2008-05-10-1er-parcial-solucion (1).

1
UCA - Física II, 1er Cuat. 2008. 1er Parcial, 10 de mayo de 2008, 8:00 – 12:00 hs
COMPLETAR ENSEGUIDA
Apellido y nombre (MAYÚSCULAS)
Número de Registro
Comisión
Firma
CONTESTAR CON BIROME O TINTA
Problemas. Dos ejercicios: valor 50 pts., mínimo para aprobar 25 pts. Transcriba resultados,
fórmulas, o valores numéricos, en las casillas indicadas. En los espacios reservados para pasos
intermedios es obligatorio anotar una breve justificación del resultado de cada paso. Los valores
numéricos deben escribirse solamente con cifras significativas y se deben indicar las unidades.
Fórmulas ilegibles, gráficos incompletos, o bien justificación omitida, se consideran parte no
resuelta del ejercicio y no dan puntaje.
Algunas fórmulas de uso frecuente están anotadas en la última página.
PROBLEMA 1.
El plano situado en x=-d tiene carga de superficie
uniforme σ positiva, se enfrenta con un cilindro hueco (no
conductor) de sección circular de radio r=a, centrado en
x=0, cuyo eje coincide con z y cuya carga uniforme de
superficie vale -σ. En este problema es a<d. Mediante la
aplicación del principio de superposición y el teorema de
Gauss calcular el campo eléctrico (Ex, Ey) y el potencial V
en el plano (x,y) para x ≥ -d. Notar que se supone que
todas las cargas están prefijadas, son datos y su posición
no cambia por influencias mutuas. El problema está
dividido en varios pasos que debe realizar y contestar.
y
+σ
-σ
-d
0
+a
x
P1a) Obtenga las fórmulas que dan (Ex, Ey) en la región (i) r<a, y en la región (ii) r≥a, x ≥ -d,
siendo r = √(x2 + y2). Anote el resultado utilizando Ep ≡ σ /2ε0 como campo eléctrico de referencia.
Encuentre el punto (x*, y*) donde el campo eléctrico es nulo. Las respuestas se dan mediante
fórmulas
Para (i) r<a las componentes valen
Ex/Ep = 1
Ey/Ep =0
Para (ii) r≥a, x ≥ -d, las componentes valen Ex/Ep = 1—2ax / r ²
Ey/Ep = -2ay / r ²
El campo eléctrico es cero en el punto
y*= 0
x*= 2a
Justificación obligatoria
El campo debido al plano es uniforme e igual a Ep=σ / 2εo en dirección x en todo el espacio
comprendido entre –d<x<∞.
El campo debido al cilindro para r<a es cero porque es hueco y no hay carga dentro de él.
El campo debido al cilindro para r>a es σ a /r εo. Su componente Ex es igual a E cos α=E x/r y su
componente Ey= E sen α = E y /r
Ep normalizado con módulo Ep es igual a 1
Ec normalizado con módulo Ep es igual a 2 a/r
2
P1b) Halle el potencial V=V(x,y) en cualquier punto del semiplano x ≥ -d. Exprese la función V
utilizando como referencia el potencial Vp≡ Ep a (advierta que el cilindro no es un conductor, y que
por lo tanto la superficie no es equipotencial). El potencial V(0,0)=0 es cero en el origen. Para
obtener V puede integrar desde el centro hasta la superficie del cilindro y luego continuar hasta
alcanzar posiciones externas. De otro modo (elija el que prefiera): obtenga separadamente los
potenciales debidos al plano y al cilindro. Aplique luego el principio de superposición y determine
las constantes con la condición V=0 en el origen. Las respuestas se dan mediante fórmulas.
