DETERMINACIÓN DE TENSIONES EN ESTRUCTURAS

DETERMINACIÓN DE TENSIONES EN ESTRUCTURAS SOMETIDAS A CARGAS TÉRMICAS
MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
Jairo J. Cordoba (1), Tutores: Laura Battaglia (2), Pablo J. Sánchez (3)
GIMNI - Facultad Regional Santa Fe – Universidad Tecnológica Nacional
Lavaise 610 (3000) Santa Fe, Santa Fe, Argentina
(1)
[email protected], (2) [email protected], (3) [email protected]
Resumen
Debido al gran avance en la utilización de hormigón en grandes estructuras, es una herramienta
fundamental contar con un modelo numérico, ya sea para realizar un diseño estructural óptimo como
así también para verificar que el funcionamiento sea adecuado.
En este trabajo se propone determinar el campo de temperaturas y tensiones que se produce sobre
una estructura de hormigón y compararlo con valores experimentales. Para tal fin, se emplea una
metodología numérica de cálculo de tensiones originadas por cargas térmicas y mecánicas, para
un caso tridimensional, por medio de un software de simulación de elementos finitos (Abaqus, 2014).
La simulación se realiza sobre un modelo estructural de hormigón de gran volumen, que trata de un
bloque sometido a su peso propio y a una variación de temperatura provocada por un término fuente,
que representa la evolución de la temperatura debido a la hidratación del cemento. En este contexto,
se presentan resultados de tensiones y deformaciones que resultan coherentes con las cargas
actuantes, así como también se realiza la validación de la metodología para el cálculo de la
elevación de temperatura adiabática.
Introducción
La influencia de las deformaciones de origen térmico resulta de interés cuando produce en una
estructura o elemento estructural de hormigón, un estado de tensiones que compromete su
integridad, o bien cuando el material no ha desarrollado la suficiente resistencia para tolerar las
tensiones actuantes, particularmente las de tracción.
La variación de temperatura en estructuras civiles puede deberse tanto a factores internos como
externos. En cuanto a los primeros, se puede citar la elevación de temperatura producida por las
reacciones químicas de la hidratación del cemento (Croppi y Lazzaroni, 2012), que cobra relevancia
en hormigones masivos, tales como los de grandes volúmenes, o en aquellos que presentan alto
contenido de cemento (Cervera, M; Oliver, J. y Prato, T., 1999). En relación a los factores externos,
las variaciones de temperaturas pueden deberse a condiciones ambientales extremas, incendios o
funcionamiento de equipos térmicos.
Cabe destacar la importancia del análisis de dichos comportamientos ya que la preponderancia de
algunos de los factores podría debilitar la estructura, producto de fisuras, dejándola vulnerable frente
al ataque de factores externos, y conduciendo en última instancia a una pérdida de rigidez y
resistencia mecánica.
El propósito de trabajar sobre esta problemática es disponer de una metodología numérica para la
resolución de problemas termo-mecánicos, así como también contar con herramientas para validar
códigos de desarrollo propio en el ámbito del GIMNI (2014).
El trabajo se organiza de la siguiente manera: en la sección Objetivos, se describe el objetivo
general del trabajo; en la sección Metodología se presenta el problema mediante las ecuaciones
diferenciales correspondientes y las condiciones de borde que rigen el problema termo-mecánico.
La sección Resultados muestra la aplicación de la estrategia a un ejemplo de aplicación y,
finalmente, en Conclusiones se realiza un análisis de los resultados obtenidos.
Objetivos
Disponer de una metodología numérica para la resolución de problemas termo-mecánicos, que nos
permita estimar el comportamiento frente a cargas térmicas y, en última instancia, establecer bajo
qué condiciones puede comprometerse la integridad de la estructura.
