199 - Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
10.1
Introducción
En el capítulo 9 se desarrolló un modelo circuital de la máquina de inducción. El
circuito equivalente de la máquina, de igual forma que el modelo del transformador es
una herramienta cómoda y eficiente para la evaluación del comportamiento de estos
equipos. Estos modelos en el pasado tenían un inconveniente debido a la necesidad
de utilizar frecuentes operaciones con fasores o números complejos. Los lugares
geométricos permiten reducir el número de engorrosas operaciones con esta
aritmética y visualizar en un sólo gráfico gran cantidad de información sobre el
comportamiento de la máquina de inducción. Con las calculadoras y computadores
modernos, se han eliminado completamente estas dificultades y podría parecer
innecesario el uso del diagrama de círculo, sin embargo la posibilidad de visualizar en
el mismo diagrama las corrientes, deslizamientos, torques y potencias le brinda a esta
herramienta un enorme poder para el aprendizaje de las relaciones causa-efecto en
esta máquina.
En la actualidad no se pretende analizar cuantitativamente la máquina de
inducción mediante la construcción geométrica de sus diagramas de círculo, pero sí
poder interpretar cualitativamente las principales características de la máquina, y como
estas son afectadas por variaciones en los parámetros o en la fuente de alimentación.
En este capítulo se explican métodos para la construcción del diagrama de círculo a
partir de los parámetros del circuito equivalente o de ensayos directos sobre la
máquina. También se incluye el procedimiento para obtener el circuito equivalente a
partir del diagrama de círculo de la máquina de inducción.
10.2
Lugar geométrico de la corriente del rotor
El diagrama de círculo de la máquina de inducción es el lugar geométrico del
fasor corriente del estator, utilizando como parámetro el deslizamiento. En estricta
teoría, el lugar geométrico de las corrientes del estator no es exactamente un círculo,
aun cuando la diferencia con esta figura es muy reducida en la práctica. El lugar
geométrico de la corriente del rotor referida al estator si representa matemáticamente
un círculo cuando se representa en el plano este fasor para todos los posibles
deslizamientos de la máquina de inducción.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 199 -
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De la figura -110- del capítulo 9, se obtuvo en la ecuación 9.52 la expresión del
fasor corriente del rotor referida al estator. Esta ecuación se puede expresar de la
siguiente forma:
V
I*e =
Z
Th
R'r
Th s
+
∠0°
V
=
R +
Th
Th
R'r
s
=
+jX
Th
V
Th
∠ 0°
| Z(s) | ∠ ϕ*e(s)
V
Th
=
[
]
⋅ sen ϕ*e (s) ∠ - ϕ*e (s)
X
Th
10.1
La expresión 10.1 se expresa en coordenadas cartesianas de la siguiente
forma:
I*e = Ier + j I =
ei
V
X
Th
[ sen (ϕ*e ) cos (ϕ*e ) - j sen2 (ϕ*e ) ]
Th
10.2
Multiplicando la corriente I*e por su conjugada se obtiene:
⎪
⎪
⎪
⎪
I *e ⎪⎪
2
2
2
= Ier + I =
ei
2
Th
2
V
sen2 [ϕ*e (s)]
X
Th
10.3
Ademas, de la parte imaginaria de la expresión 10.2 se deduce que:
I =ei
V
Th
X
Th
I ⋅ X
Th
sen2 [ϕ*e (s)] ⇒ sen2 [ϕ*e (s)] = - ei
V
Th
10.4
Sustituyendo este resultado en la ecuación 10.3 y completando los cuadrados
correspondientes, se obtiene:
V
V
2
2
2
2
Ier + I = - Th I ⇒ Ier + I + Th I +
ei
ei
ei X
ei
X
Th
⇒
2
Ier +
Th
[I +
ei
V
Th
2X
2
] = [
Th
V
Th
2X
2
Th
V
2
Th
4X
=
2
Th
V
2
Th
⇒
4X
2
]
Th
10.5
La expresión 10.5 es la ecuación de un círculo centrado en el punto (0,VTh/2XTh) y cuyo radio vale VTh/2XTh.
