ALE FCMA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES Ecuaciones Lineales de Primer Orden El objetivo de esta Apéndice es describir de manera resumida la terminología y los resultados fundamentales de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer y Segundo orden, especialmente por lo que se refiere a los denominados Problemas de Valor Inicial. En todo este Apéndice, I representará un intervalo no trivial es decir un conjunto de la forma (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], (−∞, b), (−∞, b], (a, +∞), [a, +∞), donde a, b ∈ R o también de la forma (−∞, +∞) = R. No obstante, debemos tener presente que en la mayor parte del curso los intervalos que intervienen en el desarrollo de la materia son los de la forma [0, `] con ` > 0, para el caso acotado, y los de la forma [0, +∞) en el caso no acotado. La presente sección estará dedicada al análisis de las ecuaciones lineales de primer orden. Aunque como veremos a continuación, la resoluciones de tales ecuaciones queda reducida a un proceso de cálculo de primitivas, en este tipo sencillo de problemas presentan ya las pecularidades que son comunes a todos los problemas lineales y que aparecerán de nuevo en las secciones siguientes cuando analicemos las ecuaciones de segundo orden. Fijados I un intervalo no trivial y las funciones continuas a, q: I −→ R, nuestro objetivo es el estudio de las identidades del tipo a u0 + q u = f, en I [EL] donde f : I −→ R es también una función continua. El significado de la igualdad anterior es el de determinar las funciones u ∈ C 1 (I) tales que para cada t ∈ I satisfacen que a(t) u0 + q(t) u(t) = f (t). La identidad [EL] se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria(EDO) Lineal de Primer Orden con Coeficientes a y q y Término Independiente f , mientras que las funciones u ∈ C 1 (I) que verifican la igualdad [EL] se denominan Soluciones de la EDO. Con esta terminología, una EDO Lineal de primer orden y coeficientes a y q consiste en para cada término independiente f ∈ C(I), determinar todas las soluciones de la identidad [EL]. 1 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Para desarrollar una teoría coherente es necesario hacer una pequeña precisión sobre el coeficiente a de la EDO, denominado Coeficiente Principal, concretamente asumiremos en lo sucesivo que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I. Observar que la continuidad de la función a en el intervalo I implica que la hipótesis anterior es equivalente a suponer que o bien a(t) > 0 para cada t ∈ I o bien a(t) < 0 para cada t ∈ I. Supongamos ahora que u e v son soluciones de [EL] y consideremos la función z: I −→ R definida como z(t) = u(t) − v(t) para cada t ∈ I. Entonces, z ∈ C 1 (I) satisface que az 0 + qz = a(u0 − v 0 ) + q(u − v) = au0 + q − av 0 − qv = f (t) − f (t) = 0, El resultado anterior motiva que denominemos Ecuación Homogénea asociada a [EL] a la EDO Lineal de primer orden a u0 + q u = 0, en I [EH] Acabamos de comprobar que si u, v ∈ C 1 (I) son ambas soluciones de [EL], entonces z = u − v es solución de la ecuación homogénea asociada [EH]. Recíprocamente, si u es una solución de [EL] y z es una solución de [EH], entonces la función v = u + z satisface que av 0 + qv = a(u0 + z 0 ) + q(u + z) = au0 + qu + aw0 + qw = f, es decir, v es solución de [EH]. En definitiva, si up es una solución de [EL], que suele denominarse solución particular, entonces el conjunto de soluciones de [EL] se expresa como n up + z : z es solución de la EDO homogénea a(t)z 0 (t) + q(t)z(t) = 0 o Así pues para conocer TODAS las soluciones de una ecuación del tipo [EL] es suficiente concocer todas las soluciones de la Ecuación Homogénea asociada [EH] y una solución particular. Observar que [EH] sólo depende de las funciones coeficientes, mientras que cada término independiente f ∈ C(I) da lugar a una ecuación del tipo [EL] diferente, pero con la misma ecuación homogénea asociada. Por tanto, una vez calculadas todas las soluciones de la ecuación homogénea, dado un término independiente, para encontrar todas las soluciones de la ecuación [EL] es suficiente encontrar una solución particular y aplicar el resultado anterior. En el caso de la EDO homogénea a(t)z 0 (t) + q(t)z(t) = 0 es posible describir todas sus soluciones empleando recursos básicos de cálculo diferencial e integral de una variable. Comenzaremos observando que z ∈ C 1 (I) es solución de [EH] si y sólo si es solución de la q q ecuación homogénea z 0 (t) + z = 0. Si ahora consideramos α: I −→ R una primitiva de a a Z t