Fuerzas eléctricas y campo eléctrico

Fuerzas eléctricas y
campo eléctrico
Física II
Grado en Ingeniería de
Organización Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2011-2012
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
2/58
Introducción
“Elektron” es un vocablo griego que significa
ámbar
Al frotar el ámbar éste atrae pequeños
objetos (pajitas, plumas,…)
La electricidad es un fenómeno muy
presente en la vida diaria:
Fenómenos de electricidad estática
Ingeniería: máquinas y motores eléctricos
3/58
Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
4/58
Carga eléctrica
Evidencia experimental:
Dos barras de plástico frotadas con piel se
repelen
Dos barras de vidrio frotadas con seda se
repelen
La barra de vidrio y la de plástico se atraen
Se dice que las barras están cargadas
Hay dos tipos de carga:
Carga positiva
Carga negativa
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Propiedades de la carga
Cuantización
La carga esta cuantizada: Q   Ne
Donde e es la unidad fundamental de carga, que
coincide con el valor absoluto de la carga del electrón
Usualmente N es muy grande
Conservación de la carga
19
Unidades: culombio (C) e  1.60  10 C
Ejemplo: la carga trasvasada al frotar dos objetos es del
orden de 50 nC:
50nC
50  109 C
11
N


3

10
e
1.60  10-19 C
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Aislantes y conductores
Clasificación de la materia atendiendo a sus
propiedades de conducción eléctrica
Conductores: la carga puede desplazarse por
su interior con facilidad
Ejemplo: metales
Aislantes: La carga no puede moverse
libremente
Cuando se cargan por frotación la carga queda
confinada en la región frotada.
Ejemplos: vidrio, caucho, madera.
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Ley de Coulomb (I)
Fuerza ejercida por una carga puntual
sobre otra
Está dirigida a lo largo de la línea que las une
Disminuye con el cuadrado de la distancia que
separa las cargas
Es proporcional al producto de las cargas
Es repulsiva para cargas del mismo signo y
atractiva para cargas de signo contrario
Balanza de torsión
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Ley de Coulomb (II)
Representación matemática:

F12
Nm2
k  8.99  10
C2
9

qq
F12  k 1 2 2 rˆ12
r12
 

r2  r1
r12
rˆ12     
r2  r1
r12
Constante de Coulomb
Medida experimentalmente
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
11/58
Principio de superposición
Cuando tenemos un sistema
de cargas la fuerza sobre
cada carga es la suma
vectorial de las fuerzas
individuales ejercidas por
cada una de las demás
cargas
Principio experimental
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo eléctrico: introducción
La fuerza entre cargas puede verse como
una acción a distancia.
Una visión alternativa es la del campo
eléctrico:
Una carga crea un campo eléctrico en todo el
espacio: magnitud vectorial
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre otras
cargas
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Campo eléctrico: definición
En un punto colocamos una carga de prueba: q0
No perturba la distribución de cargas original (q0→0)
Campo eléctrico: cociente entre la fuerza eléctrica
que actúa sobre la partícula y la carga de la partícula

F
q1
q2

F10
q0

 F
E
q0

F20
 Magnitud vectorial
 Dirección de

F
 Independiente de q0
 Unidades: N/C
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo de una carga puntual

Ei
q
 0 r
ip
rp
• Tenemos una carga puntual qi
• Situamos una carga de prueba q0
z
• Ley de Coulomb:

qq
Fi0  k i 2 0 rˆip
rip

 Fi0
Ei 
q0
x

q
Ei  k 2i rˆip
rip

ri
O
i
p
qi
y
Punto fuente
Punto campo
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA
CARGA PUNTUAL
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Campo eléctrico de una
distribución de cargas puntuales
Principio de superposición para
el campo eléctrico

rp
q3

r3
z
x

r1
O
q2

r2
y
q1
Es una consecuencia del principio
de superposición para la fuerza
El campo eléctrico de la distribución
de cargas es la suma vectorial de
los campos de cada carga puntual


q
E p   Ei   k 2i rˆip
rip
i
i
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Campo eléctrico de distribuciones
continuas de carga
Las distribuciones de carga son siempre discretas
(cuantización de la carga)
Cuando un punto de la distribución de cargas contiene
un número muy alto de cargas discretas la distribución
puede tratarse como una distribución continua de
carga
Ejemplo: sustancias líquidas y sólidas que se tratan
como distribuciones continuas de masa
V
z
x
y
m
dm
V 0 V
dV
dm  m dV  m   m dV
m  lim
i
i

