CAPÍTULO III

CAPÍTULO III
1
CAPÍTULO III
ÍNDICE
3.1
Introducción
III-1
3.2
El ensayo de tracción
III-2
3.3
Otras propiedades del ensayo de tracción
III-7
3.4
El ensayo de fluencia
III-9
3.5
Diagramas Tensión - Deformación idealizados
III-10
3.6
Clasificación y simulación de materiales atendiendo a su
comportamiento
III-11
3.7
Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos
III-15
3.8
Ley de Hooke en materiales anisótropos
III-22
3.9
Relación entre las constantes elásticas en materiales isótropos
III-29
CAPÍTULO III
2
CAPÍTULO III
LEY DE COMPORTAMIENTO
3.1
Introducción.
En los capítulos anteriores se ha realizado un modelo matemático del sólido de tal forma
que el efecto que provocan las cargas externas se caracteriza mediante un tensor de
tensiones y los desplazamientos relativos entre partículas a través de un tensor de
pequeñas deformaciones. Es importante notar que la obtención del tensor de tensiones y
el de pequeñas deformaciones ha sido independiente uno del otro. Sin embargo tanto las
tensiones como las deformaciones son causa y efecto, por lo que lógicamente deberán
existir ecuaciones que las relacionen entre sí, denominándose a tales relaciones leyes de
comportamiento.
Cuando se somete un sólido a un estado de cargas se produce un tensor de tensiones y
otro de deformaciones. Por otra parte sabemos que cada material que existe en la
Naturaleza tiene su propia estructura molecular que influye en la forma en que dicho
material se comporta ante un estado de cargas determinado. Como conclusión de esta
reflexión:
-
Cada material que existe en la Naturaleza presenta un comportamiento diferente
ante el mismo estado de cargas y, si comparamos dos materiales cualesquiera,
cuanto mayor sea la diferencia entre sus estructuras moleculares mayor será la
diferencia de comportamiento ante el mismo estado de cargas: cada material
tiene su propia ley de comportamiento o relación tensión
La única forma de obtener una ley de comportamiento para un determinado material es
mediante ensayos de laboratorio implicando ello un inconveniente y es que los ensayos
deben ser necesariamente sencillos (hay que tener presente que en un laboratorio no se
pueden ensayar piezas complicadas y someterlas a estados de carga complejos). Los
ensayos sencillos tienen como ventajas que los resultados pueden ser interpretados con
mayor facilidad, y como inconveniente que tales resultados e interpretaciones han de ser
generalizados ante cualquier situación de carga y geometría del cuerpo y suponer que el
material se va a comportar de forma similar a como lo hizo en el ensayo de laboratorio.
El ensayo básico para determinar leyes de comportamiento es el conocido como
"Ensayo de Tracción", y debido a su importancia se le dedicará completamente el
siguiente apartado.
CAPÍTULO III
3.2
3
El ensayo de tracción.
Este ensayo se realiza en una prensa hidráulica y consiste en llevar (o no) hasta la rotura
a una probeta de un material determinado. Las probetas se suelen construir de forma
cilíndrica y normalmente se recrecen en sus extremos para que pueda ser aprisionada
por las mordazas de la máquina (aunque los modelos actuales permiten obviar esa
forma). Al ser introducida en la Prensa la probeta es sometida a un estado de carga axil
pura hasta llevarla (o no) a la rotura (figura 3-1). Lógicamente hay que instrumentar
adecuadamente la probeta para obtener medidas conforme el ensayo se está realizando.
F
Probeta
Extensómetro
Mordazas
Figura 3-1
A tal fin se fija fuertemente a la probeta un extensómetro que proporciona información
sobre la variación de la longitud de la probeta (∆ L) conforme se realiza el ensayo. A
partir de esta información la deformación se obtiene de la siguiente forma:
ε=
L fin − Lini
Lini
3-1
Donde L fin es la longitud en un instante determinado, y Lini es la longitud inicial antes
de comenzar el ensayo.
La fuerza F que actúa sobre la probeta es un dato que proporcionan los equipos y
normalmente es obtenido a través de un medidor de presión del aceite P. Conocida la
presión P la fuerza F se calcula simplemente multiplicando la presión del aceite P por el
área del pistón.
Algunos equipos proporcionan la medida del alargamiento de la probeta a través de la
posición del cabezal. Esta medida no suele ser fiable y por ello se recurre al
extensómetro. En definitiva el ensayo proporciona: la fuerza F la deformación ε, o el
alargamiento ∆L.
CAPÍTULO III
4
Centrándonos en el caso de un material particular, acero, el diagrama FuerzaAlargamiento típico de un ensayo de tracción sería como se representa en la figura 3-2.
F
∆L
Figura 3-2
Si se divide la fuerza F por el área inicial de la sección de la probeta y se representa
frente a las deformaciones, calculada de acuerdo con la expresión 3-1 se obtendría el
diagrama Tensión - Deformación:
σ=F/A
ε
Figura 3-3
Y la diferencia entre ambos es básicamente un cambio de escala.
Para analizar con detalle los resultados de un ensayo típico de tensión - deformación con
una probeta de acero es necesario subdividirlo en tramos y estudiar detenidamente cada
una de ellos.
CAPÍTULO III
σ
B
•
• •
A
E
G
D
•
•
5
•
F
C
α
O
O´
ε
Figura 3-4
Tramo OA : Tramo de comportamiento elástico lineal. Durante este tramo el cuerpo
permanece elástico o lo que es lo mismo: el material es capaz de recuperar su forma
inicial una vez halla desaparecido la carga, por tanto, la pieza puede ser cargada y
descargada cuantas veces se desee y siempre volverá a su posición inicial. Es el tramo
de interés en la Teoría de la Elasticidad.
Tramo AB : Tramo de comportamiento elástico pero no lineal. En este tramo el cuerpo
sigue permaneciendo elástico pero ya no existe una relación lineal entre la tensión y la
deformación. Este tramo suele ser muy pequeño y muy difícil de distinguir en un
diagrama real.
Tramo BC : Tramo de Fluencia o escalón de cedencia del material. Este tramo se
presenta en muy pocos materiales siendo uno de ellos, y el más típico, el acero. Consiste
en un aumento de la deformación a tensión constante.
Tramo CDE : Tramo de endurecimiento por deformación. Una vez que acaba la fluencia
el material necesita o requiere que la tensión aumente para que la deformación también
lo haga. La relación entre la tensión y la deformación no es lineal y la pendiente de la
curva va disminuyendo progresivamente. El comportamiento del cuerpo ya no es
elástico y se produce una deformación permanente de tal forma que si en un instante
determinado se para el ensayo y se descarga, la probeta no vuelve a su posición original
sino a una posición deformada. Por ejemplo, si se realiza el ensayo siguiendo la línea OA-B-C-D-G. Si llegado a este punto se descarga, la probeta no volverá al punto O sino
al O´ siguiendo el camino G O´, la distancia O-O´ es una deformación permanente que
se ha inducido a la probeta.
Tramo EF : Tramo de estricción. En este tramo el diámetro de la probeta comienza a
disminuir, necesitándose una menor carga para llevar a la rotura la probeta por lo que la
curva decae.
A continuación se definen una serie de puntos específicos muy importantes del
diagrama así:
Punto A : Límite de Proporcionalidad
Punto B : Límite elástico o de fluencia
CAPÍTULO III
6
Punto E : Límite de rotura
Una vez definidos los tramos y puntos importantes es conveniente separar y analizar los
resultados en dos grandes zonas: una antes del Límite Elástico y otra después del Límite
elástico.
Zona anterior al Límite Elástico
La práctica indica que, en un diagrama real es muy difícil distinguir entre el
límite elástico y el de proporcionalidad, por lo que se tiende a confundirlos en uno solo
y hacerlo coincidir con el Limite Elástico. Aún así, es difícil determinar con cierta
precisión el valor del límite elástico, por ello los ingenieros utilizan como medida del
límite elástico (sólo para el caso de aceros): el valor de la tensión ( Y ) que provoca una
deformación del 2 / 1000 ( 0.002), que puede verse en la figura 3-5.
σ
Y
α
ε
ε = 0.002
Figura 3-5
Un parámetro característico importante de los materiales, y fundamental dentro
de la Teoría de la Elasticidad, es el conocido como Módulo de Elasticidad. Este
parámetro es la relación que existe entre la tensión y la deformación sólo en el tramo de
comportamiento elástico lineal:
σ = Eε ⇒ E =
σ
= Tag α
ε
3-2
Esta ecuación es conocida como ley de Hooke, y a la constante E se le denomina
Módulo de Elasticidad o Módulo de Young, que para los aceros es del orden de 21
106 N / cm2.
Hay que tener en cuenta que existen algunos materiales que vuelven a su
posición original sin hacer el mismo recorrido que realizaron durante el período de
carga, fenómeno al que se le denomina histéresis. Los materiales que poseen ciclos de
histéresis significativos se les denomina Materiales Aneslásticos, de acuerdo con la
figura 3-6.
CAPÍTULO III
7
σ
σ
ε
ε
Figura 3-6
El área almacenada en el interior del bucle de carga-descarga es energía que
normalmente se disipa en forma de calor. Este tipo de materiales suele ser empleado en
el aislamiento de vibraciones, y se sitúan en lugares estratégicos del motor o pieza a
tratar. Es necesario incidir que la mayoría de los materiales que pueden considerarse
elásticos poseen un cierto grado de histéresis, pero no por ello se les incluye dentro de la
categoría de Anelásticos.
Zona Posterior al Límite Elástico
Existe un fenómeno natural que ocurre durante todo el proceso de ensayo, tanto
en la zona anterior como posterior al Límite Elástico que consiste en un decremento
gradual del área transversal inicial de la probeta conforme aumenta la carga, tal
fenómeno es conocido como efecto Poissón. En la zona elástica o próxima al punto del
límite elástico el área transversal inicial de la probeta A0 y la que tiene en ese momento
(área instantánea) At prácticamente coinciden y por ello es indiferente trabajar con una u
otra. Ahora bien, si se sobrepasa el Límite Elástico el área transversal inicial disminuye
rápidamente (consecuente con un rápido aumento de la deformación) y es la causa de
que la tensión calculada con el área inicial ( σ = F / A0 ) y la tensión calculada con el
área actual ( σ = F / At ) sean diferentes. Esto se esquematiza en la figura 3-7.
σ = F / At
σ = F / A0
Figura 3-7
y explica el por qué la curva decae después de sobrepasar el límite de rotura, ya que al
llegar a este punto el área de la sección transversal disminuye bruscamente
