ELEMENTOS de MATEMATICA (10014 – 11014) ... 1. Determinar para qué valores reales de t la... Turno noche TEMA 1

PRIMER PARCIAL DE ELEMENTOS de MATEMATICA (10014 – 11014)
Turno noche
25-04-11
TEMA 1
1. Determinar para qué valores reales de t la expresión
los mismos valores que la expresión 1 
2t  4
toma
5
t 8
.
5
Rta: para t = 1/3
2. Mostrar que si un número es múltiplo de 5 no implica que sea impar.
Basta con un contraejemplo: 10 es múltiplo de 5 pero no es impar.
3. a)
Resolver la siguiente inecuación -1 + ln x >0
Rta: x  e,  
b) Indicar si los números -1, e, e2 son soluciones de la inecuación dada en a)
Es solución de la inecuación el número e2; no son solución: -1, e.
4. Demostrar que , cualesquiera sean los números x , y :
x2  5 y

x 2  3  25 y 2  20y  7
Dem: x2 + 3 = (por hipótesis) = (5y-2)2 + 3 = 25 y2 -20y +4 + 3 = 25 y2 -20y +7.
5. Elegir un número irracional x, y un número racional y tal que verifiquen la siguiente
proposición
.
Existen infinitas respuestas posibles, por ejemplo, x= -2,01234567891011…; y=-2
6. Demostrar por inducción: n 1,
3 n 1 2 n 2
Demostración:
I)
Para n=2 se verifica la propiedad ya que resulta: 3.2+1<2.22 <=> 7<8.
II)
3k+1<2k2 entonces 3(k+1)+1<2.(k+1)2
Dem de la implicación: 3k+1<2k2 es verdad por hipótesis
3< 4k+2 es verdad (pues es equivalente a decir 1<4k que se
verifica para todo k>1).
Sumando miembro a miembro estas dos desigualdades del mismo sentido, se
obtiene otra desigualdad del mismo sentido que resulta ser la tesis:
3k+4<2k2+4k+2.
De I) y II) se deduce que la propiedad dada se verifica para todo n>1.
7. Enunciar una propiedad de los números racionales que no se verifica en el conjunto de
los números enteros.( Justificar)
Una propiedad del conjunto de los números racionales es la densidad, pues entre dos
números racionales cualesquiera existen infinitos otros. Esta propiedad no se verifica
en Z, ya que, por ej, entre el 2 y el 4 existe sólo el entero 3.
La existencia de inverso para todo racional distinto de cero es otra distinción esencial
entre Q y Z. (Para todo racional b≠0 existe un racional que simbolizamos b-1 tal que
b.b-1 = 1, mientras que los únicos enteros que admiten inverso son el 1 y el -1).