1Solucions a les activitats de cada epígraf

1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 1
PÀGINA 20
°
§
§
§
§ RACIONALES
§
Q
¢
§
§
§
§
§
£
°
° NATURALES
§
§
8 0, 7, 15,
§
§
N
ENTEROS
§
¢
§
Z §§ ENTEROS 8 –13, – 48,
¢
§
£ NEGATIVOS
§
)
§ FRACCIONARIOS 8 8,92; –15,8 63;
§
£ (racionales no enteros)
5
33 , √32
11
3
– 24 , √–27
6
7 ; – 87 ; …
11
5
3
8 √2 , √5 , – √8 , √4 , …
NO RACIONALES
Sabem reconéixer diversos conjunts numèrics ben estructurats:
• Els naturals, N.
• Si a aquests els afegim els seus oposats (negatius), obtenim el conjunt dels enters, Z.
• Si als enters els afegim els fraccionaris, obtenim el conjunt dels racionals, Q.
• Si als racionals els afegim els no racionals, aconseguirem un conjunt
ben estructurat?
1
Escriu tres nombres naturals i tres nombres enters que no siguen naturals.
Por ejemplo:
NATURALES
ENTEROS NO NATURALES
2, 3, 4
–1, –7, –3
2 Escriu tres nombres racionals que no siguen enters i tres nombres que no
siguen racionals.
Por ejemplo:
RACIONALES NO ENTEROS
NO RACIONALES
3 , 1 , –2
4 2 3
π; √2 ; 0,1010010001…
3 Situa els nombres anteriors en un esquema com aquest:
3
—
1
—
4
2 –2
—
3
–1
–7
2
3
4
–3
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 2
PÀGINA 21
ABANS DE COMENÇAR, RECORDA
1
Troba la fracció irreductible equivalent als següents nombres decimals i descompon-ne en factors primers els denominadors:
a) 6,388
b)0,00875
2
a) 6,388 = 6 388 = 2 2· 1 597 = 1 5973
1 000
2·5
2 · 250
b) 0,00875 =
875 = 53 · 7 = 7
100 000 53 · 800 25 · 52
2 Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimals
exactes:
a) 3 741
100 000
b) 3 147
1 250
2
c) 2 · 23 · 5 · 37 · 91
2 ·3·5 ·7
d) 57 330
10 500
a) 3 741 = 357415
100 000 2 · 5
b) 3 147 = 3 1474
1 250 2 · 5
2
c) 2 · 23 · 5 · 37 · 91 = 3 · 912
2·5
2 ·3·5 ·7
d) 57 330 = 2 · 52 · 33· 7 · 273 = 2732
10 500
2 ·5 ·3·7
2·5
Son equivalentes a números decimales exactos porque en sus fracciones irreducibles los denominadores solo tienen factores 2 y 5.
3 Troba la fracció generatriu de:
)
)
b)0,051
) 48 – 4 44
a) 4,8 =
=
9
9
a) 4,8
)
b) 0,051 = 51
990
)
c) 1,23456 = 123 456 – 123 = 123 333
99 900
99 900
)
d) 7,456 = 7 456 – 745 = 6 711
900
900
)
c) 1,23456
)
d)7,456
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 3
4 Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimals periòdics:
a) 3
7
b) 20
300
c)
37
2·5·7
2
d) 2 · 3 · 52 · 11
2 · 3 · 5 · 19
a) 3 es una fracción irreducible y su denominador, 7, es distinto de 2 y de 5.
7
b) 20 = 1 . Hay un 3 en el denominador de su fracción irreducible.
300 3 · 5
c)
37 . Es una fracción irreducible, y hay un 7 en su denominador.
2·5·7
2
d) 2 · 3 · 52 · 11 = 2 · 11 . En el denominador de su fracción irreducible hay un
2 · 3 · 5 · 19 5 · 19 factor distinto de 2 y de 5, el 19.
PÀGINA 22
Fes-ho tu
Demostra que √3 és irracional.
Supongamos que √3 es racional. En este caso lo podemos escribir así:
a2
√3 = a 8 3 = 2 8 3b 2 = a2
b
b
Al ser b 2 un cuadrado perfecto, contiene el factor 3 un número par de veces. Por tanto, 3b 2 contiene el factor 3 un número impar de veces, lo cual es contradictorio con
que a2 (a2 = 3b 2 ), por ser cuadrado perfecto, lo contendría un número par de veces.
Fes-ho tu
Demostra que 3√7 + 15 és irracional.
Veamos primeramente que √7 es irracional. Si no lo fuese, podríamos escribir:
√7 = a 8 7b 2 = a2
b
Razonando de forma similar al ejercicio anterior, llegaríamos a una contradicción, probando que, efectivamente, √7 es irracional.
Ahora llamamos N = 3√7 + 15 8 √7 = N – 15
3
Si fuese N racional, N – 15 también lo sería. Es decir, √7 sería racional, y no lo es.
3
Por tanto, N = 3√7 + 15 es un número irracional.
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 4
PÀGINA 23
1
Justifica que les construccions següents:
F
—
√5
—
2
1
1/2
F
1
1
—
2
1
—
2
donen un segment de mesura igual al número d’or:
F=
F
2
2
2
a = 1 (radio de la circunferencia)
2
a
1/2
√5 + 1 = √5 + 1
b
Aplicando el teorema de Pitágoras:
1
b=
1
1
5
√(—2 ) + 1 = √—4 + 1 = √—4 = √
2
2
5
2
√5
F=a+b= 1 +
2
2
—
√5
—
b 2
F
2
1
—
2
1
√5
F=a+b= 1 +
2
2
a
1
—
2
Volem demostrar que el número d’or, F, és irracional. Sabem que √5 ho és (pel
mateix que √2 ). Observa que:
Si F =
√ 5 + 1 , aleshores:
2
2F = √5 + 1 8 √5 = 2F – 1
De la igualtat √5 = 2F – 1, què deduiríem si F fóra racional?
Si F fuese racional, 2 F – 1 también sería racional, lo que contradice el que √5
es irracional.
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 5
PÀGINA 24
1
Representa 5 , – 5 i 26 en la recta real.
7 7 7
1
1
–1 –5/7
0
5/7
1
1
2
3
26/7 4
26 = 3 + 5
7
7
2
Justifica la construción de √2 , √3 y √10 .
Representa √11 i √17 (17 = 42 + 12).
√2 es la diagonal de un cuadrado de lado 1, el cual podemos construir.
√3 es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y √2 , que podemos construir.
√10 es la diagonal de un rectángulo de lados 1 y 3, y lo podemos construir.
1
0
1
2
1
3 √—
11
4 √—
17
PÀGINA 25
3
Representa en la recta real els nombres:
a) –2; 3,75; √5 ; 0,666… de forma exacta.
b) F de forma exacta
( 1 +2√ 5 ) i aproximada (1,618…).
a)
1
–2
–1
0
) 2 1
0,6 = —
3
2 √—
5
3
3,75 4
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 6
b)
0
—
√5
—
2
0
1/2
1
2
1,6
1,7
1
F
1
2
1,61
1,62
1,618
1,619
PÀGINA 27
1
Escriu els conjunts següents en forma d’interval i representa els nombres que
complixen les condicions indicades en cada cas:
a) Compresos entre 5 i 6, ambdós inclosos.
b) Majors que 7.
c) Menors o iguals que –5.
a) [5, 6]
5
6
b)
c) (–@, –5]
2
(7, +@)
–5
Escriu en forma d’interval i representa:
a) {x / 3 Ì x < 5}
b) {x / x Ó 0}
c) {x / –3 < x < 1}
d) {x / x < 8}
a) [3, 5)
3
b) [0, +@)
c) (–3, 1)
d) (–@, 8)
5
0
–3
0
8
1
7
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 7
3
Escriu en forma de desigualtat i representa:
a) (–1, 4]
c) (– @, – 4)
b)[0, 6]
a) {x / –1 < x Ì 4}
–1
b) {x / 0 Ì x Ì 6}
4
0
6
c) {x / x < –4}
d) {x / x Ó 9}
d)[9, +@)
–4
9
PÀGINA 28
Càlcul mental
1
Digues el valor de k en cada cas:
3
k
b) √–243 = –3
a) √k = 2
4
c) √k = 2
3
3
a) k = 2 = 8
c) k =
2
1
k
d) √1 024 = 2
b) –243 = (–3)5 8 k = 5
24
34
d) 1 024 = 210 8 k = 10
Calcula les arrels següents:
a) √8
3
b) √32
5
c) √–32
d) √0
8
a) –2
d) 0
5
e) √81
4
f ) √125
b) 2
e) 3
c) –2
f) 5
3
Expressa en forma exponencial.
b) (√x 2 )5
3
c) √a 6
3 —
e) √ √ x
n m—
f ) √ √ ak
a) x 1/5
b) x 10/3
c) a6/15
d) (a13 – 6)1/2 = a7/2
e) (x 1/2)1/3 = x 1/6
f ) (ak/m)1/n = ak/m · n
5
a) √x
d)
√
a13
a6
15
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 8
2
Calcul.
a) 41/2
c) 6251/4
e) 645/6
b) 1251/3
d) 82/3
f ) 363/2
a) 41/2 = √4 = 2
b) 1251/3 = √125 = 5
3
4
3
d) 82/3 = √82 = 4
c) 6251/4 = √625 = 5
6
f ) 363/2 = √363 = 63 = 216
e) 645/6 = √645 = 25
3
Expresa en forma radical.
a) x 7/9
b) (m 5 · n 5)1/3
c) a1/2 · b 1/3
d) [(x 2)1/3]1/5
9
3
a) √x 7
3
b) √(m · n)5
5 3—
15
d) √ √x 2 = √x 2
6
c) √a · √b = √a3 b 2
PÀGINA 29
Troba amb la calculadora:
1
a) √541
b) 3272
3
c) √8,53
a) √541 = 23,259406…
b) 3272 = 106 929
3
c) √8,53 = 2,0432257…
2
5
a) √8,24
6
c) √79,46
4
c) √0,0082
b) √586
4
5
a) √8,24 = 1,5247036…
6
b) √586 = 2,8927857…
4
c) √79,46 = 2,9856379…
3
5
a) √372
5
a) √372 = 4,2391686…
4
b) √2,15 = 2,5279828…
3
c) √0,0082 = 0,04
b) √2,15
3
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 9
PÀGINA 31
1
Simplifica.
12
b) √x 8
6
e) √64
a) √x 9
d) √8
12
4
12
3
12
c) √y 10
5
9
f ) √81
8
a) √x 9 = x 9/12 = x 3/4 = √x 3
b) √x 8 = x 8/12 = x 2/3 = √x 2
5
c) √y 10 = y 2
6
6
d) √8 = √23 = 21/2 = √2
9
9
8
8
3
e) √64 = √26 = 26/9 = 22/3 = √4
f ) √81 = √34 = 31/2 = √3
2
Quin dels dos és major en cada cas?
4
3
3
9
a) √31 y √13
b) √51 y √132 650
°
§ 4
3
¢ √31 > √13
§
3
12
12
√13 = √134 = √28 561 §
£
4
12
12
a) √31 = √313 = √29 791 §
3
9
9
b) √51 = √513 = √132 651 °§
9
§ 3
¢ √51 > √132 650
§
§
£
9
√132 650
3
Reduïx.
3
5
3
3
5
15
3
6
6
a) √2 · √2
6
10
c) √a4 b 6
b) √6 · √3
15
15
a) √2 · √2 = √25 · √23 = √28
6
6
6
3
b) √6 · √3 = √62 · √3 = √62 · 3 = √22 · 33 = √3 · √2
10
5
c) √a4 b 6 = √a2 b 3
4
Trau del radical els factors que siga possible.
3
3
a) √32x 4
b) √81a3 b 5 c
3
3
3
a) √32x 4 = √25x 4 = 2x √4x
3
3
3
b) √81a3 b 5 c = √34a3b 5 c = 3ab √3b 2 c
5
5
5
c) √64 = √26 = 2 √2
5
c) √64
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 10
5
Simplifica.
5
4
√9
a) 3
√3
√ 16
b)
√2
d) (√a2 )6
e) (√x )3 · (√x )
3
a)
√9 =
3
√3
5
b)
—
— 8
f ) (√ √√ 2 )
3
√ √
√ √
√ √
93
=
32
6
6
√ a3 b 5 c
√ ab 3 c 3
36 6 4 3 2
= √3 = √3
32
√ 16 = 10 162 = 10 28 = 10√23
25
25
√2
4
c)
c)
√ a3 b 5c =
√ ab 3c 3
4
a3b 5c
=
a2b 6c 6
4
a
=1
bc 5 c
√
4
a
bc
d) (√a2 )6 = a12/3 = a4
3
e) (√x )3 · √x = x 3/2 · x 1/3 = x 11/6 = √x 11
—— 8
1/2 1/2 8
f ) (√ √ √ 2 ) = (((21/2) ) ) = (21/8)8 = 2
3
6
6
Efectua.
√18 + √50 – √2 – √8
√18 + √50 – √2 – √8 = √2 · 32 + √2 · 52 – √2 – √23 =
= 3√2 + 5√2 – √2 – 2√2 = 5√2
PÀGINA 32
7
Racionalitza els denominadors.
5
√5
a)
b)
√2
√7
2
√ 32
4
e) — —
√3 + √2
d) 5
a)
c)
3
2 – √3
— —
5
5√2
=
2
√2
3
f)
1
√2
3
b)
3
√5 = √5 √ 7
7
√7
5
5
1
2
2√ 33
√4
2 √ 33
√ 22
= 3—3— =
d) 5
= 5—5— =
3
3
2
√ 2 √ 2 √ 22
√ 32 √ 32 √ 33
— —
4
4(√ 3 – √ 2)
e) — — =
= 4 (√3 – √2 )
3–2
√3 + √2
—
3
3(2 +√ 3 )
f)
=
= 6 + 3√3
4–3
2 – √3
c)
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 11
PÀGINA 33
Cálcul mental
Expressa en notació científica els nombres següents:
a) 340 000
b) 0,00000319
c) 25 · 106
d) 0,04 · 109
e) 480 · 10–8
f ) 0,05 · 10–8
a) 340 000 = 3,4 · 105
b) 0,00000319 = 3,19 · 10–6
c) 25 · 106 = 2,5 · 107
d) 0,04 · 109 = 4 · 107
e) 480 · 10–8 = 4,8 · 10–6
f ) 0,05 · 10–8 = 5 · 10–10
PÀGINA 35
1
Pren 3,14 com a valor aproximat de π.
Dóna una fita de l’error absolut i una altra de l’error relatiu d’aquest nombre
irracional.
E.A. < 0,005
E.R. < 0,005 < 0,00159 = 1,59 · 10–3
3,14
2
Dóna el valor de 100F (recorda que F és el número d’or) amb 6 xifres significatives i delimita l’error absolut i l’error relatiu que es comet.
F = 1,61803398874…
Con seis cifras significativas, 100F = 161,803
E.A. (100F) < 0,0005
E.R. (100F) < 0,0005 < 0,00000309 = 3,09 · 10–6
161,803
3
La distància de la Terra al Sol és 149 000 000 km.
a) Expressa-la en notació científica.
b) Expressa-la en cm amb dues xifres significatives.
c) Expressa-la en cm amb quatre xifres significatives.
d) Delimita els errors absolut i relatiu en els tres casos anteriors.
a) 1,49 · 108 km
b) 1,5 · 1013 cm
c) 1,490 · 1013 cm
1
Solucions a les activitats de cada epígraf
Pàg. 12
d) CASO a) ° E.A. < 0,005 cientos de millones de kilómetros.
§
¢
§ E.R. < 0,005 < 0,00336
£
1,49
CASO
b) ° E.A. < 0,05 decenas de billones de centímetros.
CASO
c) ° E.A. < 0,0005 decenas de billones de centímetros.
§
¢
§ E.R. < 0,05 < 0,033
£
1,5
§
¢
§ E.R. < 0,0005 < 0,000336
£
1,490