TEMA 9: Value at Risk (VAR) - RUA

Apuntes de Ingeniería Financiera
TEMA 9: Value at Risk (VAR)
© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE
En este tema vamos a estudiar una forma alternativa de medir el riesgo
de una cartera de inversión: el Valor en Riesgo (VAR). El VAR es la pérdida
máxima que puede tener una inversión en un determinado horizonte temporal y
con un determinado nivel de confianza. Por ejemplo, una “VAR a 1 mes con un
nivel de confianza del 99%” de 1.000 € significa que con una probabilidad del
99% no vamos a perder más de 1.000 € durante los próximos 30 días; o lo que
es lo mismo, la probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los
próximos 30 días es tan sólo del 1%.
Esta forma de medir el riesgo tiene dos atractivos. Primero, es más
intuitiva y por tanto más fácil de interpretar por parte de inversores con
menores conocimientos en valoración de carteras. Es más fácil entender que “la
probabilidad de sufrir pérdidas superiores a 1.000 € durante los próximos 30
días es tan sólo del 1%” que “este bono tiene una duración de 1 año”, “esta
acción tiene una varianza de 0,15” o “esta opción tiene una sensibilidad Delta
del 0,20”. Segundo, permite calcular en nivel de riesgo de una cartera que
combina distintos tipos de productos financieros: renta variable, renta fija y
derivados.
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Carlos Forner
Apuntes de
Ingeniería Financiera
TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR)
© Carlos Forner Rodríguez
Universidad de Alicante
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad
Apuntes de Ingenierí
Ingeniería Financiera
Tema 9: VAR
Carlos Forner
Índice
1. Introducción
2. Cálculo del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas
2.1. VAR de una acción
2.2. VAR de una opción
2.3. VAR de un bono
2.4. VAR de una cartera
2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas-Covarianzas
Apéndice 1: Duración y Convexidad de un bono
Apéndice 2: Cálculo de la matriz de correlaciones con
Excel.
2
2
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Carlos Forner
Apuntes de Ingenierí
Ingeniería Financiera
Tema 9: VAR
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1. Introducció
Introducción
VAR ⇒ Forma alternativa de medir el riesgo:
¿Cuánto puedo llegar a perder?
Definición: pérdida máxima que puede tener una inversión en un
determinado horizonte temporal y con un determinado nivel de
confianza
Ejemplo: VAR(1 día)99%= 100.000€ ⇒
–
La probabilidad (pé
(pérdidas en un dí
día > 100.000) = 1%
–
La probabilidad (pé
(pérdidas en un dí
día < 100.000) = 99%
Nos referimos a pérdidas relativas al resultado esperado:
Siguiendo el ejemplo: Si el beneficio esperado es de 70.000€ ⇒
–
La probabilidad (pé
(pérdidas absolutas en un dí
día > 30.000€
30.000€) = 1%
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Ingeniería Financiera
Tema 9: VAR
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1. Introducció
Introducción
¿Cómo medimos el riesgo de los activos financieros?:
–
Acciones ⇒ volatilidad (σ
(σ)
–
Opciones ⇒ Sensibilidades (Delta y Gamma) ⇒ Carteras
homogé
homogéneas
–
Bonos ⇒ Duració
Duración y Convexidad
El VAR nos permite obtener una medida global del riesgo
de una cartera heterogénea compuesta por distintos tipos
de activos financieros (acciones, opciones con distintos
subyacentes, bonos)
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3
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Tema 9: VAR
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
2.1. Cálculo del VAR de una acción
VAR para un horizonte temporal [T[T-t] con un nivel de confianza “c”:
VAR (T − t )c / Prob( P as[T −t ] < VAR ) = c
Si suponemos que: R[T −t ] = PT − Pt
Pt
N ( E[ R[T −t ] ]; σ R[T −t ] )
Prob ( B º[T −t ] > −VAR ) = c ⇒ Prob ( B º[T −t ] < −VAR ) = 1 − c
Prob ( PT − E[ PT ] < −VAR ) = 1 − c ⇒ Prob ( Pt ⋅ (1 + R[T −t ] ) − Pt ⋅ (1 + E[ R[T −t ] ]) < −VAR ) = 1 − c
⎛
VAR ⎞
Prob ( Pt ⋅ ( R[T −t ] − E[ R[T −t ] ]) < −VAR ) = 1 − c ⇒ Prob ⎜ R[T −t ] − E[ R[T −t ] ] < −
⎟ = 1− c
Pt ⎠
⎝
⎛R
− E[ R[T −t ] ]
VAR ⎞
VAR
<−
= α1−c ⇒ VAR = −α1−c ⋅ Pt ⋅ σ R[T −t ]
Prob ⎜ [T −t ]
⎟⎟ = 1 − c ⇒ −
⎜
⋅
⋅
σ
P
P
σ
t
R [T − t ] ⎠
t σ R[T − t ]
R [T − t ]
⎝
VARacción = α c ⋅ Pt ⋅ σ R[T −t ]
Donde αx es el percentil x de la
distribución normal estándar
(
V A R acción = α c ⋅ Pt ⋅ σ R diaria ⋅ (T − t )
)
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Tema 9: VAR
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
2.2. Cálculo del VAR de una opción
VAR (T − t )c / Prob( P as[T −t ] < VAR ) = c
Prob ( B º[T −t ] > −VAR ) = c ⇒ Prob ( B º[T −t ] < −VAR ) = 1 − c
Prob ( CallT − E[CallT ] < −VAR ) = 1 − c ⇒ Prob ( (CallT − Callt ) − E[CallT − Callt ] < −VAR ) = 1 − c
Sabemos que ( CallT − Callt )
∆ ( PT − Pt ) ⇒
Prob ( ∆ ( PT − Pt ) − E[∆ ( PT − Pt )] < −VAR ) = 1 − c ⇒ Prob ( ∆ ( PT − E[ PT ]) < −VAR ) = 1 − c
VAR ⎞
VAR ⎞
⎛
⎛
Prob ⎜ PT − E[ PT ] < −
⎟ = 1 − c ⇒ Prob ⎜ Pt ⋅ (1 + R[T −t ] ) − Pt ⋅ (1 + E[ R[T −t ] ]) < −
⎟ = 1− c
∆ ⎠
∆ ⎠
⎝
⎝
⎛
VAR ⎞
VAR ⎞
⎛
Prob ⎜ Pt ⋅ ( R[T −t ] − E[ R[T −t ] ]) < −
⎟ = 1− c
⎟ = 1 − c ⇒ Prob ⎜ R[T −t ] − E[ R[T −t ] ] < −
∆ ⎠
∆ ⋅ Pt ⎠
⎝
⎝
− E[ R[T −t ] ]
⎛R
VAR
<−
Prob ⎜ [T −t ]
∆
⋅
σ
Pt ⋅ σ R
R
⎝
⎞
VAR
= α1−c ⇒ VAR = −α1−c ⋅ ∆ ⋅ Pt ⋅ σ R
⎟ = 1− c ⇒ −
∆
⋅
Pt ⋅ σ R
⎠
VARopción ≈ α c ⋅ ∆ opción ⋅ Pt ⋅ σ R
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
2.3. Cálculo del VAR de un bono
VAR (T − t )c / Prob( P as[T −t ] < VAR ) = c
Prob ( B º[T −t ] > −VAR ) = c ⇒ Prob ( B º[T −t ] < −VAR ) = 1 − c
Prob ( BonoT − E[ BonoT ] < −VAR ) = 1 − c ⇒ Prob ( ( BonoT − Bonot ) − E[ BonoT − Bonot ] < −VAR ) = 1 − c
Sabemos que ( BonoT − Bonot )
(
− DM ( iT − it ) Bonot
donde DM es la Duración modificada ⇒
)
Prob ( − DM ( iT − it ) Bonot ) − E[( − DM ( iT − it ) Bonot )] < −VAR = 1 − c
Prob ( − DM ⋅ Bonot ( (iT − it ) − E[iT − it ]) < −VAR ) = 1 − c
⎛
VAR ⎞
Prob ⎜ (iT − it ) − E[iT − it ] <
⎟=c
DM ⋅ Bonot ⎠
⎝
Si suponemos que (iT − it ) N ( E[iT − it ]; σ i ) ⇒
⎛ (i − i ) − E[iT − it ]
VAR
<
Prob ⎜ T t
⋅
σ
D
i
M Bonot ⋅ σ i
⎝
⎞
⎟=c ⇒
⎠
VAR
= α c ⇒ VAR = α c ⋅ DM ⋅ Bonot ⋅ σ i
DM ⋅ Bonot ⋅ σ i
VARbono ≈ α c ⋅ DM ⋅ Bonot ⋅ σ i
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
2.4. Cálculo del VAR de una cartera
Si suponemos que:
R cartera, [T-t]
VARcartera ≈ α c ⋅ Valorcartera ,t ⋅ σ Rcartera
N ( E[ Rcartera ,[T −t ] ]; σ Rcartera ) ⇒
Podemos expresarlo en funció
función del VAR de cada uno de los activos
financieros incluidos dentro de la cartera:
1/ 2
σ Rcartera
⎡ n n
⎤
= ⎢ ∑∑ wi ⋅ w j ⋅ σ Ri ⋅ σ Rj ⋅ ρ Ri , Rj ⎥
⎣ i =1 j =1
⎦
donde wi =
ni ⋅ Pi ,t
Valorcartera ,t
⇒
1/ 2
VARcartera
⎡ n n
⎤
= α c ⎢ ∑∑ wi ⋅ w j ⋅ σ Ri ⋅ σ Rj ⋅ ρ Ri , Rj ⎥ Valorcartera ,t
⎣ i =1 j =1
⎦
VARcartera
⎡ n n
⎤
= ⎢ ∑∑ (α c ⋅ wi ⋅ σ Ri ⋅ Valorcartera ,t )(α c ⋅ w j ⋅ σ Rj ⋅ Valorcartera ,t ) ⋅ ρ Ri , Rj ⎥
⎣ i =1 j =1
⎦
1/ 2
8
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
VARcartera
⎡ n n
⎤
n j ⋅ Pj ,t
ni ⋅ Pi ,t
= ⎢ ∑∑ (α c ⋅
⋅ σ Ri ⋅ Valorcartera ,t )(α c ⋅
⋅ σ Rj ⋅ Valorcartera ,t ) ⋅ ρ Ri , Rj ⎥
Valorcartera ,t
Valorcartera ,t
⎣⎢ i =1 j =1
⎦⎥
VARcartera
⎡ n n
⎤
= ⎢ ∑∑ (α c ⋅ ni ⋅ Pi ,t ⋅ σ Ri )(α c ⋅ n j ⋅ Pj ,t ⋅ σ Rj ) ⋅ ρ Ri , Rj ⎥
⎣ i =1 j =1
⎦
1/ 2
1/ 2
⇒
1/ 2
VARcartera
Matricialmente:
⎡ n n
⎤
= ⎢ ∑∑ (ni ⋅ VARi )(n j ⋅VAR j ) ⋅ ρ Ri , Rj ⎥
⎣ i =1 j =1
⎦
⎡ 1
⎢ρ
2,1
C=⎢
⎢ ...
⎢
⎣ ρ1, N
ρ1,2
1
...
ρ N ,2
... ρ1, N ⎤
⎡ VAR1 ⎤
⎡ n1 0
⎥
⎢
⎥
⎢0 n
... ρ 2, N ⎥
VAR2 ⎥
2
VVAR = ⎢
Q=⎢
⎢ ... ⎥
⎢ ... ...
... ... ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
... 1 ⎦
⎣VARN ⎦
⎣0 0
0⎤
... 0 ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... nN ⎦
...
VARcartera = [VVAR '⋅ Q ⋅ C ⋅ Q ⋅ VVAR ]
1/ 2
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Tema 9: VAR
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2. Cá
Cálculo del VAR: Modelo de
VarianzasVarianzas-Covarianzas
2.5. Inconvenientes del Modelo Varianzas-Covarianzas
• Las rentabilidades de los activos financieros no siempre se
distribuyen como una Normal
• El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos
aproximado con la primera derivada (Delta y Duración)
Existen modelos más complejos para calcular el
VAR que tratan de resolver estos inconvenientes
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Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 1: Duració
Duración y convexidad
de un bono
La renta fija (bono y obligaciones) cotizan en % y en excupón.
