Prácticas y problemas de regresión lineal simple.

Capítulo 1
Prácticas y problemas de regresión
lineal simple.
1.1.
Problemas de regresión lineal simple con ordenador.
Problema 4.1.
“Los datos de la tabla adjunta proporcionan la distancia en línea recta (LR) y por
carretera (DC) entre veinte pares de puntos geográ…cos (localidades) de She¢ eld.
1. ¿Existe una relación lineal entre las dos variables?
2. ¿Es su…cientemente bueno el modelo de regresión lineal que explica la variable de
interés DC en función de la variable regresora LR?. Estimar el modelo de regresión
lineal. Calcular intervalos de con…anza al 90 % para los parámetros del modelo.
3. Calcular la tabla ANOVA del modelo. Conclusiones que se obtienen.
4. Predecir la distancia por carretera entre dos ciudades cuya distancia en línea recta
es 25. Calcular un intervalo de predicción al 90 %. Repetir el apartado si la distancia
(LR) es 50.
5. ¿Existe un modelo linealizable mejor?
DC
100 7
60 5
290 4
170 2
180 4
190 7
160 3
LR
90 5
50 0
230 0
150 2
110 4
110 8
140 6
DC
160 6
290 0
400 5
140 2
110 7
250 6
90 5
LR
120 1
220 0
280 2
120 1
90 8
190 0
80 3
1
DC
280 8
310 2
60 5
250 7
260 5
330 1
LR
210 6
260 5
40 8
210 7
180 0
280 0
2
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
Desarrollo del Problema 4.1.
En primer lugar se representa la grá…ca de dispersión de la nube de puntos que permite
tener una primera idea acerca de la forma del modelo de regresión. Se utiliza el siguiente
módulo de Statgraphics
graficos > graficos de dispersion > grafico x-y
Un estudio detallado del modelo lineal simple ajustado se obtiene en
dependencia > regresion simple
Dentro de este módulo, en el apartado resumen del procedimiento, se obtiene
la recta de regresión estimada (estimación de los coe…cientes de 0 y 1 ; desviaciones
típicas, lo que permite calcular intervalos de con…anza de los mismos y test de la t). Este
apartado también proporciona la tabla ANOVA y los coe…cientes de determinación. En
este problema el coe…ciente de correlación es r = 00 969, y se concluye que el ajuste lineal
es bueno.
El apartado predicciones permite calcular predicciones e intervalos de con…anza de
la media condicionada y de predicción para una observación determinada.
Si la recta de regresión se quiere comparar con otros modelos “linealizables” se puede
hacer en el apartado comparacion de modelos alternativos
Este módulo proporciona la correlación de doce ajustes. Con los datos de este problema
los ajustes “doble recíproco” y “multiplicativo” mejoran ligeramente (en correlación) a la
regresión lineal y habría que evaluar la conveniencia de trabajar con ellos. Para calcular
el ajuste de alguno de estos modelos “linealizables”se utiliza el apartado de opciones en
resumen del procedimiento.
Este módulo también proporciona las observaciones con residuos grandes (residuos
atipicos), las observaciones in‡uyentes (puntos influyentes) y diferentes grá…cos que
permiten evaluar la bondad del ajuste y el cumplimiento de las hipótesis básicas.
Problema 4.2. (Datos simulados)
“Este problema consta de dos partes. En un primer apartado se simula un conjunto de
datos bidimensionales (xi ; yi ) que siguen un modelo de regresión lineal simple con diseño
…jo. En el segundo apartado se estudia el modelo de regresión que mejor se ajusta a los
datos simulados en el apartado anterior.
La variable regresora X toma los valores 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30 y 33: Para cada
valor de X se tienen 15 observaciones de la variable respuesta Y; en total, 150 observaciones.
Los valores se generan a partir del modelo matemático
Y = 40 + 10 5X + ";
donde " sigue una distribución N 0; 102 :
Se seguirán los siguientes pasos:
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
3
1. Generación de la muestra.
2. Hacer un estudio estadístico básico de la variable condicionada Y =X:
3. Calcular la recta de regresión ajustada a las observaciones simuladas: estimación de
los parámetros, tabla ANOVA, contraste de regresión y de linealidad, intervalos de
con…anza. ¿Se obtienen resultados congruentes, la recta de regresión ajustada está
próxima a la recta generadora de las observaciones?
4. Contrastar las hipótesis estructurales del modelo. ¿Existen datos atípicos?
5. Hacer predicciones para X = 10; 20; 30; 40; 50; 100: Calcular intervalos de con…anza
y de predicción.
6. Estudiar otros modelos linealizables.
Desarrollo del Problema 4.2.
Para generar la muestra por simulación se siguen los siguientes pasos:
- Crear la variable valor_x = 5; 8; 12; 15; 20; 22; 25; 27; 30; 33:
- Generar la variable x = rep(15; valor_x):
- Generar la variable recta = 40 + 1; 5 x:
- Generar la variable error = rnormal(150; 0; 10):
- Obtener la variable respuesta y = recta + error .
La muestra (simulada) se representa en un grá…co bidimensional según el análisis
graficos > graficos de dispersion > grafico x-y
Como se dispone de varias observaciones de la respuesta para cada valor de X se debe
hacer un análisis estadístico de la variable condicionada Y =X: Para ello se utiliza el módulo
descripcion > datos numericos > analisis de subgrupo
Introducir codes = x.