Metodología numérica
Ecuación del calor
El problema de conducción del calor transitorio con término fuente en un medio continuo, está
gobernado por la siguiente ecuación diferencial:
𝜌 𝑐𝑒
𝜕𝜙
𝜕𝑡
+𝑘
𝜕2 𝜙
𝜕𝑥 2
= 𝑄̇ en Ω
(1)
donde Ω es el dominio de cálculo, 𝜕⁄𝜕𝑡 es la derivada parcial con respecto al tiempo, 𝜕⁄𝜕𝑥 es la
derivada espacial, 𝜙 es la temperatura, 𝑄̇ es el término fuente y los parámetros 𝜌, 𝑐𝑒 y 𝑘 son la
densidad, el calor específico y la conductividad, respectivamente, que dependen del tipo de material.
Condiciones de borde
𝜙 = 𝜙̅ en 𝛤𝜙
𝑘
𝜕𝜙
𝜕𝒏
(2)
̅ ∙ 𝒏 en 𝛤𝑛
=𝒒
(3)
Aquí, 𝜙̅ representa la condición Dirichlet de temperatura impuesta en la frontera 𝛤𝜙 , 𝒏 es el vector
̅ es el flujo de calor en 𝛤𝑛 , que puede determinarse como:
normal a la frontera, y 𝒒
̅ ∙ 𝒏 = ℎ ∙ (𝜙 − 𝜙𝑟𝑒𝑓 )
𝒒
donde 𝜙𝑟𝑒𝑓 es el valor de una temperatura de referencia exterior y h es el coeficiente de película.
Luego se verifica que 𝛤𝜙 ∪ 𝛤𝑛 = 𝛤 y 𝛤𝜙 ∪ 𝛤𝑛 = ∅
Condición inicial
𝜙(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝜙0 (𝑥) en Ω
(4)
siendo 𝜙0 (𝑥) la temperatura inicial del modelo.
Termino fuente
Para la evaluación de la liberación de calor por hidratación del cemento en la ecuación del calor, el
término fuente (American Concrete Institute, 1998) se calcula de la siguiente manera:
𝜕𝑇(𝑡)
(5)
= 𝑄̇
𝜕𝑡
siendo 𝜌 la densidad del bloque, 𝑐𝑒 el calor específico y la evolución del estado térmico del hormigón
a edades tempranas (Metha y Monteiro, 1994) se considera una elevación de la temperatura
adiabática gobernada por la ecuación experimental ajustada:
𝜌 𝑐𝑒
𝑇(𝑡) = 𝑇(7) ∙ 𝑒
7
{𝛽∙(1−(𝑡 )
⁄𝑡1
0.5
)}
(6)
donde 𝑇(7) es la temperatura adiabática estimada a los 7 días, que depende del contenido unitario
de cemento y del tipo de cemento empleado, dado por la norma IRAM 1617, 𝛽 es un parámetro de
ajuste que pondera la metodología constructiva con la que se ejecuta el hormigonado y 𝑡1 es una
constante de tiempo, en este caso igual a la unidad.
Ecuación de elasticidad lineal
El problema elástico lineal se modela a partir de la ecuación de equilibrio:
∇∙𝛔+𝐛=0
(7)
en la cual 𝛔 es el tensor de tensiones de Cauchy, 𝐛 es el vector de fuerzas por unidad de volumen
y (∇·) es el operador divergencia.
Las condiciones de borde del problema de la ecuación (7) son:
̅ en 𝛤𝑢
𝒖=𝒖
(8)
𝝈 ∙ 𝒏 = 𝒕̅ en 𝛤𝜎
̅ es un desplazamiento impuesto en el sector de frontera
donde 𝒖 es el campo de desplazamientos, 𝒖
Dirichlet 𝛤𝑢 y 𝒕̅ es el vector tracción impuesto en 𝛤𝜎 , tal que se verifica 𝛤𝑢 ∪ 𝛤𝜎 = 𝛤 y 𝛤𝑢 ∪ 𝛤𝜎 = ∅.
