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M. Iniesta
Grado en Ciencia y Tecnología de los Alimentos
Universidad de Murcia
Práctica 7: Intervalos de conanza
y contrastes de hipótesis I
Objetivo
En esta práctica y en la siguiente aprendemos a aplicar e interpretar las técnicas de
intervalos de conanza y test de hipótesis, seleccionando la más adecuada para cada caso
particular.
1.
Intervalos y test (una sola muestra)
R-Commander proporciona la posibilidad de construir intervalos de conanza y contrastes de hipótesis para una o dos medias, proporciones o varianzas, aunque en nuestro
caso sólo resolveremos ejemplos relativos a medias y proporciones. Las opciones para
una sola muestra se hallan en Estadísticos->Medias->Test t para una muestra o
Estadísticos->Proporciones->Test de proporciones para una muestra.
Nota 1 En nuestro curso sólo hemos estudiado los casos de muestras normales con
σ conocida u otras situaciones para muestras grandes, de forma que la distribución del
estadístico de contraste es Normal o aproximadamente Normal. Sin embargo, en los casos
de muestras de tamaño pequeño n < 20 y σ desconocida la distribución del estadístico
X −µ
√S
n
sigue una distribución denominada t de Student, además, cuando la muestra es
grande la distribución t de Student converge a la distribución N (0, 1). Es por ello que
los software estadísticos las pruebas relativas a la media las denomina pruebas de la t de
Student.
Para cada prueba que se establezca dentro de los menús anteriores, hay que prejar
los siguientes puntos: (Se expresan para el caso de la media y serán iguales para el caso
de una proporción)
Valor de la hipótesis nula: µ = µ0
Nivel de conanza (1 − α)
Hipótesis alternativa: µ 6= µ0 , µ > µ0 o µ < µ0
En la ventana de resultados obtendremos:
Valor del estadístico y P-valor
Hipótesis alternativa que se contrasta
Intervalo de conanza al (1 − α) de nivel de conanza
Media muestral
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Nota 2 Los intervalos que nosotros conocemos son los que están centrados en la media
muestral y se obtienen restando y sumando a ésta el error de estimación. Estos serán
obtenidos cuando nuestra hipótesis alternativa sea µ 6= µ0 . Sin embargo, cuando la hipótesis alternativa es unilateral se proporciona un intervalo de conanza de nivel (1 − α)
pero dejando el nivel α en una sola cola. Estos intervalos no se usan para estimar el parámetro desconocido pero pueden ser un instrumento alternativo al P-valor para establecer
una regla de decisión e interpretar el resultado del test.
Para cada test de medias o proporciones la regla de decisión es la siguiente:
Regla de decisión
Rechazamos H0 si P − valor < α ⇔ Aceptamos H0 si P − valor ≥ α
Regla alternativa:
Rechazamos H0 si el valor del parámetro que formula H0 NO se halla en el correspondiente intervalo de conanza ⇔ Aceptamos H0 si el valor del parámetro que formula H0
SI se halla en el correspondiente intervalo de conanza
En la tabla siguiente se indican los intervalos de conanza para cada una de las hipótesis alternativas que podremos formular en el caso de una media o de una proporción.
Parámetro
Media
H0
mu = mu0
Proporción p = p0
H1
mu 6= mu0
mu > mu0
mu < mu0
p 6= p0
p > p0
p < p0
Intervalo de Conanza
(x ± z1−α/2 √Sn )
(x − z1−α √Sn , ∞)
(−∞, x + z1−α √Sn )
q
p)
(b
p ± z1−α/2 pb(1−b
)
n
q
p)
(b
p − z1−α pb(1−b
, ∞)
nq
p)
(−∞, pb + z1−α pb(1−b
)
n
Ejemplo 3 Vamos a desarrollar algunos ejemplos de intervalos y test a partir de los
datos del chero Pulse.TXT. En dicho chero se encuentran las medidas de 92 individuos, hombre y mujeres, en las variables: nº de pulsaciones por minuto antes y después
de hacer ejercicio físico, tipo de actividad que realizan y otras medidas siológicas de los
mismos como el peso y la altura.