Para (i) r<a el potencial vale
V(x,y)/Vp= - x/a
Para (ii) r≥a, x ≥ -d, el potencial vale
V(x,y)/Vp= 2 ln r/a – x/a
Justificación obligatoria
r<a el campo vale –Ep y el potencial –Ep x + Vo; si V(x=0)=0 el potencial vale –Ep x y
normalizado con Vp a vale – x/a
r>a el campo del cilindro vale –σ a /(εo r) y el potencial +σ a /εo ln r + Vo y normalizado con
Vp vale 2 ln r + Von. A este hay que sumarle el del plano normalizado con lo cual resulta que el
potencial para r>a normalizado vale -x/a + 2 ln r + Von . Para x= a; y=0 el potencial vale
calculado desde adentro -1 y calculado desde afuera -1 + 2 ln a + Von por lo que Von=-2 ln a
y entonces V= -x/a + 2 ln r/a
P1c) Considere el caso particular d/a=e=2.718... base de logaritmos neperianos. Hallar el valor del
potencial V/Vp en los puntos x=-d,y= a; x=a,y=0; x=-a=y=0 .Las respuestas son numéricas (no se
olvide de la unidad)
V(-d,a) /Vp = ln (e² + 1) + e
, V(a,0) /Vp = -1
, V(-a,0) /Vp = 1
Sale remplazando valores en las fórmulas del punto anterior.
Justificación obligatoria
Sale remplazando valores en las fórmulas del punto anterior.
P1d) Calcule la resultante de la fuerza que ejercen las cargas del plano situado en x=-d sobre el
cilindro, expresando el resultado F por metro de longitud del cilindro. Observe que debe emplear
solamente el campo eléctrico generado por las cargas positivas. Escriba la fórmula para la fuerza F
(por unidad de longitud) y evalúe usando los datos numéricos a=(10/2π) m, σ =10 nC/m2.
fórmulas:
Fx= (σ/2εo) 2π a (-σ)= - π a σ2 /εo
valor numérico y unidades: Fx= - 57 μN/m
Fy= 0
Fy=
0
Justificación obligatoria
Fx : el campo debido al plano en todos los puntos de la superficie del cilindro es el mismo y sólo
tiene componente en dirección x y la carga del cilindro está uniformemente repartida por tanto la
fuerza es el campo debido al plano multiplicado por la carga del cilindro.
Fy: es cero porque no hay componente del campo en esa dirección.
3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PROBLEMA 2.
Dos condensadores planos, (1) y (2), tienen placas
y la única componente de campo
conductoras de área A, separadas por la distancia d.
eléctrico que cuenta es normal a las
Están conectados en serie como en la figura. El
placas.
condensador (1) tiene el espesor d lleno con un
dieléctrico cuya constante es κ , mientras que el
d
d
condensador (2) trabaja en aire. Se entrega a (1) la
+Q
carga +Q y se deja su borne positivo aislado,
mientras que (2) tiene el borne negativo a tierra. Con
un engranaje se puede dar a la placa negativa de (1)
x
el desplazamiento x, el cual mediante una varilla
x
rígida produce igual avance x de la placa positiva de
(2). De modo que el espesor de (1) pasa a ser d+x (d
en dieléctrico y x en aire), mientras que el espesor de
(2) se reduce a d-x. Se desprecian efectos de borde.,
Contestar los siguientes pasos del
problema.
P2a) Calcular la capacidad equivalente del sistema antes, Ceq,0, y después, Ceq,x, de realizar el
desplazamiento x. Utilizar C0 ≡ ε0A/d como capacidad de referencia.Expresar el resultado con
fórmulas normalizadas.
Ceq,0 /C0 =
κ / ( κ + 1)
Ceq, ,x /C0=
κ / ( κ + 1)
Justificación obligatoria
La capacidad inicial corresponde a la de un capacitor de capacidad Co en serie con otro de
Capacidad κ Co la que calculada da Co y normalizada κ / ( κ + 1)
Luego del desplazamiento la diferencia de potencial entre las placas del primer capacitor vale
V= Eo d / κ + Eo x y la del segundo capacitor vale Eo(d-x) por lo que el potencial entre
extremos vale Eo d / κ + Eo d que es el mismo que antes del desplazamiento. Como la carga
tampoco varió porque el sistema está aislado la capacidad se mantiene invariable.
Alternativamente puede calcularse la capacidad de C1(x) y C2(x) en serie: C1(x) es a su vez la
serie de κ Co y Co d/x, C1(x)/Co = κ d/x/(κ + d/x) y C2(x)/Co =1/(1-x/d)
P2b) Hallar los voltajes V1(x), V2(x) de los condensadores (1) y (2) en función del desplazamiento
x. Utilizar Φ=Q/Co como valor de referencia para escribir las fórmulas. Representar V1/Φ , V2/Φ
como funciones de x/d en un mismo gráfico sencillo (rango horizontal: 0≤ x/d ≤1) tomando κ =5.
¿Para que desplazamiento x* resulta V1=V2? ¿Cuanto vale ese voltaje? Expresar con fórmulas.
V1(x)/Φ = 1/κ + x/d
x*/d =
(κ−1)/2κ
V2(x)/Φ =1-x/d
V1 /Φ =V2 /Φ =
(κ+1)/2κ
Justificación obligatoria
Φ=Qo/Co=σ A/(εo A/d)=Eo d
V1(x) =Eo d/κ + Eo x que normalizado con Φ queda 1/κ + x/d
4
V2(x) =Eo (d-x) que normalizado con Φ queda 1-x/d
Igualando los potenciales y despejando x*/d= (κ−1)/2κ
Remplazando x por x* en los potenciales queda V /Φ =(κ+1)/2κ
Potencial normalizado
1,4
V/Fi
1,2
1
V1(x/d)
0,8
0,6
V2(x/d)
0,4
0,2
0
0
0,5
x/d
1
1,5
P2c) Hallar la fuerza que la placa positiva ejerce sobre la placa negativa en los condensadores (1) y
(2), que se designan con F1, F2, respectivamente.
F1= ½ σ² A/ εo (-i)
F2=½ σ² A/ εo i ( i denota el versor en la dirección x)
Justificación obligatoria
Campo debido a la placa positiva en el lugar de la placa negativa = σ /2εo , carga de la placa
negativa σ Α , fuerza = campo por carga = ½ σ² A/ εo
P2d) Calcular los trabajos en magnitud y signo, W1, W2, realizados desde el exterior sobre los
condensadores (1) y (2) para producir el desplazamiento x. Expresar los trabajos con fórmulas,
utilizando Q2/C0 como referencia. Calcular la energía almacenada en los condensadores (1), (2),
designada con U1 y U2 respectivamente, en función de x. ¿Que relación hay entre W1,2 y U1,2?
Evalúe un caso particular en el cual Q=100 nC, A=100 cm2, d=1 cm, x/d=1/2, y κ=5. Dar valor
numérico y unidad (ε0=8.85 pF/m)
W1 /(Q2/C0) = x/2d
U1 /(Q2/C0) = ½ (1/ κ² + x/d)
W2 /(Q2/C0) = - x/2d
U2/(Q2/C0) = ½ (1- x/d)
(valores numéricos)
Justificación obligatoria Explicar que relación existe entre W1,2 y U1,2
W1 = el trabajo para desplazar en x la placa del condensador izquierdo va a ser igual a –F1 x =
½ σ² A/ εo i . i = ½ σ² A x / εo = ½ (Q²/Co) (x/d) que normalizado con Q2/C0 queda x/2d.
W2 /(Q2/C0) = el razonamiento es el mismo pero la fuerza es de sentido contrario.
5
U1= ½ (εo (Eo/κ)² A d + ½ εo (Eo/)² A x = ½ Q²/Co ( 1/κ²+x/d);
normalizado U1/Uo=½ ( 1/κ²+x/d);
U2= ½ (εo (Eo)² A (d –x) )
normalizado U1/Uo=½ ( 1-x/d)
======================================================================
Teoría. Cuatro preguntas a) hasta d). Se dan 4 opciones para cada pregunta y solamente una es
correcta. Marque la casilla correcta. Para cada pregunta hay un espacio de justificación de la
respuesta. Es obligatorio dar la justificación porque permite la evaluación personalizada del
examen. Seleccionar más de una casilla, dejar todas en blanco, u omitir la justificación equivale a
no contestar la pregunta. Escala de puntaje, 4 bien = 30 ptos., 3 bien = 24 ptos., 2 bien = 15 ptos.;
mínimo para aprobar 15 ptos.; no se asigna puntaje a menos de dos aciertos.
