CAPITULO 1. Introducción a la Mecánica Cuántica

CAPITULO 1. Introducción a la Mecánica Cuántica
1) Naturaleza de la luz. Dualidad onda-corpúsculo
Naturaleza ondulatoria:
• Existencia de difracción e interferencias.
• La luz puede ser polarizada.
• La luz no tiene masa en reposo.
• Maxwell: la luz es radiación electromagnética
longitud de onda muy corta.
de
Naturaleza corpuscular:
• Radiación del cuerpo negro. Hipótesis de M. Planck
(intercambio de energía entre materia y radiación sólo
puede tener lugar por cuantos de energía)
• Efecto fotoeléctrico. (E = h.ν
ν)
[1.1]
• Efecto Compton
• Espectros atómicos y moleculares.
Radiación del cuerpo negro
Representación
de un cuerpo negro
Experimento de la radiación
del cuerpo negro
Relación de Rayleigh-Jeans
dρ(λ, T) =
8πk BT
dλ
λ4
Cap. 1. Introducción a la Mecánica Cuántica
Relación de Planck
dρ(λ, T ) =
1
8πhc
dλ
5
hc / λk BT
λ e
−1
2) Hipótesis de Louis de Broglie y naturaleza ondulatoria de
las partículas
Cualquier partícula de masa m y velocidad v tiene, asociada
con ella, una onda de longitud de onda:
λ =
h
h
=
p
mv
[1.2]
h = constante de Planck = 6.6256. 10 -34 J s
m v = p = cantidad de movimiento o impulso lineal.
En 1927 Davisson y Germer observaron difracción de electrones
por un cristal de Ni.
En 1932 Stern observó los mismos efectos con átomos de helio y
moléculas de hidrógeno.
Ejemplo 1.1. ¿Qué diferencia de potencial sería necesaria para acelerar un electrón de
tal forma que presente una longitud de onda de 0.05 Å (longitud de onda normalmente
usada en la difracción de electrones).
Solución:
V = diferencia de potencia
e = Carga del electrón = 1.6020 10-19 C
La energía adquirida por el electrón sometido a esa diferencia de potencial se
transforma en energía cinética (1/2)m v2 = p2/2m .
m = masa del electrón = 9.1091 10-31 kg.
T= V.e = (1/2)m v2 = p2 2m
(6.6256 10 −34 J .s ) 2
h2
V=
=
= 60.159 V.
2 m e λ2 29.1091 10 − 31 kg 1.6020 10 −19 C (0.05 10 −10 m ) 2
Ejemplo 1.2. Un electrón se mueve con una velocidad de 3 109 cm/s.
a) ¿Qué longitud de onda tiene su onda asociada?
b) Si toda la energía cinética que posee se convierte en un fotón de luz, ¿cuál es la
longitud de onda de ese fotón?
Solución:
6.6256 10 −27 erg.s
a) [1.2] → λ =
= 2.4245 10-9 cm = 0.242 Å
− 28
9
9.1091 10 g 3 10 cm / s
b) T(e-) = (1/2) m v2 = (1/2) 9.1091 10-28 g (3 109 cm/s)2 = 4.0991 10-9 erg.
ν = c/λ
λ;
(c = 2.9979 108 m s-1).
λ = h.c/ T = 4.8457 10-8 cm = 4.86 Å
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3) Principio de incertidumbre de Heisenberg
La dualidad onda-corpúsculo de la materia y la radiación
impone ciertas limitaciones en la información que se puede
obtener acerca de un sistema microscópico.
x
θ
y
P
A
W
D
C
θ
E
px = p senθ
p
Q
Rendija
Pantalla
Partícula de momento p que se mueve en la dirección y,
atraviesa una rendija de anchura w e incide en una placa
fotográfica.