Igual que en el problema anterior el análisis de regresión se realiza en
dependencia > regresion simple
En este problema se puede hacer una tabla ANOVA más completa y el contraste de
linealidad en la opción contraste de falta de ajuste.
El desarrollo del resto del problema es análogo al anterior y como se dispone de un
número relativamente grande de observaciones se puede hacer un estudio más completo
acerca del cumplimiento de las hipótesis del modelo.
4
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
1.2.
Problema resuelto de regresión lineal simple.
Problema 4.3.
“Los datos de la tabla adjunta muestran el tiempo de impresión (Y ) de trabajos que
se han imprimido en impresoras de la marca PR. Se está interesado en estudiar la relación
existente entre la variable de interés “tiempo de impresión de un trabajo” y la variable
explicativa (X) “número de páginas del trabajo”. Utilizando estos datos ajustar un modelo
de regresión”.
x
y
1
240 56
280 07
220 53
170 33
230 16
140 70
4
290 03
540 38
440 34
450 00
470 63
480 95
7
850 33
780 94
780 34
660 73
610 07
880 25
10
790 82
830 81
760 30
900 83
710 79
Datos de las impresoras
x
y
0 92
29
170 14
170 81
370 25 310 90
2
190 41
310 80 410 72
240 59
520 55 690 50
530 52
550 61 520 98
5
300 11
650 70 400 11
450 21 460 63
830 82 750 38
680 17
690 40 840 42
8
760 71
800 68 600 79
640 84
1000 08 740 79
0
89 00
760 20
x
3
6
9
y
280 86
440 73
410 32
280 79
650 39
620 85
710 44
500 42
820 90
1020 13
930 93
Solución Problema 4.3.
Se calculan los estadísticos básicos de las variables X e Y;
Pn
n = 75
x = 50 44
i=1 xi = 408
Pn
2
i=1 xi
Pn
2
i=1 yi
Pn
= 2;818
x2 = 370 5733
Pn
i=1 yi
= 296;397
i=1 xi yi
= 28;3620 5
= 4;3210 7
s2x = 70 9797
570 48
690 09
570 29
1050 73
1190 82
1020 30
sx = 20 82484
y = 570 6227
y 2 = 3;9510 96
s2y = 6310 586
xy = 3780 167
sxy = 640 6995
Las estimaciones de los parámetros de la recta de regresión son
^1 =
300 01
440 43
340 16
sxy
640 6995
= 0
= 80 108:
2
sx
7 9797
sy = 250 1313
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
^ 1 x = 570 6227
^0 = y
5
80 108 50 44 = 130 515
Se calculan las predicciones y^i
xi
1
2
y^i
210 623
290 731
Predicciones
y^i
xi
y^i
xi
370 839 5 540 055 7
450 947 6 620 163 8
xi
3
4
y^i
700 271
780 379
xi
9
10
y^i
860 487
940 595
La suma de cuadrados de los residuos (scR) se obtiene como
75
X
e2i
=
i=1
75
X
2
(yi
y^i ) =
i=1
75
X
130 515 + 80 108xi
yi
2
= 80250 61:
i=1
Una forma alternativa, más sencilla, de calcular scR es
!
75
75
75
75
X
X
X
X
e2i =
yi2
^0
yi + ^ 1
xi yi = 80250 61:
i=1
i=1
i=1
i=1
La varianza residual es
s^2R =
1
n
2
75
X
e2i =
i=1
80250 61
= 1090 94 ) s^R = 100 485:
73
Las varianzas de los parámetros son
s^2R
1090 94
=
= 00 1837 ) (^ 1 ) = 00 4286:
ns2x
75 70 9797
V ar(^ 1 ) =
V ar(^ 0 ) =
s^2R
n
1+
x2
s2x
=
1090 94
75
1+
50 442
70 9797
= 60 9022 ) (^ 0 ) = 20 6272
Intervalos de con…anza (al 90 %) y contrastes de hipótesis sobre los parámetros del
modelo son:
Intervalo de con…anza para
2) s^2R
(n
2
n 2
2
2
)
80250 62
540 3245
850 325 =
2
80250 62
940 0592
2
73
00 05
73 1090 94
2
2
73
00 95 )
940 0592 )
2
80250 62
= 1470 735:
540 3245
Intervalo de con…anza para ^ 1
^1
1
(^ 1 )
10 6664
1
tn
2
) t73 00 05
80 108
00 4286
1
80 108
1
10 6664 )
00 4286
2 80 108 00 4286 10 6664 = 80 108
t73 00 95 )
00 7142 = 70 3938; 80 8222 :
6
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
Intervalo de con…anza para ^ 0
^0
0
tn
(^ 0 )
10 6664
0
2
130 515
20 6272
) t73 00 05
0
130 515
0
10 6664 )
0
2 6272
2 130 515 20 6272 10 6664 = 130 515
Contraste de hipótesis para ^ 1
d1
(H0 :
1
=0
t73 00 95 )
40 378 = 90 137; 170 893 :
f rente
H0 :
^1
80 108
= 0
= 180 917
(^ 1 )
(^ 1 )
0 4286
) p valor = P jt73 j > 180 917 = 00 0000
=
^1
1
jH0 =
tn
1
6= 0)
0
6= 0)
2
) Se rechaza H0 :
Contraste de hipótesis para ^ 0
d0
(H0 :
0
=0
f rente
H0 :
^0
130 515
= 0
= 50 144
(^ 0 )
(^ 0 )
2 6272
) p valor = P jt73 j > 50 144 = 00 0000
=
^0
0
jH0 =
tn
2
) Se rechaza H0 :
El coe…ciente de correlación es
r=
sxy
640 6995
= 0
= 00 9113:
sx sy
2 82484 250 1313
En el siguiente grá…co se representa la nube de puntos y la recta ajustada
Figura 4.1. Nube de observaciones y recta ajustada.