Ta). Dos alambres rectilíneos paralelos (de longitud infinita) separados por la distancia d=2 cm
tienen carga eléctrica lineal uniforme λ=100 nC/m, igual pero de signos opuestos. La fuerza por
unidad de longitud F/L con la que se atraen los alambres vale
3. F/L= 0.450N/m
1. • F/L= 0.009N/m – respuesta correcta
4. F/L= 4.5 × 10-3N/m
2. F/L= 0.225N/m
Justificar
Por Coulomb o Gauss se puede calcular el campo debido a un alambre en la posición del otro y
multiplicando campo por carga por unidad de longitud se determina la fuerza por unidad de
longitud . C = 2 k λ / d y fuerza por unidad de longitud F=2 k λ² / d
Tb) Una esfera metálica de radio a=1 cm está ubicada en una cámara de vacío a un potencial
positivo de 103 voltios. A una cierta distancia del centro O, mayor que a, un electrón (masa m= 9.11
× 10-31 kg, carga e= 1.60 × 10-19 C) describe una órbita circular plana alrededor de la esfera en la
cual se mueve con una energía cinética K equivalente a 100 eV. El electrón gira alrededor de la
esfera con un período T aproximadamente igual a:
1. T = 4.25 × 10-7 s
3. • T =5.30 × 10-8 s respuesta correcta
2. T = 9.07 × 10-7 s
4. T =7.31 × 10-8 s
Justificar
El módulo de la fuerza eléctrica que atrae al electrón es F=E e donde E es el campo creado por la
esfera de radio a en la posición de radio r donde se encuentra el electrón.
El potencial sobre la esfera de radio a es V= k Q/a de donde k Q= V a y F= kQ e/r² = V a e /r²
Esta fuerza provee la aceleración centrípeta sobre el electrón: F= m v²/r = 2 Ec/r (Ec=mv2/2)
Entonces V a e /r² =2 Ec/r y se puede despejar el radio r= V a e /2 Ec
De la energía cinética Ec= ½ mv² resulta v=◊(2Ec/m); ω=v/R y T =2 π /ω =2p Va e/[m(2Ec/m)3/2]
Tc) El circuito de la figura, un bloque en T con tres condensadores iguales de capacidad C1
conectado a un condensador de capacidad C0, es equivalente a un sólo condensador de capacidad
Ceq. ¿Que valor debe tener C1 para que Ceq =C0? Expresar el resultado mediante el cociente C1/C0.
1. C1/C0 =2.50
3. • C1/C0 =1.73 respuesta correcta
2. C1/C0 =1.41
4. C1/C0 =1.50
C1
C1
C1
Co
6
Justificar
C1 y Co en serie
Ceq 1= C1Co/(C1+Co)
Ceq2=Ceq1 en paralelo con C1 Ceq 2 = Ceq1 + C1= C1(2Co+C1)/(Co+C1)
Ceq3 =Ceq 2 en serie con C1
Ceq 3 =C1(2Co+C1)/(3Co+2C1)
Igualado a Co y despejado C1/Co=1.73
Td) Una esfera metálica hueca (1) radio interior b=0,500 m, radio exterior c=1,000m está
inicialmente descargada. Se introduce en el hueco otra esfera conductora (2) con carga q=1/9 nC,
de radio a=0.333 m, concéntrica con la primera. El potencial de la superficie de (2) V2 respecto de
infinito vale:
1. V2= 1V
3. V2= 3V
4. V2= 4V
2. • V2= 2V respuesta correcta
Justificar
Potencial entre a y b V= kq/r + Vo
Potencial entre b y c uniforme por ser conductor
Potencial entre c e infinito V=kq /r tomando que V=0 en infinito
Vc = kq/c
Vb = Vc =kq/c calculado de afuera para adentro
Vb = kq/b + Vo de adentro para afuera
Vo = kq/c-kq/b
Va = kq/a +Vo= kq/a+kq/c-kq/b= 9x109 (1/9)x10-9 (1/.333+1/1-1/.5)=3+1-2=2
======================================================================
7
Laboratorio. Cuatro preguntas. Puntaje: 20 puntos. Mínimo para aprobar: 10 puntos. Escribir
con buena letra y dibujar sólo en los espacios reservados. Expresar los resultados con claridad y
realizar esquemas prolijos. Dar los valores numéricos con un número correcto de cifras
significativas, y usar unidades del Sistema Internacional. Gráficos o esquemas confusos se
consideran como partes no tratadas del tema y no dan puntaje.
1. Un condensador de placas paralelas tiene las siguientes características.
ε
C²/Nm²
8,85-12
κ
1,13
A
cm²
800
d
mm
0,50
C
μF
1,60
En un ensayo del mismo se midieron los siguientes valores de capacidad en función del área .