Incertidumbre en la posición de la partícula, δx ≈ w
La curva de intensidades indica que la partícula es difractada
fundamentalmente entre un ángulo - θ (px = -p senθ
θ) y θ (px = p
senθ
θ) => δpx ≈ 2.p senθ
θ
Primer mínimo en la difracción: la diferencia entre las
distancias recorridas por las partículas que atraviesan la
rendija en A y en D es λ/2.
sen θ = λ /w →
δx.δ
δpx ≈ 2.p λ ≈ 2 h.
(Como consecuencia de los postulados de la mecánica cuántica,
se verá mas tarde que δx.δ
δpx ≥ h/4π
π.)
En general el producto de las incertidumbres de dos variables
conjugadas es ≥ h/4π
π.
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4) Revisión de algunos conceptos matemáticos
4.1) Operadores:
Operación
matemática que transforma
∂
Tienen un símbolo;
, a ; ∫ ...
∂x
una
función
en
otra.
 f(x) = g(x)
- Suma/resta de operadores: (Â ± Ê) f(x) = Â f(x) ± Ê f(x)
- Producto de operadores: (Â . Ê) f(x) = Â ( Ê f(x))
•
•
Propiedad asociativa (si):
Propiedad conmutativa (no neces.)
- Conmutador:
operador:
el
conmutador
de
dos
Â(Ê.Î)= (Â.Ê)Î
(Â.Ê)=
=(Ê.Â)
operadores
es
[Â,Ê] = (Â.Ê)-(Ê.Â)
otro
[1.3]
[Â,Ê] = 0, los operadores  y Ê conmutan.
Ejemplo 1.3. Compruebe si conmutan los operadores x̂ y
∂
].
∂x
Solución:
∂
. Calcule el conmutador
∂x
[ x̂ ,
∂f ( x)
∂
) f(x) = x
∂x
∂x
∂
∂
∂f ( x )
(
x) f(x) =
(x f(x)) = f(x) + x
∂x
∂x
∂x
∂
[1.4]-[1.5] = (-1) f(x) ≠ 0 → [x,
] = -1 (no conmutan)
∂x
( x̂
- Potencias:
[1.4]
[1.5]
(Â)n = Â.Â.Â... (n veces).
- Valores propios: Â f(x) = a f(x)
f(x) → función propia de Â
a
→ valor propio de  (cte)
Ejemplo 1.4. Compruebe si la función eax es función propia del operador
Solución:
[1.6]
∂
.
∂x
∂ ax
(e ) = a eax , eax es función propia y a es su valor propio.
∂x
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4
- Operadores lineales.
• Â(f(x)+g(x)) = Â f(x) + Â g(x)
• Â(n f(x)) = n  f(x) (n es un número)
4.2) Números complejos
z = a + i b
(a= parte real, b= parte imaginaria)
b
r = |z|= módulo
r
α
α = argumento
b = r sen α
a = r cos α
b/a = tg α
a
- α
r = (a2+b2)1/2
z = r cos α + i r sen α
- b
eiα = cos α + i sen α
→
z = r ei α
Número complejo conjugado de z
z* = a - i b = r cos α - i r sen α = r e-iα
z*.z = a2 + b2 = r2 = |z|2
Funciones complejas
(número real)
h(x) = f(x) + i g(x)
El producto de una función compleja por su compleja conjugada
es una función real:
h(x)*.h(x) = |h(x)|2
5) Postulados de la Mecánica Cuántica
5.1) Primer postulado
El estado de un sistema viene descrito por la función de onda
Ψ, que es función de las coordenadas de las partículas que
componen el sistema y del tiempo: Ψ(q1,q2,q3 ..., t).
Ψ(x,t), función de estado de una partícula que se mueve sólo
sobre el eje x.
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Interpretación de Born:
Ψ(x,t)
2 dx = probabilidad de encontrar a la partícula a un
tiempo t en la región comprendida entre x y x+dx.
Ψ(x,t)
2 = Ψ*(x,t)Ψ
Ψ(x,t) Función densidad de probabilidad.
b
∫ Ψ ( x, t )
2
dx = Probabilidad de encontrar la partícula entre a y b
a
Condición de normalización:
∞
2
∫ Ψ (x, t ) dx =
−∞
∞
∫ Ψ ( x , t ) * Ψ ( x , t ) dx = 1
[1.7]
−∞
La función de onda debe ser aceptable:
• Función continua y de primera derivada continua.
