Resuelve la ecuación diferencial ordinaria de quinto orden

Resuelve la ecuación diferencial ordinaria de quinto orden, mediante un cambio de variable que reduzca su orden,
1 d4 y
d5 y
=0
dx5
x dx4
Solución:
Haciendo el cambio de variable
d4 y
= p (x)
dx4
la ecuación queda
dp
1
p=0
dx x
que es una ecuación de primer orden de variables separables.
Reordenando los términos, para separar las variables, la escribimos como
dp
dx
=
p
x
y ahora integramos ambos miembros de la ecuación
R dp R dx
=
p
x
que se integra como
ln p = ln x + ln c
donde c es una constante arbitraria. Tenemos por tanto
p = cx
Ahora nos regresamos a y,
d4 y
= p (x) = cx
dx4
Integramos respecto a x;
R d4 y
R
dx = cxdx
4
dx
queda
3
d y
1
= cx2 + c1
3
dx
2
donde c1 es una nueva constante arbitraria.
Integramos de nuevo respecto a x,
R 1 2
R
R d3 y
dx =
cx dx + c1 dx
3
dx
2
donde c2 es otra constante arbitraria.
y tenemos
d2 y
1
= cx3 + c1 x + c2
dx2
6
Y otra vez
2
R d y
R 1 3
R
R
dx =
cx dx + c1 xdx + c2 dx
2
dx
6
y se obtiene
dy
1 4 1
=
cx + c1 x2 + c2 x + c3
dx
24
2
donde c3 es otra constante arbitraria.
Por último
R dy
R 1 4
R 1
R
R
dx =
cx dx +
c1 x2 dx + c2 xdx + c3 dx
dx
24
2
y queda
1
1
1
1
y (x) =
cx5 + c1 x3 + c2 x2 + c3 x + c4
120
6
2
donde c3 es otra constante arbitraria.
Finalmente tenemos
y (x) = a1 x5 + a2 x3 + a3 x2 + a4 x + a5
donde a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 son constantes arbitrarias.
Notese que la ecuación es de quinto grado y tenemos cinco constantes de
integración arbitrarias.
2