Límite de funciones

Límite de funciones. Cálculo
Propiedades.
Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito.
Entonces:
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número
real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable
independiente por el valor real al que la x tiende.
No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la
función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite. Esta
situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito.
Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese
punto, resulte alguna de las formas siguientes:
En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de
los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto.
Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican
sirven de guía en casos parecidos.
La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0.
Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la
función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo: x - valor para el
que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del
denominador, se obtiene otra función, que toma los mismos valores en todos los puntos
que no sean el punto en cuestión.
En este caso concreto, el punto es: x = 1.
La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la
indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que
nos ocupa, sería:
Cuando x crece indefinidamente, esta función es un cociente de dos cantidades que
crecen indefinidamente. Se puede plantear la duda, de que si al crecer x
indefinidamente, también lo hará:
puesto que sería la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, que es una
indeterminación. Sacando factor común se transforma esta expresión en otra
equivalente:
que crece indefinidamente, puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue
creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de
dos cantidades que crecen indefinidamente, también crece indefinidamente. Lo mismo
ocurre con el denominador.
Como, al dividir numerador y denominador por una misma cantidad, distinta de 0, el
valor de la fracción no cambia, sigue que:
Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones. Se divide
numerador y denominador por x, elevado al mayor de los exponentes con los que
aparece en la función:
Hay un caso trivial, que ya hemos visto, sea:
Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente, pero como:
Y a una cantidad que crece indefinidamente, le quitamos una cantidad constante y sigue
creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente,
crece indefinidamente, está claro que:
Veamos ahora otra indeterminación de este tipo, pero algo más complicada:
Como en este caso no se puede sacar factor común, para eliminar la indeterminación,
multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado.
El conjugado de una expresión, que es la diferencia de dos cantidades que crecen
indefinidamente, es otra igual, excepto que en lugar de una diferencia, es una suma de
dos cantidades que crecen indefinidamente. En este caso, será:
Aparece este tipo de indeterminación cuando aparecen dos funciones tales que: