Sistemas de ecuaciones lineales

Algebra Lineal
Sistemas de ecuaciones lineales
1.
2.
3.
4.
Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales graduados.
Método de Gauss para graduar un sistema lineal.
Discusión de un sistema dependiente de un parámetro.
Objetivos Mínimos
- Conocer la definición de ecuación lineal.
Conocer la definición de sistema de ecuaciones lineales.
- Definición de sistemas equivalentes y saber que transformaciones nos
permiten pasar de un sistema a otro que sea equivalente.
- Conocer la definición de sistema graduado.
Dado un sistema, saber aplicar el método de Gauss para obtener otro
graduado equivalente.
- Saber discutir un sistema dependiente de un parámetro.
Introducción.Hace más de veinte siglos se publicó en China el libro titulado
Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas
En el capítulo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de
ecuaciones lineales. Así, el sistema:
 x  2 y  3 z  26

lo resuelven tranformándolo previamente en este otro
2 x  3 y  z  34
3 x  2 y  z  39

36z  99


5 y  z  24 del que, fácilmente, se obtiene de modo sucesivo z , y, x .

3 x  2 y  z  39

Por lo tanto, lo que hoy conocemos por método de Gauss, quizá debería
llamarse método de Chui-Chang suan shu, que es como se conoce en chino
el título de este libro de autor desconocido.
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
1.-Concepto de ecuación lineal. Sistemas lineales.
Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o
varias incógnitas.
1
1
5
Son lineales: a)2 x  3 y  4 b) x  3 y  6 z  0 c) x  y  1  0 d ) 2 x  y 
2
3
2
3
 y  1  0 d ) x  sen  y   1
No lo son: a)2 x  3 y  z  2 b)2 x y  5 z  35 c)
2x
Dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes cuando tienen la misma
solución (o las mismas soluciones si tienen más de una).
Si multiplicamos los dos miembros de una misma ecuación lineal por el mismo
número (distinto de cero) la ecuación resultante es equivalente a la dada.
Ejemplo.
Las ecuaciones lineales a)2 x  3 y  4 y b)10x  15y  20 son equivalentes.
Tienen las mismas soluciones (puntos por los que pasa esa recta)
Un sistema de ecuaciones lineales es el formado por varias ecuaciones
lineales con el fin de determinar la solución (o soluciones) común a todas las
ecuaciones que conforman dicho sistema.
Dos sistemas lineales se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Observación.- Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las
ecuaciones que forman parte de los mismos.
2 x  5 y  16
5x  y  13
es equivalente a 
Solución: x, y   3,2

 x  3 y  3
x  y  1
Transformaciones en un sistema para obtener otro equivalente.Las siguientes transformaciones en las ecuaciones de un sistema dan lugar
a otro sistema equivalente al dado.
 Multiplicar cada miembro de una ecuación por una constante no nula.
 Sustituir una ecuación por la suma de ella misma y otra cualquiera
multiplicada por una constante.
En función del número de soluciones de un sistema éstos se clasifican:

 A1 ) DETERMINADO(soluciónúnica)
 A) SISTEMACOMPATIBLE
 A2 ) INDETERMINADO(infinitassolucione)s



B) SISTEMAINCOMPATIBLE (no tie nesolución
)



Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
2.-Sistemas Graduados.Los siguientes sistemas se dicen graduados:
 t  5
x  2 y
x  3 y  2z  7 

 8 
2 x  3 y  14 


  yz
A)
B
)

5
y

z

6
C
)





 z  3t  11 
  5 y  10 



 3z  12


 2t  6
De abajo arriba, vamos obteniendo el valor de cada incógnita que, en un
paso posterior sustituimos en las ecuaciones anteriores y permite seguir el
proceso hasta obtener la solución (o soluciones) del sistema.
Así, los anteriores sistemas son compatibles determinados:
 t  5
x  2 y
x  3 y  2z  7 

 8 
2 x  3 y  14 


  yz
A)
 B)  5 y  z  6  C )

 z  3t  11 
  5 y  10 



 3z  12


 2t  6
t  3
z  2
y  2

sol A) 
solC ) 
x  4
y  6
 x  4
Fíjate ahora en el siguiente sistema graduado,al tener más incógnitas que
ecuaciones pasamos una de las incógnitas al segundo miembro, obtenemos
otro sistema equivalente (graduado). Como las incógnitas están puestas en
función de una de ellas(t en este caso) el sistema no tiene solución única
sino que, en función de los valores que le demos a (t), las demás incógnitas
tomarán también distintos valores. Sistema compatible indeterminado.
 t  5
 5t 
x  2 y
x  2 y
 z  11  3t





 8 equivalentes  y  z  8
  yz
 sol y  3  3t


 x  11  5t
 z  3t  11 
z  11  3t 



z  4

solB )  y  2
x  5

A la incónita (t) se le dice parámetro y se representa con una letra griega
  por ejemplo.
En estas circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones de la forma:
x  11 5; y  3  3; z  11 3; t  
  0  x  11; y  3; z  11; t  0
Así para
  1  x  6; y  0; z  8; t  1
Aunque es menos evidente el siguiente sistema también es graduado:
3 x  5 y  11

  2 y  4 despejamos “y” en la 2ª;”x” en la 1ª; “z” en la 3ª.
 x  y  z  14

Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
3.-Método de Gauss.El procedimiento para transformar un sistema cualquiera en otro
equivalente graduado se denomina Método de Gauss.
Para que el sistema inicial tome la fisonomía del graduado equivalente se van
“haciendo ceros” sometiendo a las ecuaciones a dos transformaciones:
 Multiplicar una ecuación por un número distinto de cero.
 Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.
Este proceso se realiza de modo muy ágil cuando prescindimos de las
incógnitas del sistema, y utilizamos sólamente los coeficientes de las
ecuaciones estructurados en lo que llamaremos matrices numéricas.
Ejemplo.a)Resuelve mediante Gauss el sistema:
2 x  5 y  3 z  4

 x  2 y  z  3 escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”
5 x  y  7 z  11

 2  5 3 4  ((12ªª)) 2 ( 2 ª )  0  1 1 2  ((12ªª))
0 1 1  2

 ( 3)ª 5( 2 ª ) 
 ( 3ª 9 2 (1ª ) 

 1  2 1 3    1  2 1 3    1  2 1 3 
 5 1 7 11
 0 11 2  4 
 0 13 0 0 






El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
  1 y  1z  2 compatible
y  0


determinado
 z  2 .
 x  2 y  z  3   
  13y  0
x  5


b)Resuelve mediante Gauss el sistema:
x  3 y  2z  7

2 x  y  15z  3 escribimos el sistema en forma matricial y “hacemos ceros”
 x  8 y  21z  11

7  ((12ªª))
 1  3  2 7  ((12ªª))  2 (1ª )  1  3  2
1  3  2 7 

 (3)ª  (1ª ) 
 (3ª)( 2 ª) 

19  11  
 0 5 19  11
 2  1 15 3    0 5
 1  8  21 11
 0  5  19 4 
0 0
0  7 





El sistema graduado obtenido es equivalente al inicial y con incógnitas es:
x  3 y  2z  7

 5 y  19z  11 la última ecuación es imposible; sistema incompatible.
0 x  0 y  0 z  7

Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Con los ejemplos anteriores hemos visto que el método de Gauss nos puede
llevar a las siguientes situaciones:
El cuadrado rojo representa un número cualquiera.
El cuadrado negro representa número distinto de cero.
Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas.
Sistema compatible Determinado.
Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas.
Las incógnitas que están de más se pasan al segundo
miembro con lo que el valor de las otras depende de
éstas últimas.
Sistema Compatible indeterminado.
Si aparece una ecuación como la indicada, nunca se
puede cumplir (cuadrado negro,distinto de cero).
Sistema Incompatible
Ejemplo.c)Resuelve mediante Gauss el sistema:
 x  3 y  7 z  10

sistema en forma matricial y “hacemos ceros”.
5 x  y  z  8
 x  4 y  10z  11

10  ((12ªª))5(1ª )  1  3 7
10  ((12ªª))(3ª )
1  3 7

 (3)ª  (1ª ) 

10 
1  3 7

8    0 14  34  42 eliminamos
  (2ª
) 
5 1 1
 0 7  17  21
 1 4  10  11
 0 7  17  21