En el origen de coordenadas de la figura -127-, el deslizamiento de la máquina
de inducción corresponde a la condición de vacío (s=0). Para este deslizamiento el
modelo de carga resistiva que representa la potencia transferida al eje, tiende a infinito
y la corriente que circula por el rotor es cero.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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jIei
o
Ier
(Eje Imaginario)
- Ier
VTh
(Eje Real)
ϕ*e(s)
-j
Iei
I *e
V
Th
2X
Th
V
Th
2X
Th
V
- j Th
XTh
- jIei
Ier
)
* e(s
ϕ
2
Ier +
S
[I +
ei
V
Th
2X
V
2
] =[
Th
2
Th
]
2X
Th
Lugar geométrico de la corriente del rotor referida al estator
Fig. -127-
El punto diametralmente opuesto al de vacío corresponde a la máxima corriente
del rotor referida al estator. La máxima corriente se obtiene cuando la máquina opera
en un deslizamiento para el cual la parte resistiva de la impedancia se anula. En esta
condición la impedancia es igual a la reactancia de Thèvenin:
Z (s
I*emax
)=R + s
Th
R'r
+jX
I*emax
Th
=jX
Th
⇒ s
I*emax
=-
R'r
R
Th
10.6
En el deslizamiento correspondiente al rotor bloqueado (s=1), la reactancia de
Thèvenin es bastante más grande que la suma de la resistencia de Thèvenin y la
resistencia de la carga. En este deslizamiento, la corriente del rotor referida al estator
es, en magnitud muy parecida a la corriente máxima y su ángulo también es cercana,
pero inferior a 90°.
Para los deslizamientos positivos, el fasor corriente en la figura -127- debe estar
en el cuarto cuadrante del diagrama. En este cuadrante las potencias activas y
reactivas consumidas por la máquina son positivas. En el tercer cuadrante, la potencia
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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reactiva es negativa, pero la potencia activa es positiva en este caso. Todos los
puntos de operación del lugar geométrico de la corriente del rotor consumen potencia
reactiva inductiva. Esto se explica por la necesidad de alimentar desde el estator las
fuerzas magnetomotrices de la máquina.
10.3 Potencia aparente, activa y reactiva en el diagrama de círculo
Para determinar la potencia activa o reactiva en el diagrama de círculo es
necesario trazar un segmento paralelo al eje real o imaginario respectivamente. Estos
segmentos nacen en el corte con los ejes coordenados ortogonales y finalizan en el
punto de operación deseado. Estos segmentos son proporcionales a cada una de las
potencias activa o reactiva, y la constante de proporcionalidad que permite el cálculo
cuantitativo es el valor de la tensión de Thèvenin. La potencia aparente, por otra parte,
es proporcional al módulo de la corriente del rotor referido al estator.
Eje Real
VTh
⎪
⎪
⎪
⎪
I *e ⎪⎪ α S
R
ϕ*
I*e
s=1
B
e
⎪
⎪
⎪
⎪
I *e ⎪⎪ α S
⎪
⎪
⎪
R
⎪
I*e ⎪⎪ cos ϕ* α P
e
R
s
A
s=0
⎪
⎪
⎪
I*e
⎪
⎪
⎪
sen ϕ*e α Q
I*emax
C
-j
R
V
Th
X
Th
Segmentos representativos de la potencia activa, reactiva y aparente
Fig. -128Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 202 -
=-
R'r
R
Th
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De acuerdo con los puntos A, B y C definidos en la figura -128- las potencias
aparente, activa y reactiva, para un punto cualquiera del círculo se calculan de la
siguiente forma:
⎪
* ⎪
S = 3 V ⋅ ⎪⎪ I e ⎪⎪ = 3 V . AB α AB
R
Th
Th
10.7
P =
3V
⎪
⎪
⎪
I*e ⎪⎪ cos ϕ* = 3 V . BC α BC
e
Q =
3V
⎪
⎪
⎪
I *e ⎪⎪ sen ϕ* = 3 V
e
R
R
Th
Th
⎪
Th
⎪
Th
10.8
. AC α AC
10.9
Las expresiones 10.7, 10.8 y 10.9 permiten calcular la potencia activa, reactiva
o aparente de cualquier punto de operación de la máquina de inducción, midiendo la
longitud del segmento correspondiente AB , BC ó AC.