q(s) ds para t0 ∈ I, entonces la en el intervalo I, por ejemplo podríamos tomar α(t) = t0 a(s) EDO homogénea puede expresarse como z 0 (t) + α0 (t)z(t) = 0. c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones Lineales de Primer Orden 3 Multiplicando ambos términos de la anterior identidad por eα(t) , resulta que ³ ´0 eα(t) z 0 (t) + α0 (t)eα(t) z(t) = 0 =⇒ eα(t) z(t) = 0 =⇒ eα(t) z(t) = c, c ∈ R. En definitiva, las soluciones de la ecuación homogénea [EH] pueden caracterizarse de la manera siguiente: q , el conjunto de las soluciones de la EDO a homogénea a(t)z 0 (t) + q(t)z(t) = 0 se expresa mediante la igualdad Si α es una primitiva de la función z(t) = c e−α(t) , c ∈ R. Conocidas todas las soluciones de la ecuación homogénea [EH], dado el término independiente f ∈ C(I), para conocer el conjunto de soluciones de [EL] basta con calcular una solución particular. En este caso, una solución concreta de la EDO a(t)u0 (t) + q(t)x(t) + f (t), puede obtenerse a partir de una sencilla técnica denominada Método de Variación de las Constantes o Método de Lagrange: Dado que cuando las funciones de la forma c e−α(t) con c ∈ R describen todas las soluciones de [EH] nos preguntamos si existirá una función c ∈ C 1 (I) tal que u(t) = c(t) e−α(t) sea solución de [EL]. Observar que ahora permitimos que el parámetro c sea una función y no una constante, lo que justifica el nombre del método. ¿Cuáles son las condiciones que debemos pedir a c para que la anteror función sea solución de [EL]? Como q(t) −α(t) u0 (t) = c0 (t) e−α(t) − c(t) α0 (t)e−α(t) = c0 (t) e−α(t) − c(t) e , para que esto ocurra debe a(t) satisfacerse que eα(t) f = a u0 + q u = y 0 (t) = a c0 e−α − c q e−α + q c| e{z−α} =⇒ c0 (t) = f (t). a(t) u Por tanto, hemos demostrado que fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, q, f ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada eα q f , entonces todas las soluciones t ∈ I, si α es una primitiva de y c es una primitiva de a a 0 de la ecuación lineal de primer orden au + qu = f están determinadas por la identidad u(t) = k e−α(t) + c(t)e−α(t) , donde k ∈ R. Como vemos la solución general de la EDO [EL] posee un grado de libertad (el parámetro k) que intentaremos quede unívocamente determinado fijando el valor de la solución en un c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 4 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales punto concreto. En otros términos lo que nos planteamos ahora es el análisis del denominado Problema de Valor Inicial que consiste en dados t0 ∈ I y x0 ∈ R, determinar la o las funciones que satisfacen las identidades a(t)u0 (t) + q(t)u(t) = f (t), x(t0 ) = x0 [PVI]. Como la valoración en t0 de la solución general de [EL] determina que u(t) = e−α(t) [k + c(t0 )] =⇒ x0 = u(t0 ) = e−α(t0 ) [k + c(t0 )] =⇒ k = x0 eα(t0 ) − c(t0 ) resulta que el valor de k queda unívocamente determinado por la condición inicial y además h i h i u(t) = e−α(t) x0 eα(t0 ) + c(t) − c(t0 ) = x0 eα(t0 )−α(t) + e−α(t) c(t) − c(t0 ) . Observar que la expresión anterior determina que cada problema de valores iniciales del tipo [PVI] tiene una única solución. Más aún, un análisis un poco más detallado de la fórmula que determina tal solución permite concluir que puede representarse explícitamente en términos de los datos del problema, es decir en términos de los coeficientes, de los datos iniciales y también de la función coeficiente. Para ello no hemos más que observar que aunque q q α es una primitiva cualquiera de , α(t) − α(t0 ) representa la única primitiva de que se a a eα(t) anula en t0 y análogamente c(t) − c(t0 ) representa la única primitiva de f (t) que se a(t) anula en t0 , lo que significa que α(t) − α(t0 ) = Z t q(s) t0 a(s) ds y c(t) − c(t0 ) = Z t Rs t0 e q(ξ) t0 a(ξ) dξ f (s) a(s) ds. En definitiva, hemos demostrado que fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, q, f ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I y dados t0 ∈ I, x0 ∈ R y f ∈ C(I), el problema de valores iniciales a(t)u0 (t)0 (t) + q(t)u(t) = f (t), u(t0 ) = x0 , tiene solución única que además está dada por la identidad − u(t) = e Z t q(s) t0 a(s) Z s q(ξ) Z t ds x0 + e t0 t0 a(ξ) dξ f (s) a(s) ds . c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones Lineales de Segundo Orden 5 Teniendo en cuenta que − e Z t q(s) t0 a(s) ds Z t t0 Z s q(ξ) e a(ξ) t0 dξ f (s) a(s) ds = Z t − t0 e Z t q(ξ) s a(ξ) dξ f (s) a(s) ds denominamos Función de Green de la ecuación homogénea a la función g(t, s) = 1 − e a(s) Z t q(ξ) s a(ξ) dξ Observar que