1. Transformar la variable original Weight (peso en libras) mediante la expresión
Peso<-Weight *0.46.
Mediante la secuencia de órdenes: Datos->Modificar variable en el conjunto
de datos activo->Calcular una nueva variable creamos la nueva variable Peso mediante la expresión Weight *0.46. Comprobamos que se ha creado correctamente.
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2. Construir el intervalo de conanza para la media de la variable Peso al nivel de
conanza (1 − α) = 0.95
Si únicamente queremos el intervalo de conanza, usamos la opción Test t para
una muestra del menú de medias y podemos usar las opciones de defecto. Veremos
que el intervalo obtenido es IC = (64.5085169.03149). Es decir, con probabilidad
0.95 el intervalo anterior contendrá el valor verdadero de la media de la población
de donde se obtuvo la muestra.
3. Contrasta la hipótesis µ = 65 mediante un contraste bilateral. Dicha hipótesis nula
se acepta puesto que dicho valor está en el intervalo de conanza. El P-valor=0.123
es superior a 0.05 y también nos lleva a la misma conclusión. Es decir, a pesar de
que la media muestral es 66.77, aceptar la hipótesis nula implicaría que este valor
no es signicativamente distinto del postulado en la hipótesis nula.
4. Contrasta la hipótesis µ = 62 frente a la alternativa µ > 62. En este caso es
P − valor = 3.227e − 05 por lo tenemos que rechazar la hipótesis. Observar que
el valor formulado en H0 : µ = 62 no se encuentra en el intervalo de conanza
(64.87807, +∞), que por ser el test unilateral también lo es el correspondiente
intervalo.
5. Para realizar pruebas relativas a proporciones con R-Commander las variables dicotómicas han de ser cualitativas. Puesto que en el chero original la variables
Smokes y Sex, transforma ésta en factores mediante la secuencia de opciones Datos
->Modificar el conjunto de datos activos ->Convertir variable numérica
en factor. Usa nombres diferentes y modalidades diferentes para las variables
transformadas.
6. Contrastamos la hipótesis de que la proporción de personas fumadoras es p = 0.25
mediante un test bilateral al nivel de signicación α = 0.05 (valor de defecto).
puesto que P − valor = 0.2786 es superior a α = 0.05 debemos de aceptar H0
y concluir que la proporción muestral es 0.3043478, ésta no guarda diferencia
signicativa con la postulada en la hipótesis nula. Podemos comprobar también
que el valor p = 0.25 que postula H0 pertenece al intervalo de conanza bilateral
IC = (0.2197369, 0.4046427), por lo que llegamos a la misma conclusión.
7. En el segundo caso se plantea un test unilateral H0 : p = 0.25 frente a la alternativa
H1 : p > 0.25, a la vista del valor estimado pb = 0.3043478. Sin embargo, dado el
p-valor= 0.1393 superior a α = 0.05 se deduce que no tenemos evidencia suciente
para rechazar H0 : p = 0.25 ; es decir pb = 0.3043478 no es signicamente mayor
que p = 0.25. Veamos que lo anterior se apoya también en el hecho de que el valor
de la hipótesis p = 0.25 pertenece al intervalo unilateral (0.22, 1.00).
8. Intervalo de conanza unilateral para la variable Pulse1 (nº de pulsaciones por
minuto antes del ejercicio físico) y contraste de la hipótesis H0 : µ = 75 frente a
la alternativa H1 : µ < 75 para nivel de conanza 1 − α = 0.95 y para nivel de
conanza 1 − α = 0.99
En ambos casos P-value=0.03333, pues este valor sólo depende del valor observado
del estadístico. A partir de estos valores y puesto que P-value=0.03333<α = 0.05
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debemos rechazar H0 : µ = 75 para aceptar H1 : µ < 75 y concluimos que al
nivel de signicación α = 0.05 la media muestral observada x= 72.86957 SI es
signicativamente menor que el valor formulado en la hipótesis H0 : µ = 75.