A
cm²
0
200
400
600
800
0
C
0,36
0,90
1,40
1,62
μF
Se pide por medio del método de cuadrados mínimos estimar que capacidad se puede esperar si se
lo utiliza con un área de 375 cm²
Indicar fórmula de cálculo utilizada
μF
C
0,83
Y=ax +b; a=Σxy/Σx
2. En potencial en un punto O de coordenadas (x,y) del interior de una cuba electrostática es de
10 V y los de (x+2cm ;y) y (x;y+2cm) son de 9 V. Determine el valor del campo en el punto O
en módulo y argumento referido al sistema de ejes de la figura e indíquelo en el dibujo.
V(x;y+2cm)= 9V
V(x+2cm;y)=9V
V(x,y)=10V
y
x
Módulo E
Argumento
70,5
45
V/m
°
Ex= -dV/dx = -1V/0.02m= 50V/m ;Ey = -1V/0,02m =50 V/m ; E=1,41x50 =70,5 V/m
3. Indique que error absoluto y relativo debido al instrumento comete al medir una diferencia de
potencial de 6 Volt con un voltímetro analógico clase 0,5 cuyo alcance es de 10 V
ΔV
εV
0,5*10V/100=
0,05V
0,83
V
%
8
4. Indique que error absoluto y relativo debido al instrumento comete al medir una capacidad de
15 μF con un capacímetro digital cuya especificación es de 1% + 3D para el alcance de 20 μF
siendo la apreciación de 0,01 μF
ΔC
εC
0,01x15+3x0,01=0,18
μF
0,18/15x100=1,2
%
======================================================================
Resumen de Instrucciones
Para el examen usted recibe un formulario, que es lo único que entregará para la corrección y evaluación.
Deberá entregarlo firmado, con la aclaración de su nombre y apellido en letra de imprenta y con el
número de registro.
Escriba solamente en los espacios reservados (bloques y casillas). Las respuestas tienen que anotarse
con tinta.
El examen consta de tres partes: Problemas, Teoría y Laboratorio, por un total de 100 puntos.
En la parte Problemas hay dos ejercicios de 25 puntos cada uno.
En Teoría, cuatro preguntas por un total de 30 puntos.
En Laboratorio, pasos por un total 20 puntos.
El parcial se aprueba cuando se alcanza al menos la mitad del puntaje de cada sección.
Es decir, se requiere un puntaje mínimo en cada parte: 25 en Problemas, 15 en Teoría y 10 en Laboratorio.
El examen se aprueba a partir de 50 puntos formados con los mínimos de cada parte.
Con 70 puntos el alumno aprueba el examen parcial con concepto destacado.
A partir de 80 puntos, el concepto por este examen es distinguido o sobresaliente.
Duración: no más de 4:00 horas.
Le recomendamos que comience por los temas que le resulten más familiares. ¡Buen trabajo!
Algunas fórmulas
(
(
(
(
r
Coordenadas r = (r × cos α ) i + (r × sen α ) j = x i + y j ) ; x = r × cos α ; y = r × sen α
r
y
r = x ² + y ² ; α = arc tg
x
r
q ×q (
N × m²
1
N × m²
F1,2 = k 1 2 r
Ley de Coulomb:
=
k = 8.99 × 10 9
r ²1,2
C²
4 ×π × ε o C²
r Q
r
Ley de Gauss:
Φ neto = ∫ E • dA = encerrada = 4 × π × k × Qencerrada
r r
dV = − E • dl
A
εo
Potencial debido a una carga puntual con V = 0 para r → ∞
V =k
Q
r
Ruptura del dieléctrico en aire E max ≅ 3 × 10 6 V / m
ε o = 8,85 × 10 −12 F / m
Q
1
1 Q²
Capacidad
Energía electrostática U = C × V ² =
C=
V
2
2 C
9
Densidad de energía u =
1
ε o × E²
2
(energía por unidad de volumen)
Capacidad equivalente
en paralelo Ceq = C1 + C 2
Energía cinética
K=
Movimiento circular
v =ω×r
en serie
1
1
1
=
+
Ceq C1 C 2
1
m × v²
2
ω = 2×π × f
a=
v²
r
f =
1
T