V
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Distribución volumétrica de
carga
 Campo debido a un dq:
z
x
V
dq  dV
 P
r

dq
dE  k 2 rˆ
r
 Campo total debido a la distribución
en V :

dq
E   k 2 rˆ
V
r
y
 Distribución volumétrica de carga:
Densidad de carga: 
dq  dV

dV
E   k 2 rˆ
V
r
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Distribuciones superficial y
lineal de carga
Distribución superficial de carga:
dq  dS
z

dS
E   k 2 rˆ

S
r
r
x
P
y
Distribución lineal de carga:
z
x
P r
dl
dq  dl
y

dl
E   k 2 rˆ
L
r
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Ejemplo: Campo sobre el
eje de una carga lineal finita
y
dx
L
Q

2L
dE
P
x
kdq
k dx
x dEx 

( xP  x ) 2 ( xP  x ) 2
Distribución uniforme:
L
x
xP
u  xP  x
dx
Ex  k  
 L ( x  x)2
du   dx
P
L
 k  

xP  L
xP  L
 1
1  2kL
kQ



Ex  k  

2
2
x

L
x

L
xP2  L2
 P
 xP  L
P
du
u2
xP  L
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Líneas de campo eléctrico
Representación gráfica para visualizar el
campo eléctrico
El campo eléctrico es tangente a la línea de
campo.
El módulo del campo eléctrico es mayor cuanto
más próximas están las líneas de campo entre
sí.
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Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número
finito de líneas, pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
en ese campo
26/58
Ejemplo: carga puntual
Sólo dibujamos un número
finito de líneas, pero existe el
campo en todo el espacio
Representación
bidimensional de un campo
tridimensional
Línea de campo no equivale
a trayectoria de una carga
en ese campo
27/58
Dos cargas positivas iguales
28/58
Cargas iguales con distinto
signo: dipolo eléctrico
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Reglas para representar
líneas de campo
Salen de las cargas positivas y terminan en las
negativas
Si hay exceso de carga positiva debe haber líneas que
acaban en el infinito
Si hay exceso de carga negativa debe haber líneas que
salen del infinito
Para cada carga puntual las líneas se dibujan entrando
o saliendo de la carga y:
Uniformemente espaciadas
En número proporcional al valor de la carga
Dos líneas de campo no pueden cruzarse
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Ejemplo:
Exceso de carga
positiva: líneas que
terminan en el infinito
Salen 16 líneas
equiespaciadas
Entran 8 líneas
equiespaciadas
Líneas salen de la
carga positiva y entran
en la carga negativa
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Líneas a distancias grandes
A distancias grandes
comparadas con la
mayor distancia entre
cargas del sistema:
Líneas igualmente
espaciadas
Líneas radiales
Equivalen a las líneas
de una sola carga
puntual con carga igual
a la carga neta del
sistema
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Movimiento de cargas en un
campo eléctrico
Sea una partícula de masa m y carga q en el seno de
un campo eléctrico:

E


F  qE



Segunda Ley de Newton: F  ma  qE
 q 
a E
m
q
Si el campo es uniforme: movimiento uniformemente
acelerado
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Ejemplo 1: electrón en campo
uniforme

E


F  eE
y
q  e
x
0 t
v( x)  v(0)   adt  at
0
t2
x  x0   atdt  a
0
2
t



F  eEi  ma
eE d 2 x
 2
a
m dt
eE  dx
v t
dt
m
eE 2
x  x0 
t
2m
Movimiento uniformemente acelerado
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Ejemplo 2: electrón con
velocidad perpendicular al
campo
y


