Tema 2 Apuntes - Universidad de Alcalá

DEPARTAMENTO DE TEORÍA
DE LA SEÑAL Y
COMUNICACIONES
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS
TEMA 2
Funciones de aproximación
ÍNDICE
1.-Introducción................................................................................................................................1
2.-Etapas en la realización de un filtro: aproximación y síntesis. .................................................2
3.-El problema de la aproximación.................................................................................................3
3.1.-Condiciones impuestas por la estructura del filtro..................................................................................3
3.2.-Condiciones impuestas por la plantilla......................................................................................................4
4.-Funciones de aproximación........................................................................................................4
4.1.-Aproximación máximamente plana. Filtros de Butterworth.................................................................4
4.1.1.-Cálculo del orden..........................................................................................................................5
4.1.2.-Cálculo de ε...................................................................................................................................6
4.1.3.-Cálculo de la función de transferencia......................................................................................7
4.1.4.-Características de los filtros de Butterworth..........................................................................10
4.2.-Aproximación con Rizado Constante en la banda de paso(Chebychev)...........................................12
4.2.1.-Características de los filtros de Chebychev Directo.............................................................14
4.2.2.-Calculo del orden y de ε...........................................................................................................15
4.2.3.-Obtención de la función de transferencia..............................................................................16
4.3.-Aproximación con rizado en la banda eliminada (Chebychev inversos). Características..............19
4.4.-Filtros elípticos o de Cauer. Características............................................................................................21
4.5.-Comparación de las distintas aproximaciones de amplitud.................................................................24
TEMA 2: Funciones de aproximación
1
1.- Introducción.
En el diseño de un filtro, generalmente en la banda de paso, la banda atenuada y la banda
de transición, la respuesta de amplitud y de fase están preestablecidas, tal y como hemos visto
anteriormente en las plantillas de un filtro. La primera labor de un diseñador de filtros es
entonces obtener una función de transferencia H(s) que satisfaga estas especificaciones.
Idealmente debería realizarse de forma que la transmisión en la banda de paso sea perfecta (sin
pérdidas), una atenuación infinita en las bandas atenuadas (ganancia cero) y la anchura de las
bandas de transición nula como se muestra por ejemplo en la siguiente figura para el caso de un
filtro paso bajo.
∣H  j ∣
1
 p = a

Figura 1: Filtro paso bajo ideal.
Esta función de transferencia es irrealizable en la práctica debido, entre otras cosas, a que
la respuesta temporal de dicho filtro sería no causal, es decir, se extendería desde −∞ a ∞ .
El diseño de filtros, generalmente (aunque no siempre) pasa por la obtención de la
función de transferencia de un filtro prototipo paso bajo normalizado en frecuencia con respecto
a la pulsación de corte de la banda de paso, es decir ωp=1, siendo el valor máximo de H( jω ) = 1
en el margen 0≤ ω ≤ 1. Dada la imposibilidad de obtener la característica ideal de la función de
transferencia de los mismos, será necesario obtener una función de transferencia que se
aproxime lo más posible al ideal, partiendo de plantillas que limiten el comportamiento de
ganancia o atenuación deseado para cada frecuencia, tal como se ha indicado al estudiar las
plantillas reales de un filtro. Un ejemplo de plantilla de amplitud puede verse en la figura 2. Para
conseguir que la respuesta de amplitud del filtro quede dentro de estos márgenes preestablecidos
se hace uso de funciones matemáticas denominadas funciones de aproximación.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
∣H  j ∣
2
max o rizado
1
A1
min
A2
p
a