• Función unívoca.
• Función de cuadrado integrable.
Funciones de ondas no aceptables.
5.2) Segundo postulado
A cada observable le corresponde un operador de tal manera
que:
h
x̂ p̂ x - p̂ x x̂ = i h = i
2π
h ∂
i ∂x
Operador posición = x̂ = x
Operador impulso = p̂ x =
Operador energía cinética = T̂x =
T̂ = −
p̂ 2x
h2 ∂2
=−
2m
2 m ∂x 2
h2  ∂2
∂2
∂2 
h2 2
 2 + 2 + 2  = −
∇
2 m  ∂x
2m
∂y
∂z 
Operador Hamiltoniano, Ĥ = −
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[1.8]
h2 2
∇ + V̂( x, y , z )
2m
6
[1.9]
5.3) Tercer postulado (postulado de descomposición espectral)
Cuando un sistema está descrito por una función de onda Ψ, el
valor promedio del observable a es igual al valor esperado del
correspondiente operador Â
∫ Ψ * ÂΨ dτ
∫ Ψ * Ψ dτ
<a> =
[1.10]
Ĥ Ψ3 = E 3 Ψ3
<E>=E= ∫
Ĥ Ψ2 = E 2 Ψ2
Ψ * Ĥ Ψdτ
∫ Ψ * Ψ dτ
Ĥ Ψ1 = E1 Ψ1
Si la función Ψ1 es función propia de Â, la medida del
observable siempre es el valor propio correspondiente. Â Ψ1 =
a1 Ψ 1
Sólo los valores propios del operador asociado a un observable
pueden obtenerse en la medida de ese observable.
5.4) Cuarto postulado
El sistema evoluciona en el tiempo
Schrödinger dependiente del tiempo.
−
donde
Ĥ
h ∂Ψ
= ĤΨ
i ∂t
según
la
ecuación
de
[1.11]
es el operador hamiltoniano.
5.5) Quinto postulado
Principio de exclusión de Pauli (en mecánica cuántica no
relativista):’La función de onda de un sistema de electrones
debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de dos
electrones cualesquiera’.
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6) Consecuencias de los postulados
6.1) Operadores hermíticos
Los operadores de observables físicos
operadores lineales que además cumplen:
∫Ψ
m
* ÂΨn dτ =
{∫ Ψ * ÂΨ dτ}* ; ∫ Ψ
n
m
m
* ÂΨn dτ =
son
∫ ( ÂΨ
m
) * Ψn dτ
hermíticos.Son
[1.12]
•
Los operadores hermíticos tienen valores propios reales.
•
Las funciones propias de los operadores hermíticos son
ortogonales.
∫Ψ
* Ψn dτ = 0 (si m ≠ n)
∫Ψ
* Ψn dτ = δmn (delta de Kronecker)
m
m
m = n
→
δmn = 1 (condición de normalización)
m ≠ n
→
δmn = 0 (condición de ortogonalidad)
•
[1.13]
Las funciones propias de los operadores hermíticos forman
un conjunto completo. Es decir, una función de estado no
propio de ese operador puede expresarse como combinación
lineal
de
sus
funciones
propias.
(principio
de
superposición de estados).
Â Ψ i = ai
Ψi
(i= 1,2, ....∞)
ψ = c1 Ψ 1 + c2 Ψ 2 + c3 Ψ 3 + …
6.2) Funciones degeneradas
Las funciones propias distintas que tienen el mismo valor
propio se llaman degeneradas. La combinación lineal de
funciones propias degeneradas da lugar a otra función de
estado propia y con el mismo valor propio.
 f1 = a f1 ;  f2 = a f2 ...  fn = a fn
g = c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn
 g =  (c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn )
 g = c1 Âf1 + c2 Âf2 + ... + cn Âfn
 g = c1 a f1 + c2 a f2 + ... + cn a fn = a g
 g = a(c1 f1 + c2 f2 + ... + cn fn)= a g
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6.3) Observables
Si dos observables han de tener simultáneamente valores
precisamente definidos, sus correspondientes operadores deben
conmutar.