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
7
El grá…co de residuos frente a las predicciones se observa en el siguiente grá…co,
Figura 4.2. Grá…co de residuos.
Cálculo de la tabla ANOVA del modelo.
scR =
75
X
e2i = 8;0250 61;
i=1
scG =
scE =
75
X
i=1
75
X
(yi
y)2 = 75 s2y = 75 6310 586 = 47;3680 95;
(^
yi
y)2 = scG
scR = 47;3680 95
8;0250 61 = 39;3430 34;
i=1
de donde
Tabla ANOVA
Fuentes de
variación
scE (modelo)
scR (Residual)
scG (Global)
Suma de
cuadrados
Grados
libertad
39;3430 34
80250 61
47;3680 95
1
73
74
Varianzas
F
test
s^2e = 39;3430 34
s^2R = 1090 94
s^2y = 6400 12
F = 3570 86
s^R = 100 48
s^y = 250 30
p
00 0000
Contraste de regresión.
H0;reg :
H1 :
value
“el modelo de regresión lineal ajustado no es in‡uyente”
“el modelo ajustado es in‡uyente”
8
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
0: El estadístico del contraste es d^reg
Si H0;reg es correcto s^2e
d^reg
s^2e
39;3430 34
= 3570 86 F1;73
=
1090 94
s^2R
) p valorreg = P (F1;73 > 3570 86) = 00 0000:
=
Se rechaza H0;reg y se asume que el modelo ajustado es signi…cativo.
Contraste de linealidad. Dado que para cada valor de x se dispone de varias observaciones de Y; se puede hacer el contraste
H0;lin :
H1 :
“el modelo lineal es adecuado”
“el modelo de regresión no es lineal”
Se descompone scR en dos términos:
scR =
75
X
e2i =
i=1
y^i )2 =
(yi
i=1
75
X
scR1 =
75
X
75
X
(yi: y^i )2 +
i=1
75
X
(yi
yi )2 :
i=1
(yi: y^i )2 = 2;7650 84:
i=1
75
X
scR2 =
i=1
75
X
scR =
yi )2 = 5;2590 77:
(yi
e2i =
i=1
75
X
y^i )2 = 2;7650 84 + 52590 77 = 8;0250 61:
(yi
i=1
La nueva tabla ANOVA, más completa, es
Tabla ANOVA
Fuentes de
variación
scE (modelo)
scR1
scR2
scR (Residual)
scG (Global)
Suma de
cuadrados
Grados
libertad
39;3430 34
2;7650 84
5;2590 77
80250 61
47;3680 95
1
8
65
73
74
=
F
test
s^2e = 39;3430 34
s^2R;1 = 3450 731
s^2R;2 = 800 919
s^2R = 1090 94
s^2y = 6400 12
Freg = 3570 86
00 0000
Flin = 40 27
s^R = 100 48
s^y = 250 30
00 0004
0: El estadístico del contraste es d^lin
Si H0;lin es correcto s^2R;1
d^lin
Varianzas
s^2R;1
s^2R;2
) p
=
3450 731
= 40 27
800 919
F8;65
valorlineal = P (F8;65 > 40 27) = 00 0004
p
value
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
9
Se rechaza H0;lin y se deduce que el modelo lineal no es el que mejor se ajusta a la
nube de observaciones.
Predicciones.
“Calcular intervalos de con…anza al 90 % para el tiempo medio de impresión
de los trabajos que tienen 6 y 12 hojas respectivamente.
Calcular intervalos de predicción al 90 % para el tiempo de impresión de un
trabajo que tiene 6 hojas. Calcular el intervalo de predicción para el tiempo
de impresión de un trabajo de 12 hojas”.
Para xt = 6; el estimador de mt = E(Y =X = 6) es
m
^ t = 130 515 + 80 108 xt = 130 515 + 80 108 6 = 620 163:
El valor de in‡uencia (leverage) es
ht
=
1
n
1+
xt x
sX
2
!
1
=
75
1+
6 50 44
20 82484
2
!