está función depende sólo de los coefientes de la ecuación, y que además está caracterizada por verificar que fijado s ∈ I, la función z(t) = g(t, s) es la única solución del problema de 1 valores iniciales a(t)z 0 (t) + q(t)z(t) = 0, z(t0 ) = . a(s) La Función de Green permite obtener fácilmente una solución particular de [EL] para cada término independiente f ∈ C(I). Concretamente, fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, q, f ∈ C(I) talesZ que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I y dados t0 ∈ I y f ∈ C(I), la función u(t) = es la única solución del problema de valores iniciales a(t)u0 (t)0 (t) + q(t)u(t) = f (t), t t0 g(t, s) f (s) u(t0 ) = 0. Los resultados anteriores son especialmente simples cuando los coeficientes de la ecuación son funciones constantes. En este caso, es claro que el intervalo de definición de la ecuación es I = R. Concretamente, tenemos que dados a, q ∈ R con a 6= 0, la Función de Green de la ecuación az 0 + qz = 0 es 1 g(t, s) = e−a(t−s) y para cada t0 , x0 ∈ R y f ∈ C(R), el problema de valores iniciales a au0 (t) + q u(t) + f (t), u(t0 ) = x0 , tiene como única solución a la función · −at u(t) = e ¸ at0 x0 e 1 Z t as + e f (s) ds . a t0 c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 6 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales 2. Ecuaciones Lineales de Segundo Orden El objetivo de esta Sección es el análisis de los Problemas de Valor Inicial asociados a Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden. Fijados I un intervalo no trivial y las funciones continuas a, b, q: I −→ R, donde a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, nuestro objetivo es determinar las funciones u ∈ C 2 (I) que en cada punto t ∈ I satisfacen la identidad a(t) u00 (t) + b(t) u0 (t) + q(t) u(t) = f (t). donde f : I −→ R es también una función continua. La identidad [EL] se denomina Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) Lineal de Segundo Orden con Coeficientes a, b y q y Término Independiente f , mientras que las funciones u ∈ C 2 (I) que verifican la igualdad [EL] se denominan Soluciones de la EDO. Con esta terminología, una EDO Lineal de segundo orden y coeficientes a, b y q consiste en para cada término independiente f ∈ C(I), determinar todas las soluciones de la identidad [EL]. Para describir todas las soluciones de la EDO lineal [EL] procederemos como sigue: Seleccionaremos un punto arbitrario t0 ∈ I y plantearemos para cada valores arbitrarios x0 , x1 ∈ R la búsqueda de la/s solución/es de [EL] que satisfagan además que u(t0 ) = x0 y que u0 (t0 ) = x1 , es decir planteamos el problema a u00 + b u0 + q u = f, en I u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 [PVI] que denominaremos Problema de Valores Iniciales. El resultado fundamental de la Teoría de EDOS Lineales de segundo orden es el siguiente: Fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, b, q ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, para cada término independiente f ∈ C(I), cada t0 ∈ I y cada x0 , x1 ∈ R, el Problema de Valores Iniciales a u00 + b u0 + q u = f, u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 tiene una única solución. Observar que el resultado anterior implica que es posible determinar todas las soluciones de [EL]. Claramente si u es una solución de un problema de valores iniciales concreto, es en c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones Lineales de Segundo Orden 7 particular solución de [EL]. Recíprocamente, si u ∈ C 2 (I) es una solución de [EL] y fijamos un punto arbitrario t0 ∈ I, si tomamos x0 = u(t0 ) y x1 = u0 (t0 ), entonces u es la única solución del Problema de valores iniciales a u00 + b u0 + q u = f , u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 . Una vez establecido el resultado fundamental de existencia y unicidad de solución de cada problema de valores iniciales, nuestro próximo objetivo será determinar explícitamente tales soluciones cuando ello sea posible. Para hacer esto, será útil analizar algunas propiedades adicionales de las soluciones de [EL]. Para empezar, es fácil observar que si las funciones u, v ∈ C 2 (I) son ambas soluciones de [EL], entonces w = u − v ∈ C 2 (I) satisface que aw00 +bw0 +qw = a(u00 −v 00 )+b(u0 −v 0 )+q(u−v) = au00 +bu0 +qu−av 00 +bv 0 +qv = f −f = 0. El resultado anterior motiva que denominemos Ecuación Homogénea asociada a [EL] a la EDO Lineal a u00 + b u0 + q u = 0, en I [EH] Acabamos de comprobar que si u, v ∈ C 2 (I) son ambas soluciones de [EL], entonces w = u−v es solución de la