disminuyendo también la tensión necesaria para llevar a la rotura a la pieza. Puede
observarse que en el diagrama de áreas actuales la curva no disminuye al llegar al punto
de rotura, si no que al contrario aumenta debido precisamente a la disminución de área.
Esto conecta con la visión lagrangiana y euleariana de la deformación. Así se denomina:
CAPÍTULO III
Tensión euleriana a:
(σ zz )Euleriana
Tensión Lagrangiana:
(σ zz )Lagrangiana
=
8
F
Aactual
F
=
Ainicial
Si en un punto determinado ( B figura 3-8) se para el ensayo y se descarga, la
probeta no recupera su forma original sino que queda deformada permanentemente con
una deformación que en adelante se denominará εp
σ
B
YB
A
YA
O
C
εp
εe
ε
Figura 3-8
Sin embargo la deformación en el punto B es la permanente más la elástica
correspondiente, es decir:
ε B = ε p + εe
3-3
Por tanto: si se llega al punto B, se descarga hasta el punto C y se comienza a cargar de
nuevo, la probeta se comportará como si fuese elástica obteniéndose un nuevo Límite
Elástico YB. Este es un procedimiento industrial que se utiliza para mejorar a bajo coste
el Límite Elástico de un acero denominándoseles "aceros estirados en frio"
3.3
Otras propiedades del Ensayo de Tracción.
A la vista de lo expuesto y con la ayuda del ensayo de tracción se puede realizar una
clasificación de materiales. Así materiales que exhiben un pobre comportamiento
plástico (poca o nada deformación plástica) se suelen denominar Materiales Frágiles (
Ej. Cristal, Hierro fundido, etc). Al contrario materiales que presentan una deformación
plástica apreciable se les denomina Materiales Dúctiles (Ej. Acero con bajo contenido
en carbono, Aluminio, etc). Lógicamente hay un amplio margen entre poca deformación
plástica y mucha deformación plástica, pero hay dos características importantes que
ayudan a diferenciar: a) Los materiales frágiles presentan un comportamiento bastante
diferente si el ensayo es a tracción o a compresión; los dúctiles poco b) los materiales
frágiles presentan una gran dispersión de resultados en el punto de rotura; los dúctiles
no.
CAPÍTULO III
9
Se mencionó anteriormente que realizando el ensayo de una probeta se observaba que
conforme su longitud iba en aumento su diámetro disminuía. A tal comportamiento se le
denominó Efecto Poissón. Basándose en este evidencia experimental se puede definir
un parámetro conocido como Módulo de Poissón de la siguiente forma:
ν=
ε
contracción lateral unitaria
= lateral
al arg amiento axil unitario ε longitudinal
3-4
Que usualmente suele adoptar valores comprendidos entre 0.2 y 0.4, y que se
comprende mejor realizando una representación gráfica en el plano (figura 3-9)
F
(LLat ) ini
(L Lat) fin
L
∆ LAxil
ε lateral =
(Llat )ini − (Llat ) fin
(Llat )ini
ε longitudinal =
∆ Laxil
L
Figura 3-9
En la realización del Ensayo de tracción se ha supuesto que la temperatura se mantiene
constante y que la velocidad de aplicación de la carga es lo suficientemente lenta como
para poder despreciar posibles efectos dinámicos. A este tipo de ensayos se les
denomina Cuasi-Estáticos. Cuando la carga varía con el tiempo se produce un ensayo
dinámico siendo el más usual de ellos el de fatiga. Un ensayo de fatiga consiste en
someter a la probeta a una carga que varía cíclicamente con el tiempo, solicitando
alternativamente a la probeta a una carga de tracción y luego a otra de compresión, de
acuerdo con la figura 3-10
σ
t
Figura 3-10
En este tipo de ensayos se observa una notable reducción del límite de rotura de los
materiales.
CAPÍTULO III
10
Por último se incluyen varios materiales y sus correspondientes Módulos de Elasticidad
y de Poissón, los cuales deben ser entendidos en un sentido cualitativo no cuantitativo,
pues dentro de cada material existe una amplísima variedad de calidades que hacen que
varíen los parámetros elásticos según la calidad y composición.
MATERIAL
Acero Inoxidable
Aluminio
Fibra de Carbono
Hormigón
3.4
MÓDULO DE
ELASTICIDAD
( N/cm2 )
21000000
7000000
30000000
2500000
MÓDULO DE
POISSÓN
0.3
0.35
0.25
0.22
El Ensayo de fluencia.
Este tipo de ensayo, conocido en la terminología anglosajona como Creep Test, consiste
en someter a la probeta a una carga instantánea y luego mantenerla en el tiempo. El
ensayo se denomina de igual forma si incluye o no aumento de temperatura, y es crucial
en materiales que van a estar sometidos a temperatura y carga, por Ej Reactores,
Turbinas de gas, etc, o materiales que van ser sometidos a una carga permanente durante
un período grande de tiempo, por Ej. Hormigón, Acero etc.
Def. fluencia
Se denomina Deformación de fluencia (creep strain) aquella deformación dependiente
del tiempo que se desarrolla después que la probeta alcanza la tensión constante, la
figura 3-11 presenta un esquema típico de un ensayo de fluencia y muestra la variación
de la deformación de fluencia frente al tiempo.
T (Horas),
(días),(sema
nas),etc
Figura 3-11
Se observa que en el instante de aplicar súbitamente la carga se produce una
deformación instantánea, luego a medida que avanza el tiempo se va produciendo un
aumento progresivo de la deformación hasta llegar a la rotura (si es el caso).
En definitiva la deformación se puede expresar como:
ε (t ) = ε i + ε p + ε f (t )
εi = Deformación instantánea
3-5
CAPÍTULO III
11
εp = Deformación plástica (si es el caso) como consecuencia de la aplicación instantánea
de la carga
εf = Deformación de fluencia para un tiempo determinado
3.5
Diagramas Tensión - Deformación idealizados.
Como se ha visto en los apartados anteriores, los diagramas Tensión - Deformación
pueden ser en cierto modo complicados, por ello, y sólo bajo ciertas condiciones, se
introducen lo que se denominan diagramas idealizados que pueden ser de aplicación a
cierto tipo de problemas y en función del tipo de análisis a realizar y objetivos que se
persiguen.
El más sencillo de ellos es el de idealización de un cuerpo como sólido infinitamente
rígido ( figura 3-12-a)
σ
σ
ε
Figura 3-12-a
ε
Figura 3-12-b
Un cuerpo ideal que sea perfectamente elástico, que no presente comportamiento
plástico y cuyo punto de rotura esté aún en la zona elástica es el representado en la
figura 3-12-b.
Un cuerpo cuyo comportamiento sea perfectamente rígido y súbitamente cambie a ser
plástico perfecto es el que se representa en la figura 3-13-a. Sin embargo si
consideramos que ese mismo cuerpo no es plástico perfecto sino que posee un cierto
grado de endurecimiento por deformación, obtendríamos la figura 3-13-b
σ
σ
ε
Figura 3-13-a
ε
Figura 3-13-b
Si el cuerpo exhibe un cierto comportamiento elástico y la zona plástica presenta muy
poco endurecimiento por deformación se obtiene lo que se conoce como diagrama
elástico lineal - plástico perfecto figura 3-14-a. Sin embargo el más empleado es el
diagrama bilineal, figura 3-14-b, que se corresponde con un cuerpo que presenta un
CAPÍTULO III
12
cierto comportamiento lineal y un cierto comportamiento plástico con endurecimiento
por deformación.
σ
σ
ε
ε
Figura 3-14-a
3.7
Figura 3-14-b
Ley de Hooke generalizada para materiales isótropos.
Se vio en apartados anteriores que la ley de Hooke podía expresarse como:
σ =Eε
3-6
obtenida a través de un ensayo de tracción unidireccional. Sin embargo los estados de
tensión en un punto de un sólido elástico son, salvo casos especiales, tridimensionales
por lo que se hace necesaria una extrapolación de resultados del caso unidireccional al
tridimensional. A tal fin se supondrá un punto de un sólido sometido a un estado de
tensiones principales tridimensional y se aplicará superposición de efectos de los
resultados del ensayo de tracción (figura 3-20):
σ III
σI
σ II
=
+
σI
σ III
Figura 3-15
σ II
+
CAPÍTULO III
13
Supóngase que se considera sólo la acción de σ I : entonces el cubo se alargará en la
dirección principal I y al mismo tiempo, por efecto Poisson, se acortará en las otras dos
direcciones principales, II y III, de acuerdo con la figura 3-21:
σI
Figura 3-16
El alargamiento en la dirección I se expresa como:
ε I (σ I ) =
σI
3-7
E
y el decremento en las direcciones II y III debido a σ I se expresa como:
ε II (σ I ) = −ν
σI
E
; ε III (σ I ) = −ν
σI
E
3-8
Donde ν es el Módulo de Poisson del material considerado, ya que recordando su
definición:
Contracción lateral unitaria
⇒
Al arg amiento axil unitario
Aplicandola al caso en cuestión :
Contracción lateral unitaria (ε II ) = ν ⋅ Al arg amiento axil unitario = − ν ⋅ (ε I )
ν=
De igual forma si se considera sólo el efecto de σ II se tiene:
σ II
Figura 3-17
CAPÍTULO III
14
El alargamiento en la dirección II debido a σ II es:
ε II (σ II ) =
σ II
3-9
E
y el decremento en las direcciones I y III debido a σ II es:
ε I (σ II ) = −ν
σ II
E
; ε III (σ II ) = −ν
σ II
E
3-10
De igual forma debido a la acción de σ III el alargamiento en la dirección III es:
ε III (σ III ) =
σ III
3-11
E
y el decremento en las direcciones I y II debido a σ III es :
ε I (σ III ) = −ν
σ III
E
; ε II (σ III ) = −ν
Sumando las contribuciones aisladas de σ I
original objeto de este estudio, resultando:
, σ II
σ III
E
3-12
y σ III se reproduce el caso
1
[ σ I − ν (σ II + σ III ) ]
E
1
ε II = [ σ II − ν (σ I + σ III ) ]
E
1
ε III = [ σ III − ν (σ II + σ I ) ]
E
εI =
3-13
Las ecuaciones 3-13 constituyen la ley de Hooke generalizada en ejes principales para
materiales isótropos y homogéneos. Isótropo porque se supone que tanto el Módulo de
Elasticidad como el de Poisson no varían con la dirección. Homogéneo porque las
propiedades en un punto determinado son independientes de la posición del mismo en el
sólido.
Estas ecuaciones se pueden expresar en notación de índices de la siguiente forma:
εi =
1 +ν
ν
σ i − σ kk
E
E
3-14
donde el índice i toma valores I , II, o III y el término σ kk es la suma de la diagonal
principal del tensor de tensiones.
La deducción de la ley de Hooke generalizada se ha realizado en ejes principales, y
cabría hacerse la siguiente pregunta: ¿cómo quedarán estas ecuaciones si se trabajase en
CAPÍTULO III
15
un sistema de referencia que no fuese el principal?. Para responder a la pregunta se hace
uso de la conocida transformación de un tensor de un sistema de referencia a otro:
(l3 , m3 , n3 )
III
3
2
(l 2 , m2 , n2 )
II
I
1
(l1 , m1 , n1 )
Figura 3-18
(σ ij )1,2,3 = L (σ ij ) I , II , III LT
ε ij )1,2,3 = L (ε ij ) I , II , III LT
Desarrollando se obtiene:
l
1
σ ij =  l2
l
3
m1
m2
m3
n1   σ I

