ELEMENTOS de MATEMATICA (10014 – 11014) ... 1. Mostrar que si un número es múltiplo... Turno noche ...

PRIMER PARCIAL DE ELEMENTOS de MATEMATICA (10014 – 11014)
Turno noche
25-04-11
TEMA 2
1. Mostrar que si un número es múltiplo de 7 no implica que sea impar.
Basta con un contraejemplo: 14 es múltiplo de 7 pero no es impar.
2. Demostrar por inducción: n  2 , 5 n  4  3 n 2
Demostración:
I)
Para n=3 se verifica la propiedad ya que resulta: 5.3+4<3.32 <=> 19<27.
II)
5k+4<3k2 entonces 5(k+1)+4<3.(k+1)2
Dem de la implicación: 5k+4<3k2 es verdad por hipótesis
5< 6k+3 es verdad (pues es equivalente a decir 2<6k, que se
verifica para todo k>2).
Sumando miembro a miembro estas dos desigualdades del mismo sentido, se
obtiene otra desigualdad del mismo sentido que resulta ser la tesis:
5k+9<3k2+6k+3.
De I) y II) se deduce que la propiedad dada se verifica para todo n>2.
3. a)
Resolver la siguiente inecuación -2 + ln x >0

Rta: x  e 2 , 

b) Indicar si los números -1, e3, e2 son soluciones de la inecuación dada en a)
Es solución de la inecuación el número e3; no son solución: -1, e2.
4. Demostrar que , cualesquiera sean los números x , y :
x 3  2 y

x 2  5  4 y 2  12y  14
Dem: x2 + 5 = (por hipótesis) = (2y-3)2 + 5 = 4 y2 - 12y + 9 + 5 = 4 y2 - 12y +14.
5. Elegir un número irracional y, y un número racional x tal que verifiquen la siguiente
proposición
.
Existen infinitas respuestas posibles, por ejemplo, y = -2,01234567891011…; x = -2,1.
6. Determinar, para qué valores reales de t la expresión
2t  3
toma
6
los mismos valores que la expresión 1 
t7
.
6
Rta: para t = 2/3
7. Enunciar una propiedad de los números enteros que no se verifica en el conjunto de los
números naturales. ( Justificar)
Una propiedad de los números enteros es la existencia de elemento opuesto, de tal
manera que, para todo número entero a existe un entero que simbolizamos –a tal que
a+(-a) = 0. Esta propiedad no se verifica en el conjunto de los números naturales.