Teniendo en cuenta linealidad entre las tensiones y deformaciones, las podemos relacionar entre sí
por medio de la ley de Hooke:
𝝈=𝑪∙𝜺
(9)
siendo 𝑪 el tensor constitutivo de cuarto orden, en el que intervienen el módulo de elasticidad
longitudinal E y el coeficiente de Poisson µ. El vector de deformaciones elástico se expresa como:
𝜀𝑒 = 𝜀 − 𝜀𝜙
(10)
donde las deformaciones totales son:
1
(11)
[∇𝒖 + (∇𝒖)𝑇 ]
2
con ∇ que es el operador gradiente y (…)T indica la transpuesta. En la ecuación (10), 𝜀𝜙 representa
las deformaciones de origen térmico, calculadas a partir de la expresión:
𝜺=
𝜀𝜙 =∝∙ (𝜙 − 𝜙𝑐 )𝐈
(12)
donde ∝ es el coeficiente de dilatación, 𝜙 es la temperatura, 𝜙𝑐 es una temperatura de referencia y
el operador 𝐈 representa la matriz identidad de segundo orden.
Modelo discreto
Los análisis se realizan con el método de los elementos finitos, empleando elementos lineales en
todos los casos, particularmente hexaedros en 3D como axisimétricos, de acuerdo con cada ejemplo
propuesto. La resolución se realiza en dos etapas: en la primera se resuelve problema transitorio
en temperaturas, mientras que en la segunda se calcula el problema termomecánico estático
adoptando como campo térmico el de mayor temperatura registrado en el primer cálculo.
Resultados
Se analizan dos bloques de hormigón simple (Tabla 1), que se encuentran simplemente apoyados,
sometidos a una elevación de temperatura debido a la hidratación de cemento, y a cargas másicas
correspondientes a su peso propio.
Análisis térmico
En primer término, se realiza la validación de la elevación de la temperatura debido a la hidratación
del cemento, considerando al bloque perfectamente aislado (ℎ = 0), mediante un análisis transitorio
en un período de 100 días, entendiéndose que para ese tiempo el comportamiento es cuasi
estacionario (Fig.1).
Tabla 1. Propiedades
Propiedad
Ancho - Largo Alto
Conductividad
Módulo de Young
Coeficiente de Poisson
Coeficiente de dilatación
Densidad
Calor específico
Coeficiente de película
Contenido de cemento
Magnitud
2,00 𝑚
50 𝐾𝑐𝑎𝑙 ⁄𝑚 𝐷 °𝐶
13,4E+8 𝐾𝑔⁄𝑚2
0,25
8,00E-6 1⁄°𝐶
2400 𝐾𝑔⁄𝑚3
0,23 𝐾𝑐𝑎𝑙 ⁄𝐾𝑔 °𝐶
12 𝐾𝑐𝑎𝑙 ⁄𝑚2 𝑑 °𝐶
240,00 𝐾𝑔⁄𝑚3
VALIDACION DE LA TEMPERATURA ADIABATICA
40.00
Temperatura (°C)
35.00
30.00
25.00
20.00
CURVA MODELADA
15.00
CURVA TEORICA
10.00
5.00
0.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
Tiempo (días)
Fig. 1 – Elevación adiabática de la temperatura
Una vez validada la evolución adiabática de la temperatura, se realiza un análisis térmico transitorio
en el mismo período (100 días), suponiendo aislada sólo la cara inferior del bloque, manifestando
en las restantes caras un fenómeno de convección, mediante un coeficiente de película no nulo
(ℎ ≠ 0), y además se supone una temperatura inicial de 30 °C, correspondiente a la temperatura
del hormigón al momento del vertido. En estas condiciones se tiene el campo térmico de la Fig. 2
para un período de tiempo de 3 días, ya que en este instante se registra la mayor temperatura en
el centro del bloque (Fig. 3).
Fig. 2 – Campo térmico (°C)
TEMPERATURA EN EL CENTRO DEL BLOQUE
Temperatura (°C)
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
Tiempo (días)
Fig. 3 – Variacion de la temperatura en el centro del bloque
Análisis mecánico
Se procede con un análisis mecánico estacionario en el instante en que el campo térmico (Fig. 2)
registra la mayor temperatura, considerando constantes los parámetros del material (Tabla 1)
determinadas para ese instante de tiempo.