n2   0
n3   0
l
1
ε ij =  l2
l
3
m1
m2
m3
n1   ε I

n2   0
n3   0
0
σ II
0
0
ε II
0
0   l1

0   m1
σ III   n1
0   l1

0   m1
ε III   n1
l2
m2
n2
l2
m2
n2
l3 

m3 
n3 
3-15
l3 

m3 
n3 
3-16
Operando en 3-16 se obtiene:
 ε l 2 + ε m2 + ε n2
I 1
II 1
III 1

ε ij =  ε I l1 l2 + ε II m1 m2 + ε III n1 n2

A

ε I l1 l2 + ε II m1 m2 + ε III n1 n2
B
C
A 
C
D 
3-17
Donde las letras A, B, C y D son términos del tensor de deformaciones cuya estructura
es parecida a ε 11 o ε 12
De forma paralela se puede escribir para las tensiones una expresión similar:
 σ l 2 + σ m2 + σ n2
I 1
II 1
III 1

σ ij =  σ I l1 l2 + σ II m1 m2 + σ III n1 n2

A*

σ I l1 l2 + σ II m1 m2 + σ III n1 n2
B*
C*
A * 
C *  3-18
D *
Si en la expresión 3-17 se sustituyen las deformaciones por las tensiones (aplicando la
ley de Hooke) se obtiene:
CAPÍTULO III
ε11
16
2
2
2
1  l1 σ I + m1 σ II + n1 σ III
= 
E − ν l 2 σ + σ
+ m12 σ I + σ III + n12 σ I + σ II
II
III
1

{ (
)
(
)
(
)}




3-19
Comparando 3-19 con 3-18 puede observarse que los tres primeros sumandos de 3-19 se
corresponden con σ11 . Por otra parte si a los sumandos encerrados entre llaves de 3-19
se les suma y resta la cantidad siguiente:
± (l12 σ I + m12 σ II + n12 σ III )
3-20
Se obtiene definitivamente:
ε11 =
[
1
σ 11 − ν
E
{( l
2
1
)
(
+ m12 + n12 (σ I + σ II + σ III ) − l12 σ I + m12 σ II + n12 σ III
)}]
finalmente, haciendo uso del primer invariante, σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ I + σ II + σ III , de
que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es la unidad, y de que el último
paréntesis vuelve a ser σ11 se obtiene:
[
1
σ −ν
E 11
ε11 =
{ (σ11 + σ 22 + σ 33 ) − σ11} ]
3-21
operando:
ε 11 =
1
[ σ 11 − ν ( σ 22 + σ 33 ) ]
E
3-22
Siguiendo un proceso análogo se obtendrían los siguientes términos de la diagonal
principal:
ε 22 =
1
[ σ 22 − ν ( σ 11 + σ 33 ) ]
E
3-23
ε 33 =
1
[ σ 33 − ν ( σ 22 + σ 11 ) ]
E
3-24
Para ver la forma que adoptan los términos que no pertenecen a la diagonal principal, se
elige de 3-17 ε12 resultando:
ε 12 = ε I l1 l 2 + ε II m1 m2 + ε III n1 n2
y aplicando la ley de Hooke:
3-25
CAPÍTULO III
ε12 =
ν
E
17
[
]
1
ν
σ I l1 l2 + σ II m1 m2 + σ III n1 n2 − l1 l2 σ II + σ III
E
E
(
m1 m2 σ I + σ III
(
)−
ν
) − E n1 n2 (σ II + σ I )
3-26
Si se compara 3-26 con 3-18 se observa que el primer corchete es precisamente σ12 y
para el resto de sumandos, si se suma y resta la siguiente cantidad:
±
ν
E
( l1 l2 σ I + m1 m2 σ II + n1 n2 σ III )
se obtiene:
ε12 =
1
[σ12 − ν
E
{ ( l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 ) ( σ I + σ II + σ III ) − σ12 } ]
3-27
Observando que el primer paréntesis es el producto escalar de dos vectores
perpendiculares (que como se sabe es nulo) se obtiene finalmente:
ε12 =
( 1 + ν ) σ12
3-28
E
Se define Módulo de Rigidez G a la siguiente relación:
G=
E
2 (1 + ν )
3-29
Y la deformación ε12 en función del Módulo de Rigidez adopta la forma conocida
siguiente:
ε12 =
σ 12
o bien ε xy =
2G
σ xy
2G
3-30
y para no contabilizar el parámetro 2 se define:
γ 12 =
σ 12
G
γ xy =
σ xy
G
3-31
la relación entre ambas es simplemente:
γ 12 = 2 σ 12
γ xy = 2 σ xy
3-32
Por tanto las deformaciones en función de las tensiones o bien la ley de Hooke
generalizada a ejes cualesquiera es la siguiente:
CAPÍTULO III
18
[
]
[
]
[
]
1
σ − ν (σ 22 + σ 33 )
E 11
1
ε 22 =
σ − ν (σ 11 + σ 33 )
E 22
1
ε11 =
σ − ν (σ 22 + σ 11 )
E 33
ε11 =
ε 12 =
σ 12
; ε 13 =
2G
σ 13
2G
; σ 23 =
3-33
σ 23
2G
3-34
Las ecuaciones 3-33 y 3-34 en notación de índices se expresarían:
ε ij =
1 +ν
ν
σ ij − σ kkδ ij
E
E
3-35
En este punto es necesario hacer unas consideraciones:
a) Aunque se ha trabajado con un único ensayo, el de tracción, se ha visto teóricamente
que cuando la solicitación es cualquiera, o bien la orientación es cualquiera,
aparecen las deformaciones tangenciales y las tensiones tangenciales asociadas. Sin
embargo el ensayo no puede contemplarlas por lo que se plantea la duda sobre si el
desarrollo teórico realizado se corresponde con la realidad experimental.
b) Para comprobar la veracidad cabría pensar en realizar un ensayo en el que sólo
aparecieran tensiones tangenciales y comprobar el cumplimiento de las ecuaciones
3-34. Tal tipo de ensayo es el de torsión que se realiza con tubos de pared delgada y
(aunque el tema será estudiado posteriormente con profundidad, de momento es
suficiente para el alumno que sepa que un cuerpo sometido a un estado de torsión
pura trabaja exclusivamente a esfuerzo cortante) los resultados corroboran la
veracidad de las ecuaciones 3-34.
c) La constatación experimental de la demostración teórica realizada consiste en
aplicar superposición de los resultados de los dos ensayos: axil puro (ensayo de
tracción) y cortante puro (ensayo de torsión). Del ensayo de tracción se obtiene la
ley empírica dada por las ecuaciones 3-33, es decir:
[
)]
(
1
σ − ν σ II + σ III
E I
1
ε II =
σ − ν σ I + σ III
E II
1
ε III =
σ − ν σ II + σ I
E III
εI =
[
)]
(
[
y del ensayo de torsión se obtiene:
(
)]
ε12 = ε13 = ε 23 = 0
CAPÍTULO III
γ 12 =
σ 12
G
; γ 13 =
σ 13
G
; γ 23 =
19
σ 23
ε11 = ε 22 = ε 33 = 0
G
Está claro que la superposición de efectos reproduce las ecuaciones 3-35.
Así pues, tanto por el camino teórico como por el experimental se demuestra la
verificación de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera.
Si se invierten las ecuaciones de Hooke generalizadas, se obtienen las denominadas
ecuaciones de Lamé para materiales isótropos:
σ 11 = 2 G ε11 + λ ( ε11 + ε 22 + ε 33 )
σ 22 = 2 G ε 22 + λ ( ε11 + ε 22 + ε 33 )
σ 33 = 2 G ε 33 + λ ( ε11 + ε 22 + ε 33 )
σ 12 = ε12 2 G
3-36
σ 13 = ε13 2 G
σ 23 = ε 23 2 G
Las ecuaciones de Lamé expresadas en notación son:
σ ij = 2 G ε ij + λ ε kk δ ij
3-37
donde λ (conocida como constante de Lamé) es:
λ=
3.8
Eν
( 1 +ν ) ( 1 − 2 ν
)
Ley de Hooke en materiales anisótropos
La relación más general que se puede expresar entre las tensiones y las deformaciones
es:
σ ij = Cijkl ε kl
3-38
Donde Cijkl es un tensor de cuarto orden (81 constantes). Otra forma de expresar la
relación 3-38 es escribiendo tanto el tensor de tensiones como el de deformaciones en
forma de vector columna, es decir:
σ i = Cij ε j
3-39
CAPÍTULO III
20
Siendo Cij una matriz de 9 x 9. Ahora bien debido que el tensor de tensiones y el de
deformaciones son simétricos se considerará tanto para σi como para εj únicamente los
seis términos significativos:
(σ 11 , σ 22 , σ 33 , σ 12 , σ 13 , σ 23 )
y
(ε 11 , ε 22 , ε 33 , ε 12 , ε 13 , ε 23 ) .
Con ello la matriz Cij se reduce a una de 6 x 6 y por tanto es necesario definir 36
constantes (en principio) para que la relación tensión - deformación quede explícita (los
coeficientes de la matriz Cij son constantes únicamente cuando la densidad del cuerpo
es constante y además es homogéneo).
Sin embargo no todos los materiales necesitan el mismo número de constantes para que
la relación tensión - deformación quede totalmente definida y en adelante se tratará
sobre el tema.
Todos los materiales que admitan la existencia de una función escalar de deformaciones
U (en capítulos posteriores se verá que la función U se denomina Densidad de Energía
de Deformación y su existencia es general en sistemas conservativos, que es el caso de
la Elasticidad) tal que:
U = σ ij ε ij = Cijkl ε ij ε kl
3-40
y que su derivada con respecto a una componente del tensor de deformación
proporcione la correspondiente componente del tensor de tensiones:
∂U
= σ ij = Cijkl ε kl
∂ε ij
3-41
Truesdell propuso denominarlos hiperelásticos. En ellos se verá que el número de
constantes se reduce a 21. Así, si la derivación se realiza a partir de 3-39 se obtiene:
∂U
= σ k = Ck j ε j
∂ε k
3-42
Si se realiza una segunda derivada con respecto al índice j se obtiene:
∂ 2U
= Ck
∂ε k ∂ε j
j
3-43
ε
3-44
Si se cambia el orden de derivación:
∂U
=σ
∂ε j
y se deriva de nuevo se obtiene:
j
=C
jk k
CAPÍTULO III
∂ 2U
=C
∂ε j ∂ε k
21
3-45
jk
Como conclusión: debido a la indiferencia en el orden de derivación resulta que la
matriz Cij es simétrica (a igual resultado se hubiere llegado si se hubiese partido de la
ecuación 3-38). Luego:
Ci j = C
3-46
ji
Por tanto el número de constantes elásticas a definir en un material hiperelástico o
anisótropo se reduce a 21. La relación tensión deformación para este tipo de materiales
es:
σ 11
σ
 22
σ 33
σ
 23
σ 13
σ
 12




