicado por E [r1 ] es mayor que el tipo forward, que es el correcto.
En la ecuación (1) se puede despejar el tipo forward, así pues
rf =
(1 + µ)2 − σ 2
−1
(1 + µ)
El ajuste por convexidad está dado por la diferencia:
E [r1 ] − rf = µ − rf = (µ + 1) −
=
(1 + µ)2 − σ 2
1+µ
!
σ2
1+µ
Claramente, si los tipos son deterministas, tenemos que σ = 0 y no hay ajuste. Por
otra parte, la fórmula pone en evidencia que éste depende del modelo estocástico que se
asuma para el comportamiento de r1 (en este caso a través de los parámetros µ y σ).
2.
Ajuste entre forwards y futuros sobre los tipos de
interés.
El problema elemental planteado en el apartado anterior está vinculado a la comercialización de dos instrumentos financieros: los FRA (forward rate agreements) y los llamados
3
Euribor futures que describiremos a continuación. Para comenzar haremos una breve introducción a los contratos forward y futuros y a su valoración. Ambos contratos son útiles
para la cobertura de riesgos financieros.
Consideremos un activo A, cuyo precio es un proceso estocástico que denotamos por
A (t, ω) (donde ω indica la trayectoria del mercado, véase Apéndice A). At es para cada
t fijo una variable aleatoria
At : Ω 7→ R
definida por At (ω) := A (t, ω) con ω ∈ Ω. Para t = 0 (hoy) el precio es conocido y por
lo tanto A0 (ω) tiene un valor único para todo ω (es determinista). El contrato forward
firmado a día de hoy sobre este activo tiene una parte compradora y una parte vendedora.
La parte compradora se compromete a adquirir el activo en un tiempo futuro T a un precio
fijado hoy, llamado precio forward y que denotaremos por K. Este precio se fija de tal
manera que el contrato tenga valor nulo en el momento de la firma. A tiempo T no hace
falta realizar la entrega del activo, sino que se intercambia la diferencia entre el precio
forward K y su precio de mercado a tiempo T , esto es AT . Si para una trayectoria del
mercado ω, AT (ω) > K, la parte vendedora debe pagar a la compradora esta diferencia.
En caso contrario es la parte compradora la que tiene que realizar el pago a tiempo T .
La valoración de este contrato puede encontrarse en [2] y se obtiene por un argumento
elemental de replicación:
A0
,
K=
P (0, T )
donde P (0, T ) indica el precio a tiempo t = 0 del bono cupón cero con vencimiento T .
Nótese que K es el precio forward del activo, pero no es el precio del contrato. El precio del
contrato evoluciona desde el valor cero, de acuerdo a la diferencia entre el precio forward
actual y el precio forward fijado a tiempo 0. Cuando se aproxima al tiempo de madurez
del contrato (o delivery date), el valor del mismo se aproxima a la diferencia entre el precio
actual y el valor de K. Esto genera un riesgo alto de que alguna de las partes incumpla el
contrato (default) y por esta razón, hay un tipo distinto de producto, llamado futuro, que
si bien persigue los mismos objetivos que el contrato forward en cuanto a la cobertura de
riesgos, tiene características particulares que minimizan el riesgo por default.
El contrato futuro se caracteriza por una serie de pagos intermedios (en la práctica
diarios) que ponen a cero el valor del contrato. Denotemos por F (t, ω) a una cantidad
que se estipula en el mercado y que denota el precio futuro del activo A a tiempo t,
con vencimiento en T . Dada una historia del mercado ω, los pagos intermedios (o flujos
de caja) se determinan de tal manera que las partes tengan un flujo de caja a tiempos
t0 = 0, t1 , . . . , tN = T , dado por la diferencia:
Fti (ω) − Fti−1 (ω)
i = 1, . . . , N .
Los Fti se determinan de tal modo que, cuando t = T el precio futuro FT (ω) coincide con
AT (ω) y los flujos de pagos se fijan de tal modo que el contrato tenga valor nulo para todo
ti . Esto permite que tanto el comprador como el vendedor puedan retirarse sin perjuicio
para ninguna de las partes. Los agentes solamente se comprometen a realizar el flujo de
pagos que les corresponda, y no a entregar el activo, que puede comprarse en el mercado
a tiempo T .
Lo interesante de estos productos derivados es que los precios forward difieren de
los respectivos precios futuros solamente cuando los tipos de interés son estocásticos (cf.
4
[2]). En el caso determinista no hay diferencias entre los precios de los dos instrumentos,
aunque sí en el modo en que se efectúan los pagos: en un caso se hace un único desembolso
al final, y en el otro se realiza una sucesión de pagos entre el inicio del contrato y el final
del mismo. En el caso estocástico, el precio futuro del activo queda determinado por la
fórmula:
Fti = E [AT |Xt0 , Xt1 , . . . , Xti ] ,
(4)
donde Xti (ω) := X (ti , ω) es la variable aleatoria que indica el estado del mercado para
cada ti (véase Apéndice A). La notación:
Eti [Y ] := E Y |Xtj , 0 ≤ j ≤ i ,
donde el valor esperado se calcula respecto de la medida neutral al riesgo, indica la esperanza condicional dado que la historia del mercado hasta tiempo ti es conocida. Ésta es
una variable aleatoria sobre Ω:
Et [Y ] : ω ∈ Ω 7→ R .
Es decir,
Et [Y ] (ω) := E [Y |Ωt (ω)] ,
donde
Ωt (ω) = ∩s≤t Xt−1 (ω) .
En palabras: este conjunto está formado por las trayectorias del mercado que coinciden
con ω hasta tiempo t. Nótese que (4) representa un valor esperado sobre valores futuros,
que no están descontados con el valor de la cuenta bancaria. La demostración de (4) en
este caso discreto es relativamente simple. Teniendo en cuenta que
FT = AT ,
valoramos a tiempo tN −1 el pago que se realiza a tiempo T :
FtN − FtN −1
= 0 ⇒ EtN −1 FtN −1 = EtN −1 [AT ] .
EtN −1
B (tN −1 , tN )
Aquí, B (tN −1 , tN ) es el crecimiento de un depósito bancario unidad a tiempo tN −1 y
dejado hasta tN . Esta cantidad está fijada a tiempo tN −1 si estamos en el caso discreto
(sólo permitimos comprar y vender en los instantes ti ). Como FtN −1 está fijado a tiempo
tN −1 , tenemos que:
FtN −1 = EtN −1 [AT ] .
A continuación valoramos a tiempo tN −2 :
FtN −1 − FtN −2
= 0 ⇒ FtN −2 = EtN −2 EtN −1 [AT ] .
EtN −2
B (tN −2 , tN −1 )
Es decir:
FtN −2 = E E AT |Xt0 , . . . , XtN −1 |Xt0 , . . . , XtN −2 = E AT |Xt0 , . . . , XtN −2 = EtN −2 [AT ] .
Siguiendo las identidades hasta t0 queda probada la fórmula de valoración.
5
Volviendo a nuestro problema inicial, los contratos que más nos interesan son los forwards y futuros sobre tipos de interés. En el caso del forward, el contrato se llama forward
rate agreement y consiste en que se fija un intervalo de tiempo en el futuro, digamos
[T, T + ∆T ], en el cual una parte pagará un interés fijo (o strike) K y la otra pagará el
interés que corresponda en ese momento aplicar en ese intervalo, que denotaremos por
rt (ω) ≡ r (t, ω; T, ∆T ). El pago se realiza a tiempo T + ∆T y el valor de K se fija de
tal modo que el contrato tenga valor nulo a día 0, y por un argumento elemental de
replicación tenemos que:
K = r0f (ω) := tipo forward visto a día 0 a aplicar en [T, T + ∆T ] .
Nótese que esta cantidad es en realidad independiente de ω, puesto que el tipo forward
observado en el tiempo inicial depende de la curva de tipos inicial. Como vimos anteriormente, éste es el tipo de interés que se necesita para completar la curva cupón cero
de manera exacta. Este tipo no es observable en forma directa pues la información sobre
contratos FRA es limitada. Sin embargo, los precios futuros sobre los tipos de interés sí
están disponibles en el mercado. Estos contratos establecen unos precios futuros dados
por 1 menos el valor futuro del tipo de interés, que denotamos por rtf ut (véase Euribor
futures contracts en [8] donde se utilizan los tipos expresados en porcentajes). Es decir, a
tiempo T , el valor futuro del tipo de interés a aplicar en el intervalo [T, T + ∆T ] coincide
con el valor actual: rTf ut = rT . El precio futuro del contrato Euribor en ese momento es
FT = 1 − rT . El precio a tiempo t, viene dado por (4), es decir:
Ft = Et [1 − rT ] = 1 − Et [rT ] ,
donde el valor esperado se calcula respecto de la medida neutral al riesgo. Como el tipo
futuro rtf ut es 1 menos el precio euribor futuro, tenemos que:
rtf ut = 1 − Ft = Et [rT ] .
Es decir que la cotización de estos contratos nos provee directamente del valor esperado
del tipo de interés (respecto de la medida neutral al riesgo). Si estimamos el ajuste que
tenemos que hacerle a este valor para conseguir el tipo forward rtf , entonces podremos
reconstruir la curva de tipos de interés (o la curva cupón cero) a día de hoy con datos
de mercado. Una vez conocida la curva, podremos valorar distintos instrumentos de renta
fija. En este caso, el ajuste por convexidad a tiempo t viene definido por la diferencia
entre el tipo forward y el tipo futuro aplicables al intervalo:
ajuste := rtf − rtf ut = rtf − Et [rT ] .
Como se puede observar, en esta fórmula, el valor numérico del ajuste entre tipos forward y
futuros depende fundamentalmente del modelo de evolución de tipos de interés estudiados.
Hay varios trabajos que tratan sobre el ajuste entre forwards y futuros (véase [18] y las
referencias que cita).
Por otra parte, existe el trabajo de Hunt y Kennedy [6] quienes prueban, que si H es
el valor del activo sobre el que se realiza el contrato futuro, entonces EtQ [H] es el precio
futuro y el ajuste por convexidad está dado por una fórmula que involucra a la covarianza
entre el precio del activo y la evolución de la cuenta bancaria. Esta fórmula no implica
ningún modelo particular de evolución de los tipos de interés.
6
Por el contrario, la fórmula de ajuste por convexidad entre forwards y futuros que
aparece en Hull [5], sí contempla la evolución del tipo de interés pues el ajuste está dado
por la expresión 12 σ 2 T1 T2 (pág. 140, fórmula 6.3), donde σ es la desviación típica del
tipo a corto plazo en un año, T1 es el tiempo en el que expira el contrato y [T1 , T2 ] es
el intervalo correspondiente al tipo de interés. Esta es una aproximación a la fórmula de
Flesaker, quien en [7] obtiene el ajuste por convexidad calculando el valor esperado de un
tipo Libor bajo la medida neutral al riesgo usando el modelo de Ho-Lee en el contexto
continuo y discreto. La fórmula se extiende en [4], quienes obtienen el ajuste en el modelo
de Hull y White.
3.