10.4 Balance de potencias para un punto de operación en el diagrama
El segmento BC de la figura -128- es proporcional a la potencia que entra a la
máquina para el deslizamiento de rotor bloqueado (s=1). En esta condición de
operación, toda la potencia que atraviesa el entrehierro se disipa en la resistencia del
rotor y en la resistencia de Thèvenin.
En cualquier otro punto de operación, el
segmento BC es proporcional a la suma de las potencias disipadas en la resistencia
de Thèvenin, en la resistencia del rotor y en la resistencia equivalente de la carga. De
este análisis se pueden obtener las siguientes expresiones:
2
= me ⋅ [ I*e ] ⋅ R'r
P
R'r
* ]2 ⋅ R
P
=
m
⋅
[
I
e
e
Th
Th '
2
P = me⋅ [ I*e ] ⋅ R'r 1-s
s
eje
10.10
10.11
10.12
De las expresiones 10.10, 10.11 y 10.12 se pueden deducir las siguientes
relaciones:
P '
R'r
Rr
=
P
R
Th
Th
10.13
P
eje
P
Th
=
R'r
R
Th
1-s
s
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 203 -
10.14
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P
eje
P
R'r
= 1-s
s
10.15
Las expresiones anteriores indican que las potencias se encuentran
relacionadas entre sí en la misma proporción que las resistencias donde se disipan.
Estas pérdidas pueden ser representadas en el diagrama de círculo. Para este fin es
necesario determinar el punto correspondiente al deslizamiento infinito (s=±∞). En
este punto todas la potencia se disipa en la resistencia de Thèvenin. Con el rotor
bloqueado (s=1) la potencia se reparte entre la resistencia del rotor y la resistencia de
Thèvenin en la proporción de estas resistencias, según se demuestra en la ecuación
10.13.
VT h
sx
A
Eje de la pot encia
m ecánic a
E
ϕ* (s )
e x
Peje(sx )
PR'r(s=1)
ϕ* (s=1)
e
F
B
C
Eje del t orque
H
PR'r(sx)
PTh(s=1)
PTh(sx)
O
s=1
D
G
s=±∞
PT h(s=±∞)
I J
-j
Balance de Potencias en el diagrama de círculo
Fig. -131-
De la semejanza de los triángulos ∆OBD y ∆OEG en la figura -131- se
establecen las siguientes proporciones:
BD = OD = OA ⋅ sen ϕ*e (sx)
EG
OG
OE ⋅ sen ϕ*e (s=1)
OA = OJ ⋅ sen ϕ*e (sx)
OE = OJ ⋅ sen ϕ*e (s=1)
10.16
10.17
10.18
Sustituyendo las relaciones 10.17 y 10.18 en la proporción 10.16,
reemplazando cada segmento que representa una corriente en el diagrama por su
correspondiente valor, y multiplicando el numerador y el denominador por la
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 204 -
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resistencia de Thèvenin más la resistencia del rotor referida al estator, se obtiene el
siguiente resultado:
2
2
P
(s )
* (s ) ]2
[ I*e (sx) ] ⋅ [ R + R'r ]
⎡ OA ⎤
[
I
Th+R'r x
BD = ⎢
e
x
Th
⎥ =
=
=
2
2
⎣ OE ⎦
P
(s=1)
EG
*
*
[ Ie (s=1) ]
[ Ie (s=1) ] ⋅ [ R + R'r ]
Th+R'r
Th
10.19
Mediante la expresión anterior se demuestra que la proporción entre los
segmentos BD y EG del diagrama de círculo es igual a la relación entre las potencias
de pérdidas en los conductores de la máquina en las dos condiciones de operación
indicadas. En la condición de rotor bloqueado, toda la potencia se consume en
pérdidas en la resistencia de Thèvenin y en la resistencia del rotor. En cualquier otro
deslizamiento, el segmento BD es proporcional a estas mismas pérdidas. De igual
forma se demuestra que el segmento CD es proporcional a las pérdidas en la
resistencia de Thèvenin.