Figura 2: Plantilla de amplitud de un filtro paso bajo
El problema de la aproximación está ampliamente desarrollado en el campo de las
matemáticas, teoría de la aproximación, no siendo en ningún caso el objeto de este curso. Aquí
estudiaremos varios tipos de aproximación ya establecidos y cuales son sus características sin
pararnos en los desarrollos matemáticos.
2.- Etapas en la realización de un filtro: aproximación y síntesis.
Cualquier filtro queda totalmente definido por su plantilla o lo que es lo mismo por sus
cuatro magnitudes características: αp (Atenuación máxima en la banda de paso), αa (Atenuación
mínima en la banda atenuada), ωp (pulsación de corte de la banda de paso) y ωa (pulsación de
corte de la banda atenuada). Al cociente entre ωa y ωp se le llama coeficiente de selectividad del
filtro.
 dB
a
p
p
a
Figura 3: Plantilla de atenuación de un filtro paso bajo.
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
TEMA 2: Funciones de aproximación
3
El diseño de un filtro ideal supondría la realización de un sistema no causal y por tanto
no realizable. Por tanto el problema de diseño estriba en encontrar una función de transferencia
causal que se aproxime lo más posible a la característica ideal del filtro. Esta función debe ser
una función continua racional real en ω con un número finito de polos y ceros y estable.
En definitiva se trata de encontrar una red cuya respuesta de atenuación quede inscrita en el
interior de la plantilla establecida (Figura 3).
Por tanto el diseño consistirá básicamente en dos etapas:
1. Determinar la función de transferencia de una red que se aproxime lo más posible a
la solución ideal.
2. Determinar la estructura y calcular el valor de los elementos.
3.- El problema de la aproximación.
3.1.- Condiciones impuestas por la estructura del filtro.
El diseño del filtro se realizará con elementos cuya respuesta es lineal e invariante en el
tiempo (resistencias, condensadores y amplificadores). Por tanto su función de transferencia se
expresará como el cociente de dos polinomios en s con coeficientes reales y positivos:
H  s =
N  s
D s
Además el filtro debe ser estable, no debe tener respuesta ante una excitación nula, lo que
implica que el denominador de la función de transferencia debe tener todas sus raíces en el
semiplano izquierdo del plano s (raíces con parte real negativa) y el grado del denominador será
mayor que el grado del numerador, lo cual es también una condición necesaria para que la
aproximación realizada sea paso-bajo (la función de transferencia tiende a cero cuando ω
tiende a ∞ ).
Estas consideraciones imponen una forma de expresión particular para la función de
transferencia:
H  s H −s∣s= j  =∣H  j ∣2 =
N  j  N − j  ∣N  j ∣2 P  2 
=
=
D j  D− j  ∣D j ∣2 E  2 
donde la función de aproximación, al cuadrado, es:
- Una función racional.
- Una función del cuadrado de la frecuencia
- De grado 2n en ω si H(s) es de grado n en s.
2
Por ejemplo, la función ∣H  ∣ =
1
responde a los criterios planteados, ya que:
1 6
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TEMA 2: Funciones de aproximación
4
H  s =
H  s  H −s ∣s= j =
1
 s1 s 2s1 
∣
1
 s1s s1−s1 s 2−s1
2
=
s= j 
1
1−s 6
∣
s= j 
=
1
1 6
3.2.- Condiciones impuestas por la plantilla.
Para que la respuesta de H(ω) pueda inscribirse en el interior de la plantilla paso-bajo
debe cumplirse que:
• Para el margen de valores 0≤≤ p el valor de H(ω) debe ser cercano a la unidad,
es decir la atenuación debe ser pequeña en la banda de paso. Si se expresa la atenuación en
decibelios     =20 log  1/∣H  j  ∣ debe ser cercana a cero. Lo cual implica que los polos
estarán en la banda de paso.
• Para pulsaciones  a el valor de H(ω) debe ser pequeño, la atenuación debe ser
grande en la banda atenuada. Los ceros se situarán en la banda atenuada.
• Para las pulsaciones comprendidas entre ωp y ωa la atenuación debe aumentar desde
cero hasta un valor elevado.
4.- Funciones de aproximación.
4.1.- Aproximación máximamente plana. Filtros de Butterworth.
La característica de aproximación máximamente plana tiene una curva de respuesta lo
más plana posible en el origen, es decir para la pulsación ω= 0.
Para filtros paso bajo con amplitud máximamente plana, se requiere que el cuadrado de la
respuesta en amplitud sea igual a la unidad para ω = 0, esto es, requieren una transmisión ideal
en continua y que todas las posibles derivadas del error de transmisión, definido como
 2 =1−∣H  j ∣2 , sean cero para ω = 0.
Así teniendo en cuenta la ecuación:
2
4
2m
∣N  j ∣2 P   2  b0 b 1  b2  ⋯b m 
∣H  j ∣ =
=
=
; donde m < n
2
2
2
4
2n
∣D  j  ∣ E   
a 0 a 1  a 2  ⋯a n 
2
y cumpliendo la condición impuesta
di
2i
d  
[∣H  j ∣2 ]=0=0
∀ i=1,2,
Si realizamos las derivadas y sustituimos ω = 0 es fácil demostrar que para que se
cumplan la condición impuesta es necesario que a i = b i para i = 0,1, ... , n-1.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
5
En consecuencia el cuadrado de la amplitud de la función de transferencia paso bajo de
orden n que es máximamente plana (MP) en el origen vendrá dada por:
∣N  j  ∣2
∣H  j ∣ =
∣N  j ∣2 a n 2n
2
Vemos que la condición para que una función sea máximamente plana se reduce a que su
forma sea similar a la ecuación anterior, es decir, que el polinomio del denominador sea igual que
el del numerador excepto en una potencia de mayor grado que se le suma. Esta propiedad de ser
máximamente plano es aplicable a cualquier tipo de función, ya sea de amplitud o de fase, que
cumpla con lo anterior.
Se observa, como ya se dijo, que el grado n del denominador debe ser mayor al menos en
una unidad al grado m del polinomio N(s) para que H(s) tenga un cero en el infinito, ya que es
paso bajo. De esta manera, para un polinomio arbitrario N(s), es decir para una situación
arbitraria de los ceros de transmisión, podemos siempre construir una función de transferencia
paso bajo con una banda de paso máximamente plana (MP).
Un caso especialmente importante de función paso bajo máximamente plana es aquella
que tiene todos sus ceros en el infinito (aproximación de Butterworth), esto es, cuando N(s) = 1.
Entonces:
∣H  j  ∣2=
1
=
1 2  2n
1
2n
 

1
c
donde hemos adoptado la notación ε2 para an. Se da también una forma alternativa de dicha
función donde ωc es la pulsación de corte a 3 dB y que se relaciona con ε por la ecuación:
1
 c= n