Sistema
17

Escalonado
y  3  z
más incógnitas
compatible

x

3
y

10

7
z


7
que
ecuaciones
 
indetermin
  ado

 7 y  21  17z
x  1  2 z

7
El sistema es Compatible indeterminado (infinitas soluciones) de la forma:
2
17
Solución: x  1   ; y  3   ; z  
7
7
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
4.-Discusión de un sistema dependiente de un parámetro.En ciertas ocasiones, los coeficientes de las incógnitas no son números sino
letras, que reciben el nombre de parámetros.
En estos casos es preciso determinar para que valores del parámetro (o
parámetros) es, o no, compatible el sistema.
En este curso trataremos sólamente los sistemas con un único parámetro.
Ejemplo.Resuelve por Gauss el sistema:
kx  y  z  8

 x  y  z  0 sistema con un parámetro (k).
2 x  z  k

 k 1  1 8  ((12ªª))( 2 ª )  k  1 0  2 8  ((12ªª)) 2 (3 ª )  k  3 0 0 8  2k 

 ( 3)ª

 3ª)


 1
1 1 0  (
 1
1 1
0 
 1 1 1 0   
2 0 1 k
 2
 2
0 1 k 
0 1
k 






0 0 0 2 


Si k  3 queda:  1 1 1 0  Sistema Incompatible.
 2 0 1  3


8  2k

x  k  3
 8  2k

k  3x
compatible
k 2  k  16


determinado
Si k  3 queda: 
x yz 0
  
 z 
k 3


2x
zk


k2 k 8
y


k 3

en este caso pues, el sistema es Compatible determinado.
Observación.En este último caso hay infinitos sistemas (según los valores de (k ) )que son
compatibles determinados (cada uno tiene una única solución).
Sólamente en el caso de k  3 el sistema resultante es Incompatible
No debes confundir los casos en los que un parámetro es alguno de los
coeficientes de las ecuaciones del sistema, con los sistemas compatibles
indeterminados en los que alguna de las incógnitas funciona como parámetro.
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Matrices y Determinantes
5. Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones.
6. Operaciones con matrices.
7. Matrices Cuadradas.
8. Concepto de Rango de una matriz.
9. Definición de Determinante de una matriz cuadrada.
10. Propiedades de los determinantes.
11. Rango de una matriz y determinantes.
12. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.
Objetivos Mínimos
- Conocer la definición de matriz de orden (mxn).
Matriz traspuesta de otra matriz.
Definición de Matriz simétrica, antisimétrica y matriz triangular.
- Principales operciones con matrices.
Especial incidencia en el producto de matrices y sus propiedades.
- Trabajo más exhaustivo y concreto con matrices cuadradas.
Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss.
- Concepto de rango de una matriz y cálculo del mismo (Gauss).
- Conocer el concepto de Determinante de una matriz cuadrada. Hacer
especial hincapié en las matrices cuadradas de orden “2” y orden “3”.
- Principales propiedades de los determinantes.
- Saber calcular el rango de una matriz usando los determinantes.
- Aprender a calcular la inversa de una matriz mediante los determinantes.
Introducción.En el tema anterior ya hemos tratado las matrices como “cajas numéricas”
en las que se resume de forma estructurada una cierta información.
Durante el siglo (XIX), de los estudios de matemáticos como Cayley en
relación con las transformaciones geométricas, surgen las operaciones con
matrices que les confieren una sólida estructura algebraica.
La teoría de los determinantes la desarrolló por completo Cauchy (s.XIX) en
una memoria que expuso en 1812.
En este tema vamos a ver su aplicación para la resolución de problemas de
tipo geométrico-algebraico.
Los determinantes también tienen aplicación en otros campos, así en el
campo de la Física (propagación de ondas,.........).
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
5.-Concepto de matriz de orden (mxn). Definiciones.En el tema anterior ya hemos trabajado con matrices, que como hemos visto
son cajas numéricas rectangulares formadas por filas y columnas.
En general definimos una matriz de orden (mxn) como una caja de la forma:
Esta matriz tiene “m” filas y “n” columnas.
Su dimensión es mxn (número de elementos).
Si m=1 la matriz se dice “vector fila”.
Si n=1 la matriz se dice “vector columna”.
Si m=n la matriz se dice cuadrada de orden (n).
Las matrices se suelen denominar con una letra mayúscula (A, B,C,....) y
j 1,...,n
abreviadamente se suele escribir A  aij i 1,....,m .
Dos matrices A y B se dicen iguales cuando son de la misma dimensión y
además coinciden término por término.
j 1,..,n
j 1,..,n
A  aij i 1,..,m  B  bij i 1,..,m  aij  bij i , j
Llamamos traspuesta de A  aij i 1,....,m , a la matriz A t  a ji  j 1,..,n que se
j 1,...,n
i 1,..,m
obtiene al cambiar en A las filas por las columnas (y viceversa).
j 1,...,n
j 1,...,n
Llamamos opuesta de A  aij i 1,....,m , a la matriz  A   aij i 1,....,m que se
obtiene al cambiar el signo de todos los elementos de A .
Una matriz A se dice simétrica si A  A t ( en consecuencia para que sea
simétrica necesariamente ha de ser cuadrada).
Una matriz A se dice antisimétrica si  A  A t (en consecuencia para que
sea antisimétrica necesariamente ha de ser cuadrada).
Toda matriz cuadrada A se puede descomponer de modo único como suma
de una matriz simétrica S y otra antisimétrica H .
1

t
S  2 A  A 
Si A  S  H  
(lo demostraremos más adelante!).
 H  1 A  A t 

2
Diagonal principal en una matriz cuadrada son los elementos: aij ; (i  j )
Llamamos matriz triangular aquella que tiene todos los elementos por
debajo (o por encima) de la diagonal principal iguales a cero.
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
6.-Operaciones con matrices.Las matrices se pueden sumar, pueden multiplicarse por un número y
también multiplicarse entre sí. Cada una de estas operaciones tiene sus
particularidades y sus interpretaciones.
Suma de dos matrices.j 1,..,n
Para sumar dos matrices A  aij i 1,..,m
y
B  bij i 1,..,m
j 1,..,n
es necesario que
tengan la misma dimensión. En tal caso, se suman término a término:
j 1,..,n
j 1,..,n
j 1,..,n
A  B  aij i 1,..,m  bij i 1,..,m  aij  bij i 1,..,m
Producto de un número por una matriz.j 1,...,n
Para multiplicar un número k  por una matriz A  aij i 1,....,m , se multiplica ese
número por cada término de la matriz:
j 1,...,n
j 1,..,n
kA  k aij i 1,....,m  ka ij i 1,..,m
Ejemplo.- Sean las matrices
 1  2
 2 0 
3





A 0
5  B   4  1 C   3
1 4 
 3
0
2 




Calcula : D  A  2 B  3C
 1  2
 2 0 
 3  1  1  2    4





 
 
D 0
5   2  4  1  3  3 2    0
5  8
 1 4 
 3
0 1  1 4   6
2 




 
 
  12 1 


   1  3
 5
5 

 1

2
1 
0   9 3 
 

 2    9  6 
4   0  3 
Producto de una matriz fila por una matriz columna.El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma
dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a término
y sumando los resultados.
Ejemplo. 1
 
Sea el vector fila: F   2 5 0 y el vector columna C    2 
 7 
 
Calcula el producto de F.C:
 1
 
F.C   2 5 0   2    2 1  5 2  0.7  2  10  0  8
 7 
 
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Producto de dos matrices.-
Para que dos matrices A  aik i 1,..,m
k 1,..,n
y
B  bkj k 1,..,n se puedan
j 1,..,p
multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera sea igual al
número de filas de la segunda.
En tal caso el producto es otra matriz P  A.B cuyos elementos se obtienen
multiplicando cada vector fila de la primera por cada vector columna de la
segunda del siguiente modo:
P  A.B  aik i 1,..,m bkj k 1,..,n  c ij i 1,..,m
k 1,..,n
cij  ai1
ai 2
j 1,..,p
j 1,..,p
dondecada cij se obtiene
 b1 j 
 
n
 b2 j 
... ain     ai1 .b1 j  .......... ain .bnj   aik bkj 
...
k 1
 
 bn j 
 
El producto de matrices P  A.B puede realizarse siempre que los vectores
fila de A sean de la misma dimensión que los vectores columna de B , y en
ese caso, la matriz producto tiene tantas filas como A y columnas como B .
Observa en este ejemplo como funciona el producto de matrices.
matriz A: Consumo anual de tres familias  ;  ;  de pan,carne y manteca.
matriz B: Precio en € del pan,carne y leche en los años: 2005,06,07,08.
La matriz producto P  A.B nos dá el gasto anual (en cada uno de esos
cuatro años) de cada familia en el total de los tres productos.
Cesáreo Rodríguez
- 10 -
Algebra Lineal
Propiedades de las operaciones con matrices.Las propiedades de las operaciones con matrices les confieren una
estructura muy interesante.
En este curso de 2º de bachillerato no estudiaremos las potencialidades de
la estructura algebraica de las matrices, aunque veremos en la práctica el
modo de aplicar dichas propiedades (para aprender a manejarlas).
Sólamente en este apartado, y por la la importancia de su aplicación en los
ejercicios, señalaremos que el producto de matrices no es conmutativo.
Ejemplo.Comprobemos con algunos ejemplos que el producto no es conmutativo
 Si la matriz A es de orden (3x4) y la matriz B es de orden (4x2)
podemos efectuar A.B pero no podemos efectuar B. A
 Si la matriz A es de orden (3x4) y la matriz B es de orden (4x3)
podemos efectuar A.B y podemos efectuar B. A pero no pueden ser
iguales  A.B  B. A ya que A.B es de orden(3x3) y B. A de orden(4x4).