El ajuste por convexidad en contratos DRS (Delayed Rate Settlement ) y Forward Rate Agreements (FRA).
Consideremos un instrumento financiero que madura en el instante T y cuyo payoff
en ese momento está dado por la diferencia entre el tipo de interés que se aplicará en un
período futuro comprendido entre T y T + ∆T y un valor fijo previamente establecido
(strike). Este instrumento se denomina Delayed Rate Settlement (DRS). Normalmente
la capitalización aplicable a un intervalo de tiempo se paga al final del mismo. En este
instrumento, sin embargo, el pago se hace al inicio el período. Para este instrumento el
flujo de caja en el instante T viene dado por ∆T CrT donde rT es el tipo de interés visto
T
a tiempo T a aplicar en el intervalo [T, T + ∆T ] y C es un capital nominal. Sea FP una
medida asociada al numerario P T dado por el bono cupón cero con redención en T y
tal que, bajo esta medida, los precios forward son martingalas (véase Apéndice B). Esta
medida es la conocida como la medida neutral al riesgo forward. Sea PtT (ω) := P T (t, ω)
el valor en t del proceso estocástico que describe el precio del bono unitario que redime en
T para una historia del mercado ω; la parte variable del instrumento en cualquier instante
t (veáse Apéndice D) está dado por:
DRSt = PtT EtF
PT
[∆T CrT ]
PT
= ∆T CPtT EtF
[rT ] .
Luego, para valorar el instrumento financiero que nos interesa, necesitamos conocer el
valor esperado, a tiempo t, del tipo rT bajo la medida neutral al riesgo forward.
Por otra parte, veamos qué sucede con el instrumento que paga la misma cantidad
pero al final del período (Forward Rate Note o FRN). Sean B (t, T + ∆T ) el crecimiento
de una cuenta bancaria hasta el instante T +∆T, Q la medida neutral al riesgo y FPT +∆T la
medida neutral al riesgo forward asociada al bono cupón cero con vencimiento en T + ∆T .
Así pues, por una parte
rT ∆T C
Q
F RNt = Et
B (t, T + ∆T )
= ∆T C PtT +∆T EtF
P T +∆T
[rT ]
y por argumentos de replicación (veáse Oleaga [17]) obtenemos:
F RNt = 4T CPtT +∆T rtf
7
donde rtf denota el tipo forward observado a tiempo t para el período [T, T + ∆T ] . Así
pues,
P T +∆T
[rT ] .
rtf = EtF
De esta manera, si deseamos valorar un instrumento como el DRS cuyo payoff se da
al inicio del período y contamos con información pertinente con respecto al instrumento
FRA, cuyo payoff se dá al final del mismo, es posible aproximar el valor del primero a
partir de la información del segundo (y viceversa). El ajuste a tiempo t está dado por:
Ajuste = EtF
PT
PT
P T +∆T
[rT ] − EtF
[rT ] = EtF
[rT ] − rtf .
Por simplicidad de la notación, en lo que sigue, notaremos con F a la medida neutral
T
al riesgo forward FP .
Veamos ahora cómo calcular teóricamente EtF [rT ].
Para ello, consideremos los precios de los bonos cupón cero PtT y PtT +∆T , el precio
[T,T +∆T ]
del bono cupón cero forward Pt
relacionado con el tipo forward rtf en el período
[T, T + ∆T ]. En general, se tiene la relación (como identidad entre procesos estocásticos):
[T,T +∆T ]
Pt
PtT +∆T
1
=
=
,
T
Pt
1 + ∆T rtf
t ∈ [0, T ) .
Nótese que esta función es no-lineal con respecto al tipo forward.
Obsérvese por otra parte que,
1
T +4T
T F
Pt
= Pt Et
1 + 4T rT
1
y PTT = 1.
pues el pay-off del instrumento P T +4T a tiempo T es 1+4T
rT
Luego
1
1
F
= Et
1 + 4T rT
1 + 4T rtf
(5)
Haciendo un desarrollo de Taylor de segundo orden alrededor de rtf ,




2
1
∆T
1
∆T 2




f
f
' EtF 
r
−
r
EtF
+
−
r
−
r
+


.
T
T
t
t
2
3
f
1 + ∆T rT
1 + ∆T rt
1 + ∆T rf
1 + ∆T rf
t
t
Como a tiempo t, rtf está determinado tenemos que:
1
1
F
Et
=
,
1 + ∆T rtf
1 + ∆T rtf
y teniendo en cuenta (5), tenemos que:
0 ' −
∆T
1 + ∆T rtf
2
EtF
[rT ] −
rtf
8
+
∆T 2
1 + ∆T rtf
F
3 Et
rT −
rtf
2 .
Es decir que el ajuste puede aproximarse por:
EtF
[rT ] −
rtf
≈
∆T
1+
EtF
∆T rtf
rT −
rtf
2 .
Para hallar este valor del ajuste es
necesario hacer algunas hipótesis que permitan
2 aproximar el término EtF rT − rtf
. Esto se hace asumiendo algún modelo sobre la
dinámica de la variable rtf ; en las siguientes secciones se obtendrán fórmulas del ajuste
para ciertos modelos particulares de evolución en situaciones más generales. En particular,
el parámetro estocástico utilizado es la tasa de rendimiento interna forward que generaliza
el concepto de tipo forward a otros instrumentos de renta fija (bonos, swaps, etc.)
4.
4.1.
Ajuste por convexidad en términos del rendimiento
forward de un Bono.
Definición de rendimiento forward y fórmula general de ajuste.
Podemos obtener una fórmula general del valor esperado del rendimiento de un bono
cualquiera (por ejemplo un bono con cupones) con madurez T . Para ello definamos primero
un parámetro conocido como la tasa interna de rendimiento (TIR), en inglés yield to
maturity; en estas notas, la llamaremos simplemente, rendimiento. Este parámetro se
define como el tipo de interés constante que habría que aplicar para que, al descontar
todos los flujos de caja del bono (los cupones y el nominal), obtengamos su precio actual.
Si aplicamos la misma definición utilizando el precio forward del bono, obtenemos lo
que llamaremos el rendimiento forward. Suponiendo que los intervalos entre flujos son
constantes de longitud ∆T, se tiene una relación no lineal entre el precio forward de un
bono y el rendimiento forward ytf
precio forward a tiempo t =
N
X
cn
n=1
1 + ∆T ytf
n ,
donde cn es el flujo de caja correspondiente al intervalo n-ésimo.
Para el caso de un bono cupón cero (bcc) que madura en T + ∆T se reduce a la
expresión
1
precio forward de bcc =
.
(6)
1 + ∆T y f
Así, existe una función de una variable real, llamémosla G, tal que el precio forward del
bono se puede dar en función de su rendimiento forward:
precio forward = G y f .
De esta manera, en el caso del ajuste entre un DRS y un FRA tratado en la Sección
3 anterior, rtf puede ser interpretado como el rendimiento forward del bono cupón cero
9
que madura en T + ∆T , para el intervalo [T, T + ∆T ], visto a tiempo t. A tiempo t = T
tenemos que
rTf = rT .
Volviendo a nuestro interés por obtener una fórmula general del valor esperado del
rendimiento forward de un bono cualquiera, denotemos por:
ytf el rendimiento forward de un bono observado en t < T por un contrato forward
con madurez en T .
yT el rendimiento del bono en tiempo T (yTf = yT ).
Btf el precio forward del bono en tiempo t. Si Bt es el precio del bono a tiempo t,
tenemos que BT = BTf .
Para cada t ∈ [0, T ) , denotamos por
mt := EtF [yT ] a la media de la variable aleatoria
yT (vista a tiempo t), y s2t := EtF (yT − µt )2 a la varianza de yT (vista a tiempo t).
Si hoy estamos a tiempo t < T , podemos asumir que el rendimiento forward a día de hoy
ytf es una buena aproximación del valor yT que se observará en el futuro. Puesto que:
BT = G (yT ) ,
y hoy yT es desconocido, expandimos G (yT ) hasta términos de segundo orden por una
serie de Taylor en torno a ytf . Tenemos que (entendiendo la aproximación entre variables
aleatorias):
1
2
BT ≈ G ytf + yT − ytf G0 ytf +
yT − ytf G00 ytf
2
con G0 y G00 derivadas de primer y segundo orden de G.
Calculamos ahora el valor esperado con respecto a la medida neutral al riesgo forward
F asociada al numerario dado por el bono cupón cero con madurez T . Por una parte
tenemos que
2 h
i 1 f
f
f
f
F
00
F
F
0
yT − yt
Et [BT ] ≈ G yt + Et yT − yt G yt + Et
G ytf
(7)
2
Por tratarse de la medida forward se satisface que:
Bt
= EtF [BT ] ,
T
Pt
donde
Btf =
Bt
PtT
es el precio forward del bono, y entonces:
G ytf = Btf = EtF [BT ] .
10
(8)
Así, combinando (7) y (8) obtenemos que
EtF
h
yT −
ytf
i
1 2 f
f
F
00
G yt + Et
yT − yt
G ytf ≈ 0
2
0
Despejando el valor esperado del rendimiento obtenemos:
2 f
F
Et
yT − yt
G00 ytf
1
EtF [yT ] ≈ ytf −
2
G0 ytf
(9)
la fórmula
anterior se presenta la dificultad de encontrar un valor para la expresión
En
2 f
EtF yT − yt
. En términos de la media µt y la volatilidad σt definidas anteriormente
tenemos que:
2 2 2
f
f
f
F
F
Et
yT − yt
= Et (yT − mt ) + 2 (yT − mt ) mt − yt + mt − yt
2
= s2t + mt − ytf .
(10)
Reemplazando en (9) y reordenando los términos, obtenemos la ecuación cuadrática
2 2G0 ytf mt − ytf + s2t ≈ 0 ,
mt − ytf +
G00 ytf
resolviendo la ecuación en términos de mt − ytf , encontramos que:
v
u 2
u
G0 ytf
u G0 ytf
f
2
mt − yt ≈ − ± u
t f  − st
f
00
00
G yt
G yt
(11)
0
puesto que s2t es pequeño se puede asumir sin pérdida de generalidad que GG00 (y0 ) ≥ st .
Por otra parte, si st = 0 la variable yT sería determinista y el ajuste sería nulo. Esto
significa que cuando st → 0 la expresión EtF [yT ] − ytf debe tender a cero también; con este
argumento descartamos la solución de la ecuación que contiene la raíz negativa. De esta
manera, en t = 0, el ajuste por convexidad puede aproximarse entonces con:
r
−1 +
E0F [yT ] − y0f ≈
00
1 − s20 GG0 y0f
G00
y0f
G0
2
(12)
Este valor del ajuste no presupone ningún modelo sobre la variable subyacente. Obsérvese
que cuando la volatilidad s0 tiende a cero (y entonces yT tiende a ser determinista), la
fórmula (12) nos indica la velocidad de convergencia a cero del ajuste. Así pues
1 G00 f 2
m0 − y0f ≈ −
y s ,
2 G0 0 0
11
de modo que
|m0 − y0f | s0
para s0 → 0 .
