Trabajo Práctico N°8: APLICACIONES DEL CÁLCULO

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Trabajo Práctico N°8: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Ejercicio 1: Calcule el área de la región limitada por las siguientes gráficas
a)
= +1
=0(
)
=0
=1
b)
d)
= cos
= 0(
)
= /2
= 3 /2
e)
=
+1
=0(
)
=1
=2
=
=
c)
f)
=
−1
=0(
)
=0
=2
=− +6
=
−2
Longitud de curvas planas
Ejercicio 2:
a) Calcule la longitud del segmento de la recta y=3x del punto (1;3) al punto (2;6) por
medio de tres métodos, e interprete gráficamente:
a1) Use la fórmula de distancia entre dos puntos
a2) Utilice la Definición de Longitud de curva plana∫ 1 + [ ′( ) ]
a3) Utilice la Definición de Longitud de curva plana∫
1 + [ ′( ) ]
b) Encuentre la longitud de arco de la curva 9y2= 4 x3del origen al punto (3;2√3).
Interprete gráficamente.
c) Calcule la longitud del arco dada por la función y=ln(sec(x)), 0 ≤
≤
d) Se pretende tender un cable entre 2 postes de igual altura que distan 20 pie. El cable,
que está sometido a la acción gravitatoria, tiene forma de catenaria. Suponer que el
cable toma la forma y=5.
+
y −10 ≤
≤ 10. ¿Cuál es la longitud del
cable?
(1pie=30, 48cm=0.3048m. Catenaria: nombre que recibe la gráfica de la función y=chx=
)
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Área de una superficie de revolución
Ejercicio 3:
a) La curva y=√4 −
, es un arco de círculo entre -1≤ ≤1. Calcule el área de la
superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x. Interprete gráficamente.
b) Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva y= x3, entre
0≤ ≤ 2, alrededor del eje x. Interprete gráficamente.
c) Dada la función y=x2 en los puntos (1;1) y (2;4) que rota alrededor del eje y. Calcule
el área de la superficie generada. Interprete gráficamente.
d) Una bombilla ornamental se diseña al girar la gráfica y=
en
el intervalo [0;1/3], alrededor del eje x, como se muestra en la figura,
donde x e y son medidos en pies. Encuentre el área de la superficie que
deberá tener el vidrio de la bombilla.
Volumen de un sólido de revolución
Ejercicio 4:
a) Dada la función f(x) =2x√1 + ,
halle el volumen engendrado al
girar la curva alrededor del eje de
abscisas, en el intervalo [0;1], según
la región sombreada en el dibujo.
b) La región del plano encerrada por
y=x3, x=2, y=0 gira en torno de cada eje (observe las figuras), calcule el volumen en
cada caso.
c) Calcule el volumen del toroide generado por la rotación del círculo (x-5)2+ y2 ≤ 4,
en torno del eje OY. Observe la gráfica.
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d) El tanque de la figura tiene 8 pies de radio
en su parte superior. Si se llena de aceite
hasta una altura de 6 pies, con un aceite cuyo
peso específico es de = 60 lbf/pie3,
encuentre el trabajo requerido para bombear
todo ese aceite por el borde superior del
tanque.
Integrales Impropias
Ejercicio 5:
Determine el tipo de cada una de las integrales impropias. Analice su convergencia y
halle el valor si corresponde.
a) ∫
∝
b) ∫
c) ∫
d) ∫
.5
| |
√
e) ∫
f) ∫
√