=




C11







C12
C22
C13
C23
C33
C14
C24
C34
C44
C15
C25
C35
C45
C55
C16 
C26 

C36 
C46 

C56 
C66 
 ε11 
ε 
 22 
ε 33 
γ 
 23 
γ 13 
γ 
 12 
3-47
Como se dijo anteriormente, no todos los materiales necesitan el mismo número de
constantes elásticas para que la relación tensión – deformación quede definida. La
diferencia entre unos y otros está en el número y orientación de planos de simetría que
el material contenga. Efectivamente, el hecho de que en un material exista alguna
simetría en la constitución de su microestructura implica la existencia de ciertas
direcciones en las que su comportamiento, desde el punto de vista mecánico, es
especial. Tales direcciones son intrínsecas al material y la existencia o no de ellas, así
como el número y orientación, hace que varíe el número de constantes elásticas
necesarias para definir la ley de comportamiento.
Hasta ahora se han estudiado los dos casos extremos: Materiales Isótropos y
Anisótropos. Un material Isótropo es aquel en que la dirección de estudio es
independiente de la aplicación de la carga, dicho en palabras de simetría: es un material
que tiene infinitos planos de simetría elástica. Un material anisótropo es el que no tiene
ninguna dirección especial y por tanto no tiene ningún plano de simetría elástica.
Entre ambos límites, existen una serie de materiales que poseen simetría respecto a un
plano (material monoclínico), respecto a tres planos (material ortótropo), y los que
tienen una simetría de revolución respecto a una dirección dada (material
transversalmente isótropo).
Lógicamente el número de constantes elásticas necesarias para definir la ley de
comportamiento varía en función del número de planos de simetría que existan. Así en
el caso Isótropo hacen falta 2 constantes. En el caso transversalmente isótropo hacen
CAPÍTULO III
22
falta 5 constantes, 9 en el caso ortótropo, 13 en el monoclínico, y 21 en el caso
anisótropo.
La existencia de un plano de simetría en la microestructura de un material implica que
debe deformarse simétricamente (respecto al plano) ante la acción de una carga también
simétrica respecto a dicho plano. Esta afirmación, empírica aunque luego contrastada
con los ensayos, permite averiguar el número de constantes necesarias para definir la ley
de comportamiento de un material de dos formas. Una matemática rigurosa y otra
ingenieril.
Planteamiento matemático de la determinación del número de constantes elásticas
Cuando un material tiene un plano de simetría elástica las tensiones y deformaciones de
dos puntos situados simétricamente han de ser iguales siempre y cuando la carga
también sea simétrica respecto a dicho plano. Matemáticamente esta afirmación se
traduce en que las tensiones y deformaciones para el sistema de coordenadas X1 X2 X3
deben ser las mismas que para el sistema de coordenadas X1 X2 X3* (obsérvese que las
direcciones 1 y 2 son fijas o particulares y que sólo queda libre la dirección 3). Otra
consecuencia de dicha afirmación es que la matriz Cij es la misma para el sistema de
ejes 1-2-3 que para el sistema 1-2-3*.
3
2
1
3*
Figura 3-19
Supóngase un material con un plano de simetría tal y como muestra la figura anterior, se
cumple que:
σ i = Cijε j en el sistema 1-2-3 y σ i* = Cij*ε *j en el sistema 1-2-3* y por definición
Cij = Cij* σ i = σ i* ε j = ε *j
De acuerdo con la ley de transformación de tensores:
[σ ] = [L] [σ ] [L]
*
Es decir:
T
CAPÍTULO III
σ 11* σ 12*
 *
*
σ 21 σ 22
*
σ 31
σ 32*

 σ 11
=  σ 21
− σ 31
23
σ 13*  1 0 0 σ 11 σ 12 σ 13  1 0 0

* 
0 σ 21 σ 22 σ 23  0 1
0
σ 23
 = 0 1
σ 33*  0 0 − 1 σ 31 σ 32 σ 33  0 0 − 1
σ 12 − σ 13 
σ 22 − σ 23 
− σ 32 σ 33 
3-48
repitiendo el mismo proceso para las deformaciones se llegaría a:
ε11* ε12* ε13* 
 *
*
* 
ε 21 ε 22 ε 23  =
*
ε 31
ε 32* ε 33* 

ε12
 ε11
ε
ε 22
 21
− ε 31 − ε 32
− ε13 
− ε 23 
ε 33 
3-49
Por tanto de 3-48 y 3-49 se obtiene como conclusión:
*
*
*
*
*
*
σ 11
= σ 11 ; σ 22
= σ 22 ; σ 33
= σ 33 ; σ 12
= σ 12 ; σ 13
= −σ 13 ; σ 23
= −σ 23 3-50
*
*
*
*
*
*
ε11
= ε11 ; ε 22
= ε 22 ; ε 33
= ε 33 ; γ 12
= γ 12 ; γ 13
= −γ 13 ; γ 23
= −γ 23 3-51
Expresando la ley de comportamiento en el sistema original y girado:
σ 11 = C11 ε11 + C12 ε 22 + C13 ε 33 + C14 γ 23 + C15 γ 13 + C16 γ 12
3-52
*
*
*
*
*
*
*
σ 11
= C11 ε11
+ C12 ε 22
+ C13 ε 33
+ C14 γ 23
+ C15 γ 13
+ C16 γ 12
3-53
Si se introduce 3-51 en 3-53 se obtiene:
*
σ 11
= C11 ε11 + C12 ε 22 + C13 ε 33 − C14 γ 23 − C15 γ 13 + C16 γ 12
3-54
*
= σ 11 comparando 3-52 y 3-54 se obtiene como conclusión que
y puesto que σ 11
necesariamente C14 y C15 han de ser nulas.
Si se repite el procedimiento con σ 22 y con σ *22 se obtiene:
σ 22 = C21 ε11 + C22 ε 22 + C23 ε 33 + C24 γ 23 + C25 γ 13 + C26 γ 12
3-55
*
*
*
*
σ 22
= C21 ε11* + C22 ε 22
+ C23 ε 33
− C24 γ 23
− C25 γ 13* + C26 γ 12*
3-56
y siguiendo un razonamiento análogo se llegaría a la conclusión de que:
CAPÍTULO III
24
C24 = C25 = 0
y σ *33 se llegaría a la conclusión de que:
Y si se realiza con σ 33
C34 = C35 = 0
Y por último con σ 12
*
y σ 12
se obtendría:
C64 = C65 = 0
Por tanto la relación tensión - deformación para un material monoclínico quedaría:
σ 11
σ
 22
σ 33
σ
 23
σ 13
σ
 12




=




C11
C
 12
C13
 0

 0
C16
C12
C22
C23
0
0
C26
C13
C23
C33
0
0
C36
0
0
0
C44
C45
0
0
0
0
C45
C55
0
C16 
C26 

C36 
0 

0 
C66 
 ε11 
ε 
 22 
ε 33 
γ 
 23 
γ 13 
γ 
 12 
3-57
Que como puede comprobarse necesita 13 constantes para poder definir la relación
tensión - deformación.
Cuando se trata de materiales ortótropos que tienen 3 planos de simetría, se repetirían
las operaciones anteriores respecto a los planos 2-3 y el plano 1-3, es decir:
*
* 
σ *
σ 12
σ 13
 11
*
*
* 
σ 22
σ 23
σ 21

σ *
*
* 
σ 32
σ 33 
 31
σ
− σ 12
11

σ 22
= − σ 21
− σ 32
 σ 31
1
= 0
0

0
−1
0
0
0
1
σ
σ 11
 21
σ 31
σ 12
σ 22
σ 32
σ 13 
σ 23 
σ 33 
1
0
0

0
1
0
0
0
1
σ
σ 11
 21
σ 31
σ 12
σ 22
σ 32
σ 13 
σ 23 
σ 33 
− 1
 0
 0

0
−1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
σ 13 
− σ 23 
σ 33 
y
*
* 
σ *
σ 12
σ 13
11
 *
*
* 
σ 22
σ 23

σ 21
σ *
*
* 
σ 32
σ 33 
 31
σ
− σ 12
11

σ 22
= − σ 21
σ 32
 − σ 31
− 1
= 0
 0

− σ 13 
σ 23 
σ 33 
CAPÍTULO III
25
Y repitiendo el mismo proceso anterior se llegaría a:
C16 = C26 = C36 = C45 = 0
Quedando la relación tensión - deformación para los materiales ortótropos
siguiente forma:
σ 11
σ
 22
σ 33
σ
 23
σ 13
σ
 12




=




C11
C
 12
C13
 0

 0
 0
C12
C22
C23
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
C13
C23
C33
0
0
0
0
0
0
0
C55
0
0 
0 