F  eE
x

v0 E
q  e
Eje y : movimiento rectilíneo
uniforme
y  y0  v0t
Eje x : movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
x  x0 
eE 2
t
2m
La trayectoria del electrón es una parábola, análogamente a
la trayectoria de una masa con cierta velocidad inicial en un
campo gravitatorio (tiro parabólico)
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Dipolo eléctrico
Dipolo eléctrico: dos cargas iguales y de signo
contrario separadas por una pequeña distancia L

q - L + q


Momento dipolar eléctrico: p  qL
Las moléculas de algunos materiales
aislantes son dipolos (moléculas
polares)
Ejemplo: molécula de agua
Las moléculas no polares sometidas a un campo
eléctrico se polarizan
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Efecto de un campo eléctrico
sobre un dipolo eléctrico
Campo eléctrico uniforme:
No hay fuerza neta sobre el dipolo
  
Aparece un par de fuerzas:   p  E
Un dipolo eléctrico tiende a alinearse con un
campo eléctrico externo
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Efecto de un campo eléctrico
sobre un dipolo eléctrico
Campo eléctrico no uniforme:
De nuevo hay un par de
fuerzas que tiende a alinear
al dipolo con el campo
Además aparece una
fuerza neta sobre el dipolo
Un dipolo eléctrico tiende a
desplazarse hacia las zonas de
campo eléctrico más intenso
Ejemplo: atracción de trocitos de papel por un
bolígrafo de plástico cargado
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Índice
Introducción
Carga eléctrica
Ley de Coulomb
Principio de superposición
Campo eléctrico
Campo de cargas puntuales
Campo de distribuciones continuas de carga
Líneas de campo eléctrico
Acción del campo eléctrico sobre las cargas
Ley de Gauss
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Ley de Gauss
Ley general del electromagnetismo
Útil para calcular campos eléctricos
Sólo puede aplicarse para tal fin en
situaciones en que la distribución de cargas
tenga una alta simetría
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Flujo eléctrico
Magnitud proporcional al número de líneas de campo
que atraviesan una superficie
Supongamos E uniforme y superficie perpendicular

E
A
  EA FLUJO
E '  xE   '  x
A'  nA   '  n
 Definimos:
 Si
 Si
El flujo aumenta o disminuye
proporcionalmente al número de líneas
de campo que atraviesan la superficie
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Flujo eléctrico
Supongamos una superficie no perpendicular:

E
A1 es perpendicular a
las líneas de campo
n̂

A2 A1 es atravesada por el
mismo número de líneas
de campo que A2 :
A1
  EA1  EA2 cos 
 
 En general:   E  A
  
ˆ  EA cos 
  E  A  E  nA
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Flujo eléctrico
Supongamos superficie arbitraria y campo no uniforme
 Tomamos Ai tan pequeña
que pueda considerarse:

E
nˆi
Ai

 Superficie plana
 Campo eléctrico uniforme

 i  Ei  nˆi Ai

Flujo total:    i Ei  nˆi Ai ; en el límite Ai  0 :

 
ˆ   E  dA
   E  ndA
S
S
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Flujo en una superficie
cerrada
  
n̂
S

ˆ
E  ndA
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Ley de Gauss
Suponemos una carga puntual en el centro de una
esfera de radio R
R
Q

Q
Radial
E  nˆ  En  k 2
R
 
   E  dA   En dA  En 4R 2
SR
SR
SR
  4kQ
El flujo es independiente de R
El flujo es proporcional a la carga dentro de la esfera
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Ley de Gauss
Supongamos otras superficies no necesariamente
esféricas:
Q
S1
SR
 A todas las superficies las
atraviesa el mismo número
de líneas
 Mismo flujo neto para
todas las superficies:
  4kQ
S2
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Ley de Gauss
Supongamos un sistema de cargas:
q3
Principio de superposición:
  
S

 
( E1  E2 )  dA  1   2
q1
q2
  4k (q1  q2 )
S
Para la carga exterior:
 3  
S
 
E3  dA  0
Todas las líneas de campo
que entran por un punto de
la superficie salen por otro
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Enunciado de la Ley de
Gauss
El flujo neto a través de cualquier superficie
cerrada es 4k veces la carga neta dentro
de la superficie
 
   E  dA   En dA  4kQint
S
S
 A veces se escribe la constante de Coulomb en función de la
permitividad del espacio libre:
1
4k 
0
con
0  8,85  10
12
C2
Nm2

Qint
0
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Aplicaciones de la Ley de
Gauss
Es una Ley válida para cualquier superficie y
cualquier distribución de carga
A veces es útil para determinar el campo
eléctrico debido a una distribución de carga que
tiene un alto grado de simetría
La técnica consiste en emplear la ecuación de la
Ley de Gauss buscando una superficie de
integración (superficie gaussiana) tal que el
campo eléctrico pueda salir fuera de la integral
Porque En sobre la superficie gaussiana sea constante o
nulo
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Simetría esférica
Carga puntual
Simetría: campo radial
Superficie gaussiana: esfera de radio r
   En dA  En  dA  En 4r 2  4kq
Sr
r
Sr

E  En nˆ
En  k
q
r2
Sr
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Simetría esférica
Esfera de radio R con carga Q uniformemente
distribuida en su volumen
Superficie gaussiana: esfera de radio r
rR
   En dA  4kQ
Sr
  En 4r 2
En  k
Q
r2
r  R   En 4r 2  4kqint
r3
3
qint   4r 3  Q 3
R
Q

4R 3 3
En 
kQ
r
3
R
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Esfera con carga uniforme
en volumen
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Simetría cilíndrica
Campo debido a una carga lineal uniforme e infinita ()
Simetría: campo radial que depende de la distancia a la línea
Superficie gaussiana: cilindro longitud L y radio r coaxial con
la línea de carga




ˆ   E  ndA
ˆ   E  ndA
ˆ   E  ndA
ˆ
   E  ndA
S1
S2
SL
  En 2rL 
S1
r
SL
S2
En 
1 
20 r
qint L

0
0
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Simetría plana
Plano infinito uniformemente cargado

Simetría: E ( z ) perpendicular al plano e impar en z
Superficie gaussiana: “caja de pastillas”; S1=S2=A

ˆ   E ( z )dA   E ( z )dA  2 E ( z ) A
   E  ndA
S1
z
n̂
S2

E( z)
S1
x
y
SL
S2
n̂
n̂

E ( z )
E ( z )   E ( z )
q
A
  2 E ( z ) A  int 
0 0

E
 2k 
2 0
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Simetría plana
Ez
z
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Conductor en equilibrio
electrostático
En el equilibrio el campo eléctrico en el seno de un
conductor debe ser nulo
En caso contrario las cargas libres se desplazarían y no
habría equilibrio
Esta situación se alcanza siempre que no exista una fuente de energía
externa que mantenga una corriente (como en circuitos con fuentes)
Para buenos conductores (como el cobre) el tiempo que se tarda en
alcanzar el equilibrio es del orden de nanosegundos
Consecuencia: la carga neta
de un conductor en equilibrio
electrostático se encuentra
en su superficie
Se puede demostrar
usando la Ley de Gauss
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Resumen
La magnitud responsable de la interacción eléctrica de la materia es la
carga eléctrica
Es una magnitud dual (carga positiva y carga negativa).
Está cuantizada.
La carga se conserva.
La fuerza de interacción entre cargas puntuales viene dada por la Ley
de Coulomb.
La Ley de Coulomb y el principio de superposición permiten calcular
la fuerza que cualquier distribución de carga, sea discreta o continua,
ejerce sobre una carga.
Se define el campo eléctrico como la fuerza eléctrica ejercida por una
distribución de cargas sobre la unidad de carga en cualquier punto del
espacio.
El campo eléctrico se calcula, en general, a partir de una expresión
integral y se representa gráficamente mediante líneas de campo.
La Ley de Gauss es una ley fundamental de la física que puede
utilizarse para calcular de una forma sencilla (sin integrar) el campo
eléctrico creado por distribuciones de carga que posean un alto grado de
simetría.
El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio
electrostático es nulo
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