1
1 + 00 19822 = 00 013857:
75
1
) nt =
= 720 1651 (número de observaciones equivalente):
ht
=
La varianza del estimador m
^t
V ar (m
^ t)
=
)
s^2R
1090 94
= 0
= 10 5235:
nt
72 1651
(m
^ t ) = 10 2343:
Un intervalo de con…anza al 90 % para mt es
mt
620 163
10 2343
mt
mt
t73 )
2 620 163
2 620 163
t73 00 95
10 2343 )
10 6664 10 2343 = 620 163
20 0568 = 600 106; 640 219 :
La predicción para Y =X = 6 es
y^t = 130 515 + 80 108 xt = 130 515 + 80 108 6 = 620 163:
La varianza de predicción es
s^2R
1090 94
+ s^2R = 0
+ 1090 94 = 1110 4635 )
nh
72 1651
(^
yt ) = 100 5576:
V ar (^
yt ) =
10
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
Un intervalo de predicción al 90 % para yt es
yt 2 620 163
t73 00 95
yt 2 620 163
100 5576 )
10 6664 100 5576 = 620 163
170 593 = 440 569; 790 756 :
Análogamente, se realizan los cálculos para xq = 12:
El estimador de mt = E (Y =X = 12) es
m
^ q = 130 515 + 80 108 12 = 1100 811:
Su valor de in‡uencia es
hq
=
1
n
xq x
sR
1+
2
!
1
=
75
2
12 50 44
20 82484
1+
!
1
1 + 20 32222 = 00 08523
75
1
) nq =
= 110 7323 (número de observaciones equivalente):
hq
=
La varianza de m
^ q es
V ar (m
^ q)
=
)
s^2R
1090 94
= 0
= 90 3707:
nq
11 7323
(m
^ q ) = 30 0612:
Un intervalo de con…anza al 90 % para mq es
mq 2 1100 811
mq 2 1100 811
t73 00 95
30 0612 )
10 6664 30 0612 = 1100 811
50 1011 = 1050 709; 1150 912 :
La predicción de Y =X = 12 es
y^q = 130 515 + 80 108 12 = 1100 811:
V ar (^
yq )
=
)
s^2R
+ s^2R = 1090 94
nq
(^
yq ) = 100 923:
1
110 7323
+1
= 1190 31:
Un intervalo de predicción al 90 % para yq es
yq 2 1100 811
yq 2 1100 811
t73 00 95
100 923 )
10 6664 100 923 = 1100 811
180 202 = 920 609; 1290 013 :
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
En la tabla adjunta se pueden comparar las longitudes de los intervalos calculados
xt = 6
xq = 12
Longitudes de los intervalos calculados
Int. Con…anza
Int. Predicción
núm. equivalente
de (E (Y =x))
de (Y =x)
de observaciones
0
0
2 0568
17 593
720 1651
50 1011
180 202
110 7323
11
12
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
1.3.
Problemas propuestos de regresión lineal simple.
Problema 4.4. (este problema se puede resolver utilizando calculadora)
“En la tabla adjunta se presentan el número de páginas y el precio de doce libros
técnicos:
páginas
310
300
280
310
precio
30 50
30 50
30 50
70 30
páginas
400
170
430
230
precio
80 00
10 80
70 00
30 20
páginas
420
610
420
450
precio
20 50
50 00
50 40
30 70
Con estos datos se obtiene: (X el número de páginas e Y el precio):
P12
i=1 Xi
P12
i=1 Yi
= 4;330;
= 540 4;
P12
2
i=1 Xi
P12
2
i=1 Yi
= 1;714;700;
= 2900 62;
P12
i=1 Xi Yi
= 20;663:
1.
Ajustar una recta de regresión que explique el precio en función del número de
páginas e interpretar los resultados.
2.
Construir la tabla ANOVA asociada. ¿Es el ajuste adecuado?
3.
Calcular intervalos de con…anza al 90 % para los parámetros del modelo.
4.
Calcular un intervalo de con…anza al 90 % para el precio de un libro de 500 páginas.”
Problema 4.5. “La resistencia del cemento (r) depende, entre otras cosas, del tiempo
de secado del cemento (t). En un experimento se obtuvo la resistencia de bloques de
cemento con diferente tiempo de secado los resultados fueron los siguientes (Hald, A.
(1952) “Statistical theory with engneering applications. Wiley & Sons). En base a esta
muestra,
Tiempo (días)
1
2
3
7
28
Resistencia (kg=cm2 )
130 0 130 3 110 8
210 9 240 5 240 7
290 8 280 0 240 1 240 2 260 2
320 4 300 4 340 5 330 1 350 7
410 8 420 6 400 3 350 7 370 3
1.
Analizar la posible existencia de una relación entre estas dos variables.
2.
¿Qué conclusiones se deducen del contraste de regresión y del contraste de linealidad?
3.
Si se utilizase un ajuste cuadrático ¿se obtienen mejores resultados?
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
13
4. Estudiar el modelo paramétrico propuesto por A. Hald que estudiba la relación del
logaritmo de la resistencia del cemento sobre la inversa del tiempo de secado.”
Problema 4.6. “La variable (Y ) representa, en miles, el número de asnos en España
y la (X) el tanto por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación.
año
1920
1925
1930
1935
1940
Y
1;006
1;162
1;479
805
795
X
50 5
40 8
70 8
80 2
80 6
año
1945
1950
1955
1960
1965
Y
747
732
683
686
493
X
90 7
90 6
80 9
110 4
100 6
año
1970
1975
1980
Y
476
386
368
X
120 7
110 5
110 4
1. Representar gra…camente estos datos.
2. Construir la recta de regresión que explique el comportamiento de la variable “tanto
por ciento del presupuesto del Estado dedicado a Educación” en función de la variable
“el número de asnos en España” e interpretar los resultados
3. ¿Es signi…cativo el coe…ciente de correlación entre estas dos variables?