Por último, aún siendo posible hacer A.B y B. A y que ambos productos
sean del mismo orden, no tienen porque ser iguales  A.B  B. A .
 2 1
1 7 
 5 14 
 30 36
 ; B  
 : A.B  
 y B.A  

Sean: A  
4
5
3
0
19
28
6
3








Ejercicio.-(pendiente de comprobación)
Vamos a demostrar que toda matriz A se puede descomponer en suma de
una matriz simétrica S y una antisimétrica H .
Demostración.Supongamos A suma de: S (simétrica) y H (antisimétrica); A  S  H
Si tasponemos la anterior igualdad tendremos:
At  S  H 
t
traspuesta suma
igual
suma traspuesta s

sumando
St  Ht
S S t
H H t

SH ,
es decir:
a
A  S  H  miembro
1
miembro




 A  At  2S  S  A  At

t
2
A  S  H
res tan do


a
A  S  H  miembro
1
miembro




 A  At  2 H  H  A  At

t
2
A  S  H

At  S  H

Por la forma de obtener S y H la descomposición es única.
Cesáreo Rodríguez
- 11 -
Algebra Lineal
7.-Matrices Cuadradas.Ya hemos dicho que las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo
número de filas que columnas.
Dentro de estas matrices son especialmente relevantes aquellas que tienen
todos los elementos nulos, salvo los de la diagonal principal. Reciben el
nombre de Matrices Diagonales.
De entre las matrices diagonales, destacan las que tiene todos los
elementos no nulos iguales y que llamamos: Matrices Escalares.
De entre las matrices escalares podemos destacar aquellas que tienen todos
los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Se llama Matriz Unidad.
La matriz unidad se representa con la letra I  .Las hay de distinto orden:
1 0 0 0


1 0 0


1 0
 0 1 0 0
 I 3   0 1 0  I 4  
I 2  
0 0 1 0
0 1
0 0 1




0 0 0 1


Ya hemos estudiado cómo se multiplican dos matrices.
En el conjunto de las matrices cuadradas siempre es posible multiplicar dos
matrices (son del mismo orden), aunque el producto no es conmutativo.
Ahora bien, dada una matriz cuadrada A , nos planteamos la siguiente
pregunta: ¿es posible encontrar alguna matriz B que conmute con A ?
En general la respuesta es negativa , pero para algunas matrices cuadradas
sí es posible encontrar esa matriz, a la que se le suele llamar inversa de A ,
y se representa por A 1 .
La matriz A y su inversa A 1 conmutan y su producto es la matriz unidad I 
A. A1  A1 . A  I
Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares y las que no la
tienen se llaman singulares.
Ejemplo.- Comprueba que la matriz A , dada más abajo, es regular y su
inversa es A 1 .
 1  1  1


A   1 0
3 
  2 5  3
1 0 0




1
1
A. A  A . A   0 1 0 
0 0 1
15 8 3 




1
A   9 5 2
 5 3 1


El método de Gauss, que veremos a continuación, nos sirve para obtener la
inversa de una matriz (si la tiene) o para descubrir que no la tiene.
Cesáreo Rodríguez
- 12 -
Algebra Lineal
Inversa de una matriz por el método de Gauss.Dada una matriz cuadrada A de orden (n), queremos averiguar si tiene o no
inversa. En caso de que la tenga ( A regular) calcular dicha inversa A 1 .
La mecánica del método consiste en colocar a la derecha de la matriz A la
matriz unidad I .
Haciendo las transformaciones elementales que utilizamos para resolver un
sistema, transformar A en la matriz unidad I , y aplicando esas mismas
transformaciones a la matriz I , ésta se transforma en A 1 .Abreviadamente
Si las transformaciones aplicadas sobre la matriz A hacen que aparezca
una fila toda de ceros, entonces ésta no tiene inversa.
Ejemplos.1  2 1


Determina, si la tiene, la inversa de la matriz: A   3 0 4 
0 4 1


Finalmente tendríamos que comprobar que la matriz obtenida es la inversa
de la matriz A . Para ello efectuamos: A. A1  A1 . A  I
Gracias a las propiedades de las operaciones con matrices ( si la matriz A
tiene inversa) podremos resolver ecuaciones matriciales como: A. X  B  C
Multiplicamos
por A1 por
la izquierda
A. X  B  C  A. X  C  B 
 A 1 . A. X  A 1 C  B   X  A 1 .C  B 
Cesáreo Rodríguez
- 13 -
Algebra Lineal
Ejercicios.A)Determina una matriz X que verifica la igualdad A. X . A  B  O siendo:
1
 3
5  2
 0 0
 B  
 O  

A  
  2  1
1 3 
 0 0
Sol.Para poder despejar X necesitamos calcular la inversa de A (si la tiene).
Ahora podemos despejar X en la ecuación: A. X . A  B  O
A. X . A  B  O  A. X  B  A1 . A. X . A. A1  A1 .B. A1  X  A1 .B. A1
1  5  2  1
1   1
1  9 11   4 3 
 1


  

  

X  
  2  3 1 3   2  3   2  3  5  8    3 2 
2
B)Despejar X en la siguiente igualdad:  X  A  X 2  XA  I 2
Sol.2
Efectuamos  X  A   X  A X  A  X 2  XA  AX  A2 por tanto:
X 2  XA  AX  A2  X 2  XA  I 2
AX  A2 I 2 A X  A  I 2  A1.A X  A  A1 .I 2  X  A1  A
C) Si A es una matriz de orden (n) tal que A 2  A y B  2 A  I siendo I la
matriz unidad de orden (n).Calcula B 2
Sol.B 2  B.B  2 A  I 2 A  I   4 A2  2 A.I  I .2 A  I 2
Como según el enunciado A 2  A tendremos que:
B 2  4 A2  2 A.I  I .2 A  I 2  4 A  2 A  2 A  I  I
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
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Algebra Lineal
8.-Concepto de rango de una matriz.Antes de definir el concepto de rango de una matriz, necesitamos dar una
serie de definiciones previas.
Una colección de (n) números reales dados en un cierto orden se denomina
n-upla.Así una 2-upla es: 3  5 una 3-upla es: 1 0 2 etc.
Vamos a prestarles mucha atención a estos elementos pues las filas y las
columnas de las matrices son todos n-uplas.
Dadas las 3-uplas (también llamadas ternas) siguientes:
f1  1  2 5 f 2   1 0  3
Podemos calcular, por ejemplo: A) 3 f1  5 f 2 B) 2 f1  3 f 2 etc.
A una expresión, como la A) o la B) anteriores, se le denomina combinación
lineal de las ternas f 1 , f 2 . A los números se les denomina coeficientes.
Como podemos comprobar, sin más que efectuar las operaciones indicadas,
una combinación lineal de varias “ternas” es otra terna (en general: n-upla)
A) 3 f1  5 f 2  31  2 5  5 1 0  3   2  6 0
B) 2 f1  3 f 2  21  2 5  3 1 0  3  5  4 19
Decimos que un conjunto de varias “ternas” (en general n-uplas) son
linealmente dependientes (L D) si alguna de ellas se puede poner como
combinación lineal de las demás.
Así las ternas: f1  1  2 5 f 2   1 0  3 f 3   2 6 0 son (LD)
pues,como hemos visto en A), f 3 es combinación lineal de f1 y f 2 .
La terna 0 0 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de ternas.
Decimos que un conjunto de varias “ternas” (en general n-uplas) son
linealmente independientes (L I) si ninguna de ellas se puede poner como
combinación lineal de las demás.
Las ternas 1 0 0 0 1 0 0 0 1 son (LI) pues ninguna de ellas se
puede poner como combinación lineal de las demás.
En algunos casos, como el que acabamos de ver, es evidente la independencia
o la dependencia lineal. En general el recurso más efectivo para saber si un
conjunto de n-uplas es independiente o no dice:
La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de “m” n-uplas sea
(LI) es que cualquier combinación lineal de las mismas igualada a la n-upla
0 0 ... 0 los coeficientes han de ser cero. Es decir:
a1 f1  a2 f 2  ....... am f m  0 0 ... 0  a1  a2  .......... am  0
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Entre las filas de las matrices (y también entre las columnas) puede haber
relaciones de dependencia lineal. El conocimiento de la relación de
dependencia entre las filas, es de gran importancia para el estudio de los
sistemas de ecuaciones lineales.
En este contesto podemos ahora definir:
Rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes.
También podríamos definir el rango cómo el número de columnas de la
matriz que son (LI). En este caso nos podemos formular la pregunta:
¿Es posible que en una matriz el número de filas (LI) sea distinto del
número de columnas (LI)? La respuesta es negativa.
Teorema.En cualquier matriz, el número de filas (LI) coincide con el número de
columnas (LI). Según ésto, el Rango de una matriz es el número de filas o
de columnas que son (LI).
Demostración.(no la hacemos pues no se pide en las PAAU).
Obtención del rango de una matriz por el método de Gauss.Si sobre una matriz cualquiera efectuamos las mismas transformaciones
elementales del método de Gauss para resolver un sistema, no modifican el
rango de la matriz (pues se conserva la relacion de dependencia o
independencia de la fila transformada respecto de las restantes filas).
Por tanto para determinar el rango podemos proceder “haciendo ceros” para
escalonar la matriz y obviamente el rango coincidirá con el número de filas
distintas de 0 0 ... 0 .
Ejemplo.4
1 
3 7