Esto demuestra, utilizando (10), que
2 f
F
= s20 + o s40
E0 yT − y0
para s0 → 0 ,
(13)
de modo quepara calcular
el ajuste podemos utilizar la fórmula (9) (para t = 0) reem
2 por s20 , pues este último se obtiene directamente del modelo
plazando E0F yT − y0f
00
estocástico para ytf . Por otra parte, el signo de m0 − y0f depende de GG0 y0f . Cuando este
cociente es negativo (por ejemplo G convexa y decreciente como en (6)), tenemos que
y0f ≤ E0F [yT ] ,
compatible con la convexidad de la función precio de un bono cupón cero. La fórmula con
esta aproximación queda entonces:
2 00
s
G
ytf
1 t
f
F
Et [yT ] ≈ yt −
s2t := varianza de yT vista a tiempo t .
(14)
2 G0 y f
t
En la secciones siguientes aplicaremos este resultado a la fórmula de ajuste para distintos
modelos de evolución.
4.2.
Aplicación a un modelo Lognormal con parámetros constantes
Si asumimos que la dinámica del rendimiento del bono forward ytf sigue un modelo
Lognormal con parámetros µ y σ constantes
dytf
ytf
= µdt + σdW ,
entonces, dado un valor inicial y0f para t = 0, la varianza de la variable yTf está dada por
2
2
σ y0f T , (veáse Apéndice A). Nótese que µ y σ son el retorno esperado y la volatilidad
2 f
F
instantáneas. Teniendo en cuenta (13), podemos reemplazar E0 yT − y0
por s20 =
2
σ 2 y0f T en (9) con un error del orden de σ 4 para σ → 0. De esta forma se obtiene la
siguiente expresión para el ajuste en este modelo:
2
f
2
00
σ
y
T
G
y0f
0
1
f
F
(15)
E0 [yT ] − y0 ' −
2
G0 y f
0
Ésta es la fórmula obtenida por Hull en 1997 (véase [5], Capítulo 27).
12
Por ejemplo, para el caso del ajuste entre el DRS y el FRA, cuya función G está dada
por (6) nos basta con hallar las derivadas primera y segunda y reemplazar. Así obtenemos
2
σ 2 r0f T ∆T
E0F [rT ] − r0f '
.
1 + ∆T r0f
4.3.
Aplicación a un modelo Lognormal con parámetros continuos.
Asumimos que bajo la medida neutral al riesgo forward, la variable ytf es un proceso
estocástico de Wiener con dinámica
dytf
ytf
=µ
t, ytf
dt + σ
t, ytf
dWt
(16)
con deriva µ y volatilidad instantánea σ estocásticas (es decir, dependen de la variable
subyacente). Este caso es una generalización del tratado en el artículo de Benhamou (véase
[1]), donde se asume que la volatilidad es determinista.
Por el Lema de Ito (Lema 15, Apéndice A) tenemos que:
2 1 f
f
f
f 0
f
f
00
σ t, yt ytf
dt + G0 ytf ytf dWt .
dG yt = yt G yt µ t, yt + G yt
2
Puesto que, bajo la medida neutral al riesgo forward F, la función G ytf es una martingala, entonces su deriva debe ser cero:
2
1 ytf G0 ytf µ t, ytf + G00 ytf σ t, ytf ytf = 0
2
despejando µ obtenemos
f
f
f
00
2
G
y
σ
t,
y
t
t yt
1
f
µ t, yt = −
.
2
G0 ytf
Si se aproxima el valor de µ
t, ytf
por µ
t, y0f
(17)
para t ∈ [0, T ] (es decir, reempla-
ytf
zamos
por su valor inicial) obtenemos una evolución estocástica aproximada de ytf ;
reemplazando en (16):
dytf
ytf
≈ µ t, y0f dt + σ t, ytf dWt
t ∈ [0, T ] .
Obsérvese que la aproximación por y0f se realiza solamente en la deriva. El valor esperado
de ytf puede calcularse ahora de esta evolución, utilizando la siguiente propiedad:
Propiedad: Si Xt tiene la dinámica
dXt
= µ (t) dt + σ (t, Xt ) dWt ,
Xt
13
entonces
d (E [Xt ]) = µ (t) E [Xt ] dt .
Prueba:
Se verifica que:
E [Xt+h ] − E [Xt ] =
=
=
=
E [Xt+h − Xt ]
E [E [Xt+h − Xt |Xt ]]
E Xt µ (t) h + O h2
E [Xt µ (t)] h + E O h2 .
De modo que:
d (E [Xt ]) = E [Xt µ (t)] dt .
Cuando µ depende sólo de t obtenemos la ecuación diferencial ordinaria para f (t) :=
E [Xt ]:
df (t) = f (t) µ (t) dt
que tiene integral elemental:
RT
f (t) = f (0) e 0 µ(s)ds .
Aplicando este resultado a nuestro caso con µ t, y0f en el rol de µ (t), tenemos que:
h i
RT
f
E ytf = y0f e 0 µ(t,y0 )dt ,
y utilizando la identidad (17) escribimos:
f
f
G00 (y0 )y0
h i
− 12
f
0
G (y0 )
E ytf = y0f e
RT
0
σ 2 (t,y0f )dt
.
Obsérvese que en el artículo de Benhamou las condiciones son más restrictivas para σ pues
integra explícitamente a la ecuación de evolución para ytf , mientras que con esta técnica
no es necesaria esta integración.
El ajuste para este modelo estaría dado, de manera aproximada, por:




f Z
00
T
G
y
0
1
σ 2 t, y0f dt − 1 .
y0f exp − y0f 2 G0 y f
0
0
En el caso de nuestro derivado financiero, DRS, si el tipo forward rtf siguiera la dinámica
dada por (16) entonces el ajuste puede aproximarse por:




f Z
00
T
G
r
0
1
E0F [rT ] − r0f ' r0f exp − r0f σ 2 t, r0f dt − 1
(18)
2 G0 rf
0
0
Z T ∆T
f
f
f
2
σ t, r0 dt − 1
(19)
' r0 exp r0
1 + ∆T r0f 0
14
La fórmula más general (18) puede ser aproximada haciendo una expansión de Taylor
de la función exponencial hasta el término de primer orden. El ajuste resultante es una
versión de la Fórmula de Iben
00
r0f Z T 2 G
1
f
f
f
2
F
σ t, r0 dt
(20)
AC = E0 [rT ] − r0 ' − r0
2
0
G0 rf
0
5.
5.1.
Ajuste en un instrumento DRS por valoración en un
modelo de mercado Libor.
Cálculo de la Deriva (Drift)
En un modelo de mercado Libor, la variable subyacente o de estado es el tipo forward
visto a día de hoy, t = 0 y aplicada en el período [Ti−1 , Ti ]. Puesto que consideraremos
siempre que la variable es vista a tiempo inicial 0, evitaremos el subíndice 0 y la notaremos
por rif donde el subíndice i hace referencia al período al que corresponde el tipo forward.
El modelo asume que el tipo forward se comporta según un esquema Lognormal con
parámetros continuos.
Consideremos ahora intervalos de tiempo dados por 0 < T1 < T2 < T3 < ... < Tn <
Tn+1 , con ∆T = Ti+1 − Ti constante. Para simplificar la notación, llamemos P i al bono
cupón cero con madurez en Ti ; vamos a considerar inicialmente como numerario al Bono
cupón cero P n correspondiente a la fecha de pago Tn . Puesto que el tipo forward satisface:
P n−1
= 1 + ∆T rnf
n
P
entonces,
1
∆T
(P n − P n−1 )
Pn
Por el Teorema de Harrison-Pliska (veáse Apéndices Teorema 27), existe una
medida de martingala Qn asociada al numerario N = P n , tal que la variable rnf es una
martingala bajo esta medida y por consiguiente es libre de deriva (drift cero). Por lo
tanto, si asumimos el modelo Lognormal para cada tipo forward, tenemos que
rnf =
drif
rif
= µi dt + σi dWti
(21)
donde µi y σi pueden ser estocásticos, esto es, depender explícitamente de rif . Cuando i es
igual a n, µn = 0 bajo la medida Qn . El objetivo ahora es conocer cómo serán los valores
de µi cuando i 6= n bajo la misma medida Qn . Con el objeto de hallar una fórmula de
valoración de un contrato DRS es suficiente conocer el valor de la deriva cuando i = n + 1.
Es posible sin embargo, hallar una fórmula general para µi , i 6= n.
f
Consideremos ahora el tipo forward, rn+1
, por definición,
Pn
f
= 1 + ∆T rn+1
.
n+1
P
15
Luego, tomando diferencial y expandiendo por Taylor hasta términos de segundo orden,
!
n+1 P
1
d
=d
f
Pn
1 + ∆T rn+1
2
2
f
f
(∆T
)
dr
n+1
∆T drn+1
= −
2 + 3
f
f
1 + ∆T rn+1
1 + ∆T rn+1
f
f
n+1
µn+1 rn+1 dt + σn+1 rn+1 dWt
= −∆T
2
f
1 + ∆T rn+1
2
2
2
2
f
f
f
n+1 2
n+1
2
2
µn+1 rn+1 (dt) + σn+1 rn+1
dWt
+ 2µn+1 σn+1 rn+1 dt dWt
2
+ (∆T )
3
f
1 + ∆T rn+1
Aplicando las fórmulas del Lema de Ito (Lema 15 de los Apéndices)



2 
2 2
f
n+1 f
f
r
(∆T
)
σ
n+1
n+1
∆T µn+1 rn+1
P
 ∆T σn+1 rn+1 


n+1
d
dt
−
−
+
=



2  dWt
2
n
f
P
f
f
1 + ∆T rn+1
1 + ∆T rn+1
1 + ∆T rn+1
Para que el proceso
así pues
P n+1
Pn
sea una martingala bajo la medida Qn , su deriva debe ser cero,
0=− 1+
f
∆T rn+1
f
∆T µn+1 rn+1
Entonces
µn+1 =
+ (∆T )
f
∆T rn+1
1+
2
f
∆T rn+1
2
σn+1
f
rn+1
2
2
σn+1
f
La parte variable de un contrato DRS paga el valor ∆T rn+1
en tiempo Tn . Bajo la
medida Qn la valoración del instrumento en T = 0, está dada por
#
"
f
∆T
r
(T
)
n
n
n+1
(rama variable) DRS0 = P0n E Q
P n (Tn )
h
i
f
n Qn
= ∆T P0 E
rn+1 (Tn )
Por otra parte si escogemos como numerario al bono cupón cero con madurez en Tn+1
(P n+1 ) utilizamos la otra medida de martingala asociada Qn+1 . La valoración estaría dada
por
#
"
f
∆T
r
(T
)
n+1
n
n+1
(variable) DRS0 = P0n+1 E Q
P n+1 (Tn )
16
Pn
P n+1
f
(t) = 1 + ∆T rn+1
(t) para t ≤ Tn , se obtiene
"
#
f
∆T
r
(T
)
n+1
n
n+1
(variable) DRS0 = P0n+1 E Q
P n (Tn )
P n+1 (Tn )
i
h
n+1
f
f
(Tn )
(Tn ) 1 + ∆T rn+1
= P0n+1 E Q
∆T rn+1
h
i
2 2
f
f
n+1
Qn+1
Qn+1
= P0
E
∆T rn+1 (Tn ) + E
(∆T ) rn+1 (Tn )
Puesto que P n (Tn ) = 1 y que
f
Puesto que rn+1
es una martingala bajo la medida Qn+1 se tiene que
i
h
n+1
f
f
(0)
(Tn ) = ∆T rn+1
EQ
∆T rn+1
Luego se tiene que:
(rama variable) DRS0 =
P0n+1
f
∆T rn+1
2
(0) + (∆T ) E
Qn+1
f
rn+1
2 (Tn )
.