0 
0 

0 
C66 
 ε11 
ε 
 22 
ε 33 
γ 
 23 
γ 13 
γ 
 12 
de la
3-58
Para el caso de materiales Transversalmente Isótropos y suponiendo que el plano de
Isotropía es el 1 – 2, de acuerdo con la figura 3-20, resulta que cualquiera que sea la
dirección que se considere dentro del plano se cumplirá la relación tensión deformación o bien en otras palabras: cualquiera que sea la dirección dentro del plano la
matriz de coeficientes elásticos será la misma.
3 ≡ 3*
2*
1
2
α
1*
Figura 3-20
Si en vez de tomar dos ángulos genéricos se eligen dos ángulos particulares: α = 90º y α
= 45º. Expresando el tensor de tensiones y de deformaciones en los nuevos sistemas de
referencia y realizando un proceso totalmente análogo a los casos anteriores se llegaría:
Para α = 90º =>
C22 = C11 ; C23 = C13 ; C44 = C55
Para α = 45º =>
C66 =
C11 − C12
2
Por tanto la relación tensión - deformación quedaría de la siguiente forma:
CAPÍTULO III
σ 11
σ
 22
σ 33

σ 23
σ 13

σ 12




=




26
0
0
C11 C12 C13
C
0
0
 12 C11 C13
C13 C13 C33 0
0

0
0 C44
0
 0
 0
0
0
0 C44

 0
0
0
0
0

0


0


0

0


0
C11 − C12 

2

 ε11 
ε 
 22 
ε 33 
 
γ 23 
γ 13 
 
γ 12 
3-59
Que como puede observarse es necesario definir 5 constantes: C11 , C33 , C44 , C12 , C23
Si material es Isótropo, resultaría que en cualquier dirección la matriz de coeficientes
elásticos Cij es la misma, por tanto repitiendo la operación realizada para materiales
transversalmente isótropos pero con los planos 1 - 3 y 2 - 3 se llegaría a la siguiente
conclusión:
σ 11
σ
 22
σ 33
σ
 23
σ 13
σ
 12
C11

 C12
 C12
 
  0
=
 
  0
 

 0

C12
C11
C12
C12
C12
C11
0
0
0
0
0
C11 − C12
0
0
0
C11 − C12
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2





0



0

C11 − C12 

2

0
0
0
 ε11 
ε 
 22 
ε 33 
γ 
 23 
γ 13 
γ 
 12 
3-60
Que como puede observarse sólo es necesario definir dos constantes: C11 y C12
3-61
Por último si se comparan estas ecuaciones con las de Lamé se observa que:
C12 = λ y C11 - C12 = 2 G
Determinación Ingenieril de las Constantes Elásticas
Tal y como antes se mencionó la existencia de un plano de simetría en la
microestructura de un material implica que debe deformarse simétricamente (respecto al
plano) ante la acción de una carga también simétrica respecto a dicho plano. Esta
afirmación, permite averiguar el número de constantes necesarias para definir la ley de
comportamiento de un material de una manera sencilla recurriendo exclusivamente a
cuestiones de simetría.
A tal fin sean los seis estados de carga elementales que se muestran a continuación:
CAPÍTULO III
27
Figura 3-21
y los seis estados elementales de deformación que conllevan:
Figura 3-22
Supóngase que el plano de simetría elástica del material es el plano X2 X3:
X3
X2
X1
Figura 3-23
Basándonos en que estados de carga simétricos deben tener una respuesta simétrica de
deformación, se plantea la relación tensión – deformación y se marcan con un asterisco
los estados de tensión y deformación elementales simétricos respecto al plano X2 X3 .
Así:
σ 11*  C11 C12
 * 
C22
σ 22  
* 
σ 33
 
 =
σ 12  
σ 13  
 * 
σ 23  
C13
C14
C15
C23 C24
C25
C33
C34
C35
C44
C45
C55
C16  ε11* 
 *
C26  ε 22

* 
C36  ε 33

 
C46  ε12 
C56  ε13 
 * 
C66  ε 23

CAPÍTULO III
28
Efectivamente:
σ11 así como ε11 son evidentemente simétricos respecto al plano X2 X3.
σ22 y ε22 son simétricos porque son paralelos plano al igual que σ33 y ε33. Este asunto
trata de aclararse en la figura siguiente, en que se marcan 4 puntos A y A´ ; B y B´ y
se dibujan las correspondientes tensiones:
Deformaciones Simétricas en dirección 3
A´
•
Plano de
simetría
3
B´
•
2
A
•
•B
1
Deformación simétrica en dirección 2
Deformaciones Simétricas en dirección 1
Se ve inmediatamente que las tensiones σ 33 en el punto A y A´ son simétricas y que las
tensiones σ 22 en los puntos B y B´también lo son.
Respecto a las tangenciales resulta:
A´
•
Plano de
simetría
Deformaciones ε23 Simétricas respecto al plano
B´
•
A
•
3
•B
Deformaciones ε21 AntiSimétricas respecto al plano
2
Deformaciones ε12 y ε13 AntiSimétricas respecto al plano
1
Figura 3-24
Si se explicita la primera ecuación resulta:
*
*
*
σ 11* = C11ε11* + C12ε 22
+ C13ε 33
+ C14ε12 + C15ε13 + C16ε 23
Es fácil darse cuenta que para que se mantenga la simetría forzosamente C14 y C15 han
de ser nulos, pues de lo contrario el estado resultante no sería simétrico. Dicho en otras
palabras, si se aplica una tensión σ11 los posibles estados elementales de deformaciones
CAPÍTULO III
29
*
*
que se pueden producir son ε11* ; ε 22
; ε 33
y si se produce alguna distorsión esa sería
*
ε 23
las otras deformaciones son imposibles de producir. De igual forma puede
deducirse que C24, C25, y C34 , C35 son nulos. La misma razón pero al contrario ocurre
con C64 y C65, pues ε12 y ε13 no son simétricos, luego no pueden incluir términos
simétricos. Y por último C44, C45 no son nulos pues σ12 no es simétrico pero ε12 y ε13
tampoco lo son, luego no hay razón alguna para anular dichas constantes. La ecuación
matricial resultante de las eliminaciones conduce a:
σ 11*  C11 C12
 * 
C22
σ 22  
*
σ 33  
 =
σ 12  
σ 13  
 * 
σ 23  
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
C44
C45
C55
C16  ε 11* 
 *
C26  ε 22

* 


C36 ε 33 
 
0  ε 12 
0  ε 13 
 * 
C66  ε 23

Como conclusión se obtiene que un material monoclínico necesita el conocimiento de
13 constantes para poder definir la relación tensión – deformación. La denominación de
monoclínico viene porque los cristales del sistema monoclínico cumplen la condición de
tener un plano de simetría elástica. Es interesante que el alumno observe que una
tensión aplicada en dirección 1, 2 o 3 provoca deformaciones en el plano 2-3, y que una
carga tangencial σ12 provoca deformaciones tangenciales ε12 y ε13
Si el material tiene dos planos de simetría elástica, por ejemplo el X1X2 y el X2X3
X3
X2
X1
Figura 3-25
La ecuación matricial que tiene en cuenta esta particularidad sería la anterior más la
correspondiente al plano X1X2 :
CAPÍTULO III
σ 11X1X 2 ; X 2 X 3
 X1 X 2 ; X 2 X 3
σ 22
σ 33X1X 2 ; X 2 X 3

X1 X 2
 σ 12
 σ 13X1 X 3

 σ 23X 2 X 3
 C11 C12
 
C22
 
 
=
 
 
 
 
30
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
C44
C45
C55
C16  ε 11X1X 2 ; X 2 X 3

C26  ε 22X1X 2 ; X 2 X 3
C36  ε 33X1X 2 ; X 2 X 3

0   ε 12X1 X 2
0   ε13X1X 3

C66   ε 23X 2 X 3









Donde los superíndices indican los planos a los que son simétricos las tensiones o
deformaciones. Escribiendo la primera ecuación resulta:
σ 11X X
1
2
; X2X3
= C11ε11X 1 X 2 ; X 2 X 3 + C12ε12X 1 X 2 ; X 2 X 3 + C13ε13X 1 X 2 ; X 2 X 3 + C16ε16X 2 X 3
De donde se deduce que C16 es nula. Efectivamente, supóngase que C11 = C12 = C13 = 0
que C16≠ 0 y que ε16 ≠ 0, ello implicaría que σ 11X 1 X 2 ; X 2 X 3 sólo es simétrica respecto al
plano X2X3 pero no respecto al plano X1X2 lo que contradice la hipótesis de simetría.
Otra forma de llegar a la misma conclusión es la siguiente:
C11ε11X 1 X 2 ; X 2 X 3 + C12ε12X 1 X 2 ; X 2 X 3 + C13ε13X 1 X 2 ; X 2 X 3 es una cantidad simétrica respecto a dos
planos, si C16≠ 0 implica que el resultado de la suma es una cantidad que sólo es
simétrica respecto al plano X2X3 pero no respecto al plano X1X2, luego contradice la
hipótesis inicial.
Aplicando igual razonamiento a las otras dos tensiones normales se concluye que:
C16 = 0 ;
C26 = 0
;
C36 = 0
Escribiendo la cuarta ecuación, resulta:
σ 12X X = C44ε12X X + C45ε13X X
1
2
1
1
2
3
Inmediatamente se concluye que C45 es nula por las razones de simetría anteriormente
mencionadas.
En definitiva la relación tensión - deformación queda:
σ 11X1X 2 ; X 2 X 3
 X1 X 2 ; X 2 X 3
σ 22
σ 33X1X 2 ; X 2 X 3

X1 X 2
 σ 12
 σ 13X1 X 3

 σ 23X 2 X 3
 C11 C12
 
C22
 
 
=
 
 
 
 
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
C44
0
C55
0  ε 11X1 X 2 ; X 2 X 3

0  ε 22X1 X 2 ; X 2 X 3
0  ε 33X1 X 2 ; X 2 X 3

0   ε 12X1X 2
0   ε 13X1 X 3

C66   ε 23X 2 X 3









Luego un material que tenga dos planos de simetría necesita 9 Constantes elásticas para
que la relación Tensión – Deformación quede definida. Es interesante notar que una
carga dirigida en la dirección de simetría no provoca deformaciones tangenciales, y que
una carga tangencial sólo provoca deformaciones tangenciales asociadas a dicha carga.
CAPÍTULO III
31
Si el material tiene tres planos de simetría (el tercero perpendicular a los dos anteriores),
no introduce ninguna simplificación respecto al número de constantes elásticas
necesarias, por lo que también necesitan 9 constantes elásticas para definir la relación
tensión – deformación. A este tipo de materiales se les denomina ortótropos (madera,
titanio, polímeros reforzados con tejidos, y los cristales del sistema rómbico).
Dentro de los materiales ortótropos, es necesario distinguir tres tipos:
-
Material Ortótropo que tiene distinto comportamiento mecánico en las tres
direcciones.
Material Ortótropo que tiene igual comportamiento mecánico en dos de sus
direcciones de simetría.
Material Ortótropo que tiene igual comportamiento mecánico en las tres
direcciones de simetría.
En el primer caso el número de constantes es de 9. En el segundo caso se reduce a 6
(cristales del sistema tetragonal), y en el tercer caso a 3 (cristales del sistema cúbico).
En este último caso la relación tensión – deformación es:
C12
C13 = C12
σ 11  C11
  