4.1.1.- Cálculo del orden.
Para esta función paso bajo con todo polos (todos los ceros están en el infinito), cuya
atenuación se incrementa monótonamente con ω, el grado n se determina normalmente a partir
de las características requeridas en la plantilla del filtro, como se indica a continuación partiendo
de las especificaciones de atenuación.
α=10 log1 2  2n 
}
 p =10 log 12  2n
p 
condiciones de la plantilla.
2 2n
 a =10 log 1  a 
de ellas, si deshacemos el logaritmo nos queda:
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TEMA 2: Funciones de aproximación
6
a

2
 2n
a =10
10
−1
p
2
2n
p
10
  =10
−1
y si las dividimos entre sí
 
a
a
2n
=
p
10

10
10
−1
10
−1
p
de aquí si aplicamos logaritmos y despejamos n, queda
 
a
log
10
10
10
n=
−1
p
2⋅log
10
−1
 
a
p
De esta ecuación obtendremos el orden exacto que cumple la igualdad pero como
sabemos que n debe ser un número natural (es el orden del polinomio del denominador) hemos
de elegir el número natural inmediatamente superior al obtenido.
Ejemplo:
Encontrar el grado de una función paso-bajo máximamente plana con todo polos que
satisfaga las siguientes características:
- Banda de paso 0≤ f ≤1 , 2 kHz con  p =0 , 5 dB de atenuación máxima.
- La banda atenuada con f ≥ 1,92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.
Solución:
Si sustituimos en la ecuación anterior los datos proporcionados en el enunciado y
efectuamos las operaciones nos quedará:
n = 7.87
por lo que el filtro requerido será de orden 8.
4.1.2.- Cálculo de ε.
Una vez calculado el orden debemos calcular el otro parámetro de la función, es decir, ε
u ωc dependiendo de la forma de la ecuación que elijamos. Para el cálculo veamos que tenemos
dos condiciones posibles:
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TEMA 2: Funciones de aproximación
7
 p =10 log 1 2  2n
p 
a =10 log 1 2  2n
a 
Dependiendo de cual sea la condición elegida el valor de ε será distinto. En principio,
nosotros utilizaremos la condición de la banda de paso mientras no se especifique lo contrario.
Para dicha condición el valor de ε2 será el siguiente:
p
 2=
10
10

−1
2n
p
Si utilizamos la forma de la ecuación donde aparece ωc podremos calcularla directamente
y también su valor será distinto si utilizamos las condiciones en la banda de paso o las de la
banda eliminada. Utilizando las de la banda de paso nos quedaría:
 c=
p

p
2n
10
10
−1
4.1.3.- Cálculo de la función de transferencia.
Para determinar la localización de los polos de la función paso-bajo máximamente plana
con todo polos se deberá sustituir ω2 por -s2 en la ecuación:
2
H  s H −s∣s= j  =∣H  j ∣ =
1
2 2n
1 
de ahí se obtendrá la función:
H  s H −s=
1
n 2 2n
1−1  s
De las raíces del polinomio:
n
1 −1   2 s2 n =0
se obtendrán los polos de la función H(s) buscada, cuya expresión será:
n1
s 2n
k =−1 
jπ n12k 
1 e
=
2 2
ó
s k =−1/ n e j π n12k /2n
k =0,1,2 ,⋯,2 n−1
k =0,1 ,2 ,⋯,2 n−1
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Si representamos las raíces sk sobre el plano complejo s, estas se situarán a lo largo de un
1
círculo de radio  c = n
y cuyas posiciones sobre el mismo vendrán dadas por la fase:

 k =
n12k   

=  k
2n
2 2n
n
Naturalmente las raíces correspondientes a la función H(s) serán las situadas en el
semiplano izquierdo (sistema estable) que corresponden con s1, s2, .. , sn. En la siguiente figura se
representa la situación de las raíces para el caso de n = 4:
π
4
π
8
π
4
π
4
1
ε
4
π
8
La aproximación representada por las ecuaciones anteriormente obtenidas se conoce con
el nombre de aproximación de Butterworth. A los filtros diseñados mediante este proceso se
les conoce como filtros de Butterworth.
Se observa que si hacemos ε = 1 implica que la atenuación en la banda de paso para
=1 es αp = 3 dB. El filtro paso-bajo MP con todo polos tendrá la siguiente función de
transferencia:
H  s =
a0
a n s n a n−1 sn−1⋯a 1 sa 0
En la literatura disponible, las raíces y coeficientes de H(s) se encuentran tabulados en el
caso de que ε = 1. De ésta forma la función de transferencia está completamente determinada
tan pronto como el parámetro n es calculado. Hay que tener en cuenta que las tablas son
solamente aplicables directamente para filtros con  c=1 (ε = 1). Sin embargo, las tablas
pueden utilizarse si la frecuencia es posteriormente desnormalizada respecto a la frecuencia de
corte a 3 dB. A continuación se encuentran algunas de estas tablas.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
9
TABLA 1: Raíces normalizadas de los Polinomios de Butterworth
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
-1,0000000
-0,7071068
± j0,7071068
-1,0000000
-0,3826834
± j
0,9238795
-1,0000000
-0,2588190
± j0,9659258
-1,0000000
-0,1950903
± j0,9807853
-1,0000000
-0,1564345
± j0,9876883
-0,5000000
± j0,8660254
-0,9238795
± j0,3826834
-0,3090170
± j0,9510565
-0,7071068
± j0,7071068
-0,2225209
± j0,9749279
-0,5555702
± j0,8314696
-0,1736482
± j0,9848078
-0,4539905
± j0,8910065
-0,8090170
± j0,5877852
-0,9659258
± j0,2588190
-0,6234898
± j0,7818315
-0,8314696
± j0,5555702
-0,5000000
± j0,8660254
-0,7071068
± j0.7071068
-0,9009689
± j0,4338837
-0,9807853
± j0,1950903
-0,7660444
± j0,6427876
-0,8910065
± j0,4539905
-0,9396926
± j0,3420201
-0,9876883
± j0,1564345
TABLA 2: Coeficientes normalizados de los Polinomios de Butterworth.
(a0 = an = 1 para todo n).
n
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
2,0000000
3,4142136
5,2360680
7,4641016
10,097835
13,137071
16,581719.
20,431729
2,6131259
5,2360680
9,1416202
14,591794
21,846151
31,163438
42,802061
3,2360680
7,4641016
14,591794
25,688356
41,986386
64,882396
3,8637033
10,097835
21,846151
41,986386
74,233429
4,4939592
13,137071
31,163438
64,882396
5,1258309
16,581719
42,802061
5,7587705
20,431729
6,3924532
1
2
1,4142136
3
4
5
6
7
8
9
10
2,0000000
2,6131259
3,2360680
3,8637033
4,4939592
5,1258309
5,7587705
6,3924532
Ejemplo:
Para el ejemplo anterior pero con αp = 3 dB, encontrar la función de transferencia de
Butterworth.
Solución:
Si hacemos ε = 1 (normalizando) entonces:
n = 5.62
Por tanto el filtro será de orden 6 . El siguiente paso será la obtención de los polos de la
función de transferencia de orden 6 que cumple las especificaciones. Para ello hemos de obtener
la pulsación de corte a 3 dB o el ε, que en este caso con αp = 3 dB será ωc=ωp y ε=1.
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Con esos datos se pueden calcular los polos de la función de transferencia, que en este
caso serán 6. El módulo de todos los polos será  c=2⋅1 , 2 krad / s y las fases de cada uno
saldrán de la ecuación:
 k =
n12k   

=  k
2n
2 2n
n
con k tomando valores entre 0 y 5.
 
k =0
s0 = c cos
 
k =1
s 1= c cos
 
k =2
s2 = c cos
     
      
     
 
 
 
 
 



 jsen 
=c −sen
 j cos
= c −0,2588 j0,9659 
2 12
2 12
12
12
  
  


   j sen  
= c −sen
 jcos
= c −0,7071 j0,7071 
2 12 6
2 12 6
4
4
 

 



 2  jsen  2
=c −sen 5
 jcos 5
=c  −0,9659 j0,2588 
2 12
6
2 12
6
12
12
s 3=s *2
s 4= s*1
s 5=s *0
k =3
k=4
k =5
La función de transferencia se obtendría entonces como:
H  s=
1
s−s 0  s−s  s−s1  s−s*1 s−s 2 s−s *2 
*
0
y sustituyendo los valores anteriormente calculados quedaría:
H  s=
H  s=
1
s c 0,5176 s  s c 1,4142 s 2c s 2c 1,9318 s 2c 
2
2
c
2
1
s 3902,6121 s56848921,3651s 10662,8168 s56848921,3651 s214565,4289 s56848921,3651
2
2
Un resultado similar se obtendría de las tablas después de desnormalizar con
 c=2⋅1 , 2 krad / s .
4.1.4.- Características de los filtros de Butterworth
Una vez que ya sabemos como calcular la función de transferencia de este tipo de filtros
vamos a ver algunas de sus características:
1. La principal de ellas la hemos fijado nosotros y es el hecho de que la función de módulo
(o atenuación) es máximamente plana en el origen.
2. Si observamos la forma de la función de transferencia veremos que sólo tiene polos y
que todos los ceros están situados en el infinito.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
11
3. Cuando estudiemos el resto de funciones de aproximación de amplitud veremos que,
comparadas con ellas, las funciones de Butterworth presentan el orden más elevado en
igualdad de condiciones impuestas.
Figura 4: Respuestas en amplitud de distintas aproximaciones de Butterworth.
En la figura 4 vemos que el aumento del orden del filtro produce un aumento de
pendiente de la función de transferencia y con ello vemos que cuanto más le exijamos al filtro
mayor será el orden necesario.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
12
4.2.- Aproximación con rizado constante en la banda de paso(Chebychev).
En la aproximación máximamente plana todo polos, hemos concentrado toda la fuerza
de la aproximación en el origen (ω = 0) y aceptamos un crecimiento monótono del error para
  p . Parecería más eficaz distribuir el error uniformemente a lo largo de la banda de paso
encontrando una función:
1
∣H  j ∣2 =
1 2 C 2n
 