4. Los residuos asociados al ajuste de la regresión lineal ¿son independientes?
5. Representar las variables X e Y frente al tiempo. Calcular los coe…cientes de correlación y rectas de regresión de las variables X e Y respecto al tiempo.
Nota: Estos datos son recogidos del texto de Daniel Peña “Estadística modelos y
métodos. Vol. 2. Modelos lineales y series temporales”. Alianza Universidad Textos.
Es un claro ejemplo de variables entre las que existe una alta correlación estadística
pero no existe relación entre las mismas (correlaciones espúreas), su relación
estadística es debida a la relación que ambas tienen con una tercera (el tiempo) y
que no se tiene en cuenta en el estudio.
Problema 4.7. “Se llevó a cabo un estudio para determinar la relación entre el
número de años de experiencia (X) y el salario mensual, en miles de pesetas, (Y ) entre los
informáticos de una región española. Se tomó una muestra aleatoria de 17 informáticos y
se obtuvieron los siguientes datos
Exper.
13
16
30
2
8
6
Salario
260 1
330 2
360 1
160 5
260 4
190 1
Exper.
31
19
20
1
4
10
Salario
360 4
330 8
360 5
160 9
190 8
240 6
Exper.
27
25
7
15
13
Salario
360 0
360 5
210 4
310 0
310 4
14
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
1. Calcular la regresión lineal de la variable salario frente a años de experiencia. Calcular
intervalos de con…anza al 95 % para los coe…cientes de este modelo.
2. Calcular el coe…ciente de correlación lineal y el coe…ciente de determinación. ¿Con
= 00 05 se puede rechazar la hipótesis de que el coe…ciente de determinación es
cero?
3. Calcular intervalos de con…anza al 90 % y 95 % para la predicción del salario de un
informático que tiene 8 años de experiencia.
4. ¿Se observa alguna anomalía en el grá…co de los residuos frente a la regresora.”
Problema 4.8. “El siguiente conjunto de datos era tomado sobre grupos de trabajadoras de Inglaterra y Galés en el período de 1970-72. Cada grupo está formado por
trabajadores de la misma profesión (médicos, trabajadores textiles, decoradores,...etc,) y
en cada uno de los veinticinco grupos muestrados se han observado dos variables: el índice
estandarizado de consumo de cigarrillos y el índice de muertes por cáncer de pulmón.
(Occupational mortality: the registar general’s decennial supplement for England and
Wales, 1970-72, series Ds, n.1, London:HMSO,149).
x
77
137
117
94
116
102
111
93
88
y
84
116
123
128
155
101
118
113
104
x
102
91
104
107
112
113
110
125
y
88
104
129
86
96
144
139
113
x
133
115
105
87
91
100
76
66
y
146
128
115
79
85
120
60
51
1. Estudiar la regresión lineal del índice de mortalidad frente al índice de fumadores.
2. Calcular la tabla ANOVA. Conclusiones.
3. Comprobar si se veri…can las hipótesis del modelo.”
Problema 4.9. “Anscombe utilizó el siguiente conjunto de datos para demostrar la
importancia de los grá…cos en el análisis de regresión y correlación. Hay cuatro conjuntos
de datos bidimensionales (X; Y ), el vector X es el mismo para los tres primeros conjuntos.
1. Para cada uno de los cuatro conjuntos de datos, calcular la recta de regresión de Y
frente a X y el coe…ciente de correlación.
2. Para cada uno de los cuatro casos, dibujar la grá…ca de Y frente a X y la grá…ca
de los residuos frente a las predicciones. ¿Qué conclusiones se deducen?”
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
X1 = X2 = X3
10
8
13
9
11
14
6
4
12
7
5
Y1
80 04
60 95
70 58
80 81
80 33
90 96
70 24
40 26
100 84
40 82
50 68
15
Y2
90 14
80 14
80 74
80 77
90 26
80 10
60 13
30 10
90 13
70 26
40 74
Y3
70 46
60 77
120 74
70 11
70 81
80 84
60 08
50 39
80 15
60 42
50 73
X4
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
19
Y4
60 58
50 76
70 71
80 84
80 47
70 04
50 25
50 56
70 91
60 89
120 50
Problema 4.10. “Los datos de la tabla adjunta muestran la cantidad de ozono registrada (Y ) y su presión parcial (X) para cada capa de altitud. Cada capa tiene aproximadamente un kilómetro de altura. Por conveniencia las capas se han escalado a un
intervalo de -7 a +7.
1.
Hacer una grá…ca de estos datos, ¿es razonable un ajuste lineal?
2.
Ajustar una función de regresión lineal del ozono frente a la capa. Calcular la tabla
ANOVA y los contrastes de regresión y de linealidad. Conclusiones.
3.
Analizar detenidamente los residuos. ¿Se veri…can las hipótesis estructurales del
modelo? ¿Son los datos homocedásticos?
4.
¿Existe un modelo no lineal que mejore el ajuste lineal?”.