Calcula el rango de la matriz: A   2 11  6 17 
 5  1 24  37


4
 1  ((12ºª)) 17 (1ª )  3
7
4
 1 ((12ªª))
3 7

 (3ª ) 37 (1ª ) 
 3ª) 2( 2 ª)
130
62
0  (

 2 11  6 17    53
 5  1 24  37
  106  260  124 0 




7
4  1
3


 53 130 62 0 
0
0
0 0 

Evidentemente el rango de A es dos, es decir, rg(A)=2.
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
9.-Definición de Determinante de una matriz cuadrada.Permutaciones.Dados los dos primeros números naturales:{1,2} nos planteamos la siguiente
pregunta: ¿cuántas ordenaciones distintas podemos formar con ellos?
La respuesta es evidentemente “dos” que son: a)12 y b)21.
Si pensamos ahora en los tres primeros números:{1,2,3} y formulamos la
misma pregunta anterior, la respuesta en esta caso es: “seis” que son:
a)123,b)132,c)213,d)231,e)312,f)321.
A cada una de estas ordenaciones se le denomina permutación y se puede
demostrar que para “n” elementos el número de permutaciones es: n!
Así en el caso de dos elementos el número de permutaciones es 2! =2.1 =2
Para tres elementos es 3! =3.2.1 =6, en general es n! = n.(n-1).......3.2.1
La permutación en la que los elementos están dados en el orden natural se le
denomina permutación principal, así en el caso n=3 la principal es: a)123
Si en una permutación dos elementos están en el mismo orden que en la
principal se dicen que forman permanencia y si están en orden contrario se
dice que forman inversión.
Por ejemplo, en la permutación b) 132
el 1 forma permanencia con el 3 y con el 2
el 3 forma inversión con el 2
El número de inversiones de la permutación anterior es “una”.
Una permutación es de índice par si tiene un número par de inversiones.
Si tiene un número impar de inversiones la permutación es de índice impar.
La permutación: b)132 es de índice “impar” pues tiene una inversión.
En la permutación d)231 hay dos inversiones: el 2 con el 1 y el 3 con el 1, por
tanto es una permutación “par”.
Al índice par se le asocia el número (+1), al índice impar el número (-1).
Si cambiamos entre sí dos elementos en una permutación cualquiera, la
nueva permutacion tiene índice opuesto a la dada.
Por ejemplo la permutación d)231 es “par” (+1), si cambiamos el 3 con el 1
tenemos la permutación: 213 que es “impar”(-1).
Por último un resultado muy interesante en relación con las permutaciones
De las n! Permutaciones de n elementos, la mitad de ellas son de índice
par y la otra mitad son de índice impar.
Así para el caso n=3, de las 3!=3.2.1=6 permutaciones distintas tenemos:
Tres de índice par: a)123, d)231, e)312
Tres de índice impar: b)132, c)213, f)321
Cesáreo Rodríguez
- 21 -
Algebra Lineal
Determinante de una matriz cuadrada de orden (2). a11 a12 
 definimos el
Dada una matriz cuadrada de orden (2) A  
 a 21 a 22 
determinante de A (y escribimos: det(A) o A ) como el número que se
obtiene del siguiente modo: A 
a11
a12
a 21
a 22
 a11 .a 22  a12 .a 21 .
Observa que dada la matriz A de orden (2) se pueden formar productos de
“dos” elementos de la matriz, de modo que no haya dos de la misma fila ni
dos de la misma columna (necesariamente en cada producto hay un elemento
de cada fila y uno de cada columna).
Como la matriz es de orden (n=2), de entre los (n2=4) factores posibles
podemos formar productos de “dos” elementos de la forma:{ ai j , ai j }
1 1
Los subíndices que indican las filas forman una permutación: i1
números 1,2; los subíndices que indican las columnas
también una permutación de 1,2.
 j1
2 2
i2  de los
j2  forman
Si ambas permutaciones i1
i2  y  j1 j2  tienen el mismo índice (par o
impar), asignamos al producto: ai j .ai j el signo (+); si por el contrario
1 1
2 2
tienen distinto índice asignamos al producto ai j .ai j el signo (-).
1 1
2 2
Podríamos escribir los factores de cada producto ordenados por filas:
{ a1 j , a2 j } y como la permutación por filas: 1 2 es par, el signo (+) o (-) de
1
2
cada producto a1 j .a2 j sólo dependería del índice de la permutación de las
1
2
columnas:
 j1
j2  .
Como el número de permutacuiones distintas de 1,2 son (2!=2), es evidente
que podemos formar exactamente dos productos (de dos factores cada uno)
con los cuatro elementos de una matriz cuadrada de orden (2).
Todos estos resultados nos permiten concluir que:
El determinante de una matriz de orden dos es el número que se obtiene al
sumar los dos productos posibles, tales que en cada producto hay un factor
de cada fila y uno de cada columna (dos factores por producto), con el signo
(+) o (-) según que tengan el mismo o distinto índice, la permutación de las
filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.
Cesáreo Rodríguez
- 22 -
Algebra Lineal
Determinante de una matriz cuadrada de orden (3). a11

Dada una matriz cuadrada de orden (3) A   a 21
a
 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23  definimos el
a 33 
determinante de A (y escribimos: det(A) o A ) como el número que se
obtiene del siguiente modo:
a11 a12 a13
A  a 21 a 22 a 23  a11 .a 22 .a33  a12 .a 23 .a31  a13 .a 21 .a32 
a31 a32 a33
 a13 .a 22 .a31  a12 .a 21 .a33  a11 .a 23 .a32 .
En este caso (n=3), cada uno de los productos posibles tomando un factor de
cada fila y uno de cada columna hace que dichos productos estén formados
por tres factores.
Como el núemro total de permutaciones posibles de tres elementos: {1,2,3}
es (3!=3.2.1=6), el número total de productos es seis. De esos seis
sabemos que la mitad son de signo (+) y la otra mitad son de signo(-).
El determinante de una matriz de orden tres es el número que se obtiene al
sumar los seis productos posibles, tales que en cada producto hay un factor
de cada fila y uno de cada columna (tres factores por producto), con el
signo (+) o (-) según que tengan el mismo o distinto índice, la permutación de
las filas y la de las columnas de dichos factores respectivamente.
Regla de Sarrus.-
Cesáreo Rodríguez
- 23 -
Algebra Lineal
Ejercicios.1.-Calcula el valor de los determinantes:
7 1
4 11
0 0
a)
b)
c)
2 4
6 0
3 1
Sol.7 1
a)
 7.4  2.(1)  28  2  30
2 4
c)
b)
d)
33 55
7 21
e)
3 5
4 12
4 11
 4.0  6.11  66
6 0
0 0
33 55
7 21
 0.1  0.3  0 d )
 33.5  55.3  0 e)
 7.12  21.4  0
3 1
3 5
4 12
 p q
 y sabemos que A  4 :Calcula:
2.-Si la matriz A  
r
s