p
en la que C n   sea un polinomio que cumple −1≤C n  ≤1 ∀ 0≤∣∣≤ p , de forma que
1
la dicha función oscila uniformemente entre 1 y
.
1 2
Hay muchos métodos rigurosos para obtener el polinomio C n(ω); un método
intuitivamente simple es aceptar que una sinusoide:
C n  =cos [ n arccos    ]
oscila uniformemente entre +1 y -1 y que incrementa su frecuencia con el incremento de n.
Utilizando conceptos trigonométricos, cos(nφ) puede escribirse como un polinomio en cosφ:
cos n =2n−1 cos n −
n  n−3  n−5 n−4
n  n−3   n−5  n−7 n−6
n n−3 n−2
2 cos 
2 cos −
2 cos ⋯
1!
2!
3!
el cual será un polinomio en ω si:
  =arccos   
∀
∣∣≤1
Así, los polinomios de Chebychev de orden n son:
C n  =cos  n⋅arccos    
∀
∣∣≤1
En la banda atenuada ( ∣1∣ ), arccos(ω) está indefinido. Sin embargo se puede ver
que,
C n   =cosh  n⋅arccosh     =
[
n
−n
1
   2 −1      2−1 
2
]
∀ ∣∣1
la cual crece monótonamente para ω > 1. De este modo, se obtiene una función de rizado
constante en la banda de paso y con atenuación monótona creciente en la banda eliminada. A los
filtros que se construyen con esa función se les llama filtros de Chebychev directos.
Hemos dicho previamente que los polinomios de Chebychev de orden n tienen la
siguiente forma:
C n   =cos  n⋅arccos    
∀
∣∣≤1
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TEMA 2: Funciones de aproximación
13
Vamos a ver ahora que esta función representa realmente una serie de polinomios. Para
ello llamaremos:
cos θ =ω
y
θ=arccos  ω 
Entonces
C n1  ω =cos nθ θ =cos nθ cos θ−sen nθ sen θ
C n−1  ω =cos  nθ −θ =cos nθ cos θsen nθ sen θ
sumando las dos expresiones anteriores nos queda
C n1  C n−1 =2 cos n cos 
Pero como
cos n =C n   y cos =
podemos escribir
C n1  C n−1 =2 C n   
C n1  =2 C n   −C n−1   
Tenemos entonces una fórmula recursiva en la que conociendo el polinomio de
Chebychev de grado menor podemos formar los sucesivos de grado superior. Si partimos de
que:
C 0   =cos  0 =1
C 1  =cos  arccos    =ω
podremos formar todos los polinomios de grado superior que queramos utilizando la fórmula
recursiva.
En la siguiente tabla se dan los primeros polinomios de Chebychev y la fórmula
recursiva. Es de hacer notar que Cn(1) = 1 para todo n y que Cn(ω) es par para n par e impar para
n impar.
POLINOMIOS DE CHEBYCHEV
C0(ω) = 1
C1(ω) = ω
C2(ω) = 2ω2-1
C3(ω) = 4ω3-3ω
Cn+1(ω) = 2ωCn(ω)-Cn-1(ω)
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TEMA 2: Funciones de aproximación
14
4.2.1.- Características de los filtros de Chebychev Directo.
Los polinomios de Chebychev (Cn(ω)) son los que dan las características propias de la
respuesta en amplitud para este tipo de filtros. Dichas características se resumen a continuación:
1.
H( jω ) oscila con rizado constante en la banda de paso 0≤∣∣≤ p . Además, H( jω )
decrece monótonamente a cero para ∣∣ p .
2.
H( j0 ) = 1 sólo para n impar pero H( j0 ) = 1 1 + ε 2 para n par. Cuando se habla de
atenuación, entonces 0=0 para n impar y 0= p para n par.
3.
∣H  j  p ∣=1/  12 para
todo n.
En el caso de la atenuación eso significa que
 p = p .
4. Se puede comprobar que el orden del filtro se puede obtener de la gráfica de atenuación
o amplitud sin más que contar el número de máximos y mínimos en la banda de paso.
Figura 5: Ejemplos de distintos filtros de Chebychev.
La figura 5 para n = 2, 3, 4 y 5 (normalizada con  p =1 ) muestra estas características.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
15
4.2.2.- Calculo del orden y de ε.
Los parámetros utilizados en el diseño de filtros de Chebychev son el rizado (ε) y el valor
de la atenuación (αa) a la pulsación de corte de la banda atenuada (ωa). El parámetro ε se calcula a
partir de la expresión de la función de transferencia vista anteriormente: = 100 , 1 −1 ,
además sabemos que la pulsación de corte de la banda de paso es ωp. Para determinar n,
sabemos que:


10 log 1 2 C 2n
p
 
a
p
=a dB
y con la expresión C n  =cosh  n⋅arccosh     obtenemos:
n=
arccosh
  10
0 . 1 a
arccosh
 
−1 /2
 
a
p
Donde elegiremos como orden menor necesario el número natural inmediatamente
superior al orden calculado.
Ejemplo:
Encontrar la función de transferencia de un filtro de Chebychev paso-bajo que satisfaga
las siguientes especificaciones:
- Banda de paso 0≤ f ≤1 , 2 kHz con α p =0 ,5 dB de atenuación máxima.
- La banda atenuada con f ≥ 1,92 kHz y αa = 23 dB de atenuación mínima.
Solución:
Calculamos en primer lugar el valor de ε y posteriormente aplicamos la ecuación del
orden calculada previamente:

0 , 1 p
= 10
n=
arccosh
  10
0 , 1 a
−1= 100 , 1⋅0 ,5−1=0 ,3493
 
−1 / 2
 

arccosh a
p
=
arccosh    102 , 3−1  /  2 
 
1, 92
arccosh
1,2
=4 ,193
Por lo tanto será necesario un filtro de orden 5 y la función de transferencia será de
acuerdo con la tabla 3:
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TEMA 2: Funciones de aproximación
H  s =
16
0, 1789
s 1, 17251 s 1 , 9374 s3 1 ,3096 s 2 0 , 7525 s0 , 1789
5
4
Función que habrá que desnormalizar respecto a la pulsación de corte de la banda de
paso que se daba en el enunciado.
Si comparamos este ejemplo con el mismo obtenido anteriormente para Butterworth
observamos que es mucho más eficaz el de Chebychev al conseguir las mismas características
con un menor orden. Puede demostrarse que esto es siempre válido para cualquier diseño.
Observar que H(0) = 1, que corresponde con atenuación nula en el origen, como debe ocurrir
por tratarse de un filtro de orden impar.
4.2.3.- Obtención de la función de transferencia
La localización de los polos de un filtro de Chebychev se obtendrán a partir de las
2
1
ecuaciones ∣H  j  ∣ =
y las ecuaciones (1a) y (1b) con ω =s/j resolviendo:
2 2
1 C n  
C 2n



s
s
1
=cos 2 n ⋅arccos =− 2
j
j

2
Es fácil demostrar que las raíces de la ecuación (2) se distribuyen sobre una elipse en el
plano s y las raíces situadas en el semiplano izquierdo, es decir, los polos de la función paso bajo
de Chebychev vienen dadas por sk = σ k + jω k ∀ k = 1, 2, ⋯ , n donde:
1
 k =2
1
k =
2
[      ]
[      ]
1
1
 2 1


1
1
 2 1


1/n
1/n
1
1
−  2 1


1
1
  2 1


−1/n




sen
2k−1
  3
2n
cos
2k −1
  4
2n
−1/n
una vez conocidos los polos, la función de transferencia de los filtros de Chebychev viene a ser:
1
H  s =
n
2
n−1
 ∏  s−s k 
=
1/  2 n−1  
5 
s n b n−1 s n−1 ⋯b1 sb0
k =1
A continuación se muestran las tablas de los polinomios de Chebychev para 0.5 dB y 1dB
de rizado en la banda de paso respectivamente que corresponden con el polinomio del
denominador de la función de transferencia. El uso de tablas nos permite olvidarnos de las
fórmulas que permiten calcular los polos y son una ayuda para simplificar el diseño de los filtros
pues el único parámetro que hemos de calcular es el orden y posteriormente usar las tablas
adecuadas. No hay que olvidar que dichas tablas nos darán un filtro normalizado respecto a la
pulsación de corte de la banda de paso.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
17
TABLA 1: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebychev para αp =0,5 dB.(ε = 0.3493)
n
Raíces normalizadas
1
2
-2,8627752
-0,7128122
± j 1,0040425
-0,6264565
3
4
-0,1753531
± j 1,0162529
-0,3623196
5
6
-0,0776501
± j 1,0084608
-0,2561700
7
8
-0,0436201
± j 1,0050021
-0,1984053
9
-0,3132282
± j 1,02199275
-0,4233398
± j 0,4209457
-0,1119629
± j 1,0115574
-0,2121440
± j 0,7382446
-0,0570032
± j 1,006405
-0,1242195
± j 0,8519996
-0,0344527
± j 1,0040040
-0,2931227
± j 0,6251768
-0,2897940
± j 0,2702162
-0,1597194
± j 0,8070770
-0,1859076
± j 0,5692879
-0,0992026
± j 0,8829063
-0,2308012
± j 0,4478939
-0,2192929
± j 0,1999073
-0,1519873
± j 0,6553170
-0,1864400
± j 0,3486869
TABLA 2: Frecuencias propias (polos) de un filtro de Chebychev para αp = 1 dB (ε = 0.5089)
N
Raíces normalizadas
1
2
-1,9652267
-0,5488672
± j 0,8951286
-0,4941706
3
4
-0,1395360
± j 0,9833792
-0,2894933
5
6
-0,0621810
± j 0,9934115
-0,2054141
7
8
-0,0350082
± j 0,9964513
-0,1593305
9
-0,2470853
± j 0,9659987
-0,3368697
± j 0,4073290
-0,0894584
± j 0,9901071
-0,1698817
± j 0,7272275
-0,0457089
± j 0,9952839
-0,0996950
± j 0,8447506
-0,0276674
± j 0,9972297
-0,2342050
± j 0,6119198
-0,2320627
± j 0,2661837
-0,1280736
± j 0,7981557
-0,1492041
± j 0,5644443
-0,0796652
± j 0,8769490
-0,1850717
± j 0,4429430
-0,1759983
± j 0,1982065
-0,1220542
± j 0,6508954
-0,1497217
± j 0,3463342
TABLA 3: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebychev. (αp= 0,5 dB).(ε = 0.3493
y an = 1).
n
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
1
2,8627752
2
1,5162026
1,4256245
3
4
5
6
7
8
9
0,7156938
0,3790506
0,1789234
0,0947626
0.0447309
0,0236907
0,0111827
1,5348954
1,0254553
0,7525181
0,4323669
0,2820722
0,1525444
0,0941198
1,2529130
1,7168662
1,3095747
1,1718613
0,7556511
0,5735604
0,3408193
1,1973856
1,9373675
1,5897635
1,6479029
1,1485894
0,9836199
1,1724909
2,1718446
1,8694079
2,1840154
1,6113880
1,1591761
2,4126510
2,1492173
2,7814990
1,1512176
2,6567498
2,4293297
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1,1460801
2,9027337
1,1425705
TEMA 2: Funciones de aproximación
18
TABLA 4: Coeficientes de los polinomios para un filtro de Chebychev. (αp = 1 dB).(ε = 0.5089
y an = 1).
n
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
1
1,9652267
2
1,1025103
1,0977343
3
4
5
6
7
8
9
0,4913067
0,2756276
0,1228267
0,0689069
0.0307066
0,0172267
0,0076767
1,2384092
0,7426194
0,5805342
0,3070808
0,2136712
0,1073447
0,0706048
0,9883412
1,4539248
0,9743961
0,9393461
0,5486192
0,4478257
0,2441864
0,9528114
1,6888160
1,2021409
1,3575440
0,8468243
0,7863109
0,9368201
1,9308256
1,4287930
1,8369024
1,2016071
0,9282510
2,1760778
1,6551557
2,3781188
0,9231228
2,4230264
1,8814798
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0,9198113
2,6709468
0,9175476
TEMA 2: Funciones de aproximación
19
4.3.- Aproximación con rizado en la banda eliminada (Chebychev inversos).
Características.
Hemos visto que en una aproximación Máximamente plana la atenuación crece monótonamente con el aumento de la frecuencia, y que una aproximación de Chebychev tiene un rizado
constante en la banda de paso y un incremento monótono de la atenuación en la banda atenuada. Si, en cambio se quiere que sea monótono en la banda de paso y rizado constante en la banda
atenuada, utilizaremos el llamado filtro de Chebychev inverso, cuya función de transferencia se
expresa:
2
∣H  j  ∣ =
 2 C 2n   a /  
1 2 C 2n   a /  
donde ω = ωa es la pulsación de corte de la banda atenuada. Los filtros paso bajo de Chebychev
inversos son máximamente planos en la banda de paso y tienen ceros finitos localizados en
C n   a / =0 .
Figura 6: Ejemplos de filtros de Chebychev inverso para distintos ordenes.
En la figura 6 se ven algunos ejemplos de esta aproximación con distintos órdenes.
Todas las gráficas están normalizadas con ωa = 1. Podemos comprobar en estas gráficas que
para la pulsación de corte de la banda eliminada se obtiene siempre el valor máximo en la banda
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TEMA 2: Funciones de aproximación
eliminada, es decir,
 a =a .
∣H  j a ∣=
20

