MATRICES

MATRICES
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester
El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853
En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices
aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los
lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los
ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de
datos,...

CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general,
suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina
dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las
mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento
genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de
matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

MATRICES IGUALES
Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los
mismo lugares elementos iguales, es decir :

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus
elementos, ... reciben nombres diferentes :
Tipo de
matriz
FILA
Definición
Aquella matriz que tiene una
sola fila, siendo su orden
1×n
COLUMNA
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene una
sola columna, siendo su
orden m×1
Aquella matriz que tiene
distinto número de filas que
de columnas, siendo su
orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz
que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por
las columnas.
Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una
dada es la que resulta de
sustituir cada elemento por
su opuesto. La opuesta de A
es -A.
NULA
Si todos sus elementos
son cero. También se
denomina matriz cero y
se denota por 0m×n
Ejemplo
CUADRADA
Aquella matriz que tiene
igual número de filas
que de columnas, m = n,
diciendose que la matriz
es de orden n.
Diagonal principal : son
los elementos a11 , a22 ,
..., ann
Diagonal secundaria :
son los elementos aij
con i+j = n+1
Traza de una matriz
cuadrada : es la suma de
los elementos de la
diagonal principal tr A.
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada
que es igual a su
traspuesta.
A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada
que es igual a la
opuesta de su
traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii =
0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada
que tiene todos sus
elementos nulos excepto
los de la diagonal
principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada
que tiene todos sus
elementos nulos excepto
los de la diagonal
principal que son
iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada
que tiene todos sus
elementos nulos excepto
los de la diagonal
principal que son
iguales a 1. Tambien se
denomina matriz
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :
unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada
que tiene todos los
elementos por encima
(por debajo) de la
diagonal principal
nulos.
Una matriz ortogonal es
necesariamente
cuadrada e invertible :
A-1 = AT
ORTOGONAL
La inversa de una matriz
ortogonal es una matriz
ortogonal.
El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz
ortogonal.
El determinante de una
matriz ortogonal vale +1 ó 1.
NORMAL
Una matriz es normal si
conmuta con su
traspuesta. Las matrices
simétricas,
antisimétricas u
ortogonales son
necesariamente
normales.
INVERSA
Decimos que una matriz
cuadrada A tiene
inversa, A-1, si se
verifica que :
A·A-1 = A-1·A = I
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra
semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con
matrices.

OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión
(equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)
Es una ley de composición interna con las siguientes
PROPIEDADES :
· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C
· Conmutativa : A+B = B+A
· Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A
· Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo
vamos a representar por Mm×n y como hemos visto, por cumplir las propiedades
anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.
¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son
distintas. !!
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
Es una ley de composición externa con las siguientes
PROPIEDADES :
PRODUCTO DE MATRICES
Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de
columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define
el producto A·B de la siguiente forma :
El elemento aque ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los
productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la
columna j de la matriz B.
MATRIZ INVERSA
Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la representamos por A-1 , a la
matriz que verifica la siguiente propiedad : A-1·A = A·A-1 = I
Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante es distinto de cero, y
es "singular" si su determinante es igual a cero.
PROPIEDADES :



Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.
La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.
Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza
funciones análogas.
MÉTODOS PARA HALLAR LA MATRIZ INVERSA :
o
o
o
Aplicando la definición
Por el método de Gauss
Por determinantes
RANGO DE UNA MATRIZ
Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar
ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al
determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo
alguna fila o columna de la matriz A).
En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición 1º
(o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos
de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
RANGO

Definición 2º
de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son
linealmente independientes.
RANGO
Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una
combinación lineal entre ellas.
P. Ej., si f1 = 2·f3 - 3·f4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente de f3 y f4.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer
una combinación lineal entre ellas.
El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo :
rang(A) o r(A)

OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA
MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE
1. Intercambiar dos líneas entre sí.
2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos.
3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra.
4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s
5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero.
6. Sustituir una línea i de este modo : Li = a·Li + b·Lj
7. Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a·Lj
Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de determinantes,
pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin embargo, todas ellas
pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin que se modifique el valor de
éste.
Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula, cuyo rango es cero.
Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por que ser necesariamente cuadrada.
Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n.
Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir, cuando las filas
(columnas) son linealmente independientes.
Didiremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo rango.

CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
1º Método : basado en el cálculo de menores.





Comenzando por el orden k=2 , se realiza el proceso siguiente (para una etapa k
cualquiera)
Se busca un menor
de orden k, entonces el rango será k
Se añade a dicho menor una fila i , y cada una de las columnas que en él no
figuran, obteniéndose así menores de orden k+1. Si todos estos menores son
nulos, significa que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor
anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.
Seguimos probando con las restantes filas, si todos los menores así formados son
nulos, entonces la matriz tiene sólo k filas linealmente independientes, que son
las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k.
Si alguno de los menores k+1 es distinto de cero, el rango es k+1 y
repetimos el proceso para otro orden k superior.
EJEMPLO :
Si al elegir un menor de orden 2 nos da 0, elegimos otro, y así sucesivamente hasta
elegir todos, si todos son 0, el rango es 1. De la misma forma, cuando elegimos menores
de orden 3.
2º Método : conocido como "método de Gauss"
Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a
describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste
en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i= 1, 2, 3, ..., m-1 ; y el rango
final será el número de filas distintas de cero.