f
Asumimos que rn+1
sigue un movimiento browniano geométrico de la forma (21) bajo la
f
n+1
medida Q . La volatilidad instantánea de la ecuación estocástica de rn+1
es invariante
ante un cambio de medidas
(véase el teorema de Girsanov). Utilizando el Le equivalentes
f
2
ma de Ito se tiene que ln rn+1 (Tn ) tiene una distribución normal con media − 12 σn+1
Tn y
√
desviación típica σn+1 Tn bajo la medida Qn+1 . Podemos calcular ahora el valor esperado
2
f
de rn+1
(Tn ) :
n+1
EQ
f
rn+1
(Tn )
2 2
2
∞
exp − z2
p
1 2
f
√
dz
=
rn+1 (0) exp − σn+1 Tn + σn+1 Tn z
2
2π
−∞
i
h
√ 2
2
2 Z ∞ exp − 21 z − 2σn+1 Tn + σn+1
Tn
f
√
= rn+1
(0)
dz
2π
−∞
i
h Z ∞ exp − 1 z − 2σn+1 √Tn 2
2
2
f
2
√
dz
= rn+1
(0) exp σn+1
Tn ×
2π
−∞
2
f
2
Tn × 1
= rn+1 (0) exp σn+1
Z
Por lo tanto el valor a tiempo T = 0 del precio de un instrumento DRS está dado por
2
2
f
f
2
n+1
(r.variable) DRS0 = P0
∆T rn+1 (0) + (∆T ) rn+1 (0) exp σn+1 Tn
(22)
y en general, el precio para un tiempo t ≤ Tn viene dado por:
f
f
2
(r.variable) DRSt = Ptn+1 ∆T rn+1
(t) 1 + ∆T rn+1
(t) exp σn+1
(Tn − t)
17
5.2.
Sobre el Ajuste
Como ya se ha mencionado, el instrumento DRS paga, en el instante Tn , la diferencia
entre el tipo observado en el mercado en ese instante (aplicable al período [Tn , Tn+1 ]) y
un valor fijo K. El valor inicial de este contrato está dado por la fórmula
2
2
f
f
n+1
2
DRS0 = P0
∆T rn+1 (0) + (∆T ) rn+1 (0) exp σn+1 Tn − P0n ∆T K .
(23)
En el caso del DRS, como el pago se hace a tiempo Tn , se puede aproximar la valoración
correcta descontando la parte variable con el factor de descuento P0n en lugar de P0n+1 . Si
además despreciamos el término cuadrático tenemos que:
f
n
Precio aproximado DRS0 = ∆T P0 rn+1 (0) − K
f
Esto sugiere que podría elegirse K = rn+1
(0), al igual que en el caso del FRA, para
obtener un precio (aproximado) nulo para el DRS. Sin embargo, asignar este valor de K
genera una oportunidad de arbitraje, como veremos a continuación.
El K que anula el valor correcto del contrato DRS satisface:
2
P0n+1
2
f
f
2
∆T rn+1 (0) + (∆T ) rn+1 (0) exp σn+1 Tn
KDRS =
∆T P0n
f
2
T
1
+
∆T
r
(0)
exp
σ
n
n+1
n+1
f
f
= rn+1
(0)
> rn+1
(0) .
f
1 + ∆T rn+1 (0)
Es decir que, utilizar el tipo forward en el valor de KDRS nos daría un precio positivo del
contrato. En general, toda elección de K menor que KDRS produce un precio estrictamente
positivo de este instrumento. Si valoramos aproximadamente asignando un precio nulo al
f
DRS cuando elegimos K = rn+1
(0), se genera claramente una oportunidad de arbitraje,
puesto que su precio debería ser positivo.
Recordemos que la valoración del FRA viene dada por:
f
n+1
F RA0 = ∆T P0
rn+1 (0) − K
f
En cuyo caso, para la elección KF RA = rn+1
(0) el valor del instrumento sí es claramente
nulo. La diferencia entre KF RA y KDRS cubre otro aspecto del ajuste por convexidad.
6.
El ajuste por convexidad sobre el tipo Swap
Un swap es un instrumento financiero por el cual una de las partes paga periódicamente
un interés variable sobre un capital nominal C fijado, mientras que la otra parte paga en las
mismas fechas un interés fijo o strike K sobre ese mismo nominal. Vamos a considerar un
swap y una serie de fechas futuras determinadas por ti con i = 0, 1, 2, ...N que determinan
intervalos temporales de tamaño ∆ti = ti − ti−1 . Al final de cada uno de los períodos
se realizarán los pagos. A tiempo t0 comienza la serie de intervalos y hoy estamos a
tiempo t ≤ t0 . Al principio de cada intervalo se fija el tipo simple, denotado por ri ,
correspondiente al interés a aplicar en el período comprendido entre el tiempo ti−1 -ésimo
18
y ti . Este valor es aleatorio para todo tiempo t anterior al tiempo ti y en ese instante se
convierte en un valor conocido. Al final de cada período, la rama variable pagará
Cri ∆ti
(i = 1, . . . , N ) .
Por el contrario, la rama fija pagará
CK∆ti
(ti , i = 1, . . . , N ) .
Sea Pti el bono cupón cero que madura en el instante ti . Para hallar el valor de K
basta con igualar los flujos en t de las dos ramas del swap:
CK
N
X
∆ti Pti
=C
i=1
=C
=C
N
X
i=1
N
X
i=1
N
X
Pti−1 − Pti
Pti−1
1−
1
!
1 + ∆ti rif (t)
∆ti rif (t) Pti
i=1
Así, despejando K se obtiene que
K (t) =
N
X
∆ti Pti
.
ωi (t) = PN
i
i=1 ∆ti Pt
ωi (t) rif (t) ,
i=1
(24)
Cuando t = t0 (es decir, estamos en el día en que comienzan los intervalos del swap),
K es conocido como el tipo swap, el cual depende del inicio y de los intervalos temporales y se denota por Swap (t0 ; t1 , t2 , ...tN ). Si "hoy" estamos en un instante anterior
a t0 el valor del tipo swap calculado es llamado el Forward-Swap, y lo denotamos por
F Swap (t, t0 ; t1 , t2 , . . . , tN ).
Consideremos ahora al proceso estocástico definido por el tipo forward-swap:
ytf = F Swap (t, t0 ; t1 , t2 , . . . , tN ) .
Si hoy estamos a tiempo 0, el valor del F Swap (t, t0 ; t1 , t2 , . . . , tN ) es aleatorio para t > 0,
pues queda determinado por la información del mercado en ese momento. Si a día de hoy
(t = 0) firmamos un contrato Swap para los intervalos definidos por ti , con i = 0, . . . , N ,
el precio de este instrumento para cada t ≤ t0 viene dado por:
PSwap (t) = C
ytf
−
y0f
N
X
∆ti Pti .
i=1
Consideremos un instrumento que paga el tipo Swap observado a tiempo T ≡ t0
donde T > 0. Para valorar este instrumento deberíamos calcular el valor esperado en
la medida neutral al riesgo forward del tipo forward swap. Utilizaremos las fórmulas de
ajuste por convexidad obtenidas anteriormente para estimar este valor esperado. Para
ello, debemos identificar un instrumento que se comercialice en el mercado y cuyo precio
esté determinado directamente por el parámetro ytf .
19
La valoración de la rama fija del Swap coincide con la de un bono que paga periódicamente un tipo de interés fijo sobre un capital C, sin intercambio de nominal:
PBono (t) =
N
X
CK∆ti Pti .
i=1
Por otra parte, si la estructura de los tipos forward fuera “plana”, es decir
rif (t) = rtf
∀i = 1, . . . , N ,
entonces ytf coincidiría con rtf (véase (24)). En ese caso, los factores de descuento a tiempo
T (= t0 ) estarían completamente determinados por rTf ≡ yTf . Es decir:
PTi
i
Y
f
= Pi rT :=
j=1
1
1 + ∆tj rTf
.
Obsérvese que si ∆tj fuera constante, obtendríamos fórmulas equivalentes a los casos
considerados en[5], capítulo 27 y en[1]. De esta manera, la función:
G
yTf
N
X
=
∆ti Pi yTf
i=1
representa el precio de un instrumento que se comercializa en el mercado (para C = K =
1) y que depende directamente (con la simplificación impuesta por el modelo) del tipo
forward swap visto a tiempo T .
Aplicando la fórmula dada en (15), con σ la volatilidad de yTf , la cual asumimos
constante, obtenemos
N
X
0
G (y) =
i=1
N
X
G00 (y) =
0
∆ti Pi (y)
00
∆ti Pi (y)
(25)
(26)
i=1
donde
0
Pi (y) =
i
X
k=1
−∆tk
(1 + ∆tk y)2
= −Pi (y)
i
X
Pi (y) =
−Pi0
(y)
i
X
k=1
1
1 + ∆tj y
j=1,j6=k
∆tk
1 + ∆tk y
k=1
00
i
Y
2
i X
∆tk
∆tk
+ Pi (y)
.
1 + ∆tk y
1 + ∆tk y
k=1
La fórmula del ajuste está dada por
E0F [yT ] − y0f '
1
2
y0f
2
0
f
∆t
P
i
i y0
i=1
2
σ NP
00
N
∆t
P
y0f
i i
i=1
20
PN
(27)
En el caso en que la media y la volatilidad instantáneas sean variables estocásticas, podemos calcular el ajuste haciendo uso de la versión de la Fórmula de Iben, dada en ( 20)
con la cual se obtiene:
PN
0
f
Z T ∆t
P
1 f 2 i=1 i i y0
f
f
F
2
y
Ajuste = E0 [yT ] − y0 '
σ t, y0 dt
(28)
PN
00
2 0
0
∆t P y f
i=1
i
i
0
Obsérvese una vez más que la volatilidad es fundamental en el ajuste, es decir, si ésta
no existiera el tipo swap forward coincidiría con el valor esperado del tipo swap visto a
día de hoy.
7.
Conclusiones
Como hemos señalado en la introducción, el ajuste por convexidad se ha transformado
en un sinónimo de “pequeña corrección” en el mercado de renta fija. Algunas de estas
correcciones se refieren a ciertos ajustes en el cálculo de precios cuando se reemplaza un
parámetro no observable por uno observado en el mercado.
Un aspecto práctico relativo a esta monografía y sobre el que se tiene particular interés
es la realización de simulaciones que permitan ajustar las fórmulas y determinar los errores
del ajuste.