Para una mejor discretización de los elementos, se modela un cuarto del bloque, por lo tanto, se
aplican las correspondientes condiciones de borde de simetría y sobre la cara inferior se
corresponde un apoyo simple. Bajo estas circunstancias se obtiene un estado de tensiones
principales máximas como el representado en la Fig. 4, coherentes con estas tensiones se observan
las respectivas deformaciones (Fig. 5).
Fig. 4 – Tensiones principales máximas de tracción (Kg/m2)
Fig. 5 – Desplazamientos (m)
Se observa que las tensiones máximas de tracción se producen en la mitad de las aristas de la cara
superior, pues en ese sector el hormigón intenta contraerse, pero se ve limitado por el núcleo del
bloque, que se encuentra dilatado.
Análisis axisimétrico
El procedimiento para determinar tensiones de origen térmico llevado a cabo para el bloque cúbico
de hormigón es reiterado para una geometría cilíndrica de hormigón, con las mismas propiedades
y condiciones de contorno análogas (Tabla 1), empleando en este caso una hipótesis de axisimetría
de geometría y cargas, con el fin de reducir el tamaño del problema numérico y lograr una mayor
precisión mediante un refinamiento de la malla.
A tal fin, se propone un cilindro de eje de simetría vertical, de 2 metros de altura (L) y diámetro (D)
de 2 metros, apoyado en su base inferior.
Temperatura (°C)
TEMPERATURA ADIABATICA
40.00
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
CURVA
MODELADA
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
Tiempo (días)
Fig. 6 – Elevación adiabática de temperatura
Fig. 7 – Campo térmico (°C)
Fig. 8 – Tensiones principales máximas (Kg/m2)
Fig. 9 – Desplazamientos (m)
Se puede observar que mediante esta metodología las representaciones de temperatura,
desplazamientos y tensiones son más suaves debido al mayor refinamiento de la malla de
elementos finitos.
Cabe destacar que en ninguno de los dos ejemplos anteriores las tensiones máximas de tracción
superan la resistencia a la tracción del material a la edad considerada, de 104000 kg/m2.
Estos resultados se obtuvieron considerando únicamente fenómenos térmicos, sin tener en cuenta
fenómenos tales como: contracción por secado, módulo de elasticidad variable con el tiempo o
temperatura ambiente variable.
Conclusión
Se empleó una metodología de análisis que permitió obtener el estado de estructuras sometidas a
cargas térmicas, incluyendo el caso de generación de calor en la masa del hormigón. Se
presentaron dos ejemplos con distintas geometrías, sobre las cuales se determinaron
desplazamientos y tensiones originadas por un campo térmico y el peso propio. Además, se verificó
que la elevación adiabática de la temperatura se corresponde con la ley de ajuste propuesta para
el término fuente. La continuación de las tareas permitirá extender la estrategia a problemáticas
más complejas, operando de manera similar a la presentada.
Referencias
Abaqus Student Edition 6.11.
American Concrete Institute, 1998. ACI. Report 207 - Massive Concrete.
Cervera, M; Oliver, J. y Prato, T, 1999. Un modelo Termo-Quimio-Mecánico de Hormigón a
Tempranas Edades. Aplicación a la Construcción de Presas de HCR. Barcelona, España.
Croppi y Lazzaroni, (2012). Modelo computacional para estimar la evolución de temperatura en
hormigón por efecto del calor de hidratación. XVI Encuentro de Jóvenes Investigadores de la UNL,
VII Encuentro de Jóvenes Investigadores de Universidades de Santa Fe.
GIMNI, 2014. Grupo de investigación en métodos numéricos para ingeniería. Universidad
Tecnológica Nacional. Facultad Regional Santa Fe. http://gimni.frsf.utn.edu.ar
Metha y Monteiro, 1994. Concreto, Estrutura, propiedades e materiais.