movimiento amortiguado (péndulo simple)

MOVIMIENTO AMORTIGUADO (PÉNDULO SIMPLE)
MOVEMENT DAMPED (SIMPLE PENDULUM)
Cristhian Celeita1 y Efraín Rivera1
(1) Universidad de los Llanos, Facultad de ciencias humanas y de la educación, Licenciatura en matemáticas
y física, vereda Barcelona, Villavicencio-Colombia.
RESUMEN
Este informe busca por medio del movimiento armónico amortiguado (péndulo simple) dar a conocer el
coeficiente de resistencia experimentado en la realización de esta práctica. Es de resaltar que para efectos de la
misma se tomó la aproximación lineal, encontrándonos así en un modelo ideal donde las oscilaciones son
subamortiguadas y el movimiento es una línea en vez de un arco. El coeficiente nombrado hace referencia a la
fuerza de fricción del medio donde se encontraba la experiencia, hallándose esta en los laboratorios de la
universidad de los llanos y tomada de la forma simple f=−bv. La metodología con la cual se procede a hallar este
coeficiente es la aplicación del decremento logarítmico el cual dice que las amplitudes amortiguan con una
rapidez de cambio igual a enγT.
ABSTRAC
This inform search for the way of the movement harmonic damped (simple pendulum) gift to know the
coefficient of resistance experienced in the realization of this practice. Is of stand out what for effects of the same
take the lineal approach, finding there a model ideal where the oscillations are undampened and the movement is
a line instead of an arch. The coefficient called has reference to the force of friction of the way where is finded
the experience, being situated this at the laboratories of the university of the llanos and taked of the simple way
f=−bv. The methodology with the which is be to find this coefficient is the app of the decrement logarithmic it
which say what the amplitude damp with a speedy of change is same to enγT.
Palabras clave: Amortiguamiento; Decremento Logarítmico; Periodo; Frecuencia; Modelo Ideal; Frecuencia angular.
Keywords: Damping; Logarithmic Decrement; Period; Frequency; Ideal Model; Angular Frequency.
INTRODUCCIÓN.
El movimiento amortiguado es uno de los movimientos más experimentados en la vida real. Este
movimiento se observa en el mover de una hoja por efecto del viento, en las puertas de establecimientos
públicos, etc. Además si se realiza una comparación con el movimiento Armónico Simple, se encuentra que
“En un movimiento armónico amortiguado la frecuencia angular ω, el período T, la frecuencia f y la
constante de fase φo, tienen el mismo significado que en el movimiento armónico simple, pero, la amplitud
A disminuye al transcurrir el tiempo”.1
Es de resaltar que la ecuación de este movimiento sale de la ecuación diferencial resultante de la sumatoria de
las fuerzas, quedando simplificada como sigue;
.2 3 Sin embargo para encontrar la ecuación de
solución se debe hacer ciertos cálculos aplicando teoría de ecuaciones diferenciales, con cual se encuentran los
tres tipos de movimiento amortiguado. Aquí solo utilizaremos el movimiento armónico subamortiguado.
Por otra parte se tiene que en el péndulo simple subamortiguado la frecuencia de oscilación viene dada como una
combinación entre la frecuencia propia del sistema y la fuerza de resistencia en donde se tiene que la frecuencia
1
2
Rodríguez Puertas, Fidel L. Oscilaciones mecánicas, pág. 10.
Raymond, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1, Edición 6. Capítulo 15. Pág. 471.
3
Ecuación aterrizada al péndulo simple ya que en el libro figura para un Sistema Masa Resorte horizontal.
de oscilación es
√
coeficiente de fricción y
( ) , en donde
es la aceleración gravitatoria,
es la longitud del hilo,
es el
4
es la masa del cuerpo oscilante.
MATERIALES Y MÉTODOS.
-Hilo de 2m.
-Nuez Gancho.
-Esfera (67g).
-Cámara.
-Regla.
-Cronómetro
Grafico 1
Sistema Oscilante
Al comenzar la práctica se procede a realizar el montaje colocando la nuez gancho en un lugar alto y colgando la
esfera por medio de un hilo de dos metros de longitud. Seguidamente se procede a ubicar una cámara de tal
forma que se registre las oscilaciones del sistema con sus respectivas amplitudes. Se contaran las oscilaciones
cuando haya llegado a la mitad de su máxima elongación, para con ello hallar las graficas y coeficiente de
amortiguamiento.
Luego se pondrá a oscilar el sistema contando diez oscilaciones y registrando los tiempos para hallar la
aceleración de la gravedad con la cual se trabajó. Para este último proceso se tiene en cuenta que un péndulo
simple se comporta como movimiento armónico simple para las primeras oscilaciones pues su amortiguamiento
es tan pequeño que se puede despreciar. Es de resaltar que nuestra amplitud para toda la práctica fue de
0,14m para garantizar ángulos menor a cuatro (4) grados sexagesimales, para garantizar la medida de este
ángulo nos basamos en la trigonometría tomando el que
. Y para finalizar encontrar cada el
coeficiente de resistencia con su respectiva incertidumbre aplicando la teoría de error lo mismo se hará para
encontrar la aceleración de la gravedad.
-
Resumen teórico5
RESULTADOS Y DISCUSIÓN.
En la tabla N°1 se muestra los datos obtenidos en la práctica para encontrar la aceleración gravitacional. Además
esta tabla tiene las desviaciones estándar y media del tiempo, el periodo y la incertidumbre de la aceleración
gravitacional a la cual se le halló dos incertidumbre a partir de las desviaciones del tiempo, nuestra cuerpo
oscilante para toda la práctica cuenta con una masa de 0,067 Kg, ver anexo;
Tabla N° 1
Tiempo (s) para 10 oscilaciones Periodo (s) Periodo² (s²)
g ± Δg
27,96
28,00
27,74
27,95
27,99
28,02
9,84 ± 0,47
2,80
7,82
27,95
28,13
27,97
27,97
Promedio
0,060
0,060
0,34
9,84 ± 0,77
Desviación M
0,102
0,102
0,57
Desviación E
Tabla de datos con número de oscilaciones de 10
4
5
Raymond, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1, Edición 6. Capítulo 15. Pág. 471.
Ver anexo.
En la tabla N° 2 se encuentran los tiempos para cada 10 oscilaciones con el fin de determinar un periodo
confiable y asegurar su correspondiente intervalo de incertidumbre.
Tabla 2
Número de osc.
10
20
30
40
50
60
Promedio
tiempo
T
28
2,864
57
2,862
85
2,858
114
2,864
143
2,864
171
2,864
2,864 ± 0,001
Número de osc. tiempo
70
200
80
229
90
257
100
286
110
314
120
343
Desviación Media
T
2,863
2,865
2,863
2,866
2,863
2,863
Número de osc. tiempo
T
Número de osc. tiempo
T
130
372
2,864
190
544
2,864
140
400
2,864
200
572
2,864
150
429
2,864
210
601
2,864
160
458
2,864
220
630
2,864
170
486
2,864
230
658
2,864
180
515
2,864
240
687
2,864
0,0004
Desviación Estándar
0,001
Tabla de oscilaciones y periodos para determinar el Periodo del Sistema
Después tener el tiempo de cada oscilación se procede a hallar el coeficiente de fricción por medio del
decremento logarítmico, esto queda de la siguiente forma.
δ=ln(x1/x2)=nγT
(
)(

)
( )(
)(
)
x10-4
(
)
s-1,
x10-4±0,094kg/s y la frecuencia es ω=√
√
t
. Como el movimiento subamortiguado cumple con la ecuación x=Ae cos(ωt φo) pero, como nuestras
observaciones empezaron en el máximo derecho φ o=0 y al reemplazar valores obtenemos que,
x=0,14e-0,001tcos(2,194t). La gráfica del decremento y las posiciones queda como sigue (ver las gráficas N° 1 y 2).
Tenemos
Gráfica N°1
0,16
0,08
0,06
0,04
0,02
Máxima enlongacion en metros
0,1
Posición vs Tiempo
Amplitudes vs Tiempo
0,14
0,12
Gráfica N°2
Máxima Elongación
Linea de Tendencia
y = 0,1395e-0,001x
R² = 0,9994
0
0
200
Tiempo en
400segundos
600
800
Amplitudes para cada 10 oscilaciones
Oscilaciones del sistema amortiguado
--- Amplitudes si fuera un M.A.S.
Puesto que la aceleración de la gravedad nos dio un poco alta en comparación a los resultados de otros trabajos 6,
decidimos hallarla con el periodo del sistema amortiguado. Debido a que el periodo no cambia y se mantiene
aproximadamente constante para las primeras n oscilaciones, y además, para las primeras 5 oscilaciones se tiene
en primer acercamiento un movimiento armónico simple entonces, y teniendo en mente el anterior pensamiento,
procedemos a hallar la aceleración gravitacional con ese periodo, la cual será nuestra aceleración de reporte.
Por lo que g con su incertidumbre queda: g=(9,63±0,026)m/s .
2
6
Se presenta cierta desconfianza en la aceleración gravitacional puesto que sucedió un accidente en el manejo del material.
- Análisis de resultados.