Ejemplo:
Fuente: www.bolsamadrid.es
Plazo entre cupones: cupones anuales = 365 dí
días
Tiempo transcurrido desde el pago del último cupó
cupón = 51 dí
días (del
27/03/2006 al 17/05/2006)
Cupó
Cupón corrido en %= (51/365)×
(51/365)×3,9% = 0,54% × 601,01€
601,01€ = 3,28€
3,28€
Precio del bono en %= 100,50%+0,54%=101,04% × 601,01€
601,01€ = 607,30€
607,30€
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Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 1: Duració
Duración y convexidad
de un bono
V0
T
C
t =1
(1 + i )
V0 (i ) = ∑
t
+
N
(1 + i )
T
Duració
Duración:
D = 1*
C (1 + i )
V0 ( i )
P*B
i*
−1
+2*
C (1 + i )
V0 ( i )
−2
+ ... + T *
(C
+ N ) (1 + i )
−T
V0 ( i )
i
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Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 1: Duració
Duración y convexidad
de un bono
Ejemplo:
i inv.equivalente=3,6%anual
Pb(%)=101,04%×
(%)=101,04%×601,01€
601,01€
=607,30€
=607,30€
Cupó
Cupón =
0,039*601,01=23,44€
0,039*601,01=23,44€
Fecha
t
(días)
(hoy) 17/05/2006
-
VA
=FC(1+i)-t/365
FC
%
=VA/V0
t*%
27/03/2007
314
23,44
22,73
0,037437
11,75
27/03/2008
680
624,45
584,56
0,962562
654,54
607,31€
1
666,28
V0
1,82
días
años
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Apé
Apéndice 1: Duració
Duración y convexidad
de un bono
La duración nos permite aproximar la variación en el precio de
un bono antes cambios en el tipo de interés:
∆V 0
V0
=−
D
(1 + i )
123
∆i
∆V 0 = −
⇒
Duración
corregida
Ejemplo:
↓ tipo interés del 0,005 ⇒
T
C
t =1
(1 + i )
V0 (i ) = ∑
t
+
N
(1 + i )
T
(1 + i )
123
∆i ×V 0
Duración
corregida
Duración corregida =
Pb=607,30€
607,30€
↑ tipo interés del 0,005 ⇒
D
VA=
VA=
602.05
1,82
= 1,756 años
1, 036
Variación=
-5.25
Aprox. Duración = -1,765*0,005*607,30=
-5.35
Variación=
5.45
Aprox. Duración = -1,765*(-0,005)*607,30=
5.35
612.76
Tipo interés (i) y Duración (D)
expresados en la misma
unidad de tiempo
Aproximació
Aproximación
pesimista
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Carlos Forner
Apuntes de Ingenierí
Ingeniería Financiera
Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 1: Duració
Duración y convexidad
de un bono
V0
T
C
t =1
(1 + i )
V0 (i ) = ∑
t
+
N
(1 + i )
T
612,76€
612,76€
5,35€
5,35€
5,45€
5,45€
Convexidad:
612,66€
612,66€
∆V 0
V0
607,30€
607,30€
5,25€
-5,35€
5,35€ -5,25€
= −DC * ∆i +
1
2
* Convexidad * ( ∆i )
2
602,05€
602,05€
601,95€
601,95€
3,1% 3,6%
4,1%
i
0,5% 0,5%
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Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 2: Cá
Cálculo de la matriz de
correlaciones con Excel
1º
2º
16
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Apuntes de Ingenierí
Ingeniería Financiera
Tema 9: VAR
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Apé
Apéndice 2: Cá
Cálculo de la matriz de
correlaciones con Excel
1º
2º
3º
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA
CARLOS FORNER
EJERCICIOS
Ejercicio 9.1
Calcular a fecha de cierre del 17/05/2006 el VAR con un nivel de confianza del 99% a
cinco días de una cartera compuesta por:
‐ 500 acciones compradas de BSCH
‐ 40 acciones vendidas en descubierto de FERROVIAL
‐ 5 OBLIG. BONIF. AUTOPISTAS DEL ATLANTICO CONCE. ESPAÑOLA S.A.
EM.27.03.98/27.03.08 comprados. Dado el nivel de riesgo de crédito de esta
obligación, se le exige una prima por riesgo sobre el tipo de interés del 0,0031
‐ 120 PUTs compradas s/BSCH con precio de ejercicio 12 € y vto. 16/06/2006
Fuente: www.bolsamadrid.es
11
APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA
CARLOS FORNER
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA
CARLOS FORNER
Fuentes: www.meff.es y www.bolsamadrid.es
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APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA
CARLOS FORNER
Fuente: www.bde.es
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