Capa
7
6
5
4
3
2
1
0
Ozono
530 8 540 8
530 3 540 6
630 8 640 2
670 2 650 4
710 8 730 2
790 4 810 1
850 2 830 0
900 3 840 2
930 2 970 4
1020 8 960 9
980 9 960 1
Capa
530 7
550 2
660 9
670 3
750 6
840 1
820 8
880 3
980 3
980 2
990 6
550 7
540 1
760 2
860 0
720 7
Ozono
7
440 7
380 5
6
600 2
540 9
500 8
5
730 6
650 4
670 1
4
740 8
820 3
760 9
3
2
1
930 6 860 2 870 9 890 5
920 3 960 6 980 5
1010 1 940 6 950 9
810 2
910 4
Problema 4.11. “El …chero problema-4-11 contiene once variables de 200 datos.
La primera variable se corresponde con el vector de predicción de un ajuste lineal simple y las restantes diez variables se correponden con diferentes vectores de residuos del
16
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
ajuste. Utilizando básicamente métodos grá…cos (grá…co de residuos frente a predicciones,
histograma, grá…co de normalidad, grá…co de residuos frente al índice, correlograma,....)
contratar si se veri…can las hipótesis básicas estructurales del modelo de regresión lineal o
indagar la existencia de posibles problemas en el ajuste”.
Problema 4.12. “En 34 lotes de 120 libras de cacahuetes se observó el nivel medio
de a‡atoxin (partes por billón) (X) y el porcentaje de cacahuetes no contaminados (Y ) :
X
30 0
40 7
80 3
90 3
90 9
110 0
830 2
Y
990 971
990 979
990 982
990 971
990 957
990 961
990 830
X
180 8
180 9
210 7
210 9
220 8
240 2
830 6
Y
990 942
990 932
990 908
990 970
990 985
990 933
990 718
X
460 8
460 8
580 1
620 3
700 6
710 1
990 5
Y
990 863
990 811
990 877
990 798
990 855
990 788
990 642
X
120 3
710 3
120 5
120 6
150 9
160 7
1110 2
Y
990 956
990 821
990 972
990 889
990 961
990 982
990 658
X
250 8
180 8
300 6
360 2
390 8
440 3
Y
990 858
990 975
990 987
990 958
990 909
990 859
1. Analizar estos datos e investigar la relación entre estas dos variables para predecir
Y en función de X. ¿Es adecuado el ajuste lineal?
2. ¿Veri…can los residuos las hipótesis estructurales?
3. Intentar encontrar un ajuste paramétrico que mejore al lineal.”
Problema 4.13. “En quince casas de la ciudad de Milton Keynes se observó durante
un período de tiempo la diferencia de temperatura promedio (en grados centígrados) entre
la temperatura en la calle y la temperatura en casa, y el consumo de gas diario en kWh.
Dif. temp
100 3
110 4
110 5
120 5
130 1
Consumo
690 81
820 75
810 75
800 38
850 89
Dif. temp
130 4
130 6
150 0
150 2
150 3
Consumo
750 32
690 81
780 54
810 29
990 20
Dif. temp
150 6
160 4
160 5
170 0
170 1
Consumo
860 35
1100 23
1060 55
850 50
900 02
1. Hacer una grá…ca de los datos. ¿Existe relación entre estas dos variables?
2. ¿Se puede explicar el consumo de gas por una relación lineal con la diferencia de
temperatura?.
3. Ajustando un polinomio de mayor grado, ¿se obtiene un mayor coe…ciente de determinación?, ¿qué modelo es preferible?”.
Problema 4.14. “Se midió la altura (en centímetros) y el peso (en kilogramos) de
treinta chicas de once años del Heaton Meiddle School de Bradford. Estudiar estos datos
y la relación entre ambas variables.
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
Altura
135
146
153
154
139
131
149
Peso
26
33
55
50
32
25
44
Altura
141
136
154
151
155
137
143
Peso
28
28
36
48
36
31
36
Altura
149
147
152
140
143
146
133
Peso
46
36
47
33
42
35
31
17
Altura
148
149
141
164
146
137
135
Peso
32
34
29
47
37
34
30
Altura
149
141
Peso
32
32
1.
Dibujar la grá…ca de estas observaciones y calcular la recta de regresión de peso
frente a altura y la de altura frente a peso.
2.
En la regresión lineal de peso frente a altura, ¿se observa alguna observación atípica?.
3.
¿Existen observaciones in‡uyentes?
4.
Contrastar las hipótesis estructurales del modelo.”
Problema 4.15. “El contenido en hierro de las escorias de los altos hornos puede
ser determinada por una prueba química en laboratorio o, de forma más barata y rápida,
por un test magnético. Se está interesado en estudiar la relación entre los resultados
del test químico y del test magnético. En particular, se desea saber si a partir de los
resultados del test magnético (X) se pueden estimar los resultados del test químico (Y )
sobre el contenido del hierro. Para ello, se han realizado los dos test a un conjunto de
lotes recogidos secuencialmente en el tiempo. Los resultados obtenidos son los de la tabla
adjunta.