C22 = C11 C23 = C12
σ 22  
C33 = C11
σ 33  
 =
σ 12  
σ 13  
  
σ 23  
0
0
0
0
0
0
C44
0
C55 = C44
 ε 11 
 
0
 ε 22 
 ε 33 
0
 
0
 ε12 
 ε 13 
0
 
C66 = C44  ε 23 
0
Por último, un material transversalmente isótropo es aquel que posee una
microestructura con simetría de revolución alrededor de un eje que se denomina
dirección longitudinal o dirección de anisotropía, tal y como puede observarse en la
siguiente figura:
Dirección de anisotropía
X1
Planos en que cualquier
dirección es de simetría
X1
Figura 3-26
CAPÍTULO III
32
Como puede observarse cualquier dirección transversal a la de anisotropía es de
simetría, por lo que se convierte en isótropo transversal y de ahí el nombre de
transversalmente isótropo. Otra forma de ver a este tipo de material es observar que
cualquier plano que contenga a la dirección de anisotropía es de simetría, asunto que se
aclara en la siguiente figura:
X1
Eje de anisotropía
Plano
Puntos situados en un plano transversal
=>Respuesta simétrica ante una carga
transversal
Respuesta no simétrica ante una carga
transversal
X1
Figura 3-27
Para estudiar la relación tensión – deformación se escribe la relación para un material
ortótropo:
σ 11  C11 C12
  
C22
σ 22  
σ 33  
 =
σ 12  
σ 13  
  
σ 23  
C13
0
0
C23
0
0
C33
0
0
C44
0
C55
0  ε 11 
 
0  ε 22 
0  ε 33 
 
0  ε 12 
0  ε13 
 
C66  ε 23 
Está claro que el cuerpo debe responder de la misma manera ante un estado tensional en
dirección 2 que en dirección 3, luego C22 = C33. Ante un estado tensional en dirección 1
el cuerpo responde de forma diferente a como lo hizo en dirección 2 y 3, luego C11
existe y es diferente a las dos anteriores. Cuando se carga el cuerpo en dirección 1 se
producen deformaciones en las direcciones 2 y 3. Estas deformaciones deberían ser
iguales por razones de isotropía luego C12 = C13. Cuando se carga el cuerpo en dirección
2 se producen acortamientos en dirección 1 y 3, ambos no tiene que ser iguales, luego
C23 ≠ 0. Por último, C66 es independiente de la dirección 1 y por tanto está relacionado
con C22 y C23, y C44 y C55 deben ser iguales pero distintas al resto de constantes luego:
CAPÍTULO III
σ 11  C11 C12
  