Sin embargo, en el segundo caso (nivel de confianza=0.99) P-value=0.03333>α =
0.01 por lo que debemos aceptar H0 : µ = 75 y concluimos que al nivel de signicación α = 0.01 la media muestral observada x= 72.86957 NO es signicativamente
menor que el valor formulado en la hipótesis H0 : µ = 75.
Estas conclusiones se obtienen de igual manera observando que el valor que formula
la hipótesis nula µ = 75 no pertenece al intervalo de conanza unilateral al nivel
de conanza 1 − α = 0.95 obtenido en la primera situación (−∞, 74.77684) pero si
pertenece al intervalo calculado para nivel de conanza 1 − α = 0.99 en la segunda
situación (−∞, 75.58744).
Estos casos muestran la importancia de seleccionar adecuadamente tanto las hipótesis a contrastar, normalmente guiadas por el conocimiento histórico de dicho
parámetro (hipótesis nula) y por la hipótesis de trabajo (hipótesis alternativa), como
el nivel de conanza 1 − α. Cuanto menor es α mayor es la probabilidad de aceptar
H0 y si ésta es verdadera la probabilidad del error que se comete rechazando ésta
es menor; sin embargo, cuando disminuimos α también aumenta la probabilidad
de cometer el error de aceptar H0 cuando ésta es falsa. El nivel de signicación
adecuado resultará del equilibrio entre ambos tipos de errores y la importancia de
estos para el experimentador. El nivel de signicación más consensuado por la comunidad cientíca es α = 0.05, que es el valor de defecto de las funciones relativas
a test de R-Commander.
Por otro lado, seleccionar una hipótesis alternativa unilateral en vez de una bilateral se deriva del conocimiento que tengamos sobre el experimento que se realiza.
En este caso particular hemos seleccionado la hipótesis alternativa µ < 75 puesto
que, siendo la media histórica µ = 75, parece razonable pensar que los deportistas
tengan valores medios inferiores. Esta selección es importante puesto que si la hipótesis alternativa hubiera sido bilateral, el P-valor se duplica y la hipótesis nula
se hubiera aceptado también para el nivel de signicación α = 0.05.
2.
Prácticas
Para cada una de las práctica que se proponen a continuación, usa la regla de decisión
a partir del P-valor en primer lugar y también a partir de los correspondientes intervalos
de conanza. Conrma que en todos los casos se llega a la misma conclusión.
1. La variable Height del chero Pulse.TXT se expresa en pulgadas. Sabiendo que
una pulgada equivales a 2.54 cm., transformar la variable original para que ésta se
exprese en centímetros, creando una nueva variable denominada Altura.
2. Estudiar si la media muestral de la variable Altura es signicativamente distinta
al valor teórico µ = 175 cm.
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3.
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a ) Convierte la variable Sex que se encuentra codicada con números a un factor
cualitativo, usando la etiqueta Hombre para el valor 1 y Mujer para el valor
2, y llama a esta nueva variable Sexo.
b ) Estima la proporción de la modalidad Hombre que realiza actividad física. Usa
en primer lugar un intervalo de conanza bilateral y observa cuál es la hipótesis nula de defecto. ¾Es la proporción muestral observada signicativamente
distinta a la formulada en la hipótesis nula?.
c ) En segundo lugar usa un test unilateral, donde la hipótesis alternativa sea
H1 : p < 0.5. ¾Es la proporción muestral observada signicativamente menor
que 0.5?.
4. Transforma igualmente la variable Smokes para convertirla en factor cualitativo.
Lleva a cabo un test unilateral para contrastar si la proporción de deportistas
fumadores es signicativamente inferior a 0.4.
5. Resuelve los apartados anteriores mediante la regla de decisión a partir de una
región de rechazo. Conrma que la conclusión a la que se llega es la misma que
con los criterios basados en el P-valor y con los intervalos de conanza.
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