ecuación homogénea asociada [EH]. Recíprocamente, si u es una solución de [EL] y w es una solución de [EH], entonces la función v = u + w satisface que av 00 + bv 0 + qv = a(u00 + w00 ) + b(u0 + w0 ) + q(u + w) = au00 + bu0 + qu + aw00 + bw0 + qw = f, es decir, v es solución de [EH]. En definitiva, si up es una solución de [EL], que suele denominarse solución particular, entonces el conjunto de soluciones de [EL] se expresa como n up + w : w es solución de la EDO homogénea [EH] o Así pues para conocer TODAS las soluciones de una ecuación del tipo [EL] es suficiente concocer todas las soluciones de la Ecuación Homogénea asociada [EH] y una solución particular. Observar que [EH] sólo depende de las funciones coeficientes, mientras que cada término independiente f ∈ C(I) da lugar a una ecuación del tipo [EL] diferente, pero con la misma ecuación homogénea asociada. Por tanto, una vez calculadas todas las soluciones de la ecuación homogénea, dado un término independiente, para encontrar todas las soluciones de la ecuación [EL] es suficiente encontrar una solución particular y aplicar el resultado anterior. Por otra parte, si lo que se desea es resolver el problema de valores iniciales [PVI], podemos utilizar el resultado anterior de la siguiente forma: c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 8 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, b, q ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, para cada término independiente f ∈ C(I), cada t0 ∈ I y cada x0 , x1 ∈ R, la única solución del Problema de Valores Iniciales a u00 + b u0 + q u = f, u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 se expresa como u = v + w, donde v es la única solución del problema de valores iniciales (para la ecuación homogénea) a v 00 + b v 0 + q v = 0, v(t0 ) = x0 , v 0 (t0 ) = x1 , mientras que w es la única solución del problema de valores iniciales a w00 + b w0 + q w = f, w(t0 ) = w0 (t0 ) = 0. 2.1. La Ecuación Homogénea Nuestro interés se centra ahora en determinar las soluciones de la ecuación [EH], esto es a u00 + b u0 + q u = 0, en I [EH] Si u, v ∈ C 2 (I) son soluciones de [EH], entonces para cada α, β ∈ R la función w = α u + β v satisface que aw00 + bw0 + qw = a(α u00 + β v 00 ) + b(α u0 + βv 0 ) + q(α u + β w) = α(au00 + bu0 + qu) + β(av 00 + bv 0 + qv ) = 0, | {z || 0 } | {z } || 0 y es por tanto solución de [EH]. Así pues, el conjunto de soluciones de [EH] es un espacio vectorial. No es difícil demostrar que de hecho es un espacio vectorial de dimensión 2 y que además si u y v son soluciones de [EH], entonces son linealmente independientes si y sólo si det u(t) 0 v(t) 0 u (t) v (t) = u(t)v 0 (t) − v(t)u0 (t) 6= 0, para cada t ∈ I. Supongamos que u, v ∈ C 2 (I) son soluciones linealmente independientes de [EH], es decir que {u, v} es una base de soluciones de la ecuación homogénea. Entonces el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea es c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones Lineales de Segundo Orden 9 n o c1 u + c2 v : c1 , c2 ∈ R . Por otra parte, fijados t0 ∈ I, x0 , x1 ∈ R la única solución del problema de valores iniciales a z 00 + b z 0 + q z = 0, z(t0 ) = x0 , z 0 (t0 ) = x1 , deberá expresarse como z(t) = c1 u(t)+c2 v(t) con c1 , c2 ∈ R. Para determinar c1 y c2 debemos imponer que z satisfaga las condiciones inciales, esto es x0 = z(t0 ) = c1 u(t0 ) + c2 v(t0 ) y x1 = z 0 (t0 ) = c1 u0 (t0 ) + c2 v 0 (t0 ) que dan lugar al siguiente sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas x0 v 0 (t0 ) − x1 v(t0 ) c = 1 u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) u(t0 ) v(t0 ) c1 x0 = =⇒ u0 (t0 ) v 0 (t0 ) c2 x1 x1 u(t0 ) − x0 u0 (t0 ) c2 = u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) En resumen, para la ecuación homogénea tenemos el siguiente resultado: Fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, b, q ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, si {u, v} es base de soluciones de la ecuación homogénea a z 00 + b z 0 + q z = 0, entonces para cada t0 ∈ I y cada x0 , x1 ∈ R, la única solución del Problema de Valores Iniciales a z 00 + b z 0 + q z = 0, z(t0 ) = x0 , z 0 (t0 ) = x1 se expresa como ³ z(t) = 2.2. ´ x0 v 0 (t0 ) − x1 v(t0 ) u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) ³ u(t) + ´ x1 u(t0 ) − x0 u0 (t0 ) u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) v(t) La Solución Particular Si suponemos que {u, v} es una base de soluciones de la ecuación homogénea [EH], es claro que podemos determinar todas las soluciones de [EH] y también la única