7 p 7q
q p
a)
b)
c) 11. A
r
s
s r
Sol.Si calculamos el determinante de A tenemos que: A  ps  qr  4
a)
7 p 7q
q
 7 ps  7qr  7 ps  qr  7.4  28 b)
r
s
s
c) 11. A 
p
 qr  ps   ps  qr  4
r
11p 11q
 11p.11s  11q.11r  112  ps  qr  (121).4  484
11r 11s
3.- Calcula los determinantes (por Sarrus) de orden tres:
3 2 5
7 4 3
a) 1 7 3
b) 0 11 1
4 1 0
0 0 5
Sol.3 2 5
a) 1
7
3  3.7.0  (2).3.4  5.1.1  5.7.4  (2).1.0  3.3.1  19  149  168
4
1
0
7 4 3
b) 0 11 1  7.11.5  (4).1.0  0.0.3  3.11.0  (4).0.5  7.1.0  385
0 0 5
Cesáreo Rodríguez
- 24 -
Algebra Lineal
10 Propiedades de los Determinantes.Un determinante de orden (4) tiene (en su desarrollo) 24 términos, los de
orden (5) tienen 120 términos. El cálculo directo de determinantes de orden
superior a(3) es en la práctica muy engorroso.
Enunciaremos una serie de propiedades que cumplen los determinantes de
cualquier orden(n) (las ejemplificaremos en los de orden(3)).
La importancia de las propiedades radica en que nos van a permitir calcular
los determinantes de una manera más rápida (sin efectuar el desrrollo de
todos los términos) y además nos van a facilitar el cálculo de determinantes
de orden mayor que tres a partir de los de orden tres.
1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:
A  A t en efecto, veámoslo con una matriz de orden (3).
3 2 5
A1
4
7
1
3  3.7.0  (2).3.4  5.1.1  5.7.4  (2).1.0  3.3.1  168
0
3 1 4
At   2 7 1  3.7.0  1.1.5  4.(2).3  4.7.5  1.(2).0  3.1.3  168
5 3 0
Recordemos que la matriz traspuesta ( A t )tiene los mismos elementos
que ( A ), sólo difieren en que el elemento aij de A t es el a ji de A .
Un sumando del desarrollo de A es de la forma: ai j .ai j .ai j ,
1 1
2 2
3 3
permutando, tanto los subíndices de las filas, como los de las
columnas, en el conjunto: {1,2,3}.
Por eso también está en el desarrollo de A el sumando: a j i .a j i .a j i
11
22
33
que es, evidentemente, un sumando del desarrollo de A t .
En conclusión, como A y A t tienen los mismos sumandos y con los
mismos signos,(pues el índice de la permutación que corresponde a
filas y columnas en A es el mismo que corresponde a columnas y filas
en A t ), valen igual: ( A  A t ).
En base a este resultado, podemos afirmar que las propiedades
enunciadas con la palabra “fila”, son igualmente válidas si la
sustituimos por la palabra “columna”.
Por todo ésto nos referiremos a filas y columnas, indistintamente,
con la palabra línea.
Cesáreo Rodríguez
- 25 -
Algebra Lineal
2. Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros su determinante
es cero.
Ésto es evidente ya que en todos los sumandos aparecerá un factor
que es cero, y consecuentemente todos los sumandos son cero.
3. Si se permutan dos líneas paralelas en una matriz cuadrada, el
determinante cambia de signo.
3 2 5
1
7
3  3.7.0  (2).3.4  5.1.1  5.7.4  (2).1.0  3.3.1  168
4
1
0
1 7 3
3  2 5  1.(2).0  7.5.4  3.3.1  3.(2).4  7.3.0  1.5.1  168
4 1 0
Efectivamente, si permutamos las dos primeras filas (ejemplo
anterior) observamos que ambos determinantes tienen los mismos
sumandos pero con el signo cambiado. Se basa en la idea de que si
cambiamos entre sí dos elementos en una permutación cualquiera, la
nueva permutacion tiene índice opuesto a la dada.
4. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, el
determinante vale cero.
Es una consecuencia inmediata de la propiedad (3) ya que si
permutamos entre sí las dos líneas iguales el determinante cambia de
signo, pero la matriz es la misma cuando permutamos las filas iguales,
de ahí que su determinante valga cero, pues el único número que es
igual a su opuesto es precisamente cero.
5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una
línea en una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado
por ese número.
3 2 5
1
7
3  3.7.0  (2).3.4  5.1.1  5.7.4  (2).1.0  3.3.1  168
4
1
0
3 2 5
2 14 6  3.14.0  (2).6.4  5.2.1  5.14.4  (2)2.0  3.6.1  336
4 1 0
Si la segunda fila se multiplica por (2), en cada sumando de este
segundo determinante aparece un factor multiplicado por (2), en
relación al sumando correspondiente del primer determinante.
Cesáreo Rodríguez
- 26 -
Algebra Lineal
6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales el
determinante es cero.
Efectivamente, basta aplicar las propiedades (5) y (4) anteriores.
7. Indicamos esta propiedad de modo esquemático para no complicar
su fácil interpretación en un enunciado engorroso con palabras.
 a13
 a13
a11 a12  a12
a11 a12 a13 a11 a12
 a 23  a 21 a 22 a 23  a 21 a 22
 a 23
a 21 a 22  a 22
 a33
 a33
a31 a32  a32
a31 a32 a33 a31 a32
Evidentemente cada sumando del determinante del primer miembro
se puede descomponer en dos sumandos que se corresponden con
cada uno de los de los determinantes del segundo miembro.
8. Si a una línea de una matriz cuadrada le sumamos una
combinación lineal de las demás su determinante no varía.
Efectivamente si B es la matriz que se obtiene de A de modo que
tienen todas las líneas iguales salvo una, que para B se obtiene como
suma de la correspondiente de A más una combinación lineal de las
restantes líneas de A . Pues bien, podemos calcular el B aplicando
(7) como suma de varios determinantes, uno de ellos es A y los
demás son cero (por (6)) pues todos tienen dos filas proporcionales.
Por tanto: B  A .
9. Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal
de las demás paralelas, entonces el determinante es cero.
Recíprocamente, si un determinante es cero, entonces tiene una
línea que es combinación lineal de las demás.
Esta propiedad es evidente a partir de la anterior (8) pues si en este
caso la matriz B tiene todas las líneas iguales que las de A salvo una
que para B es una combinación lineal de las restantes de A , el valor
del B es cero, ya que razonando como en la propiedad anterior y
teniendo en cuenta que ahora la matriz correspondiente A tendría
una fila toda de ceros( A  0 ) y como B  A entonces: B  0 .
Vamos a probar el recíproco para el caso (n=2).
a11 a12
a
a
 0  a11 .a22  a12 .a21  0  a11 .a22  a12 .a21  11  12
a 21 a 22
a21 a22
Es deir: la fila dos es combinación lineal de la fila uno.
10. El determinante de un producto de dos matrices es igual al
producto de sus determinantes, es decir, A.B  A . B
Requiere para su demostración la regla de Laplace para el desarrollo
de un determinante por los menores de “p” filas. (No la hacemos).
Cesáreo Rodríguez
- 27 -
Algebra Lineal
Ejercicios.1) Justifica, sin desarrollar por Sarrus, estas igualdades:
3 1 7
4
1
7
7 4 1
a ) 0 0 0  0 b) 2
9
1  0 c) 2 9 7  0
1 11 4
 8  2  14
27 94 71
Sol.3 1 7
Efectivamente tiene una fila toda de ceros, por la
propiedad (2) el determinante es cero.
a) 0 0 0  0
1 11 4
4
1
7
b) 2
9
1 0
 8  2  14
7
4
1
c) 2
9
7 0
27 94 71
Tiene dos filas proporcionales que son la fila (1) y la
fila (3): f 3  (2). f1 y aplicando la propiedad (6)
deducimos que ese determinante es cero.
La tercera fila es combinación lineal de las dos primeras:
f 3  f1  10f 2 y si aplicamos la propiedad (9) deducimos
que el determinante es cero.
x y z
2) Sabiendo que el valor del determinante es: 5 0 3  1 Calcula sin
1 1 1
desarrollar los determinantes:
3x 3 y 3z (5) x y z
5x 5 y
a) 5 0 3  3 5 0 3  3.1  3 ; b) 1 0
1 1 1
1 1 1
1 1
x
c) 2 x  5
x 1
y
2y
y 1
z (7) x
2z  3  2x
z 1
y
2y
5z
3
5
1
z
x
2z  5
x 1 y 1 z 1
x y z
1
1
 5. 5 . 5 0 3  5. 5 .1  1
1 1 1
( 5)
y
0
(6)
y
(7)
z
3
x 1 y 1 z 1