Finalmente, una pregunta aún más difícil de abordar pero igualmente atractiva, consiste en indagar lo que sucede con modelos de valoración de derivados financieros que no
dependen de un solo activo subyacente, de comportamiento estocástico, sino de múltiples
factores de riesgo.
Referencias
[1] Eric Benhamou (2000) A Martingale Result for Convexity Adjustment in the Black
Pricing Model, http://ideas.repec.org/p/wpa/wuwpfi/0212005.html, Working Paper,
London School of Economics.
[2] Tomas Björk (2004) Arbitrage theory in continous time, Segunda Edición. Oxford
University Press.
[3] Galen Burghardt y William Hoskins (1994) The convexity bias in Eurodollar Futures,
Carr Futures, research note.
[4] George Kirikos y David Novak (1997) A question of bias, Risk, pp 60-61.
[5] John C. Hull.(2006) Options, Futures, and Other Derivatives, Sexta edición. Prentice
Hall.
[6] Philip Hunt, Joanne Kennedy (2000). Financial Derivatives in Theory and Practice.
John Willey and Sons.
[7] Bjorn Flesaker (1993) Arbitrage free pricing of interest rate futures and forward contracts. The Journal of Futures Markets, 13 (1), 77-91.
21
[8] L. Martellini, P. Priaulet, S. Priaulet (2007), Fixed Income Securities, Wiley Finance.
[9] Marek Musiela, Marek Rutkowski (1997), Martingale Methods in Financial Modelling, Springer Verlag.
[10] N. Vaillant (1999) Convexity adjustments between futures and forward rates using a
martingale approach. Probability tutorials.
[11] Mario Petrucci (2002) Drift calculations in a Libor Model and valuation of DRS.
Project Assignment, University of Oxford.
[12] Christian Fries (2007). Mathematical Finance. Theory, modeling, implementation.
Wiley-Interscience.
[13] Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus with Finance in View.
World Scientific
[14] Bernt K. Oksendal (2000) Stochastic Differential Equations: An Introduction with
applications. Springer.
[15] Martin W. Baxter, Andrew J. O.Rennie (1996) Financial Calculus. An Introduction
to derivative pricing. Cambridge University Press.
[16] Gerardo Oleaga (2008) Los tipos de interés. Modelos de evolución de la curva y valoración de instrumentos básicos. Notas de clase. Magíster en Ingeniería Matemática
Universidad Complutense de Madrid. No publicado.
[17] Gerardo Oleaga (2008) Matemática Financiera. Conceptos Básicos. Notas de clase.
Magíster en Ingeniería matemática. Universidad Complutense de Madrid. No publicado.
[18] Piterbarg, Vladimir y Renedo, Marco Antonio,Eurodollar Futures. Convexity Adjustments in Stochastic Volatility Models (February 4, 2004). Disponible en SSRN:
http://ssrn.com/abstract=610223
[19] Erik Ekström, Johan Tysk (2008) Convexity theory for the term structure equation.
Finance Stochastic. 12:117-147.
Apéndices
Apéndice A. Proceso de Wiener, Cálculo de Ito y Martingalas
Un primer paso para entender la valoración de de opciones y de otros derivados financieros complejos es el aprendizaje de procesos estocásticos. Toda variable cuyos valores
cambian en el tiempo de una manera aleatoria o incierta sigue un proceso estocástico.
En este apéndice se presentan un tipo especial de procesos estocásticos, los procesos de
Wiener también conocidos, especialmente por los físicos, como procesos de Movimientos
22
Browniano. Este último nombre se debe a su utilidad en la descripción del movimiento
exhibido por una partícula microcóspica que se encuentra inmersa totalmente en un medio
líquido gaseoso, fenómeno descubierto por el botánico inglés Robert Brown.
Procesos Estocásticos y Filtración
Definición 1 (Proceso Estocástico) Sea (Ω, F) un espacio medible y (S, S) un espacio
topológico. Una familia X = {Xt | 0 ≤ t < ∞} de variables aleatorias
Xt : (Ω, F) −→ (S, S)
es llamado un proceso estocástico de tiempo continuo. Si (S, S) = Rd , B Rd 1 se dice que
X es un proceso estocástico d-dimensional. La familia X puede ser interpretada también
como una aplicación
X : [0, ∞) × Ω → S
donde X (t, ω) = Xt (ω)para toda pareja (t, ω) ∈ [0, ∞) × Ω.
Siempre que no se indique lo contrario, asumiremos que (S, S) = Rd ,B Rd .
El parámetro t se refiere al tiempo. Para un t fijo, Xt es visto como el conjunto de todos
los posibles resultados aleatorios de un experimento en el instante t y todas las variables
aleatorias Xt son modeladas sobre el mismo espacio de medida (Ω, F).
Definición 2 (Trayectoria) Sea X un proceso estocástico. Para cada ω ∈ Ω fijo, la
aplicación t 7→ X (t, ω) es llamada la trayectoria de X en el estado w.
El proceso estocástico X asigna una trayectoria a cada ω ∈ Ω, así, para cada ω ∈ Ω
fijo, la trayectoria X (., ω) := {(t, X (t, w))| t ∈ [0, ∞)} es una sucesión de realizaciones
del evento ω a tráves de la variable Xt . El conocimiento acerca de ω ∈ Ω implica un
conocimiento de la historia completa (pasado, presente y futuro) X (ω).
El concepto de Filtración que se presenta a continuación permite "modelar" los diferentes niveles de conocimiento y distinguir entre el pasado, el presente y el futuro.
Definición 3 (Filtración) Sea (Ω, F) un espacio de medida. Una familia de σ-álgebras
{ Ft | t ≥ 0} ,donde
Fs ⊂ Ft ⊂ F para 0 ≤ s ≤ t.
es llamada una filtración sobre (Ω, F) .
Definición 4 (Filtración Generada) Sea X un proceso estocástico sobre (Ω, F). Definimos
FtX := σ (Xs ; 0 ≤ s ≤ t)
:= la más pequeña σ-álgebra con respecto a la cual Xs es medible para todo s ∈ [0, t]
FtX es llamada la filtración generada por el proceso estocástico X.
1
B (R)denota la σ − álgebrade Borel del conjunto de los números reales.
23
Definición 5 Sea X un proceso estocástico sobre (Ω, F) y {Ft } una filtración sobre
(Ω, F). El proceso X es llamado {Ft }-adaptado, si Xt es Ft -medible para todo t ≥ 0.
Por medio de la esperanza condicional se puede crear un proceso adaptado a una
filtración dada {Ft | t ≥ 0} y a una F-medible variable aleatoria Z.
Lema 6 (Proceso de la Esperanza Condicional) Sea {Ft | t ≥ 0} una filtración Fs ⊆
Ft ⊆ F y Z una F-variable aleatoria medible. Entonces el valor esperado condiconal2 dado
por
Xt := E (Z| Ft ) , t ≥ 0
es un {Ft }-proceso adaptado.
Este Lema muestra cómo la filtración puede ser vista como un modelo de información. Para cada t La variable aleatoria Xt permite alcanzar mayor información sobre la
naturaleza de Z a medida que la variable t se incrementa.
Definición 7 (Proceso Previsible) Sea X un proceso estocástico de valor real sobre
un espacio de medida (Ω, F) , y {Ft } una filtración, también sobre (Ω, F) . El proceso X
es {Ft }-previsible, si X es {Ft }-adaptado con trayectorias continuas por la izquierda.
Proceso de Wiener
En esta sección se presenta el Proceso de Wiener, un importante proceso estocástico
continuo. El Proceso de Wiener se puede construir como el límite de procesos más simples
conocidos como Paseos Aleatorios, los cuales son a su vez un tipo especial de Cadenas de
Markov.
Una Cadena de Markov es un proceso estocástico donde unicamente el valor presente
de una variable es relevante para predecir el futuro. La historia pasada de la variable y la
manera como el presente ha emergido desde el pasado es irrelevante. Los Paseos Aleatorias
(también conocidos como Caminatas Aleatorias) son Cadenas de Markov cuyo espacio de
posibles estados está dado por los enteros i = 0, ±1, ±2, ..., la probabilidad condicional
de pasar al estado i + 1 dado que se encuentra en el estado i, la cual notaremos Pi,i+1 es
igual a un número positivo p y la probabilidad de retroceder, Pi,i−1 = 1 − p. Así, en una
caminata aleatoria sólo existen dos posibilidades, avanzar al estado inmediato siguiente o
retroceder al inmediato anterior.
Consideremos un Paseo Aleatorio simétrico, el cual en cada unidad de tiempo tiene la misma probabilidad de realizar un salto unitario bien hacía la derecha o hacía
la izquierda, es decir, se trata de una cadena de Markov con Pi,i+1 = 21 = Pi,i−1 ,
i = 0, 1, 2, ....Supongamos ahora que aceleramos este proceso tomando cada vez pasos
más y más pequeños en intervalos de tiempo también más y más pequeños. En el límite
obtendremos, precisamente un Proceso de Wiener.
Precisando, supongamos que en cada intervalo de tiempo ∆t realizamos un salto de
longitud ∆x constante, ya sea hacía la izquierda o hacía la derecha (ambas posibilidades
con igual probabilidad). Si denotamos Xt la posición en cada instante t entonces
Xt = ∆x X1 + X2 + ... + X[t/∆t]
(29)
2
Para una definición del valor esperado condicional veáse , C. Fries( 2007) p. 17.
24
donde
Xi =
+1, si el paso i-ésimo es hacía la derecha
−1, si el paso i-ésimo es hacía la izquierda
y [t/∆t] es el más grande entero menor o igual a t/∆t. Las variables Xi son independientes entre sí, con
1
P {Xi = 1} = P {Xi = −1} =
2
2
Así, E [Xi ] = 0, V ar (Xi ) = E [Xi ] = 1. Luego,
E [Xt ] = 0
V ar (Xt ) = (∆x)2 [t/4t]
Tomemos ahora el límite cuando ∆x y ∆t tienden ambos a cero, √pero lo haremos
bajo un conjunto de puntos determinado, la ruta indicada por ∆x = σ ∆t para alguna
constante positiva σ. De esta forma se obtiene:
E [Xt ] = 0
V ar (Xt ) → σ 2 t
De la ecuación (29),
√ del Teorema Central del Límite y del proceso al límite obtenido
haciendo ∆x = σ ∆t se deducen algunas propiedades intuitivas:
i Xt es normal con media 0 y varianza σ 2 t.
ii Puesto que los cambios de valor de la caminata aleatoria en intervalos de tiempo disjuntos son independientes, entonces {Xt , t ≥ 0} tiene incrementos independientes ,
es decir, para todo t1 < t2 < ...tn , las variables
Xtn − Xtn−1 , Xtn−1 − Xtn−2 , ..., Xt2 − Xt1 , Xt1
son independientes.
iii Puesto que la distribución del cambio en la posición de la caminata aleatoria sobre
cualquier intervalo de tiempo depende únicamente de la longitud de cada intervalo,
entonces {Xt , t = 0} tiene incrementos estacionarios, es decir, la distribución de la
variable Xt+s − Xt no depende de t.
