Límites y continuidad 6

Límites y continuidad
Límites
Límites y continuidad
6
6.1 Límites 111
cios 117
6.2 Sucesiones 113
6.3 Continuidad 115
6.4 Ejerci-
Uno de los primeros conceptos que se presentan en un curso de Cálculo es el de continuidad.
Este concepto está íntimamente ligado al concepto de límite. En clase hemos utilizado sucesiones
para definir límite funcional. En este capítulo veremos cómo usar Maxima para resolver algunos
problemas relacionados con todos esto.
6.1 Límites
El cálculo de límites se realiza con la orden limit. Con
ella podemos calcular límites de funciones o de sucesiones
en un número, en +∞ o en −∞. También podemos usar el menú Análisis→Calcular límite. Ahí podemos escoger, además
de a qué función le estamos calculando el límite, a qué tiende
la variable incluyendo los valores “especiales” como π, e o infinito. Además de esto, también podemos marcar si queremos
calcular únicamente el límite por la derecha o por la izquierda
en lugar de la opción por defecto que es por ambos lados.
limit (expr,x,a )
limit (expr,x,a,plus)
limit (expr,x,a,minus)
inf
minf
und
ind
lim x→a expr
lim x→a+ expr
lim x→a− expr
+∞
−∞
indefinido
indefinido pero acotado
El cálculo de límites con Maxima, como puedes ver, es sencillo. Sabe calcular límites de cocientes
de polinomios en infinito
(%i1)
limit(n/(n+1),n,inf);
(%o1)
1
o en −∞,
– 111 –
Límites
Límites y continuidad
(%i2)
limit((x ˆ 2+3∗x+1)/(2∗x+3),x,minf);
(%o2)
-∞
aplicar las reglas de L’Hôpital,
(%i3)
limit(sin(x)/x,x,0);
(%o3)
1
Incluso es capaz de dar alguna información en el caso de que no exista el límite. Por ejemplo,
sabemos que las funciones periódicas, salvo las constantes, no tienen límite en ∞. La respuesta de
Maxima cuando calculamos el límite de la función coseno en ∞ es
(%i4)
limit(cos(x),x,inf);
(%o4)
ind
Indeterminado. Este límite es equivalente a
(%i5)
limit(cos(1/x),x,0);
(%o5)
ind
La función cos
su gráfica.
(%i6)
1
x
oscila cada vez más rápidamente cuando nos acercamos al origen. Observa
plot2d([cos(1/x)], [x,-2,2]);
1
(%o6)
0.8
0.6
0.4
cos(1/x)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
Maxima tiene dos formas de indicar indeterminación. Una es ind, para indicar que está acotado,
und y la otra es und, para indicar indeterminación a secas. Ahora bien, mucho cuidado con pensar que
si la respuesta es und entonces la función es no acotada. Esto puede ser cierto o no
ind
(%i7)
limit(abs(x)/x,x,0);
(%o7)
und
– 112 –
Límites y continuidad
Sucesiones
Observación 6.1. La acotación que incluye ind es una información adicional que da Maxima.
Si no sabe si es cierta la acotación o, directamente, no es cierta, entonces responde und pero esto
no quiere decir que la función a la que le estamos calculando el límite no esté acotada: solamente
quiere decir que no sabe si lo está o no.
En este último límite lo que ocurre es que tenemos que estudiar los límites laterales
(%i8)
limit(abs(x)/x,x,0,plus);
(%o8)
1
(%i9)
limit(abs(x)/x,x,0,minus);
(%o9)
-1
Por tanto, no existe el límite puesto que los límites laterales no coinciden. Si recuerdas la definición
de función derivable, acabamos de comprobar que la función valor absoluto no es derivable en el
origen.
¿Infinito o infinitos?
Maxima diferencia entre “infinitos reales” e “infinitos complejos”. ¿Qué quiere decir esto? Veamos un ejemplo. Si calculamos el límite de la función 1/x en 0 inmediatamente pensamos que el
resultado depende de si calculamos el límite por la izquierda o por la derecha. En efecto,
(%i10)
limit(1/x,x,0,plus);
(%o10)
∞
(%i11)
limit(1/x,x,0,minus);
(%o11)
−∞
Pero, ¿qué ocurre si no estudiamos límites laterales?
(%i12)
limit(1/x,x,0);
(%o12)
infinity
La constante infinity representa “infinito complejo”. Esto quiere decir que en módulo el infinity
límite es infinito.
6.2 Sucesiones
En clase hemos visto cómo calcular límites de sucesiones, pero ¿cómo podemos calcular esos
límites con Maxima? Bueno, en la práctica hemos visto dos tipos de sucesiones dependiendo de
cómo estaba definidas. Por un lado tenemos aquellas definidas mediante una fórmula que nos vale
n
para todos los términos. Por ejemplo, la sucesión que tiene como término general xn = 1 + 1n .
En este caso no hay ningún problema en definir
– 113 –
Sucesiones
(%i13)
(%o13)
Límites y continuidad
f(n):=(1+1/n) ˆ n;
1 n
f(n):= 1+
n
y se puede calcular el límite en +∞ sin ninguna dificultad
(%i14)
limit(f(n), n, inf);
(%o14)
%e
La situación es diferente cuando no tenemos una fórmula para el término general como, por
ejemplo, cuando la sucesión está definida por recurrencia. Veamos un ejemplo. Consideremos la
cn
sucesión que tiene como término general c1 = 1 y cn+1 = 1+c
para cualquier natural n. Podemos
n
definirla utilizando una lista definida, como no, por recurrencia:
(%i15)
c[1]:1;
(%o15)
1
(%i16)
c[n]:=c[n-1]/(1+c[n-1]);
cn-1
cn :=
1+cn-1
(%o16)
Si somos capaces de encontrar una fórmula para el término general, podemos calcular el límite.