Dos operadores hermíticos que conmutan tienen un conjunto de
funciones propias comunes.
6.4) Funciones propias
Si f es una función propia de un operador lineal, la función
kf también es función propia del operador con el mismo valor
propio
 f = a f
 (kf) = k  f = k a f = a (kf)
6.5) Principio de incertidumbre.
 y Ê no conmutan. El sistema está en un estado Ψ.
Desviación del observable ∆a = a - <a>
δa =
< ∆a 2 > = < a 2 > − < a > 2
[1.14]
δa es la incertidumbre, indeterminación o desviación estándar
(raíz cuadrada del promedio de las desviaciones al cuadrado).
(δa δb)2 ≥
2
1
ˆ
Ψ
*
[
A
,
B̂
]
Ψ
d
τ
∫
4
[1.15]
Ejemplo 1.5 Demuestre el principio de incertidumbre para las
magnitudes físicas x y px.
1
∫ Ψ * [xˆ , pˆ x ]Ψdτ
2
1
h
h
∂x∂px ≥ ∫ Ψ * ihΨdτ = i =
2
2
2
∂x∂px ≥
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6.6)
Estados
estacionarios.
independiente del tiempo.
Ecuación
de
Schrödiger
Si se tiene un sistema estacionario ( V ≠ f(t) y
depende de la posición)
Ĥ = −
Ĥ
sólo
h2 2
∇ + V̂( x, y , z )
2m
La función de onda total se puede expresar como producto de
funciones de onda.
Ψ (q, t ) = φ(t ) ψ(q )
[1.17]
De acuerdo con el cuarto postulado (ec.[1.11])
−
h ∂Ψ ( q , t )
= Ĥ(q ) Ψ (q, t)
i
∂t
−
h 1 ∂φ(t )
1
=
Ĥψ (q )
i φ(t ) ∂t
ψ (q )
[1.18]
−
h 1 ∂φ(t )
=k
i φ(t ) ∂t
[1.19]
1
Ĥψ (q ) = k
ψ (q )
−
→
h
∂φ(t )
ψ (q )
= φ(t ) Ĥ(q ) ψ (q)
i
∂t
Ĥψ (q ) = k ψ (q)
[1.20]
(k = E)
[1.21]
Para calcular el valor de k:
Ĥ φ(t) ψ (q) = E φ(t) ψ (q)
Ĥ ψ (q) = E ψ (q)
1.21 es la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
−
h 1 ∂φ(t )
=E
i φ(t ) ∂t
dφ(t )
iE
=−
dt
φ(t )
h
φ(t ) = A e -iEt/h
Se llaman sistemas estacionarios ya que la probabilidad de
encontrar al sistema no depende del tiempo.
Función densidad de probabilidad:
2
Ψ (q, t ) = Ψ (q, t ) Ψ * (q, t)
2
Ψ (q, t ) = ψ * (q ) e iEt/h ψ (q) e -iEt/h = ψ * (q) ψ (q) = ψ(q)
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2
6.7) Sistemas independientes
→
E = E1 + E2
Ĥ 1 Ψ1 = E1 Ψ1
Ĥ = Ĥ 1 + Ĥ 2
y
Ĥ 2 Ψ2 = E 2 Ψ2
Si se supone que Ψ = Ψ1 Ψ2
ĤΨ = ĤΨ1 Ψ2 = ( Ĥ 1 + Ĥ 2 )Ψ1 Ψ2 = Ψ2 Ĥ 1 Ψ1 + Ψ1 Ĥ 2 Ψ2
HΨ = Ψ2 E1 Ψ1 + Ψ1E 2 Ψ2 = (E1 + E 2 )Ψ1 Ψ2 = EΨ
Ψ es función propia del hamiltoniano con E (E1+E2) como valor
propio.
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