(6)
y
(7)
x y z x y z (6)
x y z
0  5 0 3  5 0 3 0  5 0 3  0 1  1
x
y
z
1 1 1
1 1 1
x y z


d ) Si A   5 0 3  calcula: A 1 Sabemos que A. A 1  I y I  1
1 1 1


Según la propiedad (10): A. A  A . A
1
1
 A
1

A. A 1
A

I
1
 1
A 1
Cesáreo Rodríguez
- 28 -
Algebra Lineal
Menor de una Matriz.Dada una matriz cualquiera de orden (mxn), si seleccionamos “r” filas y “r”
columnas de esa matriz, los elementos en los que se cruzan forman una
submatriz cuadrada de orden (r). El determinante de esa submatriz se le
denomina menor de orden r de la matriz inicial.
Ejemplo.- Sea la matriz:
Un menor de orden (3) quedó seleccionado
considerando las filas (1,3,4) y las columnas
(2,3,5). Los números seleccionados son aquellos
en los que se cruzan filas y columnas. Su valor es
7 3 1
6 2 0  14  36  8  18  60
4 6 1
“Menor Complementario” y “Adjunto” de un elemento de una matriz
cuadrada.Si en una matriz cuadrada de orden (n) destacamos un elemento aij  al
suprimir su fila y su columna, obtenemos una submatriz de orden (n-1).
El determinante de esta submatriz de orden (n-1) se le denomina menor
complementario del elemento aij  y se designa por:  ij
Llamamos Adjunto del elemento aij  al número Aij   1  ij , es decir, al
i j
menor complementario con su signo o el signo cambiado, según sea par o
impar el resultado de i  j .
2 1 0


Ejemplo.-Sea la matriz cuadrada:  5 3 1  .
 4 0 2


a) Determina un menor de orden dos. b) El menor complementario de a12
c) El Adjunto de a12
Sol.-
2 0
 40  4
4 2
5 1
b) El menor del elemento a12  1 es: 12 
 10  4  6
4 2
1
1 2
3 5
c) El Adjunto de a12  1 es: A12   1 12   1
  1.6  6
4 2
a) Un menor de orden dos es, por ejemplo:
Cesáreo Rodríguez
- 29 -
Algebra Lineal
Vamos ahora a estudiar una propiedad de los determinantes que nos va a
permitir calcular determinantes de orden mayor que tres.
11. Si los elementos de una línea de una matriz cuadrada se
multiplican por los respectivos adjuntos y a continuación se suman
los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial.
Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los
elementos de esa línea.
Vamos a probarlo para una matriz de orden (3).
 a11 a12 a13 


Sea la matriz A   a 21 a 22 a 23  vamos a demostrar que A se puede
a

 31 a 32 a 33 
obtener por el desarrollo de los elementos de la segunda fila, es decir
A  a21 A21  a22 .A22  a23 .A23
Efectivamente si desarrollamos por Sarrus y operamos como se indica
a12 a13
a11
a 21
a 22
a 23  a11 .a 22 .a33  a12 .a 23 .a31  a13 .a 21 .a32  a13 .a 22 .a31  a12 .a 21 .a33  a11 .a 23 .a32 
a31
a32
a33
 a 21 a13 .a32  a12 .a33   a 22 a11 .a33  a13 .a31   a 23 a12 .a31  a11 .a32  
 a 21 .(1) 21
a12
a32
a13
a
 a 22 (1) 2 2 11
a33
a31
a13
a
 a 23 (1) 23 11
a33
a31
a12

a32
 a 21 . A21  a 22 . A22  a 23 . A23
Veamos como aplicar esta propiedad en un caso concreto, a) primero con un
determinante de orden (3), comprobando por Sarrus que se obtiene el
mismo resultado, y a continuación b) para un determinante de orden(4).
3 2 5
a) 1
4
7
1
3  3.7.0  (2).3.4  5.1.1  5.7.4  (2).1.0  3.3.1  19  149  168
0
desarrollo
3  2 5 elementos
(2ª f )
5
5
2
1 2  2
2 2 3
23 3
a) 1 7 3
 1. 1 1 0  7(1) 4 0  3(1) 4 1 
4 1 0
 1.(1).(5)  7.1.(20)  3.(1)(3  8)  5  140  33  168
3 5 1 8
desrrollo
5 1 8
3 5 8
3 5 1
2 0 7
3 ( 2 º ) fila
b)
 2. 1 6  2  0  7. 4 1  2  3. 4 1 6  450
4 1 6 2 
1 3
9
2 1 9
2 1 3
2 1 3
9
Cesáreo Rodríguez
- 30 -
Algebra Lineal
Por último vamos a ver una propiedad que nos resultará enormemente útil
para la comprobación de la fórmula de la inversa de una matriz mediante los
determinantes.
12. Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos
Adjuntos de otra línea paralela, el resultado suma cero.
Para el caso de una matriz cuadrada de orden (3) tendríamos por
ejemplo que: a21 A31  a22 .A32  a23 .A33  0 .
En efecto, en general sabemos que:
a
a13
a
 . A31   ..A32  ..A33   . 12
  11
a 22 a 23
a 21
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23



a13
a
  11
a 23
a 21
a12

a 22
La igualdad anterior corresponde al desarrollo del último
determinante(de orden 3) por los elementos de la tercera fila.
Si  ,  y  son respectivamente a21 , a22 y a23 el último determinante
tiene dos filas iguales y por tanto vale cero.
3 2 5
Ejemplo.-Sabemos que el siguiente determinante vale: a ) 1
4
7
3  168
1
0
Lo obtuvimos mediante el desrrollo por los elementos de la segunda fila:
desarrollo
3  2 5 elementos
(2ª f )
a) 1
7
3
4
1
0

1. 1
1 2
2 5
1
0
 7(1) 2 2
3 5
4 0
 3(1) 23
3 2
4
1

 1.(1).(5)  7.1.(20)  3.(1)(3  8)  5  140  33  168
Si ahora multiplicamos los elementos de la segunda fila por los Adjuntos
correspondientes de la tercera obtendremos como resultado cero.
1. 1
13
2 5
3 5
3 2
 7(1) 23
 3(1) 33
 1(6  35)  7(9  5)  3(21 2) 
7 3
1 3
1 7
 1.(41)  7(4)  3(23)  41 28  69  69  69  0
Cesáreo Rodríguez
- 31 -
Algebra Lineal
Método de Gauss para calcular un determinante de cualquier orden.Según la propiedad (11) el valor de un determinante de cualquier orden se
puede conseguir a partir del desarrollo por los elementos de una línea.
En ese caso resulta muy ventajoso que la línea correspondiente tenga el
mayor número de ceros posibles, ya que así, no es necesario el cálculo de los
Adjuntos correspondientes a esos elementos nulos.
La idea consiste en “fabricar” el mayor número de ceros en una línea, de
forma similar a la que utiliza el método de Gauss para la resolución de
sistemas lineales. La propiedad (8) garantiza, que aplicando este tipo de
transformaciones elementales para la obtención de ceros, el valor del
determinante no cambia. Veamos en un ejemplo este método de cálculo:
Ejemplo.A) Calcula el valor del determinante de orden (5):
1 3  5 2 0 ceros en 1 3  5  2 0
1 3 5 2
columna ( 5 ª )
4 1 2  1  1 ((35ºª )) 32((22ªª)) 4 1 2  1  1 (desarrollo
5 º ) columna
11 7 4  3

(

1
)

3 5 0 1 2
11
7
4

3
0


1 1 3
1
1 1 3
1
0
1 1 3
1
0
16 3 11  2
4 0 5
1
3
16 3 11  2 0
ceros en
columna ( 4 ª )
(1ª )  ( 4 ª )
( 2 ª )  3( 3 ª )
( 4 ª) 2(3ª)

ceros en
columna (1ª )
( 2 ª ) 14 (1ª )
( 3 ª ) 18 (1ª )

17 6 6
14 10 13
1 1 3
18 5 17
0
conseguir 1
desarrollo
en fila1ª 
17
6
6
 1 1  11
(1ª )  ( 3 ª )
0 ( 4 ª ) columna
 (1) 14 10 13   14 10 13 
1 
18 5 17
18 5 17
0
 1 1  11 (desarrollo
1ª ) columna
24  141
 0 24  141   (1)
  4344 3243  1101
23  181
0 23  181
B) Calcula, en función de a , el valor del determinantede orden (4).
a 1 1 1 Operamos
a3 1 1 1
1 a 1 1
a3 a 1 1
por
Columnas
(1ª ) [( 2 ª )  ( 3 ª )  ( 4 ª )]

