UNIDAD TRES IDENTIDADES Y ECUACIONES

UNIDAD TRES
IDENTIDADES Y ECUACIONES
Cuando se relacionan dos o más cantidades con el signo igual (=) se puede obtener una igualdad,
una identidad o una ecuación. Una igualdad es la expresión de la equivalencia de dos cantidades
numéricas o literales, que simbólicamente se relacionan con el signo igual (=).
Por ejemplo:
es una igualdad numérica y
es una igualdad literal.
Cuando una igualdad involucra un término desconocido, o variable, adquiere un sentido más amplio
y puede ser identidad o ecuación.

Igualdad

Identidad

Ecuación
Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la cantidad desconocida
o variable.
Por ejemplo, la expresión:
es una identidad, ya que si reemplazamos el valor de 1 por
algún valor numérico se mantiene la igualdad.
Así, si a
si
se tiene
se tiene
lo cual comprueba que en general cualquier valor
escogido mantiene la igualdad.
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Una ecuación es una igualdad en la que se involucran una o más incógnitas, pero solamente es
válida para algún o algunos valores de la cantidad desconocida.
Por ejemplo: la expresión
es una ecuación en la
que se verifica la igualdad para
ya que
la incógnita no se cumple la igualdad.
Para cualquier otro valor de
Por ejemplo, para
en la ecuación anterior se tiene que
9 por lo que no hay igualdad.
diferente de
Ecuaciones equivalentes
Para resolver ecuaciones es necesario aplicar las propiedades de las operaciones y propiedades de
las igualdades en el conjunto R.
Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones, es decir, toda solución de
la primera es solución de la segunda y recíprocamente.
Por ejemplo,
la ecuación
que tiene por solución
y la ecuación
que tiene por solución
son ecuaciones equivalentes.
La solución
es llamada solución extraña porque no soluciona la primera ecuación.
Las transformaciones que permiten expresar una ecuación en otra equivalente se estudian a
continuación:
 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma un mismo número o un mismo
polinomio, la ecuación resultante es equivalente con la primera.
 Por ejemplo: si a los dos miembros de la ecuación
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le sumamos
se obtiene
que es equivalente con la primera. Es importante
observar que si se suma una expresión racional, la ecuación resultante puede no ser equivalente
como se ilustra con la ecuación.
Soluciones gráficas
Este método se emplea principalmente como una ayuda visual por la dificultad en la obtención de la
solución.
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales se representan las rectas
correspondientes a las dos ecuaciones, se halla el punto común a las dos rectas y se determinan las
coordenadas de este punto, que será la solución del sistema.
Para graficar un sistema de ecuaciones lineales recurrimos al método de los interceptos, que vimos
en la unidad anterior. Es decir, dada la ecuación lineal
el intercepto y se encuentra
haciendo
en la ecuación y el intercepto
se encuentra haciendo y
Ejemplo:
Resolver gráficamente el sistema
Hallamos los interceptos de cada una de las ecuaciones.
Para
si
entonces
si y
entonces
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en la ecuación.
Los interceptos son
y
Del análisis de la gráfica se encuentra que las dos rectas se interceptan en
Luego: la solución del sistema es
Es evidente que cuando la solución toma valores fraccionarios, se requiere mucha precisión para
determinar las coordenadas de la intersección.
Propiedades de las ecuaciones
Las ecuaciones tienen las mismas propiedades que las igualdades. Estas propiedades son
fundamentales en el proceso de resolver una ecuación. En el ejemplo anterior, la ecuación más
sencilla es
es decir que nos muestra directamente la solución,
. Otra de esas ecuaciones
equivalentes es
que ya no es tan trivial pero que se puede convertir en
devolviéndose. Para devolverse, se aplican las siguientes propiedades:
Se obtienen ecuaciones equivalentes a una ecuación dada con las siguientes operaciones:
Sumar o restar el mismo número o término en ambos lados de la ecuación.
Multiplicar o dividir los dos lados de la ecuación por el mismo número o término, diferente de cero.
Ejercicio
a. Escribir cinco ecuaciones equivalentes cuyo conjunto solución sea
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