solución de c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 10 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales cada problema de valores iniciales. Por tanto, para determinar todas las soluciones de las ecuaciones del tipo [EL], así como de cada problema de valor incial es suficiente determinar, para cada término independiente f ∈ C(I), una solución particular. Como mostraremos a continuación, siempre es posible obtener tal solución utilizando simplemente las funciones u y v, mediante el uso del Método de Variación de las Constantes, que consiste en buscar una solución de [EL] expresada en la forma up (t) = c1 (t) u(t) + c2 (t) v(t), donde c1 , c2 ∈ C 1 (I). Observar que cuando c1 , c2 ∈ R las funciones de la forma c1 (t) u(t) + c2 (t) v(t) describen las soluciones de la ecuación homogénea [EH], mientras que ahora permitimos que c1 y c2 sean funciones, lo que justifica el nombre del método. ¿Qué condiciones deben imponerse a c1 y c2 para que up sea solución de [EL]? Para empezar, es claro que u0p (t) = c1 (t)u0 (t) + c2 (t)v 0 (t) + c01 (t)u(t) + c02 (t)v(t). Como ahora necesitamos derivar otra vez up y las funciones c1 y c2 sólo tienen una derivada, impondremos c01 (t)u(t) + c02 (t)v(t) = 0, para cada t ∈ I. Asumida esta hipótesis sobre c1 y c2 resulta que u0p (t) = c1 (t)u0 (t) + c2 (t)v 0 (t) =⇒ u00p (t) = c1 (t)u00 (t) + c2 (t)v 00 (t) + c01 (t)u0 (t) + c02 (t)v 0 (t). Así, para que up sea solución de [EL], las funciones c1 y c2 deben satisfacer que c01 u + c02 v = 0 y además que f = a u00p + b up + q up = a(c1 u00 + c2 v 00 + c01 u0 + c02 v 0 ) + b(c1 u0 + c2 v 0 ) + q(c1 u + c2 v) = c1 (au00 + bu0 + qu) + c2 (av 00 + bv 0 + qv ) + a c01 u0 + a c02 v 0 | {z } | {z || 0 } || 0 Por tanto, para que up (t) = c1 (t) u(t) + c2 (t) v(t), donde c1 , c2 ∈ C 1 (I), sea solución de [EL], las funciones c1 y c2 deben satisfacer que c01 (t)u(t) + c02 (t)v(t) = 0 y c01 (t)u0 (t) + c02 (t)v 0 (t) = f (t) , para cada t ∈ I a(t) identidades que para cada t ∈ I dan lugar al siguiente sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas u(t) v(t) u0 (t) v 0 (t) c01 (t) 0 −f (t)v(t) ³ ´ c01 (t) = a(t) u(t)v 0 (t) − v(t)u0 (t) = f (t) ⇒ 0 c2 (t) c0 (t) = a(t) 2 ³ f (t)u(t) ´ a(t) u(t)v 0 (t) − v(t)u0 (t) c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones Lineales de Segundo Orden 11 Por tanto, fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, b, q ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, si {u, v} es base de soluciones de la ecuación homogénea a z 00 + b z 0 + q z = 0 y para cada f ∈ C(I) consideramos c1 , c2 ∈ C 1 (I) primitivas de las funciones ³ −f (t)v(t) y ´ a(t) u(t)v 0 (t) − v(t)u0 (t) f (t)u(t) ³ ´, a(t) u(t)v 0 (t) − v(t)u0 (t) respectivamente, entonces up (t) = c1 (t)u(t) + c2 (t)v(t) es una solución de la ecuación lineal a u00 + b u0 + q u = f . En particular, si ahora consideramos t0 ∈ I, y las funciones c1 (t) = Z t t0 ³ −f (s)v(s) a(s) u(s)v 0 (s) − v(s)u0 (s) ´ ds y c2 (t) = Z t t0 ³ f (s)u(s) ´ ds a(s) u(s)v 0 (t) − v(s)u0 (s) entonces up (t) = c1 (t)u(t) + c2 (t)v(t) es solución de [EL] y además satisface que up (t0 ) = c1 (t0 ) u(t) + c2 (t0 ) v(t) = 0 y u0p (t0 ) = c1 (t0 ) u0 (t0 ) + c2 (t0 ) v 0 (t0 ) = 0, | {z } | {z } | {z } | {z } || 0 || 0 || 0 || 0 lo que implica que es la única solución del PVI a w00 + b w0 + q w = f , w(t0 ) = w0 (t0 ) = 0. Sustituyendo ahora c1 y c2 en la expresión de up , obtenemos que up (t) = c1 (t)u(t) + c2 (t)v(t) = −u(t) + v(t) = Z t t0 Z t t0 f (s)v(s) ´ ds a(s) u(s)v 0 (s) − v(s)u0 (s) Z t t0 ³ ³ f (s)u(s) ´ ds a(s) u(s)v 0 (t) − v(s)u0 (s) v(t)u(s) − u(t)v(s) ³ ´ f (s) ds. a(s) u(s)v 0 (s) − v(s)u0 (s) La expresión que acabamos de obtener motiva que denominemos Función de Green de la ecuación homogénea [EH] a la función g(t, s) = v(t)u(s) − u(t)v(s) ³ ´. a(s) u(s)v 0 (s) − v(s)u0 (s) Podemos comprobar directamente, o bien aplicar los resultados relativos a la ecuación homogénea obtenidos en la sección anterior, que la función de Green está caracterizada por la siguiente propiedad: c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 12 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Fijado s ∈ I, w(t) = g(t, s) es la única solución del problema de valores inciales aw00 + bw0 + qw = 0, w(s) = 0, w0 (s) = 1 a(s) Como resumen de los resultados obtenidos, tenemos la denominada Fórmula de Lagrange que determina la expresión de la única solución de cada problema de valores iniciales [PVI]: Fijados un intervalo no trivial I y las funciones a, b, q ∈ C(I) tales que a(t) 6= 0 para cada