Con lo que tenemos hasta ahora no vamos muy lejos:
(%i17)
limit(c[n],n,inf);
Maxima encountered a Lisp error:
Error in PROGN [or a callee]: Bind stack overflow.
Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
Podemos demostrar por inducción que la sucesión es, en este caso, decreciente y acotada infeL
riormente. Una vez hecho, la sucesión es convergente y el límite L debe verificar que L = 1+L
. Esta
ecuación sí nos la resuelve Maxima
(%i18)
solve(L/(1+L)=L,L);
(%o18)
[L=0]
con lo que tendríamos demostrado que el límite es 0.
Observación 6.2. Para esta sucesión en concreto, sí se puede encontrar una fórmula para el término general. De hecho existe un módulo, solve_rec, que resuelve justo este tipo de problemas.
(%i19)
kill(all);
– 114 –
Límites y continuidad
Continuidad
(%o0)
done
(%i1)
load(solve_rec)$
(%i2)
solve_rec(c[n]=c[n-1]/(1+c[n-1]),c[n]);
n+%k1 +1
cn =
-1
n+%k1
(%o2)
que, simplificando, nos queda
(%i3)
(%o3)
ratsimp(%);
1
cn =
n+%k1
1
si a esto le añadimos que c1 = 1 obtenemos que cn = 1+n
.
De todas formas no hay que ilusionarse demasiado. Encontrar una fórmula para el término general
es difícil y lo normal es no poder hacerlo. Es por ello que no vamos a entrar en más detalles
con solve_rec. Lo único que podemos hacer con Maxima es calcular términos. Por√ ejemplo, solve_rec
solve_rec no es capaz de encontrar el término general de la sucesión x1 = 1, xn = 1 + xn−1 ,
∀n ∈ N. En cambio, no tiene ninguna dificultad en calcular tanto términos como se quiera,
(%i4)
x[1]:1;
(%o4)
1
(%i5)
x[n]:=sqrt(1+x[n-1]);
√
xn = 1+xn−1
(%o5)
(%i6)
(%o6)
x[10];
v
v
u
v
u
u
v
u
u
u
u
tsr
tv
tu
tu
tu
q√
2+1+1+1+1+1+1+1+1
(%i7)
%,numer;
(%o7)
1.618016542231488
pero seremos nosotros los que tendremos que demostrar la convergencia estudiando la monotonía
y la acotación de la sucesión.
6.3 Continuidad
El estudio de la continuidad de una función es inmediato una vez que sabemos calcular límites.
Una función f : A ⊂ R → R es continua en a ∈ A si lim x→a f (x) = f (a). Conocido el valor de la
función en el punto, la única dificultad es, por tanto, saber si coincide o no con el valor del límite.
Con respecto a las funciones discontinuas, la gráfica puede darnos una idea del tipo de discontinuidad. Si la discontinuidad es evitable, es difícil apreciar un único pixel en la gráfica. Una
discontinuidad de salto es fácilmente apreciable. Por ejemplo, la función signo, esto es, | xx | , tiene
un salto en el origen que Maxima une con una línea vertical.
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Continuidad
Límites y continuidad
(%i8)
load(draw)$
(%i9)
draw2d(color=blue,
explicit(abs(x)/x,x,-3,3),
yrange=[-2,2],
grid=true);
(%o9)
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Cuando el salto es infinito o, lo que es lo mismo, cuando la función tiene una asíntota vertical,
la primera dificultad que se encuentra Maxima es escoger un rango adecuado para representarla:
(%i10)
plot2d(tan(x),[x,-5,5]);
2500
(%o10)
2000
1500
1000
tan(x)
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-4
-2
0
x
2
4
En estos casos tenemos que ayudar nosotros a Maxima restringiendo el rango donde representamos
la función
(%i11)
plot2d(tan(x),[x,-5,5],[y,-15,15]);
15
(%o11)
10
tan(x)
5
0
-5
-10
-15
-4
-2
0
x
2
4
– 116 –
Límites y continuidad
Ejercicios
6.4 Ejercicios
Ejercicio 6.1. Estudia la continuidad de la función f : R → R definida como f (x) = x ∗ ln | x |
si x 6= 0 y f (0) = 0.
Ejercicio 6.2. Sean a y b dos números reales verificando b < 0 < a; estudia el comportamiento
en cero de la función
!
a
b
, ∀x ∈ R∗ .
f (x) = arctan
− arctan
x
x
Ejercicio 6.3. Estudia la continuidad de la función f (x) = arctan 1+x
1−x con x 6= 1, así como su
comportamiento en 1, +∞ y −∞.
Ejercicio 6.4.
a) Dibuja una función continua cuya imagen no sea un intervalo.
b) Dibuja una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo y que no sea continua.
c) Dibuja una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea un conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.
d) Dibuja una función continua en [0, 1[ tal que f ([0, 1[) no sea acotado.
e) Dibuja una función continua definida en un intervalo abierto acotado y cuya imagen sea un
intervalo cerrado y acotado.
Ejercicio 6.5. Consideremos la función f : [0, 1] → R definida como f (x) =
1
2
(cos(x) + sen(x)).
a) Utiliza que f ([0, 1]) ⊂ [0, 1] para probar que existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x (sin utilizar
Maxima). A dicho punto se le suele llamar un punto fijo de la función f .
b) Se puede demostrar que la sucesión x1 = 1, xn+1 = f (xn ), para cualquier natural n tiende a un
punto fijo. Utiliza un bucle para encontrar un punto fijo con una exactitud menor que 10−5 .
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