 2 . Si lo traducimos a atenuación resulta que
1 2
En dichas gráficas se puede comprobar también que el orden del filtro se puede obtener
al contar el número de máximos y mínimos en la banda atenuada.
Se puede demostrar que estos son tan eficaces en su aproximación a las especificaciones
dadas como los filtros de Chebychev directo, es decir, n CHEB = n INVCHEB , pero la función de
fase y retardo son muy diferentes. Los filtros de Chebychev directo tienen valores más altos de
factor de calidad en los polos que los filtros inversos de Chebychev, lo cual implica que en las
curvas de retardo se producen mayores picos. Como ejemplo en la figura 7 se muestra el retardo
de filtros de Cebychev directo e inversos de orden n = 4 y n = 8. En situaciones donde las
pequeñas variaciones de retardo son importante, tales como en vídeo o sistemas de transmisión
de datos, es preferible la utilización de filtros inversos de Chebychev.
CHEB n = 8
INVCHEB n = 8
INVCHEB n = 4
Figura 7: Curvas de retardo para Chebychev directo e inverso.
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CHEB n = 4
TEMA 2: Funciones de aproximación
21
4.4.- Filtros elípticos o de Cauer. Características.
Hemos visto en secciones anteriores que la aproximación era más efectiva, es decir, de
menor orden, si el error aceptable es distribuido de modo que el rizado sea constante en la banda
de paso o en la banda atenuada. Por la misma razón un resultado más eficiente puede ser
obtenido si distribuimos también el error entre la banda de paso y la banda atenuada en lugar de
dejar que la atenuación se incremente monótonamente para ∞ . Como resultado
obtendremos una función de transferencia en la que habrá tanto polos como ceros, siendo éstos
finitos a diferencia de lo que ocurre con los filtros de Butterworth o de Chebychev directo.
La función que cumpla esos requisitos tendrá la forma:
∣H  j ∣2 =
1
1 R2n   
2
la cual tiene una función de atenuación con rizado en la banda de paso con valor máximo igual a
αp y rizado en la banda atenuada con valor mínimo igual a αa, esto nos llevará al uso de funciones
elípticas. Los filtros resultantes, por tanto, se llaman filtros elípticos (o filtros de Cauer por su
diseñador inicial). La función racional de Chebychev Rn(ω) se puede expresar como:
2 −i2
R n  =k ∏
n par a 
i=1  2 − 1
i2
n /2
 n−1  /2
R n   =k 
∏
i=1
 2 − 2i
n impar b
1
2
− 2
i
La constante k en la ecuación (a) se determina de tal manera que el máximo rizado de
Rn(ω) en la banda de paso 0≤≤ p sea la unidad por lo que ε, de nuevo, determina el rizado
de la banda de paso del filtro y se calcula de acuerdo con la expresión:

0 , 1 p
= 10
−1
Observar que los ceros y los polos están simétricamente situados de forma geométrica
alrededor de la pulsación 1.
Para el caso de los filtros elípticos obtener una expresión que nos de el grado n del filtro
se complica enormemente por ello el cálculo del orden lo realizaremos usando programas
diseñados para ello.
Con todos los parámetros conocidos, los ceros y los polos de H(s) pueden ser
encontrados, un ejercicio que generalmente requiere el uso de un ordenador. Sin embargo
existen libros de tablas de polos y ceros para una gran variedad de casos.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
22
La función de transferencia para un filtro elíptico será de la forma:
m
H ∏  s 2 ai 
H  s =
i=1
n
s b n−1 s
n−1
b n−2 s n−2 ⋯b 1 sb0
Ejemplo:
Encontrar el orden mínimo de un filtro elíptico que cumpla las especificaciones dadas en
los ejemplos realizados para Butterworth y Chebychev.
Solución:
De los ejemplos anteriores sabemos que ωa/ωp =1.6, αp = 0.5 dB y αa = 23 dB.
Con dichos valores y usando la función ellipord en Matlab se obtiene un orden n = 3
Observar que para las especificaciones dadas, es necesario un filtro de tercer orden
elíptico para su realización, por el contrario, según hemos visto anteriormente es necesario uno
de orden octavo si se trata de un filtro de Butterworth o de orden quinto si el filtro es de
Chebychev.
La diferencia de orden se incrementa notablemente si las especificaciones son más
restringidas; por ejemplo para las especificaciones siguientes,  p =0 , 05 dB , a =80 dB y
a
=1, 2 entonces obtenemos: nELI = 10, nBUT = 63 y nCHEB = 20.
p
En la figura 8 se puede ver un ejemplo de varios filtros elípticos con distintos órdenes.
En dichas gráficas se pueden comprobar las características propias de estos filtros:
1. Tienen rizado constante en ambas bandas.
2. El orden del filtro se puede obtener contando el número de máximos y mínimos, o bien
en la banda de paso o bien en la eliminada.
3. Los filtros pares tienen la atenuación máxima en la banda de paso para =0 .
4. Los filtros impares tienen atenuación nula para =0 .
5. Para = p se obtiene siempre la máxima atenuación en la banda de paso.
Departamento de Teoría de la Señal y Comunicaciones. Universidad de Alcalá.
TEMA 2: Funciones de aproximación
Figura 8: Distintos ejemplos de filtros elípticos.
Figura 9: Comparación de filtros de Butterworth, Chebychev y elíptico de orden 4.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
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4.5.- Comparación de las distintas aproximaciones de amplitud.
Los ejemplos anteriores nos muestran que, para unas especificaciones dadas, los filtros
elípticos son los más eficientes, seguidos por los de Chebychev y los de Butterworth. La razón
principal para esta diferencia radica en la distribución aproximada de rizado constante del error
en la banda de paso junto con la eficacia de los ceros finitos, es decir,  cero∞ , lo cual permite
que la función de los filtros elípticos tenga una región de transición muy estrecha. La
especificación más exigente es, por tanto, la anchura de la banda de transición. Observar, por
ejemplo, que para las mismas especificaciones de ejemplos anteriores pero con ωa/ωp = 1,1 en
lugar de 1,6, obtendremos nELI = 4, nCHEB = 10 y nMP = 39.
En la figura 9 se puede ver gráficamente cómo para el mismo orden las pendientes de las
distintas aproximaciones son distintas. La elíptica es la que más caída presenta, después la de
Chebychev y, por último, la de Butterworth. Un elemento más, importante en la comparación de
estos tipos de aproximaciones es su comportamiento de fase o retardo. Debido a que las
funciones de CHEB y ELI tienen un factor de calidad de los polos mayor que las funciones MP
todo polo (Butterworth), sus curvas de retardo para un mismo grado son más puntiagudas
(Figura 10). Esta observación puede, sin embargo, ser muy engañosa, al comparar funciones MP
(BUT), CHEB, INVCHEB y ELI del mismo grado, considerando que la comparación debería
estar basada sobre las funciones con el grado elegido para satisfacer especificaciones de
atenuación iguales.
Figura 10: Comparación de las gráficas de retardo de filtros de Butterworth, Chebychev
Directo e inverso y elíptico de orden 4.
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TEMA 2: Funciones de aproximación
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En ese caso la comparación puede ser muy diferente como puede observarse en la figura
11 , donde se representa el retardo de los filtros de MP, CHEB, INVCHEB y ELI con las
siguientes especificaciones αp = 0.5 dB, αa = 23 dB y ωa = 1.25 y ωp=1 basándose en la variación
de retardo sobre la banda de paso 0≤≤ p , parece ser que el filtro ELI tiene el mejor
retardo, seguido de cerca por el filtro INVCHEB; mientras que el filtro MP y CHEB son mucho
peores. Evidentemente, el resultado de la comparación depende del grado necesario para
satisfacer las especificaciones de atenuación requeridas.
BUT n = 17
CHEB n = 7
INVCHEB n = 7
ELI n = 4
Figura 11: Curvas de retardo para las mismas especificaciones.
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