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El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.
En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el
elemento aii , por medio de operaciones elementales (nombradas anteriormente)
se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él.
Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila
por alguna otra fila de debajo, y si no es posible (porque también sea cero) con
alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii sea distinto de cero (es
conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo fuera, utilizando
operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1).
Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la matriz.
EJEMPLO :
EJEMPLO :
ESTUDIO DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES (s.e.l.)
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas
matemáticas que nos van a facilitar los cálculos : las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y
elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos :
¿ Tiene soluciones el sistema ?, es decir, ¿ es compatible ?
Si tiene soluciones ¿ cuántas y cúales son ?
Visto esto, estudiar un sistema es :
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER
Preliminares :
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene
una solución.
La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son
pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una
variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones
son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando
una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :



Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen
verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama
incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible,
proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación
es una identidad.
Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias
ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan
muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y
resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas
en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos
escribir de forma tradicional así :
un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas,
donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema,
los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema,
las incógnitas xj son las variables del sistema,
y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales
que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a
la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :
Dode :



Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los
coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos
independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al
añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos
independientes, y la denotamos por A*, es decir
Clasificación :
Atendiendo a sus soluciones :
Atendiendo a sus términos independientes :
Discusión de un s.e.l. :
Generalmente, para la discusión de un s.e.l., utilizamos el Teorema de RouchéFröbenius.
« Un s.e.l. es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al
rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes. Si estos
rangos son distintos el sistema es incompatible. »
Es decir, la condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n
incógnitas tenga solución es que r(A) = r(A*),



Si el número de incógnitas n es igual al rango h , la solución es única.
Si el número de incógnitas n es mayor que el rango h , el sistema tiene
infinitas soluciones.
Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el número de ecuaciones
linealmente independientes.
Para los sistemas indeterminados la solución puede hallarse despejando k incógnitas
principales en función de (n-h) incógnitas denominadas parámetros y que pueden
tomar cualquier valor ( grados de libertad ).
Al hallar el rango en matrices que provengan de s.e.l. es preciso tener en cuenta que si
se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de hacerse de igual forma el
cambio correspondiente de incógnitas, teniendo especial cuidado con la columna de los
términos independientes que conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar
todas las operaciones por filas.
Caso particular : Sist. Homogéneos
Como un sistema homogeneo es aquel que tiene todos sus términos independientes
nulos, podemos observar que r(A) = r(A*) siempre, luego siempre son compatibles, ya
que tienen al menos la solución (0, 0, 0, ... , 0) que se denomina solución trivial. Puesto
que, en la práctica, esta solución carece de interés, suele decirse que un sistema
homogéneo posee solución sólo si esta es distinta de la trivial.
Si un sistema homogéneo presenta una solución distinta de la trivial : (s1, s2, ... , sn)
entonces se cumple que son también solución todas las proporcionales a ella : ( k·s1,
k·s2, ... , k·sn) , para todo número real k.
Ejemplo:
Métodos de Resolución de s.e.l. :
Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un
sistema se puede resolver cuando es compatible, es decir, lo primero que debemos hacer
es discutir el sistema (teorema de Rouché-Fröbenius) para averiguar su compatibilidad.
Para resolver un s.e.l. hay que hacer transformaciones en las ecuaciones hasta que todas
las incógnitas queden despejadas. Estas transformaciones convierten nuestro sistema
inicial en otro/s sistema/s (con aspecto distinto y más fáciles de resolver) que tienen las
mismas soluciones ( = sistemas equivalentes ).
Generalmente las transformaciones más habituales son :
( criterios de equivalencia )
- Intercambiar dos ecuaciones entre sí.
- Suprimir una ecuación que tenga todos sus elementos nulos.
- Suprimir una ecuación que sea proporcional a otra.
- Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otra/s
- Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero.
- Sustituir una ecuación i de este modo : Ei = Ei + a·Ej
Métodos directos :





Método de Gauss (por reducción)
Método de Cramer (por determinantes)
Por inversión de la matriz
Método de Gauss-Jordan (por eliminación)
Por sustitución
Métodos iterativos :


Método de Jacobi
Método de Gauss-Seidel
Vamos a resolver el mismo sistema por varios de éstos métodos para apreciar
mejor sus diferencias

Método de Gauss (por reducción)
Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema
equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así
sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho
esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la
primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible determinado
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible indeterminado

Método de Cramer (por determinantes)
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el
determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de
Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una
solución única.
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el
determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se
obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los
términos independientes.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible determinado

Por inversión de la matriz
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el
determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas
compatibles determinados (no-homogéneos).
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema compatible determinado

Método de Gauss-Jordan
Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del proceso, ya
que no es preciso despejar las variables pues la solución se obtiene directamente.
Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes.
NOTA : Si eres usuario registrado del programa Derive, puedes probar la función ROW_REDUCE(v),
donde v es la matriz ampliada. Esta función de Derive resuelve un s.e.l. por el método de Gauss-Jordan.
Ejemplo:
Queremos calcular la inversa de
1.
Se escribe la matriz A junto a esta la matriz identidad,
2.
Triangularizamos la matriz A de arriba a abajo y realizamos las mismas operaciones en la matriz
de la derecha.
Como podemos observar el rango de la matriz es máximo (en este caso 3), por tanto la matriz A
es regular (tiene inversa), podemos calcular su inversa.
3.
Triangularizamos la matriz de abajo a arriba, realizando las mismas operaciones en la matriz de
la derecha.
4.
Por último se divide cada fila por el elemento diagonal correspondiente.