C22
σ 22  
σ 33  
 =
σ 12  
σ 13  
  
σ 23  
3.10
33
C12
0
0
C23
0
0
C22
0
0
C44
0
C44
0  ε 11 
 
0  ε 22 
0  ε 33 
 
0  ε 12 
0  ε13 
 
C66  ε 23 
Relación entre las constantes elásticas en materiales Isótropos.
Según se vio, en la deducción de la ley de Hooke en ejes principales fue necesario hacer
uso de dos constantes: E y ν o bien Modulo de Elasticidad y Módulo de Poissón
respectivamente. Posteriormente, en la deducción de la ley de Hooke generalizada a ejes
cualesquiera se usó el Módulo de Rigidez G que era simplemente una combinación de
las dos anteriores, es decir:
G=
E
2 ( 1 +ν )
Luego al invertir la ley de Hooke para obtener las ecuaciones de Lamé se obtuvo la
constante de Lamé como combinación de E y ν.
En definitiva se han empleado las siguientes constantes:
E ; ν
; G ; λ
Aún se puede definir una quinta constante conocida como Módulo de Compresibilidad
K (Bulk Moduli en la nomenclatura anglosajona), que nace de la realización del ensayo
de compresión hidrostático (ensayo triaxial), consistente en someter a una probeta a una
presión uniforme en todas sus caras, de acuerdo con la figura 3-28
P
P
P
Figura 3-28
CAPÍTULO III
34
Si se parte de las ecuaciones 3-36 y se suman las tres primeras (las tres últimas no
existen en este tipo de ensayo) se obtiene:
(σ11 + σ 22 + σ 33 ) = σ kk = ( 3 λ + 2 G ) ( ε11 + ε 22 + ε 33 ) = ( 3 λ + 2 G ) ε kk
Recordando que ε kk =
∆V
y sustituyendo:
V
σ kk = ( 3 λ + 2 G
) ∆V
3-62
3-63
V
Sustituyendo valores: σ 11 = σ 22 = σ 33 = − p , y teniendo en cuenta que
∆V
también es
V
negativa, resulta:
p=
∆V
3λ+2G ∆V
=K
3
V
V
3-64
Es decir la constante K (Módulo de Compresibilidad) relaciona la presión aplicada con
el cambio de volumen, por tanto:
K=
E
3λ + 2G
=
3
3 ( 1 − 2ν
)
3-65
Lógicamente todas las constantes están relacionadas y a continuación se expresan
algunas de las posibles combinaciones:
2Gv G (E − 2G )
2
=K− G
=
1 − 2v
3G − E
3
E
λ (1 − 2v ) 3
=
= (K − λ )
G=
2(1 + v) )
2v
2
E
λ
λ
=
=
−1
v=
2(λ + G ) 3K − λ 2G
G (3λ + 2G ) λ (1 + v )(1 − 2v ) 9 K (K − λ )
=
=
E=
3K − λ
v
λ +G
2
E
λ (1 + v ) 2G (1 + v )
=
=
K =λ+ G=
3
3v
3(1 − 2v ) 3(1 − 2v )
λ=
3-66
Aparte es interesante reseñar las siguientes dos relaciones que suelen aparecer en ciertos
casos de resolución de problemas de Elasticidad:
G
= 1− 2 ν ;
λ +G
λ
λ + 2G
=
ν
1− ν
3-67
A la vista de lo expuesto y sabiendo que todas las constantes son reales y positivas es
fácil ver que necesariamente existen límites en sus valores. Así
CAPÍTULO III
( 1− 2ν ) ≥ 0
⇒ ν ≤
35
1
2
y
ν ≥0
Así, ν = 1 / 2 implica que K = ∞ o lo que es lo mismo: un material que cuando se le
somete a un estado de compresión no cambia de volumen (material incompresible ya
p
que K =
).
∆V
V
El otro límite ν = 0 significaría un material que cuando se le somete a un estado de
tracción no se acorta en las direcciones perpendiculares a las de aplicación de la fuerza.
CAPÍTULO III
36
René Descartes
Born: 31 March 1596 in La Haye (now Descartes),Touraine, France
Died: 11 Feb 1650 in Stockholm, Sweden
René Descartes was a philosopher whose work, La géométrie, includes his application
of algebra to geometry from which we now have Cartesian geometry.
Descartes was educated at the Jesuit college of La Flèche in Anjou. He entered the
college at the age of eight years, just a few months after the opening of the college in
January 1604. He studied there until 1612, studying classics, logic and traditional
Aristotelian philosophy. He also learnt mathematics from the books of Clavius. While
in the school his health was poor and he was granted permission to remain in bed until
11 o'clock in the morning, a custom he maintained until the year of his death.
School had made Descartes understand how little he knew, the only subject which was
satisfactory in his eyes was mathematics. This idea became the foundation for his way
of thinking, and was to form the basis for all his works.
Descartes spent a while in Paris, apparently keeping very much to himself, then he
studied at the University of Poitiers. He received a law degree from Poitiers in 1616
then enlisted in the military school at Breda. In 1618 he started studying mathematics
and mechanics under the Dutch scientist Isaac Beeckman, and began to seek a unified
science of nature. After two years in Holland he travelled through Europe. Then in 1619
he joined the Bavarian army.
From 1620 to 1628 Descartes travelled through Europe, spending time in Bohemia
(1620), Hungary (1621), Germany, Holland and France (1622-23). He spent time in
1623 in Paris where he made contact with Mersenne, an important contact which kept
him in touch with the scientific world for many years. From Paris he travelled to Italy
where he spent some time in Venice, then he returned to France again (1625).
By 1628 Descartes tired of the continual travelling and decided to settle down. He gave
much thought to choosing a country suited to his nature and chose Holland. It was a
good decision which he did not seem to regret over the next twenty years.
Soon after he settled in Holland Descartes began work on his first major treatise on
physics, Le Monde, ou Traité de la Lumière. This work was near completion when news
that Galileo was condemned to house arrest reached him. He, perhaps wisely, decided
not to risk publication and the work was published, only in part, after his death. He
explained later his change of direction saying:... in order to express my judgement more freely, without being called upon to assent to,
or to refute the opinions of the learned, I resolved to leave all this world to them and to
CAPÍTULO III
37
speak solely of what would happen in a new world, if God were now to create ... and
allow her to act in accordance with the laws He had established.
In Holland Descartes had a number of scientific friends as well as continued contact
with Mersenne. His friendship with Beeckman continued and he also had contact with
Mydorge, Hortensius, Huygens and Frans van Schooten (the elder).
Descartes was pressed by his friends to publish his ideas and, although he was adamant
in not publishing Le Monde, he wrote a treatise on science under the title Discours de la
méthod pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences. Three
appendices to this work were La Dioptrique, Les Météores, and La Géométrie. The
treatise was published at Leiden in 1637 and Descartes wrote to Mersenne saying:I have tried in my Dioptrique and my Météores to show that my Méthod is better than
the vulgar, and in my Géométrie to have demonstrated it.
The work describes what Descartes considers is a more satisfactory means of acquiring
knowledge than that presented by Aristotle's logic. Only mathematics, Descartes feels,
is certain, so all must be based on mathematics.
La Dioptrique is a work on optics and, although Descartes does not cite previous
scientists for the ideas he puts forward, in fact there is little new. However his approach
through experiment was an important contribution.
Les Météores is a work on meteorology and is important in being the first work which
attempts to put the study of weather on a scientific basis. However many of Descartes'
claims are not only wrong but could have easily been seen to be wrong if he had done
some easy experiments. For example Roger Bacon had demonstrated the error in the
commonly held belief that water which has been boiled freezes more quickly. However
Descartes claims:... and we see by experience that water which has been kept on a fire for some time
freezes more quickly than otherwise, the reason being that those of its parts which can
be most easily folded and bent are driven off during the heating, leaving only those
which are rigid.
Despite its many faults, the subject of meteorology was set on course after publication
of Les Météores particularly through the work of Boyle, Hooke and Halley.
La Géométrie is by far the most important part of this work. In [17] Scott summarises
the importance of this work in four points:He makes the first step towards a theory of invariants, which at later stages derelativises
the system of reference and removes arbitrariness.
Algebra makes it possible to recognise the typical problems in geometry and to bring
together problems which in geometrical dress would not appear to be related at all.
Algebra imports into geometry the most natural principles of division and the most
natural hierarchy of method.
Not only can questions of solvability and geometrical possibility be decided elegantly,
quickly and fully from the parallel algebra, without it they cannot be decided at all.
Some ideas in La Géométrie may have come from earlier work of Oresme but in
Oresme's work there is no evidence of linking algebra and geometry. Wallis in Algebra
(1685) strongly argues the the ideas of La Géométrie were copied from Harriot. Wallis
writes:... the Praxis was read by Descartes, and every line of Descartes' analysis bears token of
the impression.
There seems little to justify Wallis's claim, which was probably made partly through
partiotism but also through his just desires to give Harriot more credit for his work.
Harriot's work on equations, however, may indeed have influenced Descartes who
CAPÍTULO III
38
always claimed, clearly falsely, that nothing in his work was influenced by the work of
others.
Descartes' Meditations on First Philosophy, was published in 1641, designed for the
philosopher and for the theologian. It consists of six meditations, Of the Things that we
may doubt, Of the Nature of the Human Mind, Of God: that He exists, Of Truth and
Error, Of the Essence of Material Things, Of the Existence of Material Things and of
the Real Distinction between the Mind and the Body of Man. However many scientists
were opposed to Descartes' ideas including Arnauld, Hobbes and Gassendi.
The most comprehensive of Descartes' works, Principia Philosophiae was published in
Amsterdam in 1644. In four parts, The Principles of Human Knowledge, The Principles
of Material Things, Of the Visible World and The Earth, it attempts to put the whole
universe on a mathematical foundation reducing the study to one of mechanics.
This is an important point of view and was to point the way forward. Descartes did not
believe in action at a distance. Therefore, given this, there could be no vacuum around
the Earth otherwise there was way that forces could be transferred. In many ways
Descartes's theory, where forces work through contact, is more satisfactory than the
mysterious effect of gravity acting at a distance.
However Descartes' mechanics leaves much to be desired. He assumes that the universe
is filled with matter which, due to some initial motion, has settled down into a system of
vortices which carry the sun, the stars, the planets and comets in their paths. Despite the
problems with the vortex theory it was championed in France for nearly one hundred
years even after Newton showed it was impossible as a dynamical system. As Brewster,
one of Newton's 19th century biographers, puts it:Thus entrenched as the Cartesian system was ... it was not to be wondered at that the
pure and sublime doctrines of the Principia were distrustfully received ... The
uninstructed mind could not readily admit the idea that the great masses of the planets
were suspended in empty space, and retained their orbits by an invisible influence...
Pleasing as Descartes's theory was even the supporters of his natural philosophy, such
as the Cambridge metaphysical theologian Henry More, found objections. Certainly
More admired Descartes, writing:I should look upon Des-Cartes as a man most truly inspired in the knowledge of Nature,
than any that have professed themselves so these sixteen hundred years...
However between 1648 and 1649 they exchanged a number of letters in which More
made some telling objections, Descartes however in his replies making no concessions
to More's points. More went on to ask:Why are not your vortices in the form of columns or cylinders rather than ellipses, since
any point of the axis of a vortex is as it were a centre from which the celestial matter
recedes with, as far as I can see, a wholly constant impetus? ... Who causes all the
planets not to revolve in one plane (the plane of the ecliptic)? ... And the Moon itself,
neither in the plane of the Earth's equator nor in a plane parallel to this?
In 1644, the year his Meditations were published, Descartes visited France. He returned
again in 1647, when he met Pascal and argued with him that a vacuum could not exist,
and then again in 1648.
In 1649 Queen Christina of Sweden persuaded Descartes to go to Stockholm. However
the Queen wanted to draw tangents at 5 a.m. and Descartes broke the habit of his
lifetime of getting up at 11 o'clock. After only a few months in the cold northern
climate, walking to the palace for 5 o'clock every morning, he died of pneumonia.
CAPÍTULO III
39
Johann Carl Friedrich Gauss
Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)
Died: 23 Feb 1855 in Göttingen, Hanover (now Germany)
At the age of seven, Carl Friedrich Gauss started elementary school, and his potential
was noticed almost immediately. His teacher, Büttner, and his assistant, Martin Bartels,
were amazed when Gauss summed the integers from 1 to 100 instantly by spotting that
the sum was 50 pairs of numbers each pair summing to 101.
In 1788 Gauss began his education at the Gymnasium with the help of Büttner and
Bartels, where he learnt High German and Latin. After receiving a stipend from the
Duke of Brunswick- Wolfenbüttel, Gauss entered Brunswick Collegium Carolinum in
1792. At the academy Gauss independently discovered Bode's law, the binomial
theorem and the arithmetic- geometric mean, as well as the law of quadratic reciprocity
and the prime number theorem.
In 1795 Gauss left Brunswick to study at Göttingen University. Gauss's teacher there
was Kaestner, whom Gauss often ridiculed. His only known friend amongst the students
was Farkas Bolyai. They met in 1799 and corresponded with each other for many years.
Gauss left Göttingen in 1798 without a diploma, but by this time he had made one of his
most important discoveries - the construction of a regular 17-gon by ruler and
compasses This was the most major advance in this field since the time of Greek
mathematics and was published as Section VII of Gauss's famous work, Disquisitiones
Arithmeticae.
Gauss returned to Brunswick where he received a degree in 1799. After the Duke of
Brunswick had agreed to continue Gauss's stipend, he requested that Gauss submit a
doctoral dissertation to the University of Helmstedt. He already knew Pfaff, who was
chosen to be his advisor. Gauss's dissertation was a discussion of the fundamental
theorem of algebra.
With his stipend to support him, Gauss did not need to find a job so devoted himself to
research. He published the book Disquisitiones Arithmeticae in the summer of 1801.
There were seven sections, all but the last section, referred to above, being devoted to
number theory.
CAPÍTULO III
40
In June 1801, Zach, an astronomer whom Gauss had come to know two or three years
previously, published the orbital positions of Ceres, a new "small planet" which was
discovered by G Piazzi, an Italian astronomer on 1 January, 1801. Unfortunately, Piazzi
had only been able to observe 9 degrees of its orbit before it disappeared behind the
Sun. Zach published several predictions of its position, including one by Gauss which
differed greatly from the others. When Ceres was rediscovered by Zach on 7 December
1801 it was almost exactly where Gauss had predicted. Although he did not disclose his
methods at the time, Gauss had used his least squares approximation method.
In June 1802 Gauss visited Olbers who had discovered Pallas in March of that year and
Gauss investigated its orbit. Olbers requested that Gauss be made director of the
proposed new observatory in Göttingen, but no action was taken. Gauss began
corresponding with Bessel, whom he did not meet until 1825, and with Sophie Germain.
Gauss married Johanna Ostoff on 9 October, 1805. Despite having a happy personal life
for the first time, his benefactor, the Duke of Brunswick, was killed fighting for the
Prussian army. In 1807 Gauss left Brunswick to take up the position of director of the
Göttingen observatory.
Gauss arrived in Göttingen in late 1807. In 1808 his father died, and a year later Gauss's
wife Johanna died after giving birth to their second son, who was to die soon after her.
Gauss was shattered and wrote to Olbers asking him to give him a home for a few
weeks,
to gather new strength in the arms of your friendship - strength for a life which is only
valuable because it belongs to my three small children.
Gauss was married for a second time the next year, to Minna the best friend of Johanna,
and although they had three children, this marriage seemed to be one of convenience for
Gauss.
Gauss's work never seemed to suffer from his personal tragedy. He published his second
book, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, in
1809, a major two volume treatise on the motion of celestial bodies. In the first volume
he discussed differential equations, conic sections and elliptic orbits, while in the
second volume, the main part of the work, he showed how to estimate and then to refine
the estimation of a planet's orbit. Gauss's contributions to theoretical astronomy stopped
after 1817, although he went on making observations until the age of 70.
Much of Gauss's time was spent on a new observatory, completed in 1816, but he still
found the time to work on other subjects. His publications during this time include
Disquisitiones generales circa seriem infinitam, a rigorous treatment of series and an
introduction of the hypergeometric function, Methodus nova integralium valores per
approximationem inveniendi, a practical essay on approximate integration, Bestimmung
der Genauigkeit der Beobachtungen, a discussion of statistical estimators, and Theoria
attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova
tractata. The latter work was inspired by geodesic problems and was principally
concerned with potential theory. In fact, Gauss found himself more and more interested
in geodesy in the 1820s.
Gauss had been asked in 1818 to carry out a geodesic survey of the state of Hanover to
link up with the existing Danish grid. Gauss was pleased to accept and took personal
charge of the survey, making measurements during the day and reducing them at night,
using his extraordinary mental capacity for calculations. He regularly wrote to
Schumacher, Olbers and Bessel, reporting on his progress and discussing problems.
Because of the survey, Gauss invented the heliotrope which worked by reflecting the
Sun's rays using a design of mirrors and a small telescope. However, inaccurate base
lines were used for the survey and an unsatisfactory network of triangles. Gauss often
CAPÍTULO III
41
wondered if he would have been better advised to have pursued some other occupation
but he published over 70 papers between 1820 and 1830.
In 1822 Gauss won the Copenhagen University Prize with Theoria attractionis...
together with the idea of mapping one surface onto another so that the two are similar in
their smallest parts. This paper was published in 1825 and led to the much later
publication of Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie (1843 and
1846). The paper Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae
(1823), with its supplement (1828), was devoted to mathematical statistics, in particular
to the least squares method.
From the early 1800s Gauss had an interest in the question of the possible existence of a
non-Euclidean geometry. He discussed this topic at length with Farkas Bolyai and in his
correspondence with Gerling and Schumacher. In a book review in 1816 he discussed
proofs which deduced the axiom of parallels from the other Euclidean axioms,
suggesting that he believed in the existence of non-Euclidean geometry, although he
was rather vague. Gauss confided in Schumacher, telling him that he believed his
reputation would suffer if he admitted in public that he believed in the existence of such
a geometry.
In 1831 Farkas Bolyai sent to Gauss his son János Bolyai's work on the subject. Gauss
replied
to praise it would mean to praise myself .
Again, a decade later, when he was informed of Lobachevsky's work on the subject, he
praised its "genuinely geometric" character, while in a letter to Schumacher in 1846,
states that he
had the same convictions for 54 years
indicating that he had known of the existence of a non-Euclidean geometry since he was
15 years of age (this seems unlikely).
Gauss had a major interest in differential geometry, and published many papers on the
subject. Disquisitiones generales circa superficies curva (1828) was his most renowned
work in this field. In fact, this paper rose from his geodesic interests, but it contained
such geometrical ideas as Gaussian curvature. The paper also includes Gauss's famous
theorema egregrium:
If an area in E3 can be developed (i.e. mapped isometrically) into another area of E3,
the values of the Gaussian curvatures are identical in corresponding points.
The period 1817-1832 was a particularly distressing time for Gauss. He took in his sick
mother in 1817, who stayed until her death in 1839, while he was arguing with his wife
and her family about whether they should go to Berlin. He had been offered a position
at Berlin University and Minna and her family were keen to move there. Gauss,
however, never liked change and decided to stay in Göttingen. In 1831 Gauss's second
wife died after a long illness.
In 1831, Wilhelm Weber arrived in Göttingen as physics professor filling Tobias
Mayer's chair. Gauss had known Weber since 1828 and supported his appointment.
Gauss had worked on physics before 1831, publishing Über ein neues allgemeines
Grundgesetz der Mechanik, which contained the principle of least constraint, and
Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii which discussed forces
of attraction. These papers were based on Gauss's potential theory, which proved of
great importance in his work on physics. He later came to believe his potential theory
and his method of least squares provided vital links between science and nature.
In 1832, Gauss and Weber began investigating the theory of terrestrial magnetism after
Alexander von Humboldt attempted to obtain Gauss's assistance in making a grid of
magnetic observation points around the Earth. Gauss was excited by this prospect and
CAPÍTULO III
42
by 1840 he had written three important papers on the subject: Intensitas vis magneticae
terrestris ad mensuram absolutam revocata (1832), Allgemeine Theorie des
Erdmagnetismus (1839) and Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten
Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und
Abstossungskräfte (1840). These papers all dealt with the current theories on terrestrial
magnetism, including Poisson's ideas, absolute measure for magnetic force and an
empirical definition of terrestrial magnetism. Dirichlet's principle was mentioned
without proof.
Allgemeine Theorie... showed that there can only be two poles in the globe and went on
to prove an important theorem, which concerned the determination of the intensity of
the horizontal component of the magnetic force along with the angle of inclination.
Gauss used the Laplace equation to aid him with his calculations, and ended up
specifying a location for the magnetic South pole.
Humboldt had devised a calendar for observations of magnetic declination. However,
once Gauss's new magnetic observatory (completed in 1833 - free of all magnetic
metals) had been built, he proceeded to alter many of Humboldt's procedures, not
pleasing Humboldt greatly. However, Gauss's changes obtained more accurate results
with less effort.
Gauss and Weber achieved much in their six years together. They discovered
Kirchhoff's laws, as well as building a primitive telegraph device which could send
messages over a distance of 5000 ft. However, this was just an enjoyable pastime for
Gauss. He was more interested in the task of establishing a world-wide net of magnetic
observation points. This occupation produced many concrete results. The Magnetischer
Verein and its journal were founded, and the atlas of geomagnetism was published,
while Gauss and Weber's own journal in which their results were published ran from
1836 to 1841.
In 1837, Weber was forced to leave Göttingen when he became involved in a political
dispute and, from this time, Gauss's activity gradually decreased. He still produced
letters in response to fellow scientists' discoveries usually remarking that he had known
the methods for years but had never felt the need to publish. Sometimes he seemed
extremely pleased with advances made by other mathematicians, particularly that of
Eisenstein and of Lobachevsky.
Gauss spent the years from 1845 to 1851 updating the Göttingen University widow's
fund. This work gave him practical experience in financial matters, and he went on to
make his fortune through shrewd investments in bonds issued by private companies.
Two of Gauss's last doctoral students were Moritz Cantor and Dedekind. Dedekind
wrote a fine description of his supervisor
... usually he sat in a comfortable attitude, looking down, slightly stooped, with hands
folded above his lap. He spoke quite freely, very clearly, simply and plainly: but when
he wanted to emphasise a new viewpoint ... then he lifted his head, turned to one of
those sitting next to him, and gazed at him with his beautiful, penetrating blue eyes
during the emphatic speech. ... If he proceeded from an explanation of principles to the
development of mathematical formulas, then he got up, and in a stately very upright
posture he wrote on a blackboard beside him in his peculiarly beautiful handwriting: he
always succeeded through economy and deliberate arrangement in making do with a
rather small space. For numerical examples, on whose careful completion he placed
special value, he brought along the requisite data on little slips of paper.
Gauss presented his golden jubilee lecture in 1849, fifty years after his diploma had
been granted by Helmstedt University. It was appropriately a variation on his
CAPÍTULO III
43
dissertation of 1799. From the mathematical community only Jacobi and Dirichlet were
present, but Gauss received many messages and honours.
From 1850 onwards Gauss's work was again nearly all of a practical nature although he
did approve Riemann's doctoral thesis and heard his probationary lecture. His last
known scientific exchange was with Gerling. He discussed a modified Foucault
pendulum in 1854. He was also able to attend the opening of the new railway link
between Hanover and Göttingen, but this proved to be his last outing. His health
deteriorated slowly, and Gauss died in his sleep early in the morning of 23 February,
1855.
Eugène Maurice Pierre Cosserat
Born: 4 March 1866 in Amiens, France
Died: 31 May 1931 in Toulouse, France
Eugène Cosserat was educated first in Amiens, then at the age of 17, he entered the
École Normale Supérieure in Paris. After graduating he was appointed to the
Observatory in Toulouse in 1886. Ten years later he became professor of differential
calculus at the Faculty of Science at Toulouse.
In 1908 Cosserat was appointed to the chair of astronomy at Toulouse, becoming
director of the Observatory there for the rest of his life.
Although he was not living in Paris, Cosserat was elected to the Académie des Sciences
in 1919 and, four years later, to the Bureau de Longitude. Because he was in Toulouse
he was made a non-resident, corresponding member of these organisations.
In [1] Cosserat is described as follows:A reserved, kindly man and a diligent worker, Cosserat was one of the
moving forces in the University of Toulouse for thirty five years.
Cosserat worked on astronomy and mathematics. In the first part of his career he made
observations of double stars, observed planets and comets and did research in geometry.
His doctoral dissertation extended Plücker's concept of generation by means of straight
lines. He considered infinitesimal properties of space generated by circles.
In his later work, Cosserat studied the deformation of surfaces which led him to a
theory of elasticity. This work was carried out in collaboration with his brother
who was an engineer. He studied functional equations of the sphere and ellipsoid
before Fredholm.
Cosserat also worked on mechanics based on euclidean laws and built into an original
and coherent theory. However his work in this area, although important at the time, was
overtaken by the theory of relativity and other advances in theoretical physics.
CAPÍTULO III
44
Cosserat Elasticity; micropolar elasticity
University of Wisconsin
[Experiment, dense foams] [Bone and osteons] [Chiral composites]
[Rod Lakes Home]
The Cosserat theory of elasticity, also known as micropolar elasticity, incorporates a
local rotation of points as well as the translation assumed in classical elasticity; and a
couple stress (a torque per unit area) as well as the force stress (force per unit area). The
force stress is referred to simply as 'stress' in classical elasticity in which there is no
other kind of stress. The idea of a couple stress can be traced to Voigt during the early
development of the theory of elasticity. More recently, theories incorporating couple
stresses were developed using the full capabilities of modern continuum mechanics.
Early theoretical work was done by the Cosserat brothers, by Mindlin, and by Nowacki.
Eringen incorporated micro-inertia and renamed Cosserat elasticity micropolar
elasticity. In the isotropic Cosserat solid there are six elastic constants, in contrast to the
classical elastic solid in which there are two, and the uniconstant material in which there
is one.
Research is presented below in aspects of composite materials, micromechanics, cellular
solids, and biological materials which can be understood via Cosserat (or micropolar)
elasticity. Most of the work is experimental mechanics in nature. We experimentally
determine the Cosserat elastic constants, and demonstrate the predictive power of
Cosserat elasticity in correctly predicting strain distribution using elastic constants
determined by the method of size effects as shown in the diagram below.
Download pdf of a review article.
This diagram shows the distribution of strain measured in the torsion of a prismatic
specimen of bone, of square cross section. Shown for comparison is the theoretical
strain distribution according to classical elasticity. That strain vanishes at the corner of
the cross section. Also shown is the theoretical strain distribution according to Cosserat
elasticity. The elastic constants used for the calculation were determined in independent
measurements of size effects on wet bone. The predictive power of Cosserat elasticity is
illustrated. Wet bone follows the Cosserat curve. Strain is redistributed from peak
CAPÍTULO III
45
regions to regions which are classically forbidden so that stress concentration is
ameliorated for bone.
Cosserat equations. Click on image for larger image.
Classical elasticity is, according to its name, the currently accepted theory of elasticity.
The following behavior is predicted.
(i) The rigidity of circular cylindrical bars of diameter d in tension is proportional to the
square of the diameter; in bending and torsion, the rigidity is proportional to the fourth
power of the diameter.
(ii) The wave speed of plane shear waves and dilatational waves in an unbounded
medium is independent of frequency.
(iii) There is no length scale in classical elasticity, hence stress concentration factors for
holes or inclusions in an infinite domain under a uniform stress field depend only on the
shape of the inhomogeneity, not on its size.
Cosserat or micropolar elasticity has the following consequences in isotropic materials.
(i) A size-effect [see experimental figure] is predicted in the torsion of circular cylinders
and of square section bars of Cosserat elastic materials. Slender cylinders appear more
stiff then expected classically. A similar size effect is also predicted in the bending of
plates and of beams. No size effect is predicted in tension.
(ii) The stress concentration factor for a circular hole, is smaller than the classical value,
and small holes exhibit less stress concentration than larger ones.
(iii) The wave speed of plane shear waves and dilatational waves in an unbounded
CAPÍTULO III
46
Cosserat elastic medium is independent of frequency as in the classical case. The speed
of shear waves depends on frequency in a Cosserat solid. A new kind of wave
associated with the micro- rotation is predicted to occur in Cosserat solids. (iv) The
range in Poisson's ratio is from -1 to +0.5, the same as in the classical case .