Definición 8 (Un proceso estocástico) {Wt , t ≥ 0} se dice que es un proceso de Wiener si
i W0 = 0,
ii {Wt , t ≥ 0} tiene incrementos estacionarios e independientes
iii para cada t > 0, Wt se distribuye como una normal con media 0 y varianza σ 2 t
25
Cuando σ = 1 el proceso es llamado un Proceso de Wiener Estándar. Puesto que
cualquier Proceso de Wiener Xt puede ser convertido en un Proceso de Wiener Estándar,
haciendo Wt = Xt /σ entonces consideraremos el tipo estándar para deducir la función de
densidad conjunta. Como Wt es normal con media 0 y varianza t, su función de densidad
está dada por
1 −w2 /2t
e
ft (w) = √
2πt
Para obtener la función de densidad conjunta de Wt1 , Wt2 , ..., Wtn para t1 < t2 < ... <
tn , observemos primero que el conjunto de igualdades:
Wt1 = x1
Wt2 = x2
....
..
Wtn = xn
es equivalente a
Wt1 = x1 ,
Wt2 − Wt1 = x2 − x1
..
.
Wtn − Wtn−1 = xn − xn−1
(30)
Sin embargo, por la hipótesis de incrementos independientes se sigue que las variables
aleatorias (30) son independientes y, por la hipótesis de incrementos estacionarios, Wtk −
Wtk−1 es normal con media 0 y varianza tk − tk−1 .
Por todo lo anterior, la densidad conjunta de Wt1 , Wt2 , ..., Wtn está dada por
f (w1 , w2 , ...wn ) = ft1 (w1 ) ft2 −t1 (w2 − w1 ) ...ftn −tn−1 (wn − wn−1 )
io
n h 2
2
w
(wn −wn−1 )2
1)
+
...
+
exp − 21 t11 + (wt22−w
−t1
tn −tn−1
=
n/2
(2π) [t1 (t2 − t1 ) ... (tn − tn−1 )]1/2
Esta última ecuación puede ser utilizada para hallar la distribución condicional de Wt
dado Ws = B donde s < t. Para ello requerimos la densidad condicional de Wt dado que
Ws = B,
fs (B) ft−s (w − B)
fs (B)
1
=p
exp − (w − B)2 /2 (t − s)
2π(t − s)
f t|s (w| B) =
Así, la distribución condicional de Wt dado que Ws = B es, para s < t, normal con
media y varianza dadas por
E [Wt | Ws = B] = B ,
V ar [Wt | Ws = B] = t − s .
26
Definición 9 (Proceso de Wiener con Deriva (Drift)) Se dice que un proceso estocástico {Xt , t > 0} es un proceso de Wiener con coeficiente de deriva µ y varianza con
parámetro σ 2 ,si
i X0 = 0
ii {Xt , t > 0} tiene incrementos estacionarios e independientes
iii Xt es normalmente distribuida con media µt y varianza σ 2 t
La deriva µ es la tasa que mide el cambio de la media por unidad de tiempo.
Definición 10 (Proceso de Ito) Un Proceso de Ito es un proceso de Wiener {Xt , t ≥ 0}
con Deriva, donde los parámetros µ y σ son funciones de la variable subyacente x y del
tiempo t. Así, para cada t, la variable aleatoria Xt de un proceso de Ito se puede escribir
como
dXt = µ (X, t) dt + σ (X, t) dWt .
Ruido Blanco
Sea {Wt , t ≥ 0} un proceso de Wiener estándar y sea f una función con derivada
continua en la región [a, b]. Se define la integral estocástica
Z
b
f (t) dWt :=
a
lı́m
n−→∞
n
X
f (ti−1 ) Wti − Wti−1
máx(ti −ti−1 ) i=1
donde a = t0 < t1 < ... < tn = b es una partición de la región [a, b] . A partir de la
identidad
n
X
n
X
f (ti−1 ) Wti − Wti−1 = f (b) Wb − f (a) Wa −
Wti [f (ti ) − f (ti−1 )]
i=1
i=1
se obtiene
Z
b
Z
f (t) dWt = f (b) Wb − f (a) Wa −
a
b
Wt df (t)
a
Por condiciones de integrabilidad del valor esperado y aplicando límites, obtenemos
Z b
E
f (t) dWt = 0
(31)
a
Por otra parte
V ar
n
X
!
n
X
f (ti−1 ) Wti − Wti−1
=
f 2 (ti−1 ) V ar Wti − Wti−1
i=1
i=1
=
n
X
i=1
27
f 2 (ti−1 ) (ti − ti−1 )
(32)
donde la última igualdad es consecuencia de la propiedad de los incrementos independientes en un proceso de Wiener. Aplicando los límites respectivos a la ecuación (32)
tenemos
Z
Z
b
b
V ar
f 2 (t) dt
f (t) dWt =
a
a
Así la familia de cantidades {dWt , 0 ≤ t < ∞} puede ser vista como un operador que
Rb
transforma funciones f en la variable aleatoria a f (t) dWt .
Definición 11 (Ruido Blanco) {dWt , 0 ≤ t < ∞} es una transformación llamada ruido blanco, laR cual toma funciones que varían en el tiempo y arroja como imagen, en el
b
tiempo b, a a f (t) dWt .
Cálculo de Itô
Definición 12 (La Filtración generada por un proceso de Wiener) Sea (Ω, F, P)
un espacio de probabilidad y {Wt , t ≥ 0} un proceso de Wiener definido sobre (Ω, F, P).
Definimos la σ−álgebra generada por W (s) , s ≤ t, es decir la σ−álgebra más pequeña, la
cual contiene conjuntos de la forma
{w; W (t1 , w) ∈ F1 , ..., W (tk , w) ∈ Fk } =
k
\
W (ti )−1 (Fi )
i=1
para cualquier ti < t y Fi ⊂ R, Fi ∈ B (R) (j ≤ k) y algún k ∈ N. Más aún, asumimos
que todos los conjuntos de medida cero pertenecen a Ft .Entonces {Ft } es una filtración
generada por W.
Observación 13 W es un {Ft }-proceso adaptado.
Definición 14 [Integral de Itô]Sea G un proceso estocástico, G ∈ L2 [0, T ] , y sea {Gn }
una sucesión de funciones simples en L2 [0, T ], tal que
Z
T
E P {Gn (s) − G (s)}2 ds → 0
0
Definimos la integral estocástica de Itô por
Z T
Z
G (s) dW (s) = lı́m
n→∞
0
T
Gn (s) dW (s)
0
Puesto que Gn es simple, para cada n ∈ N se tiene que existen puntos en el tiempo,
0 = t0 < t1n < ... < tmn = T tal que Gn es constante en cada subintervalo, así si
Gn (s) = Gn (tk ) para s ∈ [tk , tk+1 ) entonces
Z
T
Gn (s) dW (s) =
0
m−1
X
Gn (tkn ) W t(k+1)n − W (tkn )
k=0
28
Lema 15 (Lema de Ito (en una dimensión)) Sea X un proceso de Itô
dX (t) = µ (X, t) dt + σ (X, t) dW
Sea g (t, X) ∈ C 2 ([0, ∞] × R) . Entonces
Y (t) := g (t, X (t))
es un proceso de Itô con
∂g
∂g
1 ∂ 2g
dY =
(t, X (t)) dt +
(t, X (t)) dX +
(t, X (t)) (dX)2
2
∂t
∂x
2 ∂x
donde (dX)2 = (dX) (dX) = (µdt + σdW ) (µdt + σdW ) = µ2 dtdt + µσdtdW + µσdW dt +
σ 2 dW dW = σ 2 dt. debido a que
dtdt = 0
dW dt = 0
dtdW = 0
dW dW = dt
(33)
3
Lema 16 (Ajuste de la Deriva en Procesos Lognormales) Sea S (t) > 0, un Proceso de Itô de la forma
dS (t) = µ (t) S (t) dt + σ (t) S (t) dW (t)
(34)
y Y (t) : ln (S (t)) . Entonces tenemos que
1 2
dY (t) = µ (t) − σ (t) dt + σ (t) dW (t)
2
Integración Estocástica
En integración estocástica es importante identificar claramente la naturaleza del integrando y de la variable de integración.
El integrando es una aplicación. Es la integral de una función de valor real con
respecto a la variable real t. Puede ser evaluada como una integral de Riemann o
de Lebesgue.
Z
t2
f (t) dt
t1
El integrando es una Variable Aleatoria. Es la integral de una variable aleatoria
Z con respecto a una medida P. Un ejemplo común es el cálculo del valor esperado
de una variable aleatoria. Debe ser evaluado como una integral de Lebesgue.
Z
Z (w) dP (w)
Ω
3
Las reglas del producto pueden demostrarse con herramientas básicas del cálculo estocástico. Una
demostración puede encontrarse en Bernt K. Oksendal (2000) sección 4.1
29
El integrando es un proceso estocástico. En este caso tenemos varios tipos de
integrales dependiendo de la variable de integración.
1. Integral de una variable aleatoria obtenida evaluando el proceso estocástico {X (t) , t > 0}
en un instante determinado t1 , X (t1 ) con respecto a una medida P. Se evalúa como
integral de Lebesgue
Z
X (t1 , w) dP (w)
Ω
2. La integral de camino del proceso estocástico X con respecto a t.Puede ser evaluada
como Integral de Lebesgue o Integral de Riemann.
Z t2
X (t, w) dt
t1
3. La integral de camino del proceso estocástico X con respecto al proceso de Wiener,
W.Se evalúa como una integral de Ito.
Z t2
X (t) dW (t)
t1
Teorema de Representación de Martingalas
Definición 17 (Martingala) El proceso estocástico {X (t) , Ft ; 0 ≤ t > ∞} es llamada
una martingala con respecto a la filtración {Ft } y la medida P si las siguientes condiciones
se satisfacen:
i X (t) está adaptado a la filtración {Ft }
ii Para todo t
E P [|X (t)|] < ∞
iii Para todo s, t, con 0 ≤ s < t < ∞ se tiene que
X (s) = E P [X (t)| Fs ]
La última condición de la definición de Martingala nos dice que el valor esperado de
un valor futuro del proceso X (t), dada la información disponible hoy , es igual al valor
observado hoy del proceso. Otra manera de expresar ésto es diciendo que una martingala
no tiene una deriva (drift) (bajo la medida P).
Lema 18 Sea {X, t ≥ 0} un proceso de Ito de la forma
dX = µdt + σdW
1/2 RT 2
P
bajo una medida de probabilidad P, con E
σ (t) dt
< ∞. Entonces se tiene
0
que {X (t) , t ≥ 0} es una martingala si y sólo si µ = 0.( Es decir, X es libre de deriva).
El siguiente teorema nos permite identificar cada integral estocástica como una martingala, módulo una condición de integrabilidad.
30
Teorema 19 (Teorema de Representación de Martingalas) Sean W (t) un proceso de Wiener, Ft la filtración correspondiente, Entonces todo proceso estocástico G ∈
L2 [s, t] satisface:
Z t
E
G (s) dW (s) Fs = 0
s
para todo t ≥ 0.y por consiguiente, si definimos el proceso estocástico M (t) como la
integral estocástica
Z t
G (s) dW (s)
M (t) =
0
entonces M (t) es una Ft -martingala.