Al observar la tabla N°1 encontramos un valor de aceleración gravitatoria un poco alto, lo que se debe a que al
realizar el experimento y utilizar una mechera para cortar el hilo por accidente se quemo el hilo y por ende la
longitud del péndulo cambio dando así un valor incomparable con los valores antes medidos por otros
estudiantes. Los valores de gravedad tomando una desviación media es de g=(9,84±0,47)m/s2 y tomando un
desviación estándar es de g=(9,84±0,77)m/s2. Por lo que al tomar las primeras 5 oscilaciones del sistema
2
amortiguado con un T=2,864s se hallo un valor para la aceleración gravitatorio de g=(9,63±0,026)m/s , valor que
damos por más confiable y que representa una incertidumbre menor.
En la tabla N°2 referenciamos el tiempo para cada diez oscilaciones con el fin de mostrar que sucede con el
periodo a medida que el sistema va disminuyendo sus amplitudes y van creciendo las oscilaciones. Esto se hizo a
partir de la grabación del sistema oscilante, sin embargo, se observa que cuando pasó un número de 210
oscilaciones, el periodo tendió a cambiar por milésimas, cosa que hace el proceso más exigente en la determinar
de los periodos. Además se observa que al pasar cierto valor, parece que el periodo tiende a cambiar, aunque
también se aprecia una estabiliza entre las primeras cien oscilaciones. En general para las 240 oscilaciones
trabajadas aquí el periodo se mantuvo constante.
En las gráficas N° 1 y 2 apreciamos el movimiento amortiguado del sistema trabajado en la práctica. En este
sistema y a partir de los cálculos se encontró un gamma de 0,001s -1 que en comparación con la frecuencia propia
del sistema es casi que despreciable quedando así la frecuencia natural del sistema. Que el gamma sea más
pequeño que la frecuencia propia del sistema indica que la resistencia del medio en el que está el sistema
oscilante tiende a detenerlo muy lentamente lo que corroboran las grafica antes nombradas. Con ello tenemos
que al mirar la gráfica N°2 en donde se grafican las primeras oscilaciones, y detenernos en la línea roja, vemos
que la distancia que hay entre las amplitudes de las primeras 5 o 10 oscilaciones y las líneas son pequeñas (La
línea roja representa la amplitud si el sistema fuera un M.A.S.) lo que dice que el sistema para las primera 5 o 10
oscilaciones se comporta casi como un movimiento armónico simple.
CONCLUSIONES
El valor de la aceleración encontrado en esta práctica es de g=(9,63±0,026)m/s , valor producto del periodo de las
oscilaciones amortiguadas. Además de esto se encontró que el coeficiente de fricción fue bastante pequeño
siendo este de
x10-4Kg/s, fricción que se tomo de la forma f=-bv y que representa las fuerzas no
conservativas o disipativas que actúan sobre el sistemas oscilante. De otra parte se tiene que la ecuación que
representa las posiciones del cuerpo oscilante es la siguiente; x=0,14e-0,001tcos(2,194t), donde ω
s-1, t=
-1
tiempo, A=0.14m, = 0,001s . Otro aspecto a resaltar son las gráficas N°1 y 2 en donde se muestran las
oscilaciones amortiguadas. En la gráfica N°1 se observa el decrecimiento de las amplitudes para cada diez
oscilaciones pero, en la gráfica N°2 se observa como las amplitudes disminuyen comparando con el caso de que
fuera un sistema armónico simple y no un amortiguado (línea roja gráfica N°2), concluyendo que para las
primeras 5 o 10 oscilaciones las amplitudes decrecen tan poco que se puede apreciar como un M.A.S. Para
terminar vemos que la frecuencia de oscilación del sistema amortiguado es similar a la propia del sistema, y se
debe a que el gamma es bastante pequeño pero lo suficiente para darse un movimiento subamortiguado.
2
REFERENCIAS
-
Rodríguez Puertas, Fidel L. Oscilaciones mecánicas, pág. 10.
-
RAYMON, Serway. Física para ciencias e ingeniería. Ediciones 4 y 6, volumen 1. Capítulos 15.
Universidad de los llanos. Laboratorios de física. Guía de laboratorio para péndulo simple.
Anexos
Para encontrar la incertidumbre de la aceleración de la gravedad se utilizaron los métodos de diferencial total y
teoría de error que son:
Al derivar se obtiene
si se tomo a d como Δ se obtiene
al despejar Δg se tiene que
como los errores no se pueden restar se tiene que el valor de la incertidumbre es
(
(
)
pero
)
De otra parte se tiene por cálculo multivariado que el diferencial total es:
Puesto que los errores no se pueden restar se llega a
Con estos dos métodos se encontró la incertidumbre de la aceleración gravitacional llegando a los mismos
resultados.
Para encontrar las incertidumbres de los demás datos indirectos se aplico el mismo método para la aceleración.
Sin embargo el tiempo y el periodo se aplico dispersión media como dispersión estándar.