1 1 a 1
 a  3
( 3 ª )  (1ª )
propiedad ( 5 )

 (a  3)
a3 1 1 a
1 1 1 a
1
a3 1 a 1
Operamos por
Filas
1 1 1 1 ( 2 ª ) (1ª )
1
0 a 1
1
1
0
0
0
0
a 1
0
0
0
0
a 1
desarrollo
(1ª ) columna

1 a 1 1 ( 4 ª ) (1ª )
1 1 a 1

1 1 1 a
a 1
(a  3). 0
0
0
0
a 1
0
0
a 1
 (a  3)(a  1) 3 .
Cesáreo Rodríguez
- 32 -
Algebra Lineal
11. Rango de una matriz y determinantes.Según hemos visto anteriormente el rango de una matriz es el número de
filas (o columnas) linealmente independientes, y aplicando el método de
Gauss determinamos ese rango.
Ahora vamos a utilizar los determinantes para calcular ese rango.
La propiedad(9) de los determinantes era una condición necesaria y
suficiente para la (dependencia/independencia) de las líneas que dice:
A  0  las líneas de A son dependientes
A  0  las líneas de A son independientes
Esta propiedad nos proporciona una nueva definición de rango de una matriz.
Rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.
Ejemplo.- Fíjate en la matriz A siguiente de orden(4x5):
El menor de orden(3x3) señalado en negrita vale 8.
Por ser distinto de cero, podemos asegurar que las
tres filas de la matriz que determinan la submatriz
de ese menor, son independientes.
En consecuencia tenemos que rg ( A)  3 .
El rango de A podría podría incluso ser cuatro pues en la matriz A hay
cinco menores de orden cuatro(combinaciones de cinco columnas tomadas de
cuatro en cuatro). Podemos comprobar que todos esos menores son nulos. El
rango de A no es cuatro y por tanto el rg ( A)  3 .
Como vemos en este ejemplo, tenemos que calcular cinco menores de orden
cuatro para asegurarnos el rango de la matriz A .Es un trabajo pesado y
poco práctico proceder de este modo.
Vamos a ver un método para determinar el rango de una matriz
(a partir de los menores) pero que resulte operativo.
1. Se suprime cualquier fila o columna formada totalmente por ceros.
2. Se observa si, a simple vista, se aprecian filas o columnas que sean
combinación lineal de sus paralelas y se procede a eliminarlas.
3. Se elige un elemento de la matriz no nulo, con lo que se puede afirmar
que el rango es al menos uno. A continuación “orlamos” ese menor,es
decir, formamos un menor de orden superior en una unidad. Si alguno
de esos menores así formados es no nulo, el rango de la matriz es, al
menos, dos. Repetimos el proceso sucesivamente hasta encontrar un
menor de orden “k” distinto de cero y que al orlarlo con las restantes
filas y columnas de la matriz para formar menores de orden (k+1)
resulten todos ellos cero.
Cesáreo Rodríguez
- 33 -
Algebra Lineal
Ejemplo.-Determina, aplicando el proceso anterior,el rango de:
Seleccionamos el elemento a11  4  0
Rango de la matriz es, al menos, uno.
Orlamos este menor[con las fila( 2ª) y la
columna (2ª)].
El menor de orden dos señalado vale 8, es
distinto de cero y por tanto la matriz tiene, al
menos rango dos. Si orlamos este menor con la
fila (3ª) y la columna (4ª).
El menor de orden tres seleccionado es distinto
de cero, por eso podemos afirmar que el rango
de la matriz es, al menos, tres.
Este último menor lo podemos orlar con la (4ª) fila y la columna (3ª) o
con la (4ª) fila y la columna (5ª) (no hay más posibilidades) obteniendo
dos menores de orden cuatro ( que son cero ambos: f 4  f1  f 2  f 3 )
Como ambos menores son nulos, el rango de la matriz no puede ser
cuatro y necesariamente ha de ser tres.
Ejemplo.-Calciula el rango de esta matriz:
Rango es, al menos, dos.
En consecuencia,
Rango es, al
menos, tres.
Rango de esta matriz es
definitivamente, cuatro.
Cesáreo Rodríguez
- 34 -
Algebra Lineal
12. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga
inversa A 1 es que su determinante no sea nulo. Abreviadamente:
A es regular A1  A  0


Condición neceasria.
Si A es regular es lo mismo que decir que existe A 1 , como: A. A 1  I .
Aplicando la propiedad (10) a esta última igualdad: A . A 1  1  0
Como  es un anillo de integridad tanto: A  0
y
A 1  0
Condición suficiente.
Vamos a ver ahora que si A  0 entonces A es regular A1

 a11

Lo vamos a probar con una matriz A de orden (3) A   a 21
a
 31
1
Formemos la matriz B 
A
 A11

 A12
A
 13
A21
A22
A23

a12
a 22
a 32
a13 

a 23 
a 33 
A31 

A32  , es decir, la matriz traspuesta de
A33 
los Adjuntos de A , multiplicada por el inverso del determinante de A .
Veremos que B  A 1 , para ello hay que probar que: A.B  I y B. A  I
 a11

A.B   a 21
a
 31
a12
a 22
a32
 A11

a13   A
 A
a 23 . 12
 A
a33  
A13

 A
 a11 A11  a12 A12  a13 A13

A

a A a A a A
22 12
23 13
  21 11
A

 a31 A11  a32 A12  a33 A13

A

A21
A
A22
A
A23
A
A31 

A 
A32 

A 
A33 

A 
a11 A21  a12 A22  a13 A23
A
a 21 A21  a 22 A22  a 23 A23
A
a31 A21  a32 A22  a33 A23
A
a11 A31  a12 A32  a13 A33 

A

a 21 A31  a 22 A32  a 23 A33 

A

a31 A31  a32 A32  a33 A33 

A

1 0 0


 0 1 0
0 0 1


Los elementos de la diagonal principal son uno pues el numerador es el
desarrollo de A por los elementos de una fila.
Los demás elementos son cero al aplicar la propiedad (12).
Análogamente se probaría que B. A  I
Cesáreo Rodríguez
- 35 -
Algebra Lineal
Ejemplo.- Calcula la inversa de las matrices:
Ejemplo.- Calcula la inversa de:
Cesáreo Rodríguez
- 36 -
Algebra Lineal
Resolución de sistemas mediante determinantes.13.
14.
15.
16.
17.
Teorema de Rouché.
Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.
Aplicación de la regla de Cramer a cualquier sistema.
Sistemas homogéneos.
Discusión de un sistema mediante determinantes.
Objetivos Mínimos
- Conocer y aplicar el criterio que permite saber cuando un sistema es
compatible (teorema de Rouché).
- Saber distinguir cuando un sistema es de Cramer y saber aplicar la regla
de Cramer para la resolución de estos sistemas.
- Saber aplicar la regla de Cramer a sistemas compatibles de “m”
ecuaciones con “n” incógnitas.
- Conocer la caracterización de un sistema homogéneo.
- Saber distinguir si un sistema dependiente de un parámetro es compatible
mediante los determinantes.
Introducción.En la vida real, los sistemas lineales surgen como resultado de imponer
condiciones a las variables que intervienen en un problema.
Estas condiciones que impone el problema real se transforman en un
conjunto o sistema de ecuaciones.
En esta unidad vamos a resolver los sistemas de ecuaciones lineales
mediante determinantes, usando la llamada regla de Cramer.
En el estudio de ciertas curvas planas, Gabriel Cramer ideó y publicó
( en 1750) una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
El matemático escocés MacLaurin llegó a los mismos resultados en 1729 y la
publicación de éstos no tuvo lugar hasta 1748, dos años antes que lo hiciese
Gabriel Cramer (en 1750).
En el campo científico es, lamentablemente muy frecuente, no darle a un
resultado el nombre de su auténtico descubridor.
Cesáreo Rodríguez
- 37 -
Algebra Lineal
13. Teorema de Rouché.La condición necesaria y suficiente para que tenga solución el sistema :
a11 x1  a12 x 2  ..................................  a1n x n  c1
a x  a x  ..................................  a x  c
 21 1
22 2
2n n
2