R
Inversamente, sea M (t) una martingala con respecto a Ft tal que Ω |M (t)|2 dP< ∞,
para todo t ≥ 0, entonces existe un proceso estocástico G ∈ L2 [0, t] tal que
Z t
M (t) = M (0) +
g (s) dW (s)
0
para todo t ≥ 0.
Apéndice B. Cambio de Medida y Numerario
Definición 20 (Medida) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y φ una variable aleatoria, no negativa, a valor real y P-integrable. Entonces:
Z
Q :=
φ dP
A
define una medida sobre (Ω, F), la cual es llamada una medida con densidad φ con respecto
a P.
Definición 21 (Medida Equivalente) Sean P y Q dos medidas sobre el mismo espacio
de medida (Ω, F) .
1. Q es continua con respecto a P si y sólo si P(A) = 0 implica Q(A) = 0 para todo
A ∈ F.
2. P y Q son equivalentes si y sólo si Q es continua con respecto a P y P es continua con
respecto a Q.
Teorema 22 Sean P y Q dos medidas sobre un espacio medible (Ω, F) . Entonces Q es
continua con respecto a P si y sólo si Q tiene una densidad con respecto a P.
Definición 23 (Densidad de Radon-Nikodým) Si Q es continua con respecto a P,
entonces llamamos a la densidad de Q con respecto a P la densidad de Radon-Nikodým y
.
se denota dQ
dP
31
Definición 24 (Numerario) Sea M = {X1 , X2 , ..., Xn } una familia de procesos estocásticos de Itô definida sobre un espacio de probabilidada (Ω, F, P) . Un proceso estocástico
de precios N ∈ M es llamado numerario sobre [0, T ] si
P ({N (t) > 0 | t ≤ T }) = 1
Un numerario es un instrumento financiero genérico, negociable en el mercado, con
payoff estrictamente positivo.
Para cada numerario N existe una medida de martingala diferente QN . La medida
neutral al riesgo es la medida de martingala equivalente QB correspondiente al activo sin
riesgo B (cuenta bancaria) donde:
dB = rBdt, r > 0.
Bajo la medida QB se tiene que, para cualquier activo financiero S, BS es una martingala.
Luego, respecto a esta medida a S/B no tiene deriva (drift). Por lo tanto, bajo QB el
activo S tiene la misma tasa de retorno local que el activo sin riesgo B, es decir que
B
dS = rSdt + σSdW Q .
Si QB fuera la medida real, entonces implicaría que la tasa de retorno local real de S
fuera la misma que la de B. En tal mercado todos los activos podrían tener la misma tasa
de retorno local r, independientemente de su riesgo σ. Esta es la razón por la que esta
medida se suele denominar medida neutral al riesgo.
En general, se podría esperar que bajo la medida real todos los activos riesgosos (σ > 0)
tengan una tasa de retorno local, drift, mayor que r, puesto que los inversores buscarían
ser compensados por el riesgo que asumen (esto se llama aversión al riesgo).
Definición 25 (Medida de Martingala Equivalente) Sea N un numerario. Una medida de probabilidad QN definida sobre (Ω, F) es llamada una medida de martingala equivalente con respecto a N , si
1. QN y P son equivalentes
2. El proceso de precios relativo a N ,
a QN .
Xi
(i
N
= 1, 2, ..., n) son Ft -martingalas con respecto
Apéndice C. Dos Teoremas Fundamentales
Teorema 26 (Cambio de Medida (Girsanov, Cameron, Martin)) Sean {W (t) , t ≥ 0}
un proceso de Wiener con respecto a una medida de probabilidad P y {Ft } la filtración
generada por W (t). Sea Q una medida equivalente a P, entonces
1. Existe un un proceso previsible C (t) con respecto a {Ft } tal que
Z t
Z
dQ 1 t
2
= exp
C (s) dW (s) −
|C (s)| ds
dP Ft
2 0
0
32
(35)
2. Fijamos T > 0, inversamente, si ρ denota una P-martingala estrictamente positiva
con respecto a {Ft } , t ∈ [0, T ] con E P (ρ) = 1 entonces ρ (t) tiene la representación
dada en (35) y define una medida Q = QT la cual es equivalente a P con respecto
a FT , dada por
Z
Q (A) :=
ρ (T ) dP
A
para todo A ∈ FT .
En cualquier caso, dado
Z
∗
W (t) := W (t) +
t
C (s) ds
(36)
0
es un proceso de Wiener bajo la medida Q para cada t ≤ T.(Con respecto a {Ft }).
La última igualdad implica que :
√
dW (t) + C (t) dt = dW ∗ (t) v ε dt donde ε ∼ N (0, 1)
(37)
de esta manera se puede observar que el cambio de medida corresponde a un cambio de
la deriva en (37), dado por −C (t). Así, las medidas de probabilidad difieren unicamente
por la deriva (drift).
El siguiente teorema implica un hecho muy importante en Matemática Financiera y
es que, la ausencia de oportunidades de arbitraje en la economía implica que precios
normalizados de todos los instrumentos negociables son martingalas con respecto a la
misma medida de probabilidad.
Teorema 27 (Harrison-Pliska) Un mercado consistente de instrumentos financieros y
un instrumento numerario N es libre de arbitraje si y sólo existe una medida de martingala
equivalente QN con respecto a la cual los precios de todos los instrumentos financieros
comercializables y normalizados con el numerario son
martingalas.
Es decir,si llamamos
{N (t) , t ≥ 0} al proceso estocástico numerario y ΦT (t) , t ≥ 0 al proceso estocástico
que asigna el precio en cada instante t de un activo negociable genérico, el cual se redime
en tiempo T , entonces.
T
Φ (T ) ΦT (t)
QN
Ft
=E
N (t)
N (T ) para todo 0 ≤ t ≤ T.
Definición 28 (Portafolio) Un portafolio es una pareja (Π1 , Π2 ) de procesos estocásticos en el cual, la primera componente describe el número de unidades en cada instante
t de un activo financiero cualquiera y la segunda el de un activo sin riesgo (generalmente un bono de precio P ) Cada proceso puede tomar valores positivos o negativos. Cada
componente Πi debe ser Ft -previsible para cada t ≥ 0.
Definición 29 (Portafolio Auto-financiable) Sea V (t) = Π1 (t) S (t) + Π2 P (t) el valor del portafolio (Π1 (t) , Π2 (t)); donde la función de precio del activo riesgoso está dada por el proceso de Wiener S (t) y el precio del activo sin riesgo por P (t) entonces
(X (t) , Y (t)) es auto-financiable si y sólo si dV (t) = Π1 (t) (t) dS (t) + Π2 dP (t) .
33
Definición 30 (Estrategia de replicación) Supóngase un mercado con dos activos,
un activo riesgoso con función de precios dada por el proceso de wienner S (t) con volatilidad σ (t) y otro activo sin riesgo con función de precio dada por P (t) . Sea ΦT el payoff de
un derivado financiero con redención en T y cuyo activo subyacente
R T es S. Una estrategia
de replicación para X es un portafolio auto-financiable tal que 0 Π21 (t) Π22 (t) dt < ∞ y
V (T ) = Π1 (T ) S (T ) + Π2 (T ) P (T ) = ΦT (T ) .
Si existe una estrategia de replicación (Π1 (t) , Π2 (t)), entonces el precio del derivado
en el tiempo t debe ser V (t) = Π1 (t) S (t) + Π2 (t) P (t), (en particular esta igualdad se
debe cumplir para t = 0), de lo contrario existirían posibilidades de arbitraje.
Apéndice D. Valoración de Derivados Financieros
El problema que se plantea en este capítulo puede ser expresado formalmente de la
siguiente manera:
Problema 31 Dados dos activos financieros, denotamos con Xi (i = 1, 2) a sus procesos
de precios bajo la medida real P. Sea un derivado financiero con función de pagos (payoff )
ΦT , con redención en el tiempo T (ΦT es una variable aleatoria FT -medible). Deseamos
hallar el proceso de precios ΦT (t) de ΦT para t ≤ T , asociado al derivado en cuestión.
Especialmente nos interesa hallar ΦT (0).
Solución 32 Los pasos fundamentales en la solución del problema planteado son los siguientes:
Elección del numerario. En términos financieros: la elección de uno de los activos
como variable subyacente. En términos formales: Supongamos que X2 > 0 para
todo t, ω. Este proceso de precios actuará como activo de referencia (numerario). Lo
denotamos por N = X2 .
Existencia de una medida de martingala para precios relativos al numerario N. Por
el Teorema de Harrison-Pliska (Teorema 27) existe una medida QN , tal que
Xi
es una martingala con respecto a {Ft }t≥0 , para i = 1, 2.
N
Definimos
V (t) := N (t) E
Entonces el proceso
{Ft }t≥0 .
V
N
QN
ΦT (T ) Ft
N (T ) así definido es una QN -martingala con respecto a la filtración
El Teorema de representación de Martingalas (Teorema
nos ofrece una
19)
X1 X2
X
V
estrategia de replicación. Puesto que los procesos N = N , N y N son martingalas
bajo QN , entonces existe un portafolio Π = (Π1 , Π2 ) tal que
Z t
V (t)
V (0)
X (s)
=
+
Π (s) · d
N (t)
N (0)
N (s)
0
4
4
El integrando consiste del producto escalar entre (Π1 , Π2 ) y d
34
X1 X2
N , N
El portafolio Π puede ser escogido de tal forma que sea auto-financiable, definiendo:
Z t
V (0)
X1 (s)
X1 (t)
Π2 (t) :=
+
Π1 (s) d
− Π1 (t)
N (0)
N (s)
N (t)
0
N
=0
Obsérvese que d XN2 = d N
El proceso estocástico Π describe un portafolio de replicación para V : Tenemos
V (t) =
2
X
Πi (t) Xi (t) =
i=1
2
X
Z
Πi (0) Xi (0) +
t
Π (s) dX
0
i=1
No se requiere una determinación explícita del portafolio de replicación: V (t) es el valor
del portafolio en el tiempo t. Como su valor a tiempo T coincide con la función pay-off
ΦT (T ) para todo ω, entonces V (t) debe coincidir con el proceso de precios del instrumento
derivado. Se tiene entonces que:
T
Φ
(T
)
N
Ft
(38)
ΦT (t) = N (t) E Q
N (T ) Apéndice E. Ejemplos de valoración.
Aplicación 1. Valoración de una Opción Europea sobre Bonos bajo
el Modelo de Black-Scholes.