Como resumen se indica la proporcionalidad de los diferentes segmentos del
diagrama de círculo para un deslizamiento determinado:
AD
CD
BD
BD
AB
AC
es proporcional a la potencia de entrada al circuito equivalente.
es proporcional a las pérdidas en la resistencia de Thèvenin.
es proporcional a las pérdidas en la resistencia del rotor.
es proporcional a las pérdidas totales del circuito equivalente.
es proporcional a la potencia en el eje de la máquina.
es proporcional a la potencia que atraviesa el entrehierro y por lo
tanto al torque eléctrico producido por la máquina.
La recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (s=1) se
denomina eje de la potencia mecánica, debido a que cualquier segmento paralelo al
eje real, con un extremo en un punto de operación localizado sobre el círculo y su otro
extremo sobre este eje, es proporcional a la potencia en el eje de la máquina. De igual
forma, la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto correspondiente a
deslizamiento (s=±∞) se denomina eje del torque eléctrico.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 205 -
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10.5
Recta del deslizamiento
Para determinar el deslizamiento de un punto del diagrama de círculo es posible
utilizar diferentes metodologías. La forma más simple puede ser despejar el
deslizamiento de la expresión 10.15:
sx =
P ' (sx)
Rr
P
eje
(sx) + P ' (sx)
Rr
=
BC
= BC
AB + BC
AC
10.20
Este método tiene dos inconvenientes principales. El primero de ellos consiste
en la dificultad práctica para medir deslizamientos cercanos a cero, en este caso el
segmento BC es muy pequeño, y la precisión de la medida es reducida. En segundo
lugar el procedimiento no es muy gráfico debido a que es necesario realizar
operaciones aritméticas para cada punto de operación, reduciendo las ventajas del
diagrama de círculo. Por estos dos motivos se han desarrollado varios sistemas para
la calibración de los deslizamientos de la máquina en el diagrama de círculo, tal vez
uno de los más utilizados es el que se describe a continuación y se lo denomina en la
literatura la recta del deslizamiento.
El método de la recta de deslizamiento se fundamenta en trazar en el diagrama
de círculo, una recta paralela al eje del torque eléctrico o eje del deslizamiento infinito
(s=±∞). Esta recta se traza a una distancia arbitraria de este eje, pero con la condición
de que el eje de la potencia mecánica (s=1) la corte en un punto dentro del área de
trabajo. Esta construcción se muestra en la figura -130-. En esta figura, la proporción
entre el segmento AB y AJ determina el deslizamiento del punto de operación
considerado. Si al segmento AJ se le asigna un valor unitario, automáticamente el
segmento AB indica el valor del deslizamiento. Para demostrar esta aseveración se
utiliza la semejanza existente entre los triángulos ∆OCE y ∆OAB de la figura -130-.
Como se observa en la figura, los triángulos ∆OCE y ∆OAB son semejantes, y por este
motivo:
CE = OA
EO
AB
10.21
Los triángulos ∆ODE y ∆OAJ también son semejantes, y se puede establecer la
siguiente proporción:
DE = OA
EO
JA
10.22
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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VTh
sx
C
J
Recta del deslizamiento
A
s =0
B
s=1
G
s=1
H
D
s=±∞
E
O
F
I
-j
Recta del deslizamiento
Fig. -130-
Dividiendo la relación de segmentos 10.22 por la 10.21 se obtiene lo siguiente:
P '
Rr
DE = AB =
= sx
P +P '
CE
AJ
eje
Rr
10.23
La recta del deslizamiento se normaliza con respecto al segmento AJ y
posteriormente se calibra este segmento. Si se desea conocer el deslizamiento de un
punto cualquiera del diagrama, es suficiente con trazar una recta que una el origen de
coordenadas con el punto de interés sobre el círculo. La intersección de esta recta
auxiliar sobre la recta del deslizamiento, previamente calibrada, indica directamente el
valor del deslizamiento del punto de operación.