.............................................................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ..................................  a mn x n  c m
es que el rango de la matriz de los coeficientes( A ) coincida con el rango de
la matriz ampliada ( A ). Siendo estas matrices:
 a11 a12 ... a1n 
 a11 a12 ... a1n c1 




 a 21 a 22 ... a 2 n 
 a 21 a 22 ... a 2 n c 2 
A
A  
...
... ... ... 
...
... ... ... ... 




a

a

 m1 a m 2 ... a mn 
 m1 a m 2 ... a mn c m 
Abreviadamente:
El sistema anterior tiene solución si y sólo si rg(A)=rg(A’)
Demostracion.El sistema se puede poner como combinación lineal de los vectores columna:
 a11 
 a12 
 a1n 
 c1 






 
 a 21 
 a 22 
 a2n 
 c2 
 ... .x1   ... .x 2  ......................   ... .x n   ... 






 
a 
a 
a 
c 
 m1 
 m2 
 mn 
 m
Condición necesaria.
Si tiene solución es que hay unos valores de { x1 , x2 ,.......,xn } que permiten
escribir la columna de los términos independientes como combinación lineal
de las columnas de la matriz A . En consecuencia: rg ( A)  rg ( A) .
Condición suficiente.
Si rg ( A)  rg ( A) significa que la única columna en que se diferencian las dos
matrices A y A (que es la de los términos independientes) no aporta
rango, es decir, esa columna es combinación lineal de las demás.
Por lo tanto existen unos números { x1 , x2 ,.......,xn } que multiplicados por las
columnas de la matriz A nos dan la columna de los términos independientes.
Esos números son la solución del sistema.
Observación.- Si el sistema es incompatible rg ( A)  rg ( A) y como A tiene
una columna más que A se tiene entonces que rg ( A)  rg ( A)  1 .
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Ejemplo.-Aplica el criterio de Rouché para determinar si son compatibles:
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
14. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer.Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer si y sólo si:
1. tiene (n) ecuaciones y (n) incógnitas.
2. la matriz de los coeficientes  A es regular, es decir, A  0 .
Los sistemas de Cramer son compatibles pues al ser A  0 el rango de la
matriz de los coeficientes es (n) (rango máximo), y obligatoriamente el
rango de la matriz ampliada A es también (n).
Vamos a deducir ahora una regla que nos permite obtener la solución de un
sistema de Cramer, para ello usaremos un sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas, afin de evitar farragosas notaciones.
Dado el sistema de Cramer:
a11 x1  a12 x 2   a13 x3  c1
 a11 a12 a13 



A   a 21 a 22 a 23 
A 0
a 21 x 2  a 22 x 2   a 23 x3  c 2
a x  a x   a x  c
a

 31 a 32 a 33 
32 2
33 3
3
 31 1
 x1 
 c1 
 
 
Si llamamos: x   x 2  , c   c 2  podemos plantear el sistema de Cramer
x 
c 
 3
 3
anterior como un producto matricial de la forma: A.x  c (compruébalo)
Como la matriz A es regular existe A 1 y multiplicando en la última
expresión por A 1 a la izquierda tenemos: A1 A.x  A1 .c  x  A1 .c
Como ya conocemos la expresión de la inversa de una matriz, obtenemos:
 A11 A21 A31 
 A11 c1  A21 c 2  A31 c3 




A
A  c
A
 A

 x 
 1 
1
A



A12 c1  A22 c 2  A32 c3   
A22 A32
1
12
x  A .c  
. c 2   
   x2 
A
A   
A
 A
  
 A13 A23 A33   c3   A13 c1  A23 c 2  A33 c3   x3 




A
A 
A
 A


c1 a12 a13
c 2 a 22 a 23
desarrollo
determinante
A c  A21c 2  A31c3 (1ª )columna c3 a 23 a33
x1  11 1
y análogamente se deduce que:

A
A
x2 
a11
a 21
c1
c2
a13
a 23
a31
A12 c1  A22 c 2  A32 c3

A
c3
a33
A
; x3 
a11
a 21
a12
a 22
c1
c2
a31
A13 c1  A23 .c 2  A33 c3

A
a32
c3
A
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:
Ejemplo.- Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
15. Aplicación de la regla de Cramer a cualquier sistema.La regla de Cramer, en principio, sólo es válida para sistemas cuadrados
(nxn) que cumplen A  0 . Con todo, vamos a ver que se puede aplicar esta
regla a cualquier sistema compatible.
Dado un sistema de (m) ecuacines con (n) incógnitas, compatible.
Supongamos que: rg ( A)  rg ( A)  r; r  m y r  n .
Esto quiere decir que hay un menor de orden (r) distinto de cero.
Para simplificar la exposición, suponemos que ese menor lo determinan las
(r) primeras filas y las (r) primeras columnas de A .
Este sistema es equivalente a este otro de Cramer en el que los términos
independientes están dados en función de las incógnitas: xr 1 ,.......,xn  .
Es decir, un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene
dada con tantos parámetros como incógnitas pasen al segundo miembro.


Si r  m todas las ecuaciones del sistema inicial son útiles, es decir,
no sobra ninguna.
Si r  n  m sobran (m  n) ecuaciones, pero al suprimirlas tenemos un
sistema de Cramer de (n) ecuaciones con (n) incógnitas determinado.
Observación r como mucho puede ser igual al menor de los dos: {m , n}
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
Ejemplo.-Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
16. Sistemas Homogéneos.Vamos a estudiar un sistema de ecuaciones lineales que tienen todos los
términos independientes iguales a cero, se les denomina Homogéneos.
a11 x1  a12 x 2  ..................................  a1n x n  0
a x  a x  ..................................  a x  0
 21 1
22 2
2n n

.............................................................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ..................................  a mn x n  0
Todo sistema homogéneo tiene solución, pues se verifica que para
x1  x2  ...... xn  0 se cumplen las ecuaciones del sistema.
A la solución 0,0,...,0del sistema homogéneo se le denomina solución trivial.
Teorema (caracterización de la solución de los sitemas homogéneos).
Para que un sistema homogéneo tenga otras soluciones distintas de la
trivial es necesario y suficiente que el rango de la matriz de los
coeficientes sea menor que el número de incógnitas.
Demostración.El sistema se puede poner como combinación lineal de los vectores columna:
 a11 
 a12 
 a1n 
0






 
 a 21 
 a 22 
 a2n 
0
.
x

.
x

..........
..........
..

.
x

1
2
n
 ... 
 ... 
 ... 
 ...






 
0
a 
a 
a 
 
 m1 
 m2 
 mn 
Condición necesaria.
Si tiene solución no trivial es que hay unos valores de: { x1 , x2 ,.......,xn }
no todos cero que permiten escribir la columna de los términos
independientes como combinación lineal de las columnas de la matriz A .
En consecuencia las columnas de A son (LD) y por tanto: rg ( A)  n .
Condición suficiente.
Si el rg ( A)  n , este sistema homogéno (compatible) es equivalente a un
sistema de Cramer en el que los términos independientes están dados en
función de las incógnitas sobrantes (las que pasen al segundo miembro) .
Es un sistema compatible indeterminado cuya solución general viene dada
con tantos parámetros como incógnitas pasen al segundo miembro.
Observación.-Conclusión para un sistema homogéneo cuadrado (nxn)
Un sistema homogéneo de orden (nxn) tiene otras soluciones distintas de la
trivial si y sólo si el determinante de la matriz de los coeficientes: A  0
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
Ejemplo.-Resuelve los siguientes sistemas homogéneos.
Cesáreo Rodríguez
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Algebra Lineal
17. Discusión de sistemas mediante determinantes.Ya hemos visto en que consiste discutir un sistema dependiente de un
parámetro, y hemos hecho esa discusión mediante el método de Gauss.
En este curso trataremos sólamente los sistemas con un único parámetro.
Discutir un sistema dependiente de un parámetro consiste en determinar
los valores del parámetro para los que el sistema es o no compatible.
Ahora vamos a discutir un sistema con la ayuda de los determinantes.
Ejemplo.-Discute y resuelve en función del parámetro (a).
a  1x 
y0 
a  1x  a  1y  0
 a 1 1 

A  
 a  1 a  1
1 1
a  0
A  a  1
 a  1a  1  1  a  1a  0  
1 a 1
a  1
 Si a  0 el sistema resulta:
 x  y  0
  y  x sistema compatible indeterminado
 x  y  0
Solución: x   , y   
 Si a  1 el sistema resulta:
y0 
  y  0 sistema compatible indeterminado
2 y  0
Solución: x   , y  0

Si a  0 y a  1 entonces rango(A) = 2 = rango (A’)
El sistema es compatible determinado y por tanto:
Solución: x  0, y  0
Cesáreo Rodríguez
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