Qui
24
16
24
18
18
10
14
16
25
Mag
25
22
17
21
20
13
16
14
28
Qui
18
20
21
20
21
15
16
15
25
Mag
19
10
23
20
19
15
16
16
36
Qui
17
19
16
15
15
13
24
22
32
Mag
12
15
15
15
15
17
18
16
40
Qui
21
24
15
20
20
25
27
22
28
Mag
18
22
20
21
21
25
22
18
33
Qui
20
24
24
23
29
27
23
19
25
Mag
21
18
20
25
20
18
19
16
33
Qui
25
15
16
27
27
30
29
26
Mag
16
16
26
28
28
30
32
28
1. Analizar estos datos. Hacer un estudio descriptivo y grá…co de los mismos.
2. Estudiar la relación entre los tests, ¿es adecuado el ajuste lineal?
3. Chequear las hipótesis del modelo.
4. ¿Existe un ajuste linealizable o polinómico que mejore al ajuste lineal?”
18
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
Problema 4.16. “Utilizando los datos del …chero problema-4-16 que contiene datos
de variables de coches.
1. Estudiar la regresión lineal entre la variable mpg (miles per galon: inversa del consumo) y la regresora accel (aceleración). ¿Existe un ajuste mejor que el lineal?
2. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora weight (peso).
3. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora price (precio).
4. Estudiar la regresión lineal entre mpg y la regresora displace.
5. Estudiar la regresión lineal entre price y la regresora accel (aceleración).
6. ¿Utilizando un ajuste linealizable se mejoran los ajustes lineales estudiados?
7. Estudiar la existencia de datos atípicos y datos in‡uyentes en los ajustes lineales o
linealizables obtenidos.”
Problema 4.17. “Los siguientes datos representan el Producto Nacional Bruto de
USA (X) y los gastos de consumo (Y ) en miles de millones de dólares de 1972, entre los
años 1960-1980
Año
PNB
GC
Año
PNB
GC
Año
PNB
GC
1960
7370 2
4520 0
1967
1;0110 4
6020 7
1974
1;2480 0
7630 6
1961
7560 6
4610 4
1968
1;0580 1
6340 4
1975
1;2330 9
7800 2
1962
8000 3
4820 0
1969
1;0870 6
6570 9
1976
1;3000 4
8230 7
1963
8320 5
5000 5
1970
1;0850 6
6720 1
1977
1;3710 7
8630 9
1964
8760 4
5280 0
1971
1;1220 4
6960 8
1978
1;4360 9
9040 8
1965
9290 3
5570 5
1972
1;1850 9
7370 1
1979
1;4830 0
9300 9
1966
9840 8
5850 7
1973
1;2550 0
7680 5
1980
1;4800 7
9350 1
1. Ajustar un modelo lineal e interpretar los coe…cientes de regresión estimados.
2. Hacer la grá…ca de los residuos frente al tiempo. Estudiar la hipótesis de independencia.
3. Si existe una autocorrelación positiva, transformar los datos y ajustar el modelo de
regresión lineal a los datos (mínimos cuadrados generalizados).”
Problema 4.18. “Para las compañías de seguros de hogar tiene interés estimar el
coste de reemplazar algunos objetos. Una de estas compañías estaba interesada en estimar
el coste de reemplazar una colección de 1554 libros a partir de una muestra de 100 libros.
El coste de los cien libros muestrales se obtenía de los catálogos de las editoriales y si
algún libro estaba descatalogado su valor se calculaba utilizando el precio de un libro de
similares características. Los precios están en peniques.
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
19
Dado que el valor de los libros era muy variable, en un intento de conseguir una mayor
exactitud, se utilizó como regresora para explicar el precio de un libro el ancho del lomo
del mismo (medido en milímetros). El ancho total de los 1.554 libros era de 25.182 mm.
Los datos de los cien libros se encuentran en el …chero problema-4-18. En base a
estos datos, se pide:
1. Analizar estadísticamente las variables precio y ancho del libro.
2. ¿Existe una relación entre ambas variables?
3. Estimar el coste de toda la colección. En una primera aproximación sin tener en
cuenta la variable ancho de los libros y, en segundo lugar, teniendo en cuenta esta
variable.”
Problema 4.19. “El …chero problema-4-19 contiene datos de dos nubes de puntos bidimensionales ((x; Y1 ) y (x; Y2 )). Estos datos son debidos a Wampler y los generó
por simulación para comprobar cuando un determinado programa estadístico realiza con
exactitud el ajuste por mínimos cuadrados.
1. Ajustar a estas dos nubes de puntos un polinomio.
2. ¿Qué grado de polinomio se debe ajustar?, ¿es el ajuste bueno? ¿exacto?”.
Problema 4.20. “Los datos de la tabla adjunta son el conjunto clásico de datos del
test psicológico de Strong sobre retención de memoria. Los datos se tomaban de la siguiente
manera: un conjunto de individuos memorizaban una lista de objetos inconexos y pasado
un tiempo la recordaba. La variable p indica el porcentage de retención de memoria en
promedio y la variable t es el tiempo transcurrido. El objetivo del estudio era explicar la
variable p en función de t:
t
1
5
15
30
p
00 84
00 71
00 61
00 56
t
60
120
240
480
p
00 54
00 47
00 45
00 38
t
720
1440
2880
5760
p
00 36
t
10080
p
00 08
00 26
00 20
00 16
1. Analizar este conjunto de datos y estudiar la relación de la variable p respecto a t:
2. Estudiar analítica y gra…cámente un modelo del tipo p = exp(
pérdida geométrica de la memoria.