10.6 Torque máximo y potencia mecánica máxima
Los torques y potencias mecánicas, se obtienen a partir del diagrama, trazando
rectas paralelas al eje real que comienzan en el punto de operación y culminan en los
ejes del torque eléctrico (s=±∞) o de la potencia mecánica respectivamente. Para
determinar el punto del diagrama de círculo donde se obtiene el torque o la potencia
mecánica máxima, es necesario encontrar las rectas tangentes al círculo y paralelas a
los ejes de torque y potencia.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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VTh
sPma x
sTma x
s=1
A
s=o
sPmax
s=1
sT max
αTmax
α Peje
max
s=±∞
s=o
-j
Puntos de potencia mecánica máxima y torque eléctrico máximo
Fig. -131-
10.7
Lugar geométrico de la corriente del estator
El diagrama de círculo analizado en las secciones anteriores representa tan solo
el lugar geométrico de las corrientes del rotor referidas al estator. Se ha visto tanto en
el circuito equivalente, como en el diagrama de círculo, que esta corriente suministra
una gran cantidad de información sobre la operación de la máquina. Por otra parte, la
máquina se alimenta por el estator, y esta corriente es la que el usuario puede medir.
Para obtener el lugar geométrico de la corriente del estator es necesario sumar
fasorialmente a la corriente del rotor referida al estator, la corriente de magnetización.
Este lugar geométrico no es en estricta teoría un círculo, debido a que la corriente de
magnetización también depende del deslizamiento. Sin embargo, la corriente de
magnetización es prácticamente constante para un rango muy amplio del
deslizamiento. De esta forma se puede utilizar para la contrución del diagrama de
círculo completo un circuito equivalente en el cual la corriente del rotor se modela
mediante el equivalente de Thèvenin que se ha venido utilizando, pero que en paralelo
con la tensión de Thèvenin se añade la rama de magnetización. En la figura -132- se
muestra este circuito y el diagrma de círculo que se obtiene cuando se suman la
corriente de magnetización y la corriente del rotor.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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RTh
XTh
Imx
I* e
Ie
R' r
Im
VTh
Im r
Rm
VT h
R' r ⎡⎢ 1 - s ⎤⎥
⎣ s ⎦
Carga
Xm
C
sx
J
Recta del deslizamiento
A
s=0
s=1
H
B
s=1
Peje
I* e
D
Ie
Imr
Im
s= 0
Imx
E
PR'r
F
PTh
G
PRm
I
s=± ∞
J
-j
V
Th
X
Th
Diagrama de círculo de la corriente del estator y el circuito equivalente simplificado
Fig. -132-
En la figura -132- el segmento FG representa las pérdidas en el hierro de la
máquina.
Es necesario recordar que los equivalentes de Thèvenin no son
conservativos en potencia porque la potencia no es una característica lineal del
circuito. Por esta razón la resistencia de Thèvenin no incluye la información sobre las
pérdidas en el hierro. El circuito de la figura -132- tiene un comportamiento respecto a
las potencias muy parecido al modelo clásico.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 209 -
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VTh
Ve
I
e
Circuito
Equivalente
Completo
Circuito
Equivalente
Thèvenin
R e = 0.01 pu
Xe = 0.10 pu
R' r = 0.03 pu
X' r = 0.10 pu
Eje -j
Rm = 50.0 pu
Xm = 3.0 pu
1.0 p.u.
Comparación entre el circuito Thèvenin y el modelo circuital completo
Fig. -133-
En la figura -133- se presenta una comparación entre los lugares geométricos
de la corriente del estator utilizando el circuito de Thèvenin y el modelo clásico de la
máquina de inducción. Es necesario recordar que en el modelo clásico la corriente del
estator no es un círculo exacto, pero se aproxima muy estrechamente para casi todos
los deslizamientos. Estos dos diagramas se obtuvieron mediante un algoritmo en el
entorno de programación MATLAB 3.5.