t ∈ I, si {u, v} es base de soluciones de la ecuación homogénea a z 00 + b z 0 + q z = 0 entonces para cada t0 ∈ I y cada x0 , x1 ∈ R la única solución del problema de valores inciales a w00 + b w0 + q w = f, w(t0 ) = x0 , w0 (t0 ) = x1 , está determinada por la expresión ³ w(t) = u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) donde g(t, s) = 3. ´ x0 v 0 (t0 ) − x1 v(t0 ) ³ u(t) + v(t)u(s) − u(t)v(s) ³ ´ x1 u(t0 ) − x0 u0 (t0 ) u(t0 )v 0 (t0 ) − v(t0 )u0 (t0 ) v(t) + Z t t0 g(t, s) f (s) ds, ´ es la Función de Green de la ecuación homogénea. a(s) u(s)v 0 (s) − v(s)u0 (s) Ecuaciones con coeficientes constantes Después de la Fórmula de Lagrange, es patente que para resolver cualquier problema de valor inicial como [PVI] es suficiente conocer una base de soluciones de la ecuación homogénea [EH]. En la mayor parte de los casos, obtener tal base de manera explícita es imposible y en general es preciso utilizar métodos adicionales a los puramente analíticos. Sin embargo existen situaciones en las que es relativamente sencillo determinar tal base y en esta sección nos preocuparemos de la más habitual que no es otra que aquélla en la que los coeficientes de la ecuación diferencial son funciones constantes. Por tanto, de acuerdo con las notaciones de las seciones anteriores consideraremos la ecuación homogénea au00 + bu0 + qu = 0, donde a, b, q ∈ R con a 6= 0. Observar que en este caso el intervalo de definción de la ecuación es I = R. Las ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes tienen una propiedad de gran utilidad práctica y cuya demostración se reduce simplemente a su comprobación: c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones con coeficientes constantes 13 Si u es solución de la EDO au00 + bu0 + qu = 0, entonces para cada t0 ∈ R la función v(t) = u(t − t0 ) es también solución de la ecuación. En particular, para cada t0 , x0 , x1 ∈ R, la única solución del problema de valores iniciales av 00 + bv 0 + qv = 0, v(t0 ) = x0 , v 0 (t0 ) = x1 está determinada por v(t) = u(t − t0 ) donde u es la única solución del problema de valores iniciales au00 + bu0 + qu = 0, u(0) = x0 , u0 (0) = x1 . En particular, si z es la única solución del problema de valores iniciales az 00 + bz 0 + qz = 0, v(0) = 0, 1 z 0 (0) = , entonces la función de Green de la ecuación es g(t, s) = z(t − s). a En el caso de coeficientes constantes, la determinación de una base de soluciones para la ecuación homogénea está íntimamente relacionada con las raíces del denominado Polinomio Característico de la Ecuación, que no es otro que el polinomio de segundo grado p(x) = ax2 + bx + q. Es claro que al tratarse de un polinomio de segundo grado con coeficientes reales, el polinomio característico o bien posee dos raíces reales distintas, o bien una única raíz real o bien dos raíces conplejas que han de ser conjugadas una de otra. En cada caso es sencillo comprobar que una base de soluciones de la ecuación homogénea está formada por las siguientes funciones p tiene dos raíces reales distintas, r1 y r2 =⇒ u(t) = er1 t y v(t) = er2 t . p tiene una única raíz simple r =⇒ u(t) = ert y v(t) = t ert . p tiene dos raíces complejas r ± i ν =⇒ u(t) = ert sen(νt) y v(t) = ert cos(νt). Como p(x) = ax2 + bx + q, resulta que las raíces de p son las soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + q = 0 y por tanto están determinadas por la expresión √ −b ± b2 − 4aq . En conclusión, p tiene dos raíces reales distintas, una raíz real doble o 2a dos raíces complejas si b2 > 4aq, b2 = 4aq o b2 < 4aq, respectivamente. Si definimos los q |b2 − 4aq| b números reales r = yν= , entonces la base de soluciones de la ecuación 2a 2a homogénea está determinada por las siguientes funciones: c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 14 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Si b2 > 4aq =⇒ u(t) = e−rt eνt y v(t) = e−rt e−νt . Si b2 = 4aq =⇒ u(t) = e−rt y v(t) = t e−rt . Si b2 < 4aq =⇒ u(t) = e−rt sen(νt) y v(t) = e−rt cos(νt). En el caso b2 > 4aq, es decir cuando el polinomio característico p tiene dos raíces reales, u−v u+v −r ± ν, en lugar de considerar la base {u, v} es más útil tomar û = y v̂ = , es 2 2 decir las funciones û = e−rt (eνt − e−νt ) (eνt − +e−νt ) = e−rt sh(νt) y v̂ = e−rt = e−rt ch(νt), 2 2 que también forman una base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea. En resumen la base de soluciones de la ecuación homogénea está determinada por las siguientes funciones: q Si definimos r = b yν= 2a |b2 − 4aq| 2a , entonces Si b2 > 4aq =⇒ u(t) = e−rt sh(νt) y v(t) = e−rt ch(νt). Si b2 = 4aq =⇒ u(t) = e−rt y v(t) = t e−rt . Si b2 < 4aq =⇒ u(t) = e−rt sen(νt) y v(t) = e−rt cos(νt). Si ahora fijamos x0 , x1 ∈ R nos preocuparemos de resolver el problema de valores iniciales au00 + bu0 + qu = 0, u(0) = x0 , u0 (0) = x1 [PVI]. 1 Recordar que como indicamos al comienzo de la sección, el caso x0 = 0, x1 = nos conducirá a a la obtención de la función de Green de la ecuación. Si b2 > 4aq, la solución del PVI debe ser de la forma u(t) = c1 e−rt sh(νt) + c2 e−rt ch(νt), lo que implica que ³ ³ ´ u(t) = e−rt c1 sh(νt) + c2 ch(νt) ⇒ u(0) = c2 , ´ u0 (t) = e−rt c1 νch(νt) + c2 νsh(νt) − rc1 sh(νt) − rc2 ch(νt) ⇒ u0 (0) = c1 ν − rc2 c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones con coeficientes constantes y por tanto que c1 = 15 rx0 + x1 1 , mientras que c2 = x0 . En particular, si x0 = 0 y x1 = , ν a 1 entonces c1 = , mientras que c2 = 0, lo que implica que la unica solución de [PVI] y la aν función de Green están determinadas por las identidades u(t) = ´ ´ e−rt ³ 1 −r(t−s) ³ (rx0 + x1 ) sh(νt) + νx0 ch(νt) y g(t, s) = e sh ν(t − s) . ν aν Si b2 = 4aq, la solución del PVI deber ser de la forma u(t) = c1 te−rt + c2 e−rt , lo que implica que ³ ´ u(t) = e−rt c1 t + c2 ⇒ u(0) = c2 , ³ ´ u0 (t) = e−rt c1 − rc1 t − rc2 ⇒ u0 (0) = c1 − rc2 1 y por tanto que c1 = rx0 + x1 , mientras que c2 = x0 . En particular, si x0 = 0 y x1 = , a 1 entonces c1 = , mientras que c2 = 0, lo que implica que la unica solución de [PVI] y la a función de Green están determinadas por las identidades ³ u(t) = e−rt (rx0 + x1 ) t + x0 ´ y g(t, s) = 1 −r(t−s) e (t − s). a Si b2 < 4aq, la solución del PVI deber ser de la forma u(t) = c1 e−rt sen(νt)+c2 e−rt cos(νt), lo que implica que ³ ³ ´ u(t) = e−rt c1 sen(νt) + c2 cos(νt) ⇒ u(0) = c2 , ´ u0 (t) = e−rt c1 νcos(νt) − c2 ν sen(νt) − rc1 sen(νt) − rc2 cos(νt) ⇒ u0 (0) = c1 ν − rc2 y por tanto que c1 = rx0 + x1 1 , mientras que c2 = x0 . En particular, si x0 = 0 y x1 = , ν a 1 , mientras que c2 = 0, lo que implica que la unica solución de [PVI] y la entonces c1 = aν función de Green están determinadas por las identidades ´ ´ 1 −r(t−s) e−rt ³ (rx0 + x1 ) sen(νt) + νx0 cos(νt) y g(t, s) = e sen (ν(t − s) . u(t) = ν aν c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 16 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales En resumen, tenemos que q |b2 − 4aq| b yν = , entonces para cada Fijados a, b, q ∈ R con a 6= 0 y definiendo r = 2a 2a f ∈ C(R) y cada t0 , x0 , x1 ∈ R la única solución del problema de valores inciales a u00 + b u0 + q u = f, u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 , está determinada por la expresión u(t) = + ³ ´ ³ ´i e−r(t−t0 ) h (rx0 + x1 ) sh ν(t − t0 ) + νx0 ch ν(t − t0 ) ν ´ e−rt Z t rs ³ e sh ν(t − s) f (s) ds, aν t0 si b2 > 4aq, por la expresión h i u(t) = e−r(t−t0 ) (rx0 + x1 ) (t − t0 ) + x0 + e−rt Z t rs e (t − s) f (s) ds, a t0 si b2 = 4aq y finalmente por la expresión u(t) = ³ ´ ³ ´i e−r(t−t0 ) h (rx0 + x1 ) sen ν(t − t0 ) + νx0 cos ν(t − t0 ) ν ³ ´ e−rt Z t rs + e sen ν(t − s) f (s) ds, aν t0 4. si b2 < 4aq. Ecuaciones de Euler Finalizaremos este Apéndice describiendo la solución de una familia importante de ecuaciones lineales, las denominadas Ecuaciones de Euler, que a pesar de no tener coeficientes constantes pueden resolverse mediante las técnicas asociadas a este tipo de ecuaciones, es decir empleando los recursos de la sección anterior. Aunque pueden presentarse situaciones algo más generales que la que traytaremos aquí, en este curso nos restringiremos a analizar el caso más sencillo, de forma que deminaremos Ecuación de Euler de segundo orden a cada ecuación diferencial lineal de la forma t2 u00 (t) + t u0 (t) + q u(t) = f (t), donde I = R+ y q ∈ R [Eu] Después de los resultados generales para las ecuaciones lineales de segundo orden es claro que para resolver las ecuaciones de Euler y los correspondientes problemas de valor incial es suficiente determinar una base de soluciones de la Ecuación de Euler homogénea c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones de Euler 17 t2 u00 (t) + t u0 (t) + q u(t) = 0 [EuH] La clave para encontrar las soluciones de [EuH] se encuentra en que este tipo de ecuaciones son equivalentes a otras de coeficientes constantes, en el sentido de que un cambio de variable apropiado las transforma en una tal ecuación. Concretamente si consideramos el cambio de variable F : R −→ R+ dado por F (s) = es , entonces si u ∈ C 2 (R+ ) y definimos v ∈ C 2 (R) como v(s) = u(es ), aplicando la Regla de la Cadena