3. Estudiar analítica y gra…cámente un modelo del tipo log p =
pretación tiene este modelo?, ¿Qué ajuste es mejor?”.
t) que sugiere una
0
+
1 t:
¿Qué inter-
20
Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar
Problema 4.21. “El …chero problema-4-21 contiene datos de 78 ciervos de Escocia
en los que se estudia el crecimiento de los dientes. Para todos los ciervos de un rebaño se
supone que el crecimiento de los dientes …naliza a la misma edad y después la velocidad
de desgaste es la misma para todos los animales y constante en el tiempo. La aleatoriedad
en los resultados es debida al peso de la corona en la madurez que sigue una distribución
normal y la edad de la madurez no es conocida con exactitud. A los ciervos de la muestra
se les tomo la edad y el peso en gramos del primer molar. En base a estos datos:
1. Estudiar la relación del peso respecto a la edad.
2. Hacer los contrastes de regresión y de linealidad.
3. Analizar los residuos, ¿se veri…can las hipótesis básicas?”.
Problema 4.22. “En los sitemas productivos de ovejas tiene un gran interés controlar
las necesidades energéticas de cada animal ya que in‡uyen en la predicción de la producción
de carne. Por ello, se ha tomado una muestra de 64 ovejas australianas y, a cada una de
ellas, se le controló su peso x (en kilogramos), y sus necesidades energéticas diarias Y
medidas en Mcal/día. Los resultados de la muestra se presentan en el …chero problema4-22. En base a estos datos muestrales:
1. Estudiar la relación lineal de Y respecto a x:
2. Estimar la media de consumo energético de las ovejas que pesan 30, 40, 50 y 60 Kgr.
Calcular intervalos de con…anza al 90 % para estos valores. Hacer el mismo cálculo
pero considerando la predicción del consumo energético de una oveja de ese peso.
Calcular intervalos de predicción.”
Problema 4.23. “El …chero problema-4-23 contiene dos conjuntos de datos bidimensionales en los que no existe una relación lineal pero si es fácil encontrar la relación
existente entre las dos variables.
El primer conjunto tiene 25 observaciones de molinos de viento para la producción
de energía eléctrica, la variable X1 mide la velocidad del viento y la variable Y 1 mide la
corriente eléctrica obtenida.
El segundo conjunto tiene 19 observaciones relativas a la producción del papel, la
variable X2 mide la resistencia del papel fabricado y la variable Y 2 mide la proporción de
madera en la pulpa a partir de la cual se obtiene el papel.
1. En ambos casos, dibujar la grá…ca de la nube de puntos.
2. Obtener el modelo de regresión que mejor se ajusta a la nube de observaciones.
¿Existe ajustes que mejoran al lineal?, ¿el ajuste realizado es su…cientemente bueno?
3. Analizar los residuos de los modelos ajustados”.
Prácticas y problemas de regresión lineal simple.
21
Problema 4.24. “El …chero problema-4-24 contiene datos relativos al peso del cuerpo (X; en kilogramos) y el peso del cerebro (Y; en gramos) de 28 especies de animales. En
base a estos datos:
1. ¿Se observa en esta nube algún dato atípico?
2. Transformar los datos para que se pueda hacer una grá…ca de los mismos. Realizar
la grá…ca de los datos transformados.
3. Ajustar un modelo de regresión lineal a los datos transformados. ¿Es el ajuste
adecuado? Interpretarlo.
4. En el modelo transformado ¿Existen datos atípicos?”.
Problema 4.25. “La dureza de los árboles es difícil de medir directamente, sin embargo la densidad si es relativamente fácil de medir. Por ello es de gran interés disponer
de un modelo que permita predecir la dureza de un árbol a partir de su densidad. Por este
motivo se ha tomado una muestra de 36 eucaliptos australianos y se les midió su densidad
(X) y su dureza (Y ). Los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta.
Densidad
240 7
240 8
270 3
280 4
280 4
290 0
300 3
320 7
350 6
380 5
380 8
390 3
Dureza
484
427
413
517
549
648
587
704
979
914
1070
1020
Densidad
390 4
390 9
400 3
400 6
400 7
400 7
420 9
450 8
460 9
480 2
510 5
510 5
Dureza
1210
989
1160
1010
1100
1130
1270
1180
1400
1760
1710
2010
Densidad
530 4
560 0
560 5
570 3
570 6
590 2
590 8
660 0
670 4
680 8
690 1
690 1
Dureza
1880
1980
1820
2020
1980
2310
1940
3260
2700
2890
2740
3140
En base a estos datos:
1. Estudiar el modelo de regresión lineal de Y respecto a X:
2. Ajustar a estos datos un polinomio de grado a determinar. ¿Se mejora de forma
apreciable el ajuste lineal?
3. Con el mejor ajuste predecir la dureza de un árbol de densidad 20, 40, 60 y 80.
4. Calcular intervalos de con…anza y de predicción al 90 % para las estimaciones del
apartado anterior.
5. Analizar los residuos del modelo ajustado.
6. Considerar una transformación de los datos de la dureza (Y ) y ajustar un modelo de
regresión. ¿El modelo ajustado con los datos transformados mejora al ajuste polinómico?”