El modelo de Black-Scholes asume que el precio de un producto financiero se comporta
como un Proceso de Wienner, es decir, que el retorno al propietario del producto en un
período pequeño de tiempo se distribuye como una variable normal con media y varianza
proporcionales al intervalo de tiempo transcurrido; los retornos en dos períodos de tiempo
disjuntos son variables aleatorias independientes.y el valor del precio del producto en un
tiempo futuro tiene una distribución lognormal con dinámica dada en (34)
Supongamos ahora que existe un activo sin riesgo el cual vamos a asimilar a una
cuenta bancaria, la cual puede ser usada para invertir o hacer préstamos a un tipo de
interés compuesto continuo r (t) .Así, si la inversión de la cuenta en B (0) es igual a una
unidad y ésta evoluciona de la forma
dB (t) = r (t) B (t) dt
entonces
Z
B (t) = exp
t
r (τ ) dτ
0
Por otra parte, supongamos que el bono P (t) se comporta con una dinámica dada por
dP (t) = µP (t) P (t) dt + σ (t) P (t) dW P (t)
bajo la medida real P. Sea K un valor real. Nuestro problema es pues, hallar el valor
Vopcion (0) de una opción sobre bonos que es un contrato que paga en t = T la cantidad:
Vopcion (T ) = máx (P (T ) − K, 0)
35
Vamos entonces a seguir los pasos indicados en la sección anterior, como numerario
N (t) escogemos la cuenta bancaria, así :N (t) := B (t) . Por el Teorema de HarrisonP (t)
V (t)
Pliska (Teorema 27) existe la medida QN equivalente a tal que N
y N
son martinga(t)
(t)
5
las . Por el Teorema de Girsanov (Cameron y Martin) (Teorema 26) la dinámica de P
se puede expresar bajo la medida QN , con un cambio de deriva (drift),
N
N
dP (t) = µQ (t) P (t) dt + σ (t) P (t) dW Q
N
donde W Q denota un QN -proceso de Wiener. Por la regla del Cociente tenemos (por
simplificidad en la notación se evita escribir la dependencia con la variable t)
(dP ) B − P dB
P
=
d
B
B2
h
i P
P QN
N
=
µ dt + σdW Q − [rdt]
B
B
Así pues,
P
P
d
= [(µ − r) dt + σdW ]
B
B
bajo QN
N
Puesto que la nueva deriva debe ser igual a 0 entonces µQ (t) = r (t) .
Consideremos ahora el proceso Y := log (P ), por el Lema de Ajuste de la Deriva
en Procesos Lognormales ( Lema 16) se tiene que
1 2
d (log (P )) = r − σ dt + σdW
(39)
2
bajo QN . Así, log P (t) tiene distribución normal con media µ := log (P (0)) + rT − 21 σ 2 T
√
y desviación estándar σ T , donde
Z T
1
r=
r (t) dt
T
0
Z T
1/2
1
2
σ=
σ (t) dt
.
T 0
De la fórmula (39) se obtiene que
Z T
1 2
N
log (P (t)) = log (P (0)) +
r (t) − σ (t) dt +
σ (t) dW Q
2
0
0
Z T
1
N
= log (P (0)) + rT − σ 2 T +
σ (t) dW Q
2
0
1 2
N
= log (P (0)) + rT − σ T + σW Q (T )
2
Z
T
5
V (t) denota el valor de la replicación del portafolio consistente de un número de unidades de S (t) y
B (t) y tal que V (T ) = máx (PT (T ) − K, 0)
36
De esta manera conocemos la dinámica de P (t) , de B (t), la distribución del proceso
log (P (t)) bajo la medida QN y su dinámica. Por otra parte, sabemos que el valor V (0)
satisface
Vopcion (0)
QN Vopcion (T )
=E
B (0)
B (T )
Así,
QN Vopcion (T )
Vopcion (0) = B (0) E
B (T )
QN máx(P (T ) − K, 0)
= 1.E
exp (rT )
N
= exp (−rT ) E Q [máx (P (T ) − K, 0)]
N
= exp (−rT ) E Q [máx (exp (log (P (T )))) − K, 0]
Puesto que Y (T ) = log (P (T )) se distribuye como una normal con media µ y varianza
σ 2 T, entonces
Z ∞
y−µ
1
√
Vopcion (0) = exp (−rT )
máx (exp (y) − K, 0) √ φ
dy
σ T
σ T
−∞
donde
1
φ (x) := √ exp −x2 /2
2π
Es común encontrar expresada la integral anterior de la forma
Vopcion (0) = P (0) Φ (d+ ) − exp (−rT ) KΦ (d− )
6
donde
2
Z x
1
y
Φ (x) := √
exp −
dy
2
2π −∞
1
σ2T
P (0)
+ rT ±
d± = √
log
K
2
σ T
(41)
(42)
Aplicación 2. Valoración de un Caplet bajo el Modelo de BlackScholes
Definición 33 (Tipo Forward) El tipo de interés Forward es el tipo de interés que mide
la rentabilidad teórica del intervalo temporal [T1 , T2 ] en un tiempo futuro t. Lo denotaremos
F (t; T1 , T2 ) .7 (Claramente,T1 < T2 ).
Sea P Ti (t) el precio en un instante t de un bono cupón cero cuya madurez está dada
en el instante Ti . El tipo forward puede ser dado en función del rendimiento de un bono
cupón cero, de la siguiente forma:
1
PT1 (t)
F (t; T1 , T2 ) =
−1
(T2 − T1 ) PT2 (t)
6
7
Una derivación de la fórmula se encuentra en Fries (2007), capítulo 4, página 78.
Una descripción de éste y otros tipos de interés se encuentra en Oleaga (2008).
37
Definición 34 (Caplet) Un caplet es una opción sobre el tipo forward, cuya función de
pagos en T2 está dada por
Vcaplet (T2 ) = L máx (F (T1 ; T1 , T2 ) − K, 0) (T2 − T )
K es un tipo fijo previamente establecido (strike), F (t; T1 , T2 ) es el tipo forward a aplicar
en el período [T1 , T2 ] y L un capital nominal conocido. La fecha de pago del instrumento es
T2 , y la fecha (establecida previamente) en la que se evaluarán los tipos es T1 . Claramente,
0 < T1 < T2 y estas fechas coinciden con las del período: [T1 , T2 ] .
El objeto de esta sección es pues valorar analíticamente un caplet, es decir queremos
encontrar una formulación para Vcaplet (0) . Sean T1 , T2 dos tiempos dados, 0 < T1 < T2 .
Denominamos, F1 := F (T1 ; T1 , T2 ) .
El modelo de Black para la valoración de un caplet asume que el tipo forward F1 tiene
una dinámica que se comporta con una distribución lognormal. Así:
dF1 (t) = µP (t) F1 (t) dt + σ (t) F1 (t) dW P (t) ,
(43)
con σ (t) ≥ 0, bajo P.
En T2 , la función de pagos del instrumento es
Vcaplet (T2 ) = L máx ((F1 (T1 ) − K) (T2 − T1 ) , 0)
(44)
Escogemos como numerario un bono cupón cero con redención en T2 :
N (t) := P T2 (t)
Con esta elección de numerario, tenemos
T2
P (T1 )
1
−1
F1 =
(T2 − T1 ) P T2 (T2 )
T2
1
P (T1 ) − P T2 (T2 )
=
(T2 − T1 )
P T2 (T2 )
1
T2
T2
P
(T
)
−
P
(T
)
1
2
(T −T )
= 2 1
N
Así F1 puede ser visto como el precio N -relativo de un producto financiero, cuya dinámica
está dada por (43). Por el Teorema de Harrison Pliska (Teorema 27) existe una medida
martingala equivalente QN tal que todos los precios N -relativos son martingalas. Luego
F1 es libre de deriva bajo la medida QN , así pues,
N
dF1 (t) = σ (t) F1 (t)dW Q (t)
Consideramos ahora el proceso Y := log (F1 ), por el Lema de Ajuste de la Deriva en
Procesos Lognormales (Lema 16) se tiene que:
1
N
d (log (F1 (t))) = − σ (t)2 dt + σ (t) dW Q (t)
2
38
así, log (F1 (T )) se distribuye normal con media log (F1 (0)) − 12 σ 2 T y desviación estándar
R
1/2
√
T
σ T , donde σ := T1 0 σ 2 (t) dt
.
Puesto que N (T2 ) = 1,
"
#
V
(T
)
Vcaplet (0)
N
caplet
2
= EQ
N (0)
N (T2 ) F0
N = E Q Vcaplet (T2 )|F0
De la fórmula (44)
N
Vcaplet (0) = N (0) E Q
L máx ((F1 (T1 ) − K) (T2 − T1 ) , 0)|F0
Es decir,
N
Vcaplet (0) = P T2 (0) LE Q [máx ((F1 (T1 ) − K) , 0) (T2 − T1 )]
N
= P T2 (0) LE Q [máx (exp (log (F1 (T1 )))) − K, 0)] (T2 − T1 )
Puesto que conocemos la distribución de F1 bajo QN ,entonces el valor esperado puede
expresarse como
Z ∞
1
y−µ
T2
√
Vcaplet (0) = P (0) L (T2 − T1 )
máx (exp (y) − K, 0) √ φ
dy
σ T
σ T
−∞
Vcaplet (0) = P T2 (0) L (T2 − T1 ) [F1 (0) Φ (d+ ) − KΦ (d− )]
con Φ (x) y d± como en (41) y (42)
39
Lista de Símbolos
ω: Elemento del espacio de todos los estados posibles Ω
Ω : Conjunto. Llamado a menudo: Espacio de estados.
X : Proceso Estocástico
X (t),Xt : Proceso Estocástico evaluado en un tiempo t (equivalente a una variable aleatoria)
X (ω) : Proceso estocástico evaluado en el estado del mundo ω.Se interpreta como la trayectoria
de X en el estado ω
W : Proceso de Wiener
F: σ−álgebra generada por el conjunto Ω.
(Ω, F) : Espacio medible
{ Ft | t ≥ 0} : Filtración generada por F . Ft se interpreta como la información conocida a
tiempo t
P: Medida real.
N : Proceso estocástico escogido como Numerario
QN : Medida de martingala correspondiente al numerario N
N
EtQ : El operador valor esperado con respecto a la medida de martingala QN , evaluado en el
instante t
P (t, T ) , P T (t) : Precio en el instante t del Bono cupón cero con redención en T.
P i : Bono cupón cero con redención en el instante Ti
P (t; T, T + ∆T ) : Bono cupón cero forward en el período [T, T + ∆T ]
FPT : Medida Neutral al Riesgo Forward asociado al numerario escogido como el bono cupón
cero de redención en T
rT : Tipo de interés observado en T a aplicar en el período [T, T + ∆T ] .
rtf , F (t; T, T + ∆T ) : Tipo forward observado a tiempo t de el tipo a aplicar en el período
[T, T + ∆T ]
r (t): Tipo de interés corriente a aplicar en el instante t y observado en un instante inicial 0
yT : Rendimiento de un bono en el instante T
ytf : Rendimiento forward de un bono observado en el instante t
σy : Volatilidad de la variable rendimiento de un bono
µ (t): Deriva o drift asociado a un proceso de Itô S cuya dinámica está dada por dS (t) =
µ (t) S (t) dt + σ (t) S (t) dW (t)
σ (t): Volatilidad asociada a un proceso de Itô S cuya dinámica está dada por dS (t) =
µ (t) S (t) dt + σ (t) S (t) dW (t)
40