tenemos que v 0 (s) = es u0 (es ) y v 00 (s) = e2s u00 (es ) + es u0 (s) = e2s u00 (es ) + v(s). La función u es solución de la ecuación de Euler [EuH] si y sólo si para cada t ∈ R+ satisface que t2 u00 (t) + t u0 (t) + q u(t) = 0. Si ahora consideramos s ∈ R y t = es , entonces t2 = e2s y por tanto, u es solución de la ecuación de Euler [EuH] si y sólo si para cada s ∈ R satisface que 0 = e2s u00 (es ) + es u0 (es ) +q u(es ) = v 00 (s) + qv(s) | {z } v 00 (s)−v 0 (s) | {z } | {z } v 0 (s) v(s) es decir u ∈ C(R+ ) es solución de la ecuación de Euler homogénea t2 u00 (t) + tu0 (t) + qu(t) = 0 si y sólo si v(s) = u(es ) es solución de la ecuación de coeficientes constantes v 00 + q v = 0 q Si r = |q|, tenemos que cuando q < 0 las soluciones de v 00 + qv = 0 se expresan como v(s) = c1 ers + c2 e−rs ; si q = 0, las soluciones de v 00 + qv = 0 se expresan como v(s) = c1 + c2 s, mientras que cuando q > 0 las soluciones de v 00 + qv = 0 se expresan como v(s) = c1 sen(rs) + c2 cos(rs). Como v(s) = u(es ), resulta que u(t) = v(ln t), de manera que tenemos los siguiente resultados: q Fijado q ∈ R y definiendo r = |q|, entonces las soluciones de la ecuación de Euler homogénea t2 u00 + t u0 + q u = 0 están determinadas por la expresión u(t) = c1 er ln t + c2 e− ln rt = c1 tr + c2 , c1 , c2 ∈ R, tr si q < 0, por la expresión u(t) = c1 + c2 ln t, c1 , c2 ∈ R, si q = 0, y finalmente por la expresión u(t) = c1 sen(r ln t) + c2 cos(r ln t), c1 , c2 ∈ R, si q > 0. c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° 18 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales Si ahora fijamos t0 > 0 y x0 , x1 ∈ R, nos preocuparemos de resolver el problema de valores iniciales t2 u00 + tu0 + qu = 0, u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 [PVI]. Recordar que como indicamos en la segunda sección de este Apéndice, el caso t0 = s, x0 = 0, 1 x1 = 2 nos conducirá a la obtención de la función de Green de la ecuación de Euler. s Si suponemos que q < 0, entonces c2 c2 ⇒ u(t0 ) = c1 tr0 + r , r t t0 rc rc2 2 u0 (t) = rc1 tr−1 − r+1 ⇒ u0 (t0 ) = rc1 tr−1 − r+1 0 t t0 u(t) = c1 tr + 1 tr0 (rx + t x ), mientras que c = (rx0 − t0 x1 ). En particular, 0 0 1 2 2rtr0 2r 1 1 sr−1 si t0 = s, x0 = 0 y x1 = 2 , entonces c1 = , mientras que c = , lo que implica 2 s 2rsr+1 2r que la unica solución de [PVI] y la función de Green están determinadas por las identidades y por tanto que c1 = x0 u(t) = 2 ·µ t t0 ¶r µ t0 + t ¶r ¸ t0 x1 + 2r ·µ t t0 ¶r µ t0 − t ¶r ¸ 1 y g(t, s) = 2rs ·µ ¶r t s − µ ¶r ¸ s t . Si suponemos que q = 0, entonces u(t) = c1 + c2 ln t ⇒ u(t0 ) = c1 + c2 ln t0 , c2 c2 ⇒ u0 (t0 ) = u0 (t) = t t0 ⇒ c1 = x0 − t0 x1 ln t0 , c 2 = t 0 x1 , 1 ln s 1 , entonces c1 = − , mientras que c2 = , lo 2 s s s que implica que la unica solución de [PVI] y la función de Green están determinadas por las identidades En particular, si t0 = s, x0 = 0 y x1 = µ t u(t) = x0 + t0 x1 ln t0 ¶ µ ¶ 1 t y g(t, s) = ln . s s c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 ° Ecuaciones de Euler 19 Si suponemos que q > 0, entonces u(t) = c1 sen(r ln t) + c2 cos(r ln t) ⇒ u(t0 ) = c1 sen(r ln t0 ) + c2 cos(r ln t0 ), u0 (t) = i i rh r h c1 cos(r ln t0 ) − c2 sen(r ln t0 ) c1 cos(r ln t) − c2 sen(r ln t) ⇒ u0 (t0 ) = t t0 y por tanto que c1 = ´ ´ 1³ 1³ rx0 sen(r ln t0 ) + t0 x1 cos(r ln t0 ) y c2 = rx0 cos(r ln t0 ) − t0 x1 sen(r ln t0 ) . r r 1 cos(r ln t0 ) sen(r ln t0 ) , entonces c1 = y c2 = − , lo 2 s rs rs que implica que la unica solución de [PVI] y la función de Green están dadas por En particular, si t0 = s, x0 = 0 y x1 = · µ u(t) = x0 cos r ln t t0 ¶¸ · + µ t t 0 x1 sen r ln r t0 ¶¸ · y g(t, s) = µ ¶¸ t 1 sen r ln rs s , donde hemos utilizado las conocidas identidades trigonométricas sen(α − β) = sen α cosβ − cosα sen β y cos(α − β) = cosα cosβ + sen α sen β En definitiva, hemos demostrado el siguiente resultado: q Fijado q ∈ R y definiendo r = |q|, entonces para cada f ∈ C(R+ ), cada t0 > 0 y cada x0 , x1 ∈ R la única solución del problema de valores inciales t2 u00 + t u0 + q u = f, u(t0 ) = x0 , u0 (t0 ) = x1 , está determinada por la expresión x0 u(t) = 2 ·µ t t0 ¶r µ t0 + t ¶r ¸ t0 x1 + 2r ·µ t t0 ¶r µ t0 − t ¶r ¸ 1 Zt1 + 2r t0 s µ ¶r ¸ ·µ ¶r t s − s t f (s) ds, si q < 0, por la expresión µ ¶ µ ¶ Z t t 1 t u(t) = x0 + t0 x1 ln + ln t0 s t0 s f (s) ds, si q = 0 y finalmente por la expresión · u(t) = x0 cos r ln µ t t0 ¶¸ · + µ t0 x1 t sen r ln r t0 ¶¸ · + µ ¶¸ 1Z t1 t sen r ln r t0 s s f (s) ds, si q > 0. c Carmona, A. & Encinas, A.M. Formación Complementaria en Matemática Aplicada, 2008 °