En la figura se observa que para
deslizamientos cercanos al punto nominal, la correspondencia entre los dos circuitos
es prácticamente perfecta. Sin embargo, cuando los delizamientos son grandes los
errores se acrecientan. Esto se debe a que a grandes valores del deslizamiento, la
corriente es varias veces su valor nominal y produce caídas importantes en las
reactancias de dispersión. Por esta razón, la tensión en la rama magnetizante es
menor y la corriente de magnetización también es más pequeña. El circuito
equivalente reducido por Thèvenin considera que la tensión de Thèvenin alimenta a la
rama de magnetización para todos los deslizamientos, y por esta razón este modelo
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 210 -
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determina corrientes ligeramente mayores que el circuito clásico. La diferencia entre
los dos diagramas no excede en la práctica la mitad de la corriente de vacío de la
máquina, debido a que la reactancias de dispersión del estator y rotor son
aproximadamente iguales. Con estas corrientes circulando por las bobinas del estator
y rotor de la máquina, la tensión en la rama de magnetización se deprime
aproximadamente a la mitad, y la corriente de magnetización por esta razón se reduce
en la misma proporción.
10.8
Construcción del diagrama de círculo
La construcción del diagrama de círculo completo de la máquina de inducción
se puede realizar a partir del conocimiento de los parámetros del circuito equivalente, o
mediante ensayos sobre la máquina en diferentes condiciones de operación.
Geométrica y analíticamente, un círculo está definido por la posición de su
centro y la longitud de su radio. También se puede trazar un círculo a partir de tres
puntos localizados sobre el círculo, en este caso es suficiente con trazar las bisectrices
entre dos cualquiera de estos puntos, y la intersección de estas bisectrices es el centro
del círculo. El radio se obtiene midiendo la distancia desde el centro del círculo a uno
cualquiera de los tres puntos iniciales. Otra posibilidad para trazar un círculo, consiste
en conocer dos puntos del cículo y una recta que pase através de un diámetro del
círculo.
Para trazar el diagrama de círculo de la máquina de inducción a partir del
circuito equivalente, se puede utilizar el procedimiento que se describe a continuación:
1.-
Se traza un círculo de diámetro VTh/XTh.
Se escoge una escala de
corriente que permita que el círculo pueda ser dibujado en el papel.
2.-
Se calcula el factor de potencia de la corriente del rotor referida al estator
para la condición de rotor bloqueado cos ϕ*e(s=1). Se traza con este
ángulo el eje de la potencia mecánica. Es conveniente medir este ángulo
mediante relaciones triangulares y no con transportadores que producen
grandes errores de medida.
3.-
Dividiendo el segmento comprendido entre el punto del diagrama s=1,
paralelo al eje real y que finaliza en el eje imaginario, en la proporción
existente entre la resistencia de Thèvenin RTh y la resistencia del rotor
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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referida al estator R’r, se traza el eje del torque eléctrico uniendo este
punto con el origen de coordenadas.
4.-
Se traza la recta del deslizamiento paralela al eje del torque eléctrico, de
tal forma que intersecte al eje de la potencia mecánica dentro de la hoja
de papel. Posteriormente se calibra esta recta dividiendola en tantas
partes iguales como sea necesario.
5.-
Se suma al diagrama anterior el fasor de la corriente de magnetización
Im, consiguiendo de esta forma el lugar geométrico de las corrientes del
estator.
6.-
Una vez realizados todos los pasos anteriores, se pueden calcular el
torque eléctrico, la potencia de entrada, el rendimiento y la corriente para
cada uno de los posibles puntos de operación de la máquina. La escala
de potencia se obtiene multiplicando la escala de corriente por 3 VTh.
La escala de torque se determina dividiendo la escala de potencia, entre
la velocidad sincrónica de la máquina.
El otro método para trazar el diagrama de círculo, consiste en representar en el
papel de dibujo tres puntos conocidos del diagrama. Estos tres puntos pueden ser
cualquiera de los infinitos puntos posibles. Es muy frecuente disponer del punto
correspondiente a la condición vacío (s=0), el punto de operación nominal (s=sn) y el
punto de arranque o de rotor bloqueado (s=1). Los puntos anteriores pueden ser
determinados mediante ensayos similares a los descritos en la sección 9.17 del
capítulo 9.
En la práctica, si uno de los puntos corresponde a la condición de operación en
vacío, con sólo otro punto se puede trazar el círculo. Esto se debe al hecho de que el
diámetro del círculo correspondiente al deslizamiento de la condición de vacío es
paralelo al eje imaginario. Como se conoce este punto, con otro punto cualquiera se
puede determinar el centro del círculo. En la figura -134- se presenta una construcción
geométrica con estas características.
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
- 212 -
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Eje Re al
sx
V
Th
2X
Th
Ie
bisectriz
diámetro
s=o
C
Im
-j
Construcción del diagrama de círculo a partir del punto de vacío y un punto cualquiera
Fig. -134-
10.9
Diagrama de círculo aproximado
Cuando se traspasa la rama de magnetización delante de la resistencia y
reactancia de dispersión del estator se obtiene un circuito equivalente aproximado,
semejante al circuito de Thèvenin. Este circuito se puede determinar de una forma
más simple y los resultados obtenidos con él no difieren significativamente del modelo
clásico de la máquina.
Re
Ie
Im
Ve
Imr
Rm
Xe
X' r
I*e
Imx
R'r
⎡
⎤
R'r ⎢⎣ 1 - s ⎥⎦
s
Carga
Xm
Circuito equivalente aproximado de la máquina de inducción
Fig. -135-
Existen varias hipótesis que alejan los diversos modelos de la máquina de
inducción de la realidad. Algunos de estos factores son: la variación de los parámetros
con la frecuencia, la distorsión del campo por las ranuras, el contenido armónico
Capítulo 10: El Diagrama de Círculo de la Máquina de Inducción
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espacial del campo en el entrehierro, la saturación del circuito magnético y las
asimetrías de la máquina o de la fuente, entre otras. Todos estos factores evitan que
los modelos coincidan con la realidad. Esto por si solo justifica realizar ciertas
aproximaciones en la medida que éstas permitan simplificar el problema.
El circuito aproximado, simplifica el cálculo de la tensión e impedancia de
Thèvenin. En su lugar se utiliza directamente la tensión de alimentación, y la
resistencia y reactancia de dispersión de la máquina. En la figura -135- se ha
representado el circuito equivalente aproximado de la máquina, y en la figura -136- se
presenta una comparación de los resultados obtenidos para una máquina típica con
los tres modelos.
VTh
Ve
Circuito
Equivalente
Aproximado
I
e
Circuito
Equivalente
Completo
Circuito
Equivalente
Thèvenin
R e = 0.01 pu
Xe = 0.10 pu
R' r = 0.03 pu
X' r = 0.10 pu
Eje -j
Rm = 50.0 pu
Xm = 3.0 pu
1.0 p.u.
Comparación entre los tres modelos circuitales de la máquina de inducción
Fig. -138-
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10.10
Modos de operación de la máquina en el diagrama de círculo
En el capítulo 9, sección 9.20 se analizaron los tres modos de operación de la
máquina de inducción: Motor, generador y freno. El diagrama de círculo contiene toda
la información referente a estos tres modos de operación, pero como durante el
desarrollo se hace especial énfasis en los puntos de operación como motor, es
necesaria una discusión sobre el método de análisis para las condiciones de
generador y freno.
La idea fundamental que permite utilizar la información del diagrama de círculo
en todo el rango de deslizamiento, consiste en que además de medir la longitud de los
segmentos, se debe interpretar su signo. Si un segmento representa potencia
eléctrica de entrada y está por debajo del eje imaginario, esta potencia es negativa y la
máquina entrega potencia eléctrica a la red. Si al determinar un deslizamiento su recta
calibrada correspondiente, el punto aparece a la izquierda del origen, es una indicación
de que la máquina opera con deslizamiento negativo.
Recta del deslizamiento
VTh
s =1
s
s< 0
s
Gen.
<0
P
s =1
s =0
Te> 0
P
s =0
R'r
P
P
Fe
Te< 0
eje
s
Eje de potencia
mecánica
Fe
Fre.
Fre.
Gen.
<0
s =±∞
s =-
R'r
R
Th
Eje del torque
eléctrico
-j
Generador
Operación como generador y freno en el diagrama de círculo
Fig. -137-
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<0
FRENO